All issues

В работе описывается двухстадийная модель равновесного распределения транспортных потоков. Модель состоит из двух блоков, где первый блок — модель расчета матрицы корреспонденций, а второй блок — модель равновесного распределения транспортных потоков по путям. Первая модель, используя матрицу транспортных затрат (затраты на перемещение из одного района в другой, в данном случае — время), рассчитывает матрицу корреспонденций, описывающую потребности в объемах передвижения из одного района в другой район. Для решения этой задачи предлагается использовать один из наиболее популярных в урбанистике способов расчета матрицы корреспонценций — энтропийную модель. Вторая модель на базе равновесного принципа Нэша–Вардропа (каждый водитель выбирает кратчайший для себя путь) описывает, как именно потребности в перемещениях, задаваемые матрицей корреспонденций, распределяются по возможным путям. Таким образом, зная способы распределения потоков по путям, можно рассчитать матрицу затрат. Равновесием в двухстадийной модели транспортных потоков называют неподвижную точку цепочки из этих двух моделей. Практически ранее отмеченную задачу поиска неподвижной точки решали методом простых итераций. К сожалению, на данный момент вопрос сходимости и оценки скорости сходимости для этого метода не изучен. Кроме того, при численной реализации алгоритма возникает множество проблем. В частности, при неудачном выборе точки старта возникают ситуации, в которых алгоритм требует вычисления экстремально больших чисел и превышает размер доступной памяти даже в самых современных вычислительных машинах. Поэтому в статье предложены способ сведения задачи поиска описанного равновесия к задаче выпуклой негладкой оптимизации и численный способ решения полученной задачи оптимизации. Для обоих методов решения задачи были проведены численные эксперименты. Авторами использовались данные для Владивостока (для этого была обработана информация из различных источников и собрана в новый пакет) и двух небольших городов США. Методом простой прогонки двух блоков сходимости добиться не удалось, тогда как вторая модель для того же набора данных продемонстрировала скорость сходимости $k^{−1.67}$.

Authors describe a two-stage traffic assignment model. It contains of two blocks. The first block consists of a model for calculating a correspondence (demand) matrix, whereas the second block is a traffic assignment model. The first model calculates a matrix of correspondences using a matrix of transport costs (it characterizes the required volumes of movement from one area to another, it is time in this case). To solve this problem, authors propose to use one of the most popular methods of calculating the correspondence matrix in urban studies — the entropy model. The second model describes exactly how the needs for displacement specified by the correspondence matrix are distributed along the possible paths. Knowing the ways of the flows distribution along the paths, it is possible to calculate the cost matrix. Equilibrium in a two-stage model is a fixed point in the sequence of these two models. In practice the problem of finding a fixed point can be solved by the fixed-point iteration method. Unfortunately, at the moment the issue of convergence and estimations of the convergence rate for this method has not been studied quite thoroughly. In addition, the numerical implementation of the algorithm results in many problems. In particular, if the starting point is incorrect, situations may arise where the algorithm requires extremely large numbers to be computed and exceeds the available memory even on the most modern computers. Therefore the article proposes a method for reducing the problem of finding the equilibrium to the problem of the convex non-smooth optimization. Also a numerical method for solving the obtained optimization problem is proposed. Numerical experiments were carried out for both methods of solving the problem. The authors used data for Vladivostok (for this city information from various sources was processed and collected in a new dataset) and two smaller cities in the USA. It was not possible to achieve convergence by the method of fixed-point iteration, whereas the second model for the same dataset demonstrated convergence rate $k^{-1.67}$.

С ростом населения городов сильнее ощущается необходимость планирования развития транспортной инфраструктуры. Для этой цели создаются пакеты транспортного моделирования, которые обычно содержат набор задач выпуклой оптимизации, итеративное решение которых приводит к искомому равновесному распределению потоков по путям. Одно из направлений развития транспортного моделирования — это построение более точных обобщенных моделей, которые учитывают различные типы пассажиров, их цели поездок, а также специфику личных и общественных средств передвижения, которыми могут воспользоваться агенты. Другим не менее важным направлением является улучшение эффективности производимых вычислений, так как в связи с большой размерностью современных транспортных сетей поиск численного решения задачи равновесного распределения потоков по путям является довольно затратным. Итеративность всего процесса решения лишь усугубляет это. Одним из подходов, ведущим к уменьшению числа производимых вычислений, и является построение согласованных моделей, которые позволяют объединить блоки 4-стадийной модели в единую задачу оптимизации. Это позволяет исключить итеративную прогонку блоков, перейдя от решения отдельной задачи оптимизации на каждом этапе к некоторой общей задаче. В ранних работах было доказано, что такие подходы дают эквивалентные решения. Тем не менее стоит рассмотреть обоснованность и интерпретируемость этих методов. Целью данной статьи является обоснование единой задачи, объединяющей в себе как расчет матрицы корреспонденций, так и модальный выбор, для обобщенного случая, когда в транспортной сети присутствуют различные слои спроса, типы агентов и классы транспортных средств. В статье приводятся возможные интерпретации для калибровочных параметров, применяемых в задаче, а также для двойственных множителей, ассоциированных с балансовыми ограничениями. Авторы статьи также показывают возможность объединения рассматриваемой задачи с блоком определения загрузки сети в единую задачу оптимизации.

As the population of cities grows, the need to plan for the development of transport infrastructure becomes more acute. For this purpose, transport modeling packages are created. These packages usually contain a set of convex optimization problems, the iterative solution of which leads to the desired equilibrium distribution of flows along the paths. One of the directions for the development of transport modeling is the construction of more accurate generalized models that take into account different types of passengers, their travel purposes, as well as the specifics of personal and public modes of transport that agents can use. Another important direction of transport models development is to improve the efficiency of the calculations performed. Since, due to the large dimension of modern transport networks, the search for a numerical solution to the problem of equilibrium distribution of flows along the paths is quite expensive. The iterative nature of the entire solution process only makes this worse. One of the approaches leading to a reduction in the number of calculations performed is the construction of consistent models that allow to combine the blocks of a 4-stage model into a single optimization problem. This makes it possible to eliminate the iterative running of blocks, moving from solving a separate optimization problem at each stage to some general problem. Early work has proven that such approaches provide equivalent solutions. However, it is worth considering the validity and interpretability of these methods. The purpose of this article is to substantiate a single problem, that combines both the calculation of the trip matrix and the modal choice, for the generalized case when there are different layers of demand, types of agents and classes of vehicles in the transport network. The article provides possible interpretations for the gauge parameters used in the problem, as well as for the dual factors associated with the balance constraints. The authors of the article also show the possibility of combining the considered problem with a block for determining network load into a single optimization problem.

С 50-х годов XX века транспортное моделирование крупных мегаполисов стало усиленно развиваться. Появились первые модели равновесного распределения потоков по путям. Наиболее популярной (и использующейся до сих пор) моделью была модель Бэкмана и др. 1955 г. В основу этой модели положены два принципа Вардропа. На современном теоретико-игровом языке можно кратко описать суть модели как поиск равновесия Нэша в популяционной игре загрузки, в которой потери игроков (водителей) рассчитываются исходя из выбранного пути и загрузках на этом пути, при фиксированных корреспонденциях. Загрузки (затраты) на пути рассчитываются как сумма затрат на различных участках дороги (ребрах графа транспортной сети). Затраты на ребре (время проезда по ребру) определяется величиной потока автомобилей на этом ребре. Поток на ребре, в свою очередь, определяется суммой потоков по всем путям, проходящим через заданное ребро. Таким образом, затраты на проезд по пути определяются не только выбором пути, но и тем, какие пути выбрали остальные водители. Таким образом, мы находимся в стандартной теоретико-игровой постановке. Специфика формирования функций затрат позволяет сводить поиск равновесия к решению задачи оптимизации (игра потенциальная). Эта задача оптимизации будет выпуклой, если функции затрат монотонно неубывающие. Собственно, различные предположения о функциях затрат формируют различные модели. Наиболее популярной моделью является модель с функцией затрат BPR. Такие функции используются при расчетах реальных городов повсеместно. Однако в начале XXI века Ю. Е. Нестеровым и А. де Пальмой было показано, что модели типа Бэкмана имеют серьезные недостатки. Эти недостатки можно исправить, используя модель, которую авторы назвали моделью стабильной динамики. Поиск равновесия в такой модели также сводится к задаче оптимизации. Точнее, даже задаче линейного программирования. В 2013 г. А. В. Гасниковым было обнаружено, что модель стабильной ди- намики может быть получена предельным переходом, связанным с поведением функции затрат, из модели Бэкмана. Однако обоснование упомянутого предельного перехода было сделано в нескольких важных (для практики), но все- таки частных случаях. В общем случае вопрос о возможности такого предельного перехода, насколько нам известно, остается открытым. Данная работа закрывает данный зазор. В статье в общем случае приводится обоснование возможности отмеченного предельного перехода (когда функция затрат на проезд по ребру как функция потока по ребру вырождается в функцию, равную постоянным затратам до достижения пропускной способности, и равна плюс бесконечности, при превышении пропускной способности).

Since 1950s the field of city transport modelling has progressed rapidly. The first equilibrium distribution models of traffic flow appeared. The most popular model (which is still being widely used) was the Beckmann model, based on the two Wardrop principles. The core of the model could be briefly described as the search for the Nash equilibrium in a population demand game, in which losses of agents (drivers) are calculated based on the chosen path and demands of this path with correspondences being fixed. The demands (costs) of a path are calculated as the sum of the demands of different path segments (graph edges), that are included in the path. The costs of an edge (edge travel time) are determined by the amount of traffic on this edge (more traffic means larger travel time). The flow on a graph edge is determined by the sum of flows over all paths passing through the given edge. Thus, the cost of traveling along a path is determined not only by the choice of the path, but also by the paths other drivers have chosen. Thus, it is a standard game theory task. The way cost functions are constructed allows us to narrow the search for equilibrium to solving an optimization problem (game is potential in this case). If the cost functions are monotone and non-decreasing, the optimization problem is convex. Actually, different assumptions about the cost functions form different models. The most popular model is based on the BPR cost function. Such functions are massively used in calculations of real cities. However, in the beginning of the XXI century, Yu. E. Nesterov and A. de Palma showed that Beckmann-type models have serious weak points. Those could be fixed using the stable dynamics model, as it was called by the authors. The search for equilibrium here could be also reduced to an optimization problem, moreover, the problem of linear programming. In 2013, A.V.Gasnikov discovered that the stable dynamics model can be obtained by a passage to the limit in the Beckmann model. However, it was made only for several practically important, but still special cases. Generally, the question if this passage to the limit is possible remains open. In this paper, we provide the justification of the possibility of the above-mentioned passage to the limit in the general case, when the cost function for traveling along the edge as a function of the flow along the edge degenerates into a function equal to fixed costs until the capacity is reached and it is equal to plus infinity when the capacity is exceeded.

В работе приведены возможные улучшения двухстадийной модели равновесного распределения транспортных потоков, повышающие качество детализации моделирования и скорость вычисления алгоритмов. Модель состоит из двух блоков, первый блок — модель расчета матрицы корреспонденций, второй блок — модель равновесного распределения транспортных потоков по путям. Равновесием в двухстадийной модели транспортных потоков называют неподвижную точку цепочки из этих двух моделей. Более подробно теория и эксперименты по данной модели были описаны в предыдущих работах авторов. В этой статье в первую очередь рассмотрена возможность сокращения вычислительного времени алгоритма расчета кратчайших путей (в модели стабильной динамики, равновесно распределяющей потоки). В исходном варианте эта задача была выполнена с помощью алгоритма Дийкстры, но, так как после каждой итерации блока распределения транспортных потоков, время, требующееся для прохода по ребру, изменяется не на всех ребрах (и если изменяется, то очень незначительно), во многом этот алгоритм был избыточен. Поэтому были проведены эксперименты с более новым методом, учитывающим подобные особенности, и приведен краткий обзор других ускоряющих подходов для будущих исследований. Эксперименты показали, что в некоторых случаях использование выбранного T-SWSF-алгоритма действительно сокращает вычислительное время. Во вторую очередь в блоке восстановления матрицы корреспонденций алгоритм Синхорна был заменен на алгоритм ускоренного Синхорна (или AAM-алгоритм), что, к сожалению, не показало ожидаемых результатов, расчетное время не изменилось. Инак онец, в третьем и финальном разделе приведена визуализация результатов экспериментов по добавлению платных дорог в двухстадийную модель, что помогло сократить количество перегруженных ребер в сети. Также во введении кратко описана мотивация данных исследований, приведено описание работы двухстадийной модели, а также на маленьком примере с двумя городами разобрано, как с ее помощью выполняется поиск равновесия.

This article describes possible improvements for the simultaneous multi-stage transport model code for speeding up computations and improving the model detailing. The model consists of two blocks, where the first block is intended to calculate the correspondence matrix, and the second block computes the equilibrium distribution of traffic flows along the routes. The first block uses a matrix of transport costs that calculates a matrix of correspondences. It describes the costs (time in our case) of travel from one area to another. The second block presents how exactly the drivers (agents) are distributed along the possible paths. So, knowing the distribution of the flows along the paths, it is possible to calculate the cost matrix. Equilibrium in a two-stage traffic flow model is a fixed point of a sequence of the two described models. Thus, in this paper we report an attempt to influence the calculation speed of Dijkstra’s algorithm part of the model. It is used to calculate the shortest path from one point to another, which should be re-calculated after each iteration of the flow distribution part. We also study and implement the road pricing in the model code, as well as we replace the Sinkhorn algorithm in the calculation of the correspondence matrix part with its faster implementation. In the beginning of the paper, we provide a short theoretical overview of the transport modelling motivation; we discuss current approaches to the modelling and provide an example for demonstration of how the whole cycle of multi-stage transport modelling works.