All issues

В работе изучается класс дифференциальных уравнений типа Клеро в частных производных первого порядка, которые представляют собой многомерное обобщение обыкновенного дифференциального уравнения Клеро на случай, когда искомая функция зависит от многих переменных. Известно, что общее решение дифференциального уравнения типа Клеро в частных производных представляет собой семейство интегральных (гипер-) плоскостей. Помимо общего решения, могут существовать частные решения, а в некоторых частных случаях удается найти особое (сингулярное) решение.

Целью работы является нахождение особых решений многомерных дифференциальных уравнений типа Клеро в частных производных первого порядка со специальной правой частью. В работе сформулирован критерий существования особого решения дифференциального уравнения типа Клеро в частных производных для случая, когда функция от производных представляет собой функцию от линейной комбинации частных производных. Получены сингулярные решения для данного типа дифференциальных уравнений с тригонометрическими функциями от линейной комбинации $n$-независимых переменных с произвольными коэффициентами. Показано, что задача нахождения особого решения сводится к решению системы трансцендентных уравнений, содержащих исходные тригонометрические функции. В статье описана процедура нахождения сингулярного решения уравнения типа Клеро, основная идея которой заключается в нахождении не частных производных искомой функции, как функций независимых переменных, а линейных комбинаций частных производных с некоторыми коэффициентами. Данный метод может быть применен для нахождения особых решений уравнений типа Клеро, для которых данная структура сохраняется.

Работа организована следующим образом. Введение содержит краткий обзор некоторых современных результатов, имеющих отношение к теме исследования уравнений типа Клеро. Вторая часть является основной, в ней сформулирована задача работы и описан метод поиска сингулярных решений дифференциальных уравнениях типа Клеро в частных производных со специальной правой частью. Основным результатом работы является нахождение сингулярных решений уравнений, содержащих тригонометрические функции, приведенные в основной части работы в качестве примеров, иллюстрирующих описанный ранее метод. В заключении сформулированы результаты работы и обсуждается направление дальнейших исследований.

We study the class of first order differential equations in partial derivatives of the Clairaut-type, which are a multidimensional generalization of the ordinary differential Clairaut equation to the case when the unknown function depends on many variables. It is known that the general solution of the Clairaut-type partial differential equation is a family of integral (hyper-) planes. In addition to the general solution, there can be particular solutions, and in some cases a special (singular) solution can be found.

The aim of the paper is to find a singular solution of the Clairaut-type equation in partial derivatives of the first order with a special right-hand side. In the paper, we formulate a criterion for the existence of a special solution of a differential equation of Clairaut type in partial derivatives for the case, when the function of the derivatives is a function of a linear combination of partial derivatives of unknown function. We obtain the singular solution for this type of differential equations with trigonometric functions of a linear combination of $n$-independent variables with arbitrary coefficients. It is shown that the task of finding a special solution is reduced to solving a system of transcendental equations containing initial trigonometric functions. The article describes the procedure for evaluation of a singular solution of Clairaut-type equation; the main idea is to find not partial derivatives of the unknown function, as functions of independent variables, but linear combinations of partial derivatives with some coefficients. This method can be used to find special solutions of Clairaut-type equations, for which this structure is preserved.

The work is organized as follows. The Introduction contains a brief review of some modern results related to the topic of the study of Clairaut-type equations. The Second part is the main one and it includes a formulation of the main task of the work and describes a method of evaluation of singular solutions for the Clairaut-type equations in partial derivatives with a special right-hand side. The main result of the work is to find singular solutions of the Clairaut-type equations containing trigonometric functions. These solutions are given in the main part of the work as an illustrating example for the method described earlier. In Conclusion, we formulate the results of the work and describe future directions of the research.

Предложена схема построения параметрического портрета интегральных уравнений теории жидкостей в приближении RISM. Для нахождения всех связных решений использован метод продолжения по параметру. Получены уравнения для молекулярных жидкостей, сводимых по соображениям симметрии к модели двуцентровых молекул. Для преодоления особых точек использован переход к зависимости уравнений RISM от обратной сжимаемости. С помощью предложенного метода проведены численные расчеты изотерм обратной сжимаемости метана для трех уравнений замыкания. В случае частично линеаризованного гиперцепного замыкания не обнаружено бифуркации решений. Для других замыканий получены бифуркации решений и обнаружено поведение, которое не характерно для модели простых жидкостей. В случае замыкания Перкуса-Йевика в области низких температур получены нефизические решения. Для гиперцепного замыкания в области температур выше критической точки получена дополнительная ветвь решений с изломом в точке бифуркации.

An approach to evaluation of a parametric portrait of integral equations of the theory of liquids in the RISM approximation was proposed. To obtain all associated solutions the continuation method was used. The equations reduced to a two-centered molecule model for symmetry reasons were deduced for molecular liquids. For molecular liquids, some equations were obtained which could be reduced, for symmetry reasons, to a two-center molecular model. To avoid critical points we changed the dependence of RISM-equations on reverse compressibility. The suggested method was used to perform numerical computations of methane reverse compressibility isotherms with three closures. No bifurcation of solutions was observed in the case of the partially linearized hypernetted chain closure. For other closures bifurcations of solutions were obtained and the model behavior nontypical for simple liquids was observed. In the case of Percus-Yevick closure nonphysical solutions were obtained at low temperature and density. Additional solution branch with a kink in the bifurcation point was obtained in the case of hypernetted chain closure at temperature above the critical point.