All issues

Универсальные сценарии перехода к хаосу в динамических системах к настоящему моменту хорошо изучены. К типичным сценариям относятся каскад бифуркаций удвоения периода (сценарий Фейген-баума), разрушение тора малой размерности (сценарий Рюэля–Такенса) и переход через перемежаемость (сценарий Помо–Манневилля). В более сложных пространственно-распределенных динамических системах нарастающая с изменением параметра сложность поведения по времени тесно переплетается с формированием пространственных структур. Однако вопрос о том, могут ли в каком-то сценарии пространственная и временная оси полностью поменяться ролями, до сих пор остается открытым. В данной работе впервые предлагается математическая модель конвекции–реакции–диффузии, в рамках которой реализуется пространственный аналог перехода к хаосу через разрушение квазипериодического режима в рамках сценария Рюэля–Такенса. Исследуемая физическая система представляет собой два водных раствора кислоты (A) и основания (B), в начальный момент времени разделенных по пространству и помещенных в вертикальную ячейку Хеле–Шоу, находящуюся в статическом поле тяжести. При приведении растворов в контакт начинается фронтальная реакция нейтрализации второго порядка: A + B $\to$ C, которая сопровождается выделением соли (С). Процесс характеризуется сильной зависимостью коэффициентов диффузии реагентов от их концентрации, что приводит к возникновению двух локальных зон пониженной плотности, в которых независимо друг от друга возникают хемоконвективные движения жидкости. Слои, в которых развивается конвекция, все время остаются разделенными прослойкой неподвижной жидкости, но они могут влиять друг на друга посредством диффузии реагентов через прослойку. Формирующаяся хемо-конвективная структура представляет собой модулированную стоячую волну, постепенно разрушающуюся со временем, повторяя последовательность бифуркаций сценария разрушения двумерного тора. Показано, что в ходе эволюции системы пространственная ось, направленная вдоль фронта реакции, выполняет роль времени, а само время играет роль управляющего параметра.

In the last decades, universal scenarios of the transition to chaos in dynamic systems have been well studied. The scenario of the transition to chaos is defined as a sequence of bifurcations that occur in the system under the variation one of the governing parameters and lead to a qualitative change in dynamics, starting from the regular mode and ending with chaotic behavior. Typical scenarios include a cascade of period doubling bifurcations (Feigenbaum scenario), the breakup of a low-dimensional torus (Ruelle–Takens scenario), and the transition to chaos through the intermittency (Pomeau–Manneville scenario). In more complicated spatially distributed dynamic systems, the complexity of dynamic behavior growing with a parameter change is closely intertwined with the formation of spatial structures. However, the question of whether the spatial and temporal axes could completely exchange roles in some scenario still remains open. In this paper, for the first time, we propose a mathematical model of convection–diffusion–reaction, in which a spatial transition to chaos through the breakup of the quasi–periodic regime is realized in the framework of the Ruelle–Takens scenario. The physical system under consideration consists of two aqueous solutions of acid (A) and base (B), initially separated in space and placed in a vertically oriented Hele–Shaw cell subject to the gravity field. When the solutions are brought into contact, the frontal neutralization reaction of the second order A + B $\to$ C begins, which is accompanied by the production of salt (C). The process is characterized by a strong dependence of the diffusion coefficients of the reagents on their concentration, which leads to the appearance of two local zones of reduced density, in which chemoconvective fluid motions develop independently. Although the layers, in which convection develops, all the time remain separated by the interlayer of motionless fluid, they can influence each other via a diffusion of reagents through this interlayer. The emerging chemoconvective structure is the modulated standing wave that gradually breaks down over time, repeating the sequence of the bifurcation chain of the Ruelle–Takens scenario. We show that during the evolution of the system one of the spatial axes, directed along the reaction front, plays the role of time, and time itself starts to play the role of a control parameter.

В данной статье, используя наш бифуркационно-геометрический подход, мы изучаем глобальную динамику и решаем проблему о максимальном числе и распределении предельных циклов (автоколебательных режимов, соответствующих состояниям динамического равновесия) в планарной полиномиальной механической системе типа Эйлера–Лагранжа–Льенара. Такие системы используются также для моделирования электротехнических, экологических, биомедицинских и других систем, что значительно облегчает исследование соответствующих реальных процессов и систем со сложной внутренней динамикой. Они используется, в частности, в механических системах с демпфированием и жесткостью. Существует ряд примеров технических систем, которые описываются с помощью квадратичного демпфирования в динамических моделях второго порядка. В робототехнике, например, квадратичное демпфирование появляется при управлении с прямой связью и в нелинейных устройствах, таких как приводы с переменным импедансом (сопротивлением). Приводы с переменным сопротивлением представляют особый интерес для совместной робототехники. Для исследования характера и расположения особых точек в фазовой плоскости полиномиальной системы Эйлера–Лагранжа–Льенара используется разработанный нами метод, смысл которого состоит в том, чтобы получить простейшую (хорошо известную) систему путем обращения в нуль некоторых параметров (обычно параметров, поворачивающих поле) исходной системы, а затем последовательно вводить эти параметры, изучая динамику особых точек в фазовой плоскости. Для исследования особых точек системы мы используем классические теоремы Пуанкаре об индексе, а также наш оригинальный геометрический подход, основанный на применении метода двух изоклин Еругина, что особенно эффективно при исследовании бесконечно удаленных особых точек. Используя полученную информацию об особых точках и применяя канонические системы с параметрами, поворачивающими векторное поле, а также используя геометрические свойства спиралей, заполняющих внутренние и внешние области предельных циклов, и применяя наш геометрический подход к качественному анализу, мы изучаем бифуркации предельных циклов рассматриваемой системы.

In this paper, using our bifurcation-geometric approach, we study global dynamics and solve the problem of the maximum number and distribution of limit cycles (self-oscillating regimes corresponding to states of dynamical equilibrium) in a planar polynomial mechanical system of the Euler–Lagrange–Liйnard type. Such systems are also used to model electrical, ecological, biomedical and other systems, which greatly facilitates the study of the corresponding real processes and systems with complex internal dynamics. They are used, in particular, in mechanical systems with damping and stiffness. There are a number of examples of technical systems that are described using quadratic damping in second-order dynamical models. In robotics, for example, quadratic damping appears in direct-coupled control and in nonlinear devices, such as variable impedance (resistance) actuators. Variable impedance actuators are of particular interest to collaborative robotics. To study the character and location of singular points in the phase plane of the Euler–Lagrange–Liйnard polynomial system, we use our method the meaning of which is to obtain the simplest (well-known) system by vanishing some parameters (usually, field rotation parameters) of the original system and then to enter sequentially these parameters studying the dynamics of singular points in the phase plane. To study the singular points of the system, we use the classical Poincarй index theorems, as well as our original geometric approach based on the application of the Erugin twoisocline method which is especially effective in the study of infinite singularities. Using the obtained information on the singular points and applying canonical systems with field rotation parameters, as well as using the geometric properties of the spirals filling the internal and external regions of the limit cycles and applying our geometric approach to qualitative analysis, we study limit cycle bifurcations of the system under consideration.

В работе представлены результаты исследования целочисленной модели водного сообщества, состоящего из популяций зоопланктона, мирной и хищной рыбы. Рассматривается структура популяции гидробионтов по массе и по возрасту, а также описываются соответствующие такой структуре трофические взаимодействия между популяциями. Модель воспроизводит различные динамические режимы: стационарные и колебательные. Колебания численности рыбных популяций при этом могут быть регулярными и нерегулярными. Показано, что период регулярных колебаний может составлять десятки лет, а нерегулярные колебания численности рыбных популяций могут быть как хаотическими, так и нехаотическими. В результате анализа модели в пространстве параметров показано, что предсказуемость динамики рыбных популяций может быть затруднена не только в результате возникновения динамического хаоса, но и в результате конкуренции между различными динамическими режимами, возникающей при вариации параметров модели, в частности при изменениях скорости роста зоопланктона.

We present the results of a mathematical model for the aquatic communities which include zooplankton, planktivorous fish and predator fish. The aquatic populations are considered to be body mass- and agestructured, while the trophic relations between the populations to be correspondingly status-specific. The model reproduces diverse dynamic regimes as such steady states and oscillations in the population size. Oscillations in the fish population size are shown to be both regular and irregular. We show that the period of the regular oscillations can be up to decades. The irregular oscillations are shown to be both chaotic and non-chaotic. Analyzing the dynamics in the model parameter space has enabled us to conclude that predictability of fish population dynamics can face difficulties both due to dynamical chaos and to the competition between various dynamical regimes caused by variations in the model parameters, specifically in the zooplankton growth rate.

При моделировании методами классической молекулярной динамики поведения системы частиц используются уравнения движения в ньютоновской и гамильтоновой формулировке. При использовании уравнений Ньютона для получения координат и скоростей частиц системы, состоящей из $N$ частиц, требуется на каждом временном шаге в трехмерном случае решить $3N$ обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Традиционно для решения уравнений движения молекулярной динамики в ньютоновской формулировке используются численные схемы метода Верле. Для сохранения устойчивости численных схем Верле на достаточно больших интервалах времени приходится уменьшать шаг интегрирования. Это приводит к существенному увеличению объема вычислений. В большинстве современных пакетов программ молекулярной динамики для численного интегрирования уравнений движения используют схемы метода Верле с контролем сохранения гамильтониана (энергии системы) по времени. Для уменьшения времени вычислений при молекулярно-динамических расчетах можно использовать два дополняющих друг друга подхода. Первый основан на совершенствовании и программной оптимизации существующих пакетов программ молекулярной динамики с использованием векторизации, распараллеливания, спецпроцессоров. Второй подход основан на разработке эффективных методов численного интегрирования уравнений движения. В работе предложена процедура построения явных, неявных и симметричных симплектических численных схем с заданной точностью аппроксимации относительно шага интегрирования для решения уравнений движения молекулярной динамики в гамильтоновой форме. В основе подхода для построения предложенной в работе процедуры лежат следующие положения: гамильтонова формулировка уравнений движения, использование разложения точного решения в ряд Тейлора, использование для вывода численных схем аппарата производящих функций для сохранения геометрических свойств точного решения. Численные эксперименты показали, что полученная в работе симметричная симплектическая схема третьего порядка точности сохраняет в приближенном решении основные свойства точного решения, является более устойчивой по шагу аппроксимации и более точно сохраняет гамильтониан системы на большом интервале интегрирования, чем численные схемы метода Верле второго порядка.

Equations of motion in Newtonian and Hamiltonian forms are used for classical molecular dynamics simulation of particle system time evolution. When Newton equations of motion are used for finding of particle coordinates and velocities in $N$-particle system it takes to solve $3N$ ordinary differential equations of second order at every time step. Traditionally numerical schemes of Verlet method are used for solving Newtonian equations of motion of molecular dynamics. A step of integration is necessary to decrease for Verlet numerical schemes steadiness conservation on sufficiently large time intervals. It leads to a significant increase of the volume of calculations. Numerical schemes of Verlet method with Hamiltonian conservation control (the energy of the system) at every time moment are used in the most software packages of molecular dynamics for numerical integration of equations of motion. It can be used two complement each other approaches to decrease of computational time in molecular dynamics calculations. The first of these approaches is based on enhancement and software optimization of existing software packages of molecular dynamics by using of vectorization, parallelization and special processor construction. The second one is based on the elaboration of efficient methods for numerical integration for equations of motion. A procedure for constructing of explicit, implicit and symmetric symplectic numerical schemes with given approximation accuracy in relation to integration step for solving of molecular dynamic equations of motion in Hamiltonian form is proposed in this work. The approach for construction of proposed in this work procedure is based on the following points: Hamiltonian formulation of equations of motion; usage of Taylor expansion of exact solution; usage of generating functions, for geometrical properties of exact solution conservation, in derivation of numerical schemes. Numerical experiments show that obtained in this work symmetric symplectic third-order accuracy scheme conserves basic properties of the exact solution in the approximate solution. It is more stable for approximation step and conserves Hamiltonian of the system with more accuracy at a large integration interval then second order Verlet numerical schemes.

Рассматривается известное эволюционное уравнение математической физики, которое в современной математической литературе принято называть уравнением Курамото–Сивашинского. В данной работе это уравнение изучается в первоначальной редакции авторов работ, где оно было предложено, вместе с однородными краевыми условиями Неймана. Изучен вопрос о существовании и устойчивости локальных аттракторов, сформированных пространственно-неоднородными решениями изучаемой краевой задачи. Данный вопрос стал особенно актуален в последнее время в связи с моделированием процесса формирования наноструктур на поверхности полупроводников под воздействием потока ионов или лазерного излучения.

Изучен вопрос о существовании и устойчивости состояний равновесия второго рода двумя различными способами. В первом из них использован метод Галёркина. Второй подход основан на использовании строго обоснованных методов теории динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством: метод интегральных многообразий, теория нормальных форм, асимптотические методы.

В работе в целом повторен подход из известной работы Д. Армбрустера, Д. Гукенхеймера, Ф.Холмса, где использован подход, основанный на применении метода Галёркина. Результаты такого анализа расширены и развиты. Использование возможностей современных компьютеров помогло существенно дополнить анализ этой задачи. В частности, найти все решения в четырех- и пятичленных аппроксимациях Галёркина, которые для изучаемой краевой задачи следует интерпретировать как состояния равновесия второго рода. Также дан анализ их устойчивости в смысле определения А. М. Ляпунова.

В данной работе проведено сравнение результатов, полученных с использованием метода Галёркина с результатами бифуркационного анализа краевой задачи на базе применения методов качественного анализа бесконечномерных динамических систем. Сравнение двух вариантов результатов показало некоторую ограниченность возможностей использования метода Галёркина.

The well-known evolutionary equation of mathematical physics, which in modern mathematical literature is called the Kuramoto – Sivashinsky equation, is considered. In this paper, this equation is studied in the original edition of the authors, where it was proposed, together with the homogeneous Neumann boundary conditions.

The question of the existence and stability of local attractors formed by spatially inhomogeneous solutions of the boundary value problem under study has been studied. This issue has become particularly relevant recently in connection with the simulation of the formation of nanostructures on the surface of semiconductors under the influence of an ion flux or laser radiation. The question of the existence and stability of second-order equilibrium states has been studied in two different ways. In the first of these, the Galerkin method was used. The second approach is based on using strictly grounded methods of the theory of dynamic systems with infinite-dimensional phase space: the method of integral manifolds, the theory of normal forms, asymptotic methods.

In the work, in general, the approach from the well-known work of D.Armbruster, D.Guckenheimer, F.Holmes is repeated, where the approach based on the application of the Galerkin method is used. The results of this analysis are substantially supplemented and developed. Using the capabilities of modern computers has helped significantly complement the analysis of this task. In particular, to find all the solutions in the fourand five-term Galerkin approximations, which for the studied boundary-value problem should be interpreted as equilibrium states of the second kind. An analysis of their stability in the sense of A. M. Lyapunov’s definition is also given.

In this paper, we compare the results obtained using the Galerkin method with the results of a bifurcation analysis of a boundary value problem based on the use of qualitative analysis methods for infinite-dimensional dynamic systems. Comparison of two variants of results showed some limited possibilities of using the Galerkin method.

В работе рассматривается использование определения меры взаимодействия между каналами при выборе конфигурации структуры системы управления сложными динамическими объектами. Приведены основные методы определения меры взаимодействия подсистем сложных систем управления на основе методов RGA (Relative Gain Array), Dynamic RGA, HIIA (Hankel Interaction Index Array), PM (Participation matrix). Задача проектирования структуры управления традиционно делится на выбор каналов ввода-вывода и выбор конфигурации управления. При выборе конфигурации управления простые конфигурации более предпочтительны, так как просты при проектировании, обслуживании и более устойчивы к сбоям в работе. Однако сложные конфигурации обеспечивают создание системы управления с более высокой эффективностью. Процессы в больших динамических объектах характеризуются высокой степенью взаимодействия между переменными процесса. Выбор структуры управления заключается в определении того, какие динамические соединения следует использовать для разработки системы управления. Когда структура выбрана, соединения могут быть использованы для конфигурирования системы управления. Для больших систем предлагается для выбора структуры управления предварительно группировать компоненты векторов входных и выходных сигналов исполнительных органов и чувствительных элементов в наборы, в которых количество переменных существенно уменьшается. Приводится количественная оценка децентрализации системы управления на основе минимизации суммы недиагональных элементов матрицы PM. Приведен пример оценки меры взаимодействия компонент сильно связанных подсистем и меры взаимодействия компонент слабосвязанных подсистем. Дана количественная оценка последствий пренебрежения взаимодействием компонент слабосвязанных подсистем. Рассмотрено построение взвешенного графа для визуализации взаимодействия подсистем сложной системы. В работе предложен метод формирования грамиана управляемости вектором выходных сигналов, инвариантный к преобразованиям вектора состояния. Приведен пример декомпозиции системы стабилизации компонент вектора угловой скорости летательного аппарата. Оценивание мер взаимного влияния процессов в каналах систем управления позволяет повысить надежность функционирования систем при учете использования аналитической избыточности информации с различных приборов, что позволяет снизить массовые и габаритные характеристики систем, а также потребление энергии. Методы оценивания меры взаимодействия процессов в подсистемах систем управления могут быть использованы при проектировании сложных систем, например систем управления движением, систем ориентации и стабилизации летательных аппаратов.

The using of determining the measure of interaction between channels when choosing the configuration structure of a control system for complex dynamic objects is considered in the work. The main methods for determining the measure of interaction between subsystems of complex control systems based on the methods RGA (Relative Gain Array), Dynamic RGA, HIIA (Hankel Interaction Index Array), PM (Participation matrix) are presented. When choosing a control configuration, simple configurations are preferable, as they are simple in design, maintenance and more resistant to failures. However, complex configurations provide higher performance control systems. Processes in large dynamic objects are characterized by a high degree of interaction between process variables. For the design of the control structure interaction measures are used, namely, the selection of the control structure and the decision on the configuration of the controller. The choice of control structure is to determine which dynamic connections should be used to design the controller. When a structure is selected, connections can be used to configure the controller. For large systems, it is proposed to pre-group the components of the vectors of input and output signals of the actuators and sensitive elements into sets in which the number of variables decreases significantly in order to select a control structure. A quantitative estimation of the decentralization of the control system based on minimizing the sum of the off-diagonal elements of the PM matrix is given. An example of estimation the measure of interaction between components of strong coupled subsystems and the measure of interaction between components of weak coupled subsystems is given. A quantitative estimation is given of neglecting the interaction of components of weak coupled subsystems. The construction of a weighted graph for visualizing the interaction of the subsystems of a complex system is considered. A method for the formation of the controllability gramian on the vector of output signals that is invariant to state vector transformations is proposed in the paper. An example of the decomposition of the stabilization system of the components of the flying vehicle angular velocity vector is given. The estimation of measures of the mutual influence of processes in the channels of control systems makes it possible to increase the reliability of the systems when accounting for the use of analytical redundancy of information from various devices, which reduces the mass and energy consumption. Methods for assessing measures of the interaction of processes in subsystems of control systems can be used in the design of complex systems, for example, motion control systems, orientation and stabilization systems of vehicles.

Работа посвящена исследованию возможности повышения эффективности решения задач внешней аэродинамики. Изучаются методические аспекты применения локально-адаптивных неструктурированных расчетных сеток и пристеночных функций для численного моделирования турбулентных течений около летательных аппаратов. Интегрируются осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье–Стокса, которые замыкаются стандартной моделью турбулентности $k–\varepsilon$. Рассматривается обтекание крылового профиля RAE 2822 турбулентным дозвуковым потоком вязкого сжимаемого газа. Расчеты проводятся в программном ВГД-комплексе FlowVision. Анализируется эффективность применения технологии сглаживания диффузионных потоков и формулы Брэдшоу для турбулентной вязкости в качестве мер, повышающих точность решения аэродинамических задач на локально-адаптивных сетках. Результаты исследования показывают, что использование технологии сглаживания диффузионных потоков приводит к существенному уменьшению расхождений в величине коэффициента лобового сопротивления между результатами расчетов и экспериментальными данными. Кроме того, обеспечивается регуляризация распределения коэффициента поверхностного трения на криволинейной поверхности профиля. Эти результаты позволяют сделать вывод о том, что данная технология является эффективным способом повышения точности расчетов на локально-адаптивных сетках. Формула Брэдшоу для динамического коэффициента турбулентной вязкости традиционно используется в модели SST $k–\omega$. В настоящей работе исследуется возможность ее применения в стандартной $k–\varepsilon$-модели турбулентности. Результаты расчетов показывают, что, с одной стороны, данная формула обеспечивает хорошее согласование суммарных аэродинамических характеристик и распределения коэффициента давления по поверхности профиля с экспериментом. Помимо этого, она значительно повышает точность моделирования течения в пограничном слое и в следе. С другой стороны, использование формулы Брэдшоу при моделировании обтекания профиля RAE 2822 приводит к занижению коэффициента поверхностного трения. Поэтому в работе делается вывод о том, что практическое применение формулы Брэдшоу требует ее предварительной валидации и калибровки на надежных экспериментальных данных для рассматриваемого класса задач. Результаты работы в целом показывают, что при использовании рассмотренных технологий численное решение задач внешнего обтекания на локально-адаптивных сетках с применением пристеночных функций обеспечивает точность, приемлемую для оперативной оценки аэродинамических характеристик, а ПК FlowVision является эффективным инструментом решения задач предварительного аэродинамического проектирования, концептуального проектирования и оптимизации аэродинамических форм.

The work is dedicated to investigation of possibility to increase the efficiency of solving external aerodynamic problems. Methodical questions of using locally-adaptive grids and wall functions for numerical simulation of turbulent flows past flying vehicles are studied. Reynolds-averaged Navier–Stokes equations are integrated. The equations are closed by standard $k–\varepsilon$ turbulence model. Subsonic turbulent flow of perfect compressible viscous gas past airfoil RAE 2822 is considered. Calculations are performed in CFD software FlowVision. The efficiency of using the technology of smoothing diffusion fluxes and the Bradshaw formula for turbulent viscosity is analyzed. These techniques are regarded as means of increasing the accuracy of solving aerodynamic problems on locally-adaptive grids. The obtained results show that using the technology of smoothing diffusion fluxes essentially decreases the discrepancy between computed and experimental values of the drag coefficient. In addition, the distribution of the skin friction coefficient over the curvilinear surface of the airfoil becomes more regular. These results indicate that the given technology is an effective way to increase the accuracy of calculations on locally-adaptive grids. The Bradshaw formula for the dynamic coefficient of turbulent viscosity is traditionally used in the SST $k–\omega$ turbulence model. The possibility to implement it in the standard $k–\varepsilon$ turbulence model is investigated in the present article. The calculations show that this formula provides good agreement of integral aerodynamic characteristics and the distribution of the pressure coefficient over the airfoil surface with experimental data. Besides that, it essentially augments the accuracy of simulation of the flow in the boundary layer and in the wake. On the other hand, using the Bradshaw formula in the simulation of the air flow past airfoil RAE 2822 leads to under-prediction of the skin friction coefficient. For this reason, the conclusion is made that practical use of the Bradshaw formula requires its preliminary validation and calibration on reliable experimental data available for the considered flows. The results of the work as a whole show that using the technologies discussed in numerical solution of external aerodynamic problems on locally-adaptive grids together with wall functions provides the computational accuracy acceptable for quick assessment of the aerodynamic characteristics of a flying vehicle. So, one can deduce that the FlowVision software is an effective tool for preliminary design studies, for conceptual design, and for aerodynamic shape optimization.

В статье предлагается метод исследования задач оптимального управления с использованием нейронных сетей. Рассмотрение проводится на примере задачи контроля качества поверхностных вод. При моделировании системы контроля качества поверхностных вод используются теоретико-игровой и иерархический подходы. Исследуется случай динамической двухуровневой системы управления качеством поверхностных вод, включающий ведущего и нескольких ведомых. Рассмотрение ведется с точки зрения ведомых. В этом случае между ними возникает неантагонистическая игра, в которой строится равновесие Нэша. С математической точки зрения при этом решается задача оптимального управления при наличии фазовых ограничений. Для ее аналитического исследования в работе используется принцип максимума Понтрягина, на основе которого формулируются условия оптимальности. Для решения возникающих при этом систем дифференциальных уравнений используется обучаемая нейронная сеть прямого распространения (feedforward). Приводится обзор существующих методов решения подобных задач с помощью нейронных сетей и методов обучения нейронных сетей. Для оценки ошибки решения, получаемого с помощью нейронной сети, предлагается использовать метод анализа дефекта решения, адаптированный для нейронных сетей. Это позволяет получить количественную оценку ошибки численного решения. Приведены примеры использования нейросетевого подхода для решения модельной задачи оптимального управления и задачи контроля качества поверхностных вод. Полученные в этих примерах результаты сравниваются с точным решением и с результатами, полученными методом стрельбы. Во всех случаях величина ошибки оценивается методом анализа дефекта решения. Нейросетевым методом проводится также исследование системы контроля качества поверхностных вод для случаев, когда решение задачи другими методами получить не удалось (большой временной промежуток моделирования и случай нескольких агентов). В статье иллюстрируются возможность использования нейросетевого подхода для решения различных задач оптимального управления и дифференциальных игр, а также возможность количественной оценки точности решения. Полученные результаты численных экспериментов позволяют говорить о необходимости введения регулирующего органа для достижения устойчивого развития системы.

In this study we discuss methods to solve optimal control problems based on neural network techniques. We study hierarchical dynamical two-level system for surface water quality control. The system consists of a supervisor (government) and a few agents (enterprises). We consider this problem from the point of agents. In this case we solve optimal control problem with constraints. To solve this problem, we use Pontryagin’s maximum principle, with which we obtain optimality conditions. To solve emerging ODEs, we use feedforward neural network. We provide a review of existing techniques to study such problems and a review of neural network’s training methods. To estimate the error of numerical solution, we propose to use defect analysis method, adapted for neural networks. This allows one to get quantitative error estimations of numerical solution. We provide examples of our method’s usage for solving synthetic problem and a surface water quality control model. We compare the results of this examples with known solution (when provided) and the results of shooting method. In all cases the errors, estimated by our method are of the same order as the errors compared with known solution. Moreover, we study surface water quality control problem when no solutions is provided by other methods. This happens because of relatively large time interval and/or the case of several agents. In the latter case we seek Nash equilibrium between agents. Thus, in this study we show the ability of neural networks to solve various problems including optimal control problems and differential games and we show the ability of quantitative estimation of an error. From the numerical results we conclude that the presence of the supervisor is necessary for achieving the sustainable development.

Целью данной работы явилось исследование дискретной математической модели динамического развития транспортной сети, ранее разработанной с участием автора. В ходе такого исследования были выявлены недостатки модели, рассмотрены пути устранения этих недостатков, после чего построена новая версия модели. На основе этой новой модели были созданы имитационные схемы для проведения пробных расчетов, аналогичных тем, какие использовались для тестирования исходной модели. Проведен сравнительный анализ результатов тестовых расчетов на основе новой и исходной моделей.

The aim of this article is to study the discrete mathematical model of transport network dynamics, recently built by author. The study showed some drawbacks of the basic model and the ways of overcoming these drawbacks, and an improved version of the model was proposed. Simulation systems, created on the basis of this new model were used to do test calculations similar to those previously done with the help of the basic model. The results of these calculations with both models are compared.

Важную роль при построении математических моделей динамических систем играют обратные задачи, к которым, в частности, относится задача параметрической идентификации. В отличие от классических моделей, оперирующих точечными значениями, интервальные модели дают ограничения сверху и снизу на исследуемые величины. В работе рассматривается интерполяционный подход к решению интервальных задач параметрической идентификации динамических систем для случая, когда экспериментальные данные представлены внешними интервальными оценками. Цель предлагаемого подхода заключается в нахождении такой интервальной оценки параметров модели, при которой внешняя интервальная оценка решения прямой задачи моделирования содержала бы экспериментальные данные или минимизировала бы отклонение от них. В основе подхода лежит алгоритм адаптивной интерполяции для моделирования динамических систем с интервальными неопределенностями, позволяющий в явном виде получать зависимость фазовых переменных от параметров системы. Сформулирована задача минимизации расстояния между экспериментальными данными и модельным решением в пространстве границ интервальных оценок параметров модели. Получено выражение для градиента целевой функции. На репрезентативном наборе задач продемонстрированы эффективность и работоспособность предлагаемого подхода.

An important role in the construction of mathematical models of dynamic systems is played by inverse problems, which in particular include the problem of parametric identification. Unlike classical models that operate with point values, interval models give upper and lower boundaries on the quantities under study. The paper considers an interpolation approach to solving interval problems of parametric identification of dynamic systems for the case when experimental data are represented by external interval estimates. The purpose of the proposed approach is to find such an interval estimate of the model parameters, in which the external interval estimate of the solution of the direct modeling problem would contain experimental data or minimize the deviation from them. The approach is based on the adaptive interpolation algorithm for modeling dynamic systems with interval uncertainties, which makes it possible to explicitly obtain the dependence of phase variables on system parameters. The task of minimizing the distance between the experimental data and the model solution in the space of interval boundaries of the model parameters is formulated. An expression for the gradient of the objectivet function is obtained. On a representative set of tasks, the effectiveness of the proposed approach is demonstrated.