All issues

В статье показано, что базовые свойства некоторых моделей монополистической конкуренции описываются с помощью семейств гипергеометрических функций. Результаты получены построением модели общего равновесия в многосекторной экономике, производящей дифференцированное благо в $n$ высокотехнологичных секторах, в которых однопродуктовые фирмы конкурируют монополистически, используя одинаковые технологии. Однородный (традиционный) сектор характеризуется совершенной конкуренцией. Работники мотивированы найти работу в высокотехнологичных секторах, так как заработная плата там выше, однако рискуют остаться безработными. Безработица сохраняется в равновесии за счет несовершенства рынка труда. Заработная плата устанавливается фирмами в высокотехнологичных секторах в результате переговоров с работниками. Предполагается, что индивиды однородны как потребители, обладая одинаковыми предпочтениями, которые задаются сепарабельной функцией полезности общего вида. В статье найдены условия, при которых общее равновесие в построенной модели существует и единственно. Условия сформулированы в терминах эластичности замещения $\mathfrak{S}$ между разновидностями дифференцированного блага, которая усреднена по всем потребителям. Найденное равновесие симметрично относительно разновидностей дифференцированного блага. Равновесные переменные представимы в виде неявных функций, свойства которых связаны с введенной авторами эластичностью $\mathfrak{S}$. Полное аналитическое описание равновесных переменных возможно для известных частных случаев функции полезности потребителей, например в случае степенных предпочтений, которые некорректно описывают отклик экономики на изменение размера рынков. Чтобы упростить возникающие неявные функции, мы вводим функции полезности, заданные двумя однопараметрическими семействами гипергеометрических функций. Одно из семейств описывает проконкурентный, а другое — антиконкурентный отклик цен на увеличение размера экономики. Изменение параметра каждого из семейств соответствует перебору всех допустимых значений эластичности $\mathfrak{S}$. В этом смысле гипергеометрические функции исчерпывают естественные функции полезности. Установлено, что с увеличением эластичности замещения между разновидностями дифференцированного блага разница между высокотехнологичным и однородным секторами стирается. Показано, что при большом размере экономики индивиды в равновесии потребляют малое количество каждого товара, как и в случае степенных препочтений. Именно это обстоятельство позволяет приблизить используемые гипергеометрические функции суммой степенных функций в окрестности равновесных значений аргумента. Таким образом, переход от степенных функций полезности к гипергеометрическим, которые аппроксимируются суммой двух степенных функций, с одной стороны, сохраняет все возможности настройки параметров, а с другой — позволяет полностью описать эффекты, связанные с изменением размера секторов экономики.

We show that basic properties of some models of monopolistic competition are described using families of hypergeometric functions. The results obtained by building a general equilibrium model in a multisector economy producing a differentiated good in $n$ high-tech sectors in which single-product firms compete monopolistically using the same technology. Homogeneous (traditional) sector is characterized by perfect competition. Workers are motivated to find a job in high-tech sectors as wages are higher there. However, they are at risk to remain unemployed. Unemployment persists in equilibrium by labor market imperfections. Wages are set by firms in high-tech sectors as a result of negotiations with employees. It is assumed that individuals are homogeneous consumers with identical preferences that are given the separable utility function of general form. In the paper the conditions are found such that the general equilibrium in the model exists and is unique. The conditions are formulated in terms of the elasticity of substitution $\mathfrak{S}$ between varieties of the differentiated good which is averaged over all consumers. The equilibrium found is symmetrical with respect to the varieties of differentiated good. The equilibrium variables can be represented as implicit functions which properties are associated elasticity $\mathfrak{S}$ introduced by the authors. A complete analytical description of the equilibrium variables is possible for known special cases of the utility function of consumers, for example, in the case of degree functions, which are incorrect to describe the response of the economy to changes in the size of the markets. To simplify the implicit function, we introduce a utility function defined by two one-parameter families of hypergeometric functions. One of the families describes the pro-competitive, and the other — anti-competitive response of prices to an increase in the size of the economy. A parameter change of each of the families corresponds to all possible values of the elasticity $\mathfrak{S}$. In this sense, the hypergeometric function exhaust natural utility function. It is established that with the increase in the elasticity of substitution between the varieties of the differentiated good the difference between the high-tech and homogeneous sectors is erased. It is shown that in the case of large size of the economy in equilibrium individuals consume a small amount of each product as in the case of degree preferences. This fact allows to approximate the hypergeometric functions by the sum of degree functions in a neighborhood of the equilibrium values of the argument. Thus, the change of degree utility functions by hypergeometric ones approximated by the sum of two power functions, on the one hand, retains all the ability to configure parameters and, on the other hand, allows to describe the effects of change the size of the sectors of the economy.

В работе рассматриваются базовая модель конкурентных взаимодействий и ее использование для анализа и описания социальных процессов. Особенностью модели является то, что она описывает взаимодействие нескольких конкурирующих акторов, при этом акторы могут варьировать стратегию своих действий, в частности, образовывать коалиции для совместного противодействия общему противнику.

В результате моделирования выявлены различные режимы конкурентного взаимодействия, проведена их классификация, описаны их особенности. В ходе исследования уделено внимание так называемым негрубым (по А.А. Андронову) случаям реализации конкурентного взаимодействия, которые до сих пор редко рассматривались в научной литературе, но зато достаточно часто встречаются в реальной жизни. Сиспо льзованием базовой математической модели рассмотрены условия реализации различных режимов конкурентных взаимодействий, определены условия перехода от одних режимов к другим, приведены примеры реализации этих режимов в экономике, социальной и политической жизни.

Показано, что при относительно невысоком уровне конкуренции, носящей неантагонистический характер, конкуренция может приводить к повышению активности взаимодействующих акторов и к общему экономическому росту. Причем при наличии расширяющихся ресурсных возможностей (до тех пор, пока такие возможности сохраняются) данный рост может иметь гиперболический характер. При снижении ресурсных возможностей и усилении конкуренции происходит переход к колебательному режиму, когда более слабые акторы объединяются для совместного противодействия более сильным. При дальнейшем снижении ресурсных возможностей и усилении конкуренции происходит переход к формированию устойчивых иерархических структур. При этом модель показывает, что в определенный момент происходит потеря устойчивости, система становится негрубой (по А.А. Андронову) и чувствительной к флуктуациям изменений параметров. В результате сложившиеся иерархии могут разрушиться и замениться на новые. При дальнейшем повышении интенсивности конкуренции происходит полное подавление актором-лидером своих оппонентов и установление монополизма.

Приведены примеры из экономической, социальной, политической жизни, иллюстрирующие закономерности, выявленные на основе моделирования с использованием базовой модели конкуренции. Полученные результаты могут быть использованы при анализе, моделировании и прогнозировании социально-экономических и политических процессов.

The paper considers the basic model of competitive interactions and its use for the analysis and description of social processes. The peculiarity of the model is that it describes the interaction of several competing actors, while actors can vary the strategy of their actions, in particular, form coalitions to jointly counter a common enemy. As a result of modeling, various modes of competitive interaction were identified, their classification was conducted, and their features were described. In the course of the study, the attention is paid to the so-called “rough” (according to A.A. Andronov) cases of the implementation of competitive interaction, which until now have rarely been considered in the scientific literature, but are quite common in real life. Using a basic mathematical model, the conditions for the implementation of various modes of competitive interactions are considered, the conditions for the transition from one mode to another are determined, examples of the implementation of these modes in the economy, social and political life are given. It is shown that with a relatively low level of competition, which is non-antagonistic in nature, competition can lead to an increase in the activity of interacting actors and to overall economic growth. Moreover, in the presence of expanding resource opportunities (as long as such opportunities remain), this growth may have a hyperbolic character. With a decrease in resource capabilities and increased competition, there is a transition to an oscillatory mode, when weaker actors unite to jointly counteract stronger ones. With a further decrease in resource opportunities and increased competition, there is a transition to the formation of stable hierarchical structures. At the same time, the model shows that at a certain moment there is a loss of stability, the system becomes “rough” according to A.A. Andronov and sensitive to fluctuations in parameter changes. As a result, the existing hierarchies may collapse and be replaced by new ones. With a further increase in the intensity of competition, the actor-leader completely suppresses his opponents and establishes monopolism. Examples from economic, social, and political life are given, illustrating the patterns identified on the basis of modeling using the basic model of competition. The obtained results can be used in the analysis, modeling and forecasting of socioeconomic and political processes.

Предложена четырехкомпонентная модель планктонного сообщества с дискретным временем, учитывающая конкурентные взаимоотношения между разными группами фитопланктона и трофические характеристики зоопланктона: рассматривается деление зоопланктона на хищный и нехищный типы. Изъятие нехищного зоопланктона хищным явно представлено в модели. Нехищный зоопланктон питается фитопланктоном, включающим два конкурирующих компонента: токсичный и нетоксичный тип, при этом последний пригоден в пищу для зоопланктона. Модель двух связанных уравнений Рикера, ориентированная на описание динамики конкурентного сообщества, используется для описания взаимодействия двух типов фитопланктона и позволяет неявно учитывать ограничение роста биомассы каждого из компонентов-конкурентов доступностью внешних ресурсов. Изъятие жертв хищниками описывается трофической функцией Холлинга типа II с учетом насыщения хищника.

Анализ сценариев перехода от стационарной динамики к колебаниям численности сообщества показал, что потеря устойчивости нетривиального равновесия, соответствующего существованию полного сообщества, может происходить как через каскад бифуркаций удвоения периода, так и бифуркацию Неймарка – Сакера, ведущую к возникновению квазипериодических колебаний. Предложенная в данной работе модель, являясь достаточно простой, демонстрирует динамику сообщества подобную той, что наблюдается в естественных системах и экспериментах: с отставанием колебаний хищника от жертвы примерно на четверть периода, длиннопериодические противофазные циклы хищника и жертвы, а также скрытые циклы, при которых плотность жертв остается практически постоянной, а плотность хищников флуктуирует, демонстрируя влияние быстрой эволюции, маскирующей трофическое взаимодействие. При этом вариация внутрипопуляционных параметров фито- или зоопланктона может приводить к выраженным изменениям динамического режима в сообществе: резким переходам от регулярной к квазипериодической динамике и далее к точным циклам с небольшим периодом или даже стационарной динамике. Квазипериодическая динамика может возникать при достаточно небольшихск оростях роста фитопланктона, соответствующих стабильной или регулярной динамике сообщества. Смена динамического режима в этой области (переход от регулярной динамики к квазипериодической и наоборот) может происходить за счет вариации начальных условий или внешнего воздействия, изменяющего текущие численности компонентов и смещающего систему в бассейн притяжения другого динамического режима.

We propose a four-component model of a plankton community with discrete time. The model considers the competitive relationships of phytoplankton groups exhibited between each other and the trophic characteristics zooplankton displays: it considers the division of zooplankton into predatory and non-predatory components. The model explicitly represents the consumption of non-predatory zooplankton by predatory. Non-predatory zooplankton feeds on phytoplankton, which includes two competing components: toxic and non-toxic types, with the latter being suitable for zooplankton food. A model of two coupled Ricker equations, focused on describing the dynamics of a competitive community, describes the interaction of two phytoplanktons and allows implicitly taking into account the limitation of each of the competing components of biomass growth by the availability of external resources. The model describes the prey consumption by their predators using a Holling type II trophic function, considering predator saturation.

The analysis of scenarios for the transition from stationary dynamics to fluctuations in the population size of community members showed that the community loses the stability of the non-trivial equilibrium corresponding to the coexistence of the complete community both through a cascade of period-doubling bifurcations and through a Neimark – Sacker bifurcation leading to the emergence of quasi-periodic oscillations. Although quite simple, the model proposed in this work demonstrates dynamics of comunity similar to that natural systems and experiments observe: with a lag of predator oscillations relative to the prey by about a quarter of the period, long-period antiphase cycles of predator and prey, as well as hidden cycles in which the prey density remains almost constant, and the predator density fluctuates, demonstrating the influence fast evolution exhibits that masks the trophic interaction. At the same time, the variation of intra-population parameters of phytoplankton or zooplankton can lead to pronounced changes the community experiences in the dynamic mode: sharp transitions from regular to quasi-periodic dynamics and further to exact cycles with a small period or even stationary dynamics. Quasi-periodic dynamics can arise at sufficiently small phytoplankton growth rates corresponding to stable or regular community dynamics. The change of the dynamic mode in this area (the transition from stable dynamics to quasi-periodic and vice versa) can occur due to the variation of initial conditions or external influence that changes the current abundances of components and shifts the system to the basin of attraction of another dynamic mode.