All issues

В данной работе проводится сравнительный анализ точного и эвристических алгоритмов, представленных методом ветвей и границ, генетическим и муравьиным алгоритмами соответственно, для поиска оптимального решения задачи коммивояжера на примере робота-курьера. Целью работы является определение времени работы, длины полученного маршрута и объема памяти, необходимого для работы программы, при использовании метода ветвей и границ и эволюционных эвристических алгоритмов. Также определяется наиболее целесообразный из перечисленных методов для применения в заданных условиях. В настоящей статье используются материалы проведенного исследования, реализованного в формате программы для ЭВМ, программный код для которой реализован на языке Python. В ходе исследования был выбран ряд критериев применимости алгоритмов (время работы программы, длина построенного маршрута и объем необходимой для работы программы памяти), получены результаты работы алгоритмов в заданных условиях и сделаны выводы о степени целесообразности применения того или иного алгоритма в различных заданных условиях работы робота-курьера. В ходе исследования выяснилось, что для малого количества точек ($\leqslant10$) метод ветвей и границ является наиболее предпочтительным, так как находит оптимальное решение быстрее. Однако при вычислении маршрута этим методом, при условии увеличения точек более 10, время работы растет экспоненциально. В таком случае более эффективные результаты дает эвристический подход с использованием генетического и муравьиного алгоритмов. При этом муравьиный алгоритм отличается решениями, наиболее близкими к эталонным, при увеличении точек более 16. Относительным недостатком его является наибольшая ресурсоемкость среди рассматриваемых алгоритмов. Генетический алгоритм дает схожие результаты, но при увеличении точек более 16 растет длина найденного маршрута относительно эталонного. Преимущество генетического алгоритма — его меньшая ресурсоемкость по сравнению с другими алгоритмами.

Практическая значимость данной статьи заключается в потенциальной возможности использования полученных результатов для оптимального решения логистических задач автоматизированной системой в различных сферах: складская логистика, транспортная логистика, логистика «последней мили» и т. д.

In this paper, a comparative analysis of the exact and heuristic algorithms presented by the method of branches and boundaries, genetic and ant algorithms, respectively, is carried out to find the optimal solution to the traveling salesman problem using the example of a courier robot. The purpose of the work is to determine the running time, the length of the obtained route and the amount of memory required for the program to work, using the method of branches and boundaries and evolutionary heuristic algorithms. Also, the most appropriate of the listed methods for use in the specified conditions is determined. This article uses the materials of the conducted research, implemented in the format of a computer program, the program code for which is implemented in Python. In the course of the study, a number of criteria for the applicability of algorithms were selected (the time of the program, the length of the constructed route and the amount of memory necessary for the program to work), the results of the algorithms were obtained under specified conditions and conclusions were drawn about the degree of expediency of using one or another algorithm in various specified conditions of the courier robot. During the study, it turned out that for a small number of points  $\leqslant10$, the method of branches and boundaries is the most preferable, since it finds the optimal solution faster. However, when calculating the route by this method, provided that the points increase by more than 10, the operating time increases exponentially. In this case, more effective results are obtained by a heuristic approach using a genetic and ant algorithm. At the same time, the ant algorithm is distinguished by solutions that are closest to the reference ones and with an increase of more than 16 points. Its relative disadvantage is the greatest resource intensity among the considered algorithms. The genetic algorithm gives similar results, but after increasing the points more than 16, the length of the found route increases relative to the reference one. The advantage of the genetic algorithm is its lower resource intensity compared to other algorithms.

The practical significance of this article lies in the potential possibility of using the results obtained for the optimal solution of logistics problems by an automated system in various fields: warehouse logistics, transport logistics, «last mile» logistics, etc.

В статье рассматривается задача минимизации математического ожидания выпуклой функции. Задачи такого вида повсеместны в машинном обучении, а также часто возникают в ряде других приложений. На практике для их решения обычно используются процедуры типа стохастического градиентного спуска (SGD). В нашей работе предлагается решать такие задачи с использованием метода эллипсоидов с мини-батчингом. Алгоритм имеет линейную скорость сходимости и может оказаться эффективнее SGD в ряде задач. Это подтверждается в наших экспериментах, исходный код которых находится в открытом доступе. Для получения линейной скорости сходимости метода не требуется ни гладкость, ни сильная выпуклость целевой функции. Таким образом, сложность алгоритма не зависит от обусловленности задачи. В работе доказывается, что метод эллипсоидов с наперед заданной вероятностью находит решение с желаемой точностью при использовании мини-батчей, размер которых пропорционален точности в степени -2. Это позволяет выполнять алгоритм параллельно на большом числе процессоров, тогда как возможности для батчараллелизации процедур типа стохастического градиентного спуска весьма ограничены. Несмотря на быструю сходимость, общее количество вычислений градиента для метода эллипсоидов может получиться больше, чем для SGD, который неплохо сходится и при маленьком размере батча. Количество итераций метода эллипсоидов квадратично зависит от размерности задачи, поэтому метод подойдет для относительно небольших размерностей.

The article considers minimization of the expectation of convex function. Problems of this type often arise in machine learning and a variety of other applications. In practice, stochastic gradient descent (SGD) and similar procedures are usually used to solve such problems. We propose to use the ellipsoid method with mini-batching, which converges linearly and can be more efficient than SGD for a class of problems. This is verified by our experiments, which are publicly available. The algorithm does not require neither smoothness nor strong convexity of the objective to achieve linear convergence. Thus, its complexity does not depend on the conditional number of the problem. We prove that the method arrives at an approximate solution with given probability when using mini-batches of size proportional to the desired accuracy to the power −2. This enables efficient parallel execution of the algorithm, whereas possibilities for batch parallelization of SGD are rather limited. Despite fast convergence, ellipsoid method can result in a greater total number of calls to oracle than SGD, which works decently with small batches. Complexity is quadratic in dimension of the problem, hence the method is suitable for relatively small dimensionalities.

Нахождение глобального минимума невыпуклых функций — одна из ключевых и самых сложных проблем современной оптимизации. В этой работе мы рассматриваем отдельные классы невыпуклых задач, которые имеют четкий и выраженный глобальный минимум.

В первой части статьи мы рассматриваем два класса «хороших» невыпуклых функций, которые могут быть ограничены снизу и сверху параболической функцией. Такой класс задач не исследован широко в литературе, хотя является довольно интересным с прикладной точки зрения. Более того, для таких задач методы первого и более высоких порядков могут быть абсолютно неэффективны при поиске глобального минимума. Это связано с тем, что функция может сильно осциллировать или может быть сильно зашумлена. Поэтому наши новые методы используют информацию только нулевого порядка и основаны на поиске по сетке. Размер и мелкость этой сетки, а значит, и гарантии скорости сходимости и оракульной сложности зависят от «хорошести» задачи. В частности, мы показываем, если функция зажата довольно близкими параболическими функциями, то сложность не зависит от размерности задачи. Мы показываем, что наши новые методы сходятся с линейной скоростью сходимости $\log(1/\varepsilon)$ к глобальному минимуму на кубе.

Во второй части статьи мы рассматриваем задачу невыпуклой оптимизации с другого ракурса. Мы предполагаем, что целевая минимизируемая функция есть сумма выпуклой квадратичной задачи и невыпуклой «шумовой» функции, пропорциональной по модулю расстоянию до глобального решения. Рассмотрение функций с такими предположениями о шуме для методов нулевого порядка является новым в литературе. Для такой задачи мы используем классический безградиентный подход с аппроксимацией градиента через конечную разность. Мы показываем, как можно свести анализ сходимости для нашей задачи к стандартному анализу для задач выпуклой оптимизации. В частности, и для таких задач мы добиваемся линейной скорости сходимости.

Экспериментальные результаты подтверждают работоспособность и практическую применимость всех полученных методов.

Finding the global minimum of a nonconvex function is one of the key and most difficult problems of the modern optimization. In this paper we consider special classes of nonconvex problems which have a clear and distinct global minimum.

In the first part of the paper we consider two classes of «good» nonconvex functions, which can be bounded below and above by a parabolic function. This class of problems has not been widely studied in the literature, although it is rather interesting from an applied point of view. Moreover, for such problems first-order and higher-order methods may be completely ineffective in finding a global minimum. This is due to the fact that the function may oscillate heavily or may be very noisy. Therefore, our new methods use only zero-order information and are based on grid search. The size and fineness of this grid, and hence the guarantee of convergence speed and oracle complexity, depend on the «goodness» of the problem. In particular, we show that if the function is bounded by fairly close parabolic functions, then the complexity is independent of the dimension of the problem. We show that our new methods converge with a linear convergence rate $\log(1/\varepsilon)$ to a global minimum on the cube.

In the second part of the paper, we consider the nonconvex optimization problem from a different angle. We assume that the target minimizing function is the sum of the convex quadratic problem and a nonconvex «noise» function proportional to the distance to the global solution. Considering functions with such noise assumptions for zero-order methods is new in the literature. For such a problem, we use the classical gradient-free approach with gradient approximation through finite differences. We show how the convergence analysis for our problems can be reduced to the standard analysis for convex optimization problems. In particular, we achieve a linear convergence rate for such problems as well.

Experimental results confirm the efficiency and practical applicability of all the obtained methods.

В работе изучается многомерное уравнение конвекции-диффузии с переменными коэффициентами и неклассическим граничным условием. Рассмотрены два случая: в первом случае первое граничное условие содержит интеграл от неизвестной функции по переменной интегрирования $x_\alpha^{}$, а во втором случае — интеграл от неизвестной функции по переменной интегрирования $\tau$, обозначающий эффект памяти. Подобные задачи возникают при изучении переноса примеси вдоль русла рек. Для приближенного решения поставленной задачи предложена эффективная в плане экономичности, устойчивости и сходимости разностная схема — локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского с порядком аппроксимации~$O(h^2+\tau)$. Ввиду того что уравнение содержит первую производную от неизвестной функции по пространственной переменной $x_\alpha^{}$, для повышения порядка точности локально-одномерной схемы используется известный метод, предложенный А.А. Самарским при построении монотонной схемы второго порядка точности по $h_\alpha^{}$ для уравнения параболического типа общего вида, содержащего односторонние производные, учитывающие знак $r_\alpha^{}(x,\,t)$. Для повышения до второго порядка точности по $h_\alpha^{}$ краевых условий третьего рода воспользовались уравнением в предположении, что оно справедливо и на границах. Исследование единственности и устойчивости решения проводилось с помощью метода энергетических неравенств. Получены априорные оценки решения разностной задачи в $L_2^{}$-норме, откуда следуют единственность решения, непрерывная и равномерная зависимость решения разностной задачи от входных данных, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи в $L_2^{}$-норме со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения, проведены численные расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные в работе теоретические результаты.

The paper studies a multidimensional convection-diffusion equation with variable coefficients and a nonclassical boundary condition. Two cases are considered: in the first case, the first boundary condition contains the integral of the unknown function with respect to the integration variable $x_\alpha^{}$, and in the second case, the integral of the unknown function with respect to the integration variable $\tau$, denoting the memory effect. Similar problems arise when studying the transport of impurities along the riverbed. For an approximate solution of the problem posed, a locally one-dimensional difference scheme by A.A. Samarskii with order of approximation $O(h^2+\tau)$. In view of the fact that the equation contains the first derivative of the unknown function with respect to the spatial variable $x_\alpha^{}$, the wellknown method proposed by A.A. Samarskii in constructing a monotonic scheme of the second order of accuracy in $h_\alpha^{}$ for a general parabolic type equation containing one-sided derivatives taking into account the sign of $r_\alpha^{}(x,t)$. To increase the boundary conditions of the third kind to the second order of accuracy in $h_\alpha^{}$, we used the equation, on the assumption that it is also valid at the boundaries. The study of the uniqueness and stability of the solution was carried out using the method of energy inequalities. A priori estimates are obtained for the solution of the difference problem in the $L_2^{}$-norm, which implies the uniqueness of the solution, the continuous and uniform dependence of the solution of the difference problem on the input data, and the convergence of the solution of the locally onedimensional difference scheme to the solution of the original differential problem in the $L_2^{}$-norm with speed equal to the order of approximation of the difference scheme. For a two-dimensional problem, a numerical solution algorithm is constructed.

Описано развитие метода расщепления по физическим факторам для исследования течений несжимаемой жидкости (МЕРАНЖ), прошедшее за последние 50 лет. Гибридная явная конечно-разностная схема метода основана на модифицированной схеме с центральными разностями (МСЦР) и модифицированной схеме с ориентированными разностями (MСОР) со специальным условием переключения в зависимости от знака скорости переноса и знаков первой и второй разностей переносимых функций. Показано применение данного метода для решения некоторых задач (пространственный поток около сферы и кругового цилиндра для случаев однородной и стратифицированной жидкостей в широком диапазоне безразмерных параметров задачи, включая переходные режимы обтекания (2D–3D-переход, ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое); плоскостная задача течения жидкости со свободной поверхностью; динамика вихревой пары в воде; коллапс пятен в стратифицированной жидкости; моделирование воздухо-, тепло- и массопереноса в «чистых производственных помещениях»).

The development of the Splitting Method for Incompressible Fluid flows (SMIF) during last 50 years is described. The hybrid explicit finite difference scheme of method SMIF is based on Modified Central Difference Scheme (MCDS) and Modified Upwind Difference Scheme (MUDS) with special switch condition depending on the velocity sign and the signs of the first and second differences of transferred functions. Application of this method for solving of some tasks (the spatial flow around a sphere and a circular cylinder for homogeneous and stratified fluids in a wide range of dimensionless parameters of the problem, including the transitional regimes (2D–3D transition, laminar-turbulent transition in the boundary layer); a plane problem of fluid flows with a free surface; a dynamics of vortex pair in a water; a collapse of spots in stratified fluid; the air-, heat-, and mass transfer in «clean rooms») is demonstrated.

Акустико-эмиссионный метод неразрушающего контроля является одним из эффективных и экономичных способов обследования сосудов высокого давления для поиска в них скрытых дефектов (трещин, расслоений и др.), а также единственным методом, чувствительным к развивающимся дефектам. Скорость распространения звука в объекте контроля и ее адекватное определение в локационной схеме имеют важнейшее значение для точности локации источника акустической эмиссии. Предложенный в статье метод обработки данных акустической эмиссии позволяет определить координаты источника и наиболее вероятную скорость для каждого сигнала. Метод включает в себя предварительную фильтрацию данных по амплитуде, по разности времен прихода, исключение электромагнитных помех. Далее к ним применяется комплекс численных методов для решения получившихся нелинейных уравнений, в частности метод Ньютона–Канторовича и общий итерационный процесс. Скорость распространения сигнала от одного источника принимается постоянной во всех направлениях. В качестве начального приближения берется центр тяжести треугольника, образованного первыми тремя датчиками, зафиксировавшими сигнал. Разработанный метод имеет важное практическое применение, и в статье приведен пример его апробации при калибровке акустико- эмиссионной системы на производственном объекте (абсорбере очистки углеводородного газа). Описаны критерии предварительной фильтрации данных. Полученные локации хорошо согласуются с местоположениями генерации сигналов, а вычисленные скорости четко отражают разделение акустической волны на волны Лэмба и Рэлея благодаря разноудаленности источников сигналов от датчиков. В статье построен график соответствия усредненной скорости сигнала и расстояния от его источника до ближайшего датчика. Основным достоинством разработанного метода можно считать его способность вычислять и отображать на общей схеме объекта местоположение сигналов, имеющих разные скорости, а не задавать единую скорость для всех сигналов акустической эмиссии в рамках одного расчета. Это позволяет увеличить степень свободы при вычислениях и тем самым увеличить их точность.

Non-destructive acoustic emission testing is an effective and cost-efficient way to examine pressure vessels for hidden defects (cracks, laminations etc.), as well as the only method that is sensitive to developing defects. The sound velocity in the test object and its adequate definition in the location scheme are of paramount importance for the accurate detection of the acoustic emission source. The acoustic emission data processing method proposed herein comprises a set of numerical methods and allows defining the source coordinates and the most probable velocity for each signal. The method includes pre-filtering of data by amplitude, by time differences, elimination of electromagnetic interference. Further, a set of numerical methods is applied to them to solve the system of nonlinear equations, in particular, the Newton – Kantorovich method and the general iterative process. The velocity of a signal from one source is assumed as a constant in all directions. As the initial approximation is taken the center of gravity of the triangle formed by the first three sensors that registered the signal. The method developed has an important practical application, and the paper provides an example of its approbation in the calibration of an acoustic emission system at a production facility (hydrocarbon gas purification absorber). Criteria for prefiltering of data are described. The obtained locations are in good agreement with the signal generation sources, and the velocities even reflect the Rayleigh-Lamb division of acoustic waves due to the different signal source distances from the sensors. The article contains the dependency graph of the average signal velocity against the distance from its source to the nearest sensor. The main advantage of the method developed is its ability to detect the location of different velocity signals within a single test. This allows to increase the degree of freedom in the calculations, and thereby increase their accuracy.

Представлен вариант обратного метода характеристик (МОМХ), в алгоритм которого введен дополнительный дробный временной шаг, что позволяет повысить точность вычислений за счет более точной аппроксимации характеристик. Приведены расчетные формулы модифицированного метода для уравнений односкоростной модели газожидкостной смеси, с помощью которого рассчитаны одномерные, а также плоские тестовые задачи, имеющие автомодельные решения. При решении многомерных задач исходная система уравнений расщепляется на ряд одномерных подсистем, для расчета которых применяется обратный метод характеристик с дробным временным шагом. С использованием предложенного метода рассчитаны: одномерная задача распада произвольного разрыва в дисперсной среде; двумерная задача взаимодействия однородного газожидкостного потока с препятствием с присоединенным ударным скачком, а также течение с центрированной волной разрежения. Результаты численных расчетов этих задач сопоставлены с автомодельными решениями и отмечено их удовлетворительное совпадение. На примере задачи Римана с ударным скачком приведено сравнение с рядом консервативных, неконсервативных первого и повышенного порядков точности схем, из которого, в частности, следует, что представленный метод расчета вполне конкурентоспособен. Несмотря на то что применение МОМХ требует в разы больших временных затрат по сравнению с оригинальным обратным методом характеристик (ОМХ), вычисления можно проводить с увеличенным временным шагом и в ряде случаев получать более точные результаты. Отмечено, что метод с дробным временным шагом имеет преимущества в случаях, когда характеристики системы криволинейные. По этой причине для уравнений Эйлера целесообразно использовать ОМХ вместо МОМХ, поскольку в этом случае характеристики в пределах временного шага мало отличаются от прямых линий.

A variant of the inverse method of characteristics (IMH) is presented, in whose algorithm an additional fractional time step is introduced, which makes it possible to increase the accuracy of calculations due to a more accurate approximation of the characteristics. The calculation formulas of the modified method for the equations of the one-velocity model of a gas-liquid mixture are given, with the help of which one-dimensional and also flat test problems with self-similar solutions are calculated. When solving multidimensional problems, the original system of equations is split into a number of one-dimensional subsystems, for the calculation of which the inverse method of characteristics with a fractional time step is used. Using the proposed method, the following were calculated: the one-dimensional problem of the decay of an arbitrary discontinuity in a dispersed medium; a twodimensional problem of the interaction of a homogeneous gas-liquid flow with an obstacle with an attached shock wave, as well as a flow with a centered rarefaction wave. The results of numerical calculations of these problems are compared with self-similar solutions and their satisfactory agreement is noted. On the example of the Riemann problem with a shock wave, a comparison is made with a number of conservative, non-conservative, first and higher orders of accuracy schemes, from which, in particular, it follows that the presented calculation method, i. e. MIMC, quite competitive. Despite the fact that the application of MIMC requires many times more time than the original inverse method of characteristics (IMC), calculations can be carried out with an increased time step and, in some cases, more accurate results can be obtained. It is noted that the method with a fractional time step has advantages over the IMC in cases where the characteristics of the system are significantly curvilinear. For this reason, the use of MIMC, for example, for the Euler equations is inappropriate, since for the latter the characteristics within the time step differ little from straight lines.

Безградиентные методы оптимизации, или методы нулевого порядка, широко применяются в обучении нейронных сетей, обучении с подкреплением, а также в промышленных задачах, где доступны лишь значения функции в точке (работа с неаналитическими функциями). В частности, метод обратного распространения ошибки в PyTorch работает именно по этому принципу. Существует общеизвестный факт, что при компьютерных вычислениях используется эвристика чисел с плавающей точкой, и из-за этого возникает проблема конечности мантиссы.

В этой работе мы, во-первых, сделали обзор наиболее популярных методов аппроксимации градиента: конечная прямая/центральная разность (FFD/FCD), покомпонентная прямая/центральная разность (FWC/CWC), прямая/центральная рандомизация на $l_2$ сфере (FSSG2/CFFG2); во-вторых, мы описали текущие теоретические представления шума, вносимого неточностью вычисления функции в точке: враждебный шум, случайный шум; в-третьих, мы провели серию экспериментов на часто встречающихся классах задач, таких как квадратичная задача, логистическая регрессия, SVM, чтобы попытаться определить, соответствует ли реальная природа машинного шума существующей теории. Оказалось, что в реальности (по крайней мере на тех классах задач, которые были рассмотрены в данной работе) машинный шум оказался чем-то средним между враждебным шумом и случайным, в связи с чем текущая теория о влиянии конечности мантиссы на поиск оптимума в задачах безградиентной оптимизации требует некоторой корректировки.

Gradient-free optimization methods or zeroth-order methods are widely used in training neural networks, reinforcement learning, as well as in industrial tasks where only the values of a function at a point are available (working with non-analytical functions). In particular, the method of error back propagation in PyTorch works exactly on this principle. There is a well-known fact that computer calculations use heuristics of floating-point numbers, and because of this, the problem of finiteness of the mantissa arises.

In this paper, firstly, we reviewed the most popular methods of gradient approximation: Finite forward/central difference (FFD/FCD), Forward/Central wise component (FWC/CWC), Forward/Central randomization on $l_2$ sphere (FSSG2/CFFG2); secondly, we described current theoretical representations of the noise introduced by the inaccuracy of calculating the function at a point: adversarial noise, random noise; thirdly, we conducted a series of experiments on frequently encountered classes of problems, such as quadratic problem, logistic regression, SVM, to try to determine whether the real nature of machine noise corresponds to the existing theory. It turned out that in reality (at least for those classes of problems that were considered in this paper), machine noise turned out to be something between adversarial noise and random, and therefore the current theory about the influence of the mantissa limb on the search for the optimum in gradient-free optimization problems requires some adjustment.

При взаимодействии сверхзвукового потока воздуха с поперечной вторичной струей, инжектируемой в этот поток через отверстие на плоской стенке, формируется особая структура течения. Это течение имеет место при инжекции топлива в прямоточные камеры сгорания сверхзвуковых авиационных двигателей, поэтому в последние годы в России и за рубежом предлагаются и исследуются разнообразные подходы к интенсификации смешения газов в этом течении. Предлагаемый в данной работе подход состоит в использовании искровых разрядов для импульсного нагрева газа и генерации неустойчивостей в сдвиговом слое на границе вторичной струи. С помощью моделирования в российском программном комплексе FlowVision 3.13 были получены характеристики этого течения при отсутствии и наличии импульсно-периодического локального тепловыделения на стенке с наветренной стороны от отверстия инжектора. Проведено сравнение локальных характеристик при различной периодичности импульсного нагрева (соответствующей значениям числа Струхаля 0,25 и 0,31). Показано, что импульсный нагрев может приводить к стимуляции формирования возмущений в сдвиговом слое на границе струи. Для случая отсутствия нагрева и для двух режимов импульсного нагрева было рассчитано значение интегрального критерия эффективности смешения. Показано, что импульсный нагрев может приводить как к уменьшению среднего значения эффективности смешения, так и к его увеличению (до 9% в рассмотренном режиме нагрева). Также проведена валидация использованного метода расчета (нестационарные уравнения Навье – Стокса, осредненные по Рейнольдсу, с модифицированной моделью турбулентности $k-\varepsilon$) на примере типового случая взаимодействия сверхзвукового потока с вторичной поперечной струей, изученного несколькими независимыми группами исследователей и хорошо документированного в литературе. Была показана сеточная сходимость расчета этого типового случая во FlowVision. Было проведено количественное сравнение результатов расчетов FlowVision с экспериментальными данными и другими расчетами. Результаты данного исследования могут быть полезны для специалистов, занимающихся проблемами смешения газов и горения в сверхзвуковом потоке, а также разработкой двигателей для сверхзвуковой авиации.

When a supersonic air flow interacts with a transverse secondary jet injected into this flow through an orifice on a flat wall, a special flow structure is formed. This flow takes place during fuel injection into combustion chambers of supersonic aircraft engines; therefore, in recent years, various approaches to intensifying gas mixing in this type of flow have been proposed and studied in several countries. The approach proposed in this work implies using spark discharges for pulsed heating of the gas and generating the instabilities in the shear layer at the boundary of the secondary jet. Using simulation in the software package FlowVision 3.13, the characteristics of this flow were obtained in the absence and presence of pulsed-periodic local heat release on the wall on the windward side of the injector opening. A comparison was made of local characteristics at different periodicities of pulsed heating (corresponding to the values of the Strouhal number 0.25 and 0.31). It is shown that pulsed heating can stimulate the formation of perturbations in the shear layer at the jet boundary. For the case of the absence of heating and for two modes of pulsed heating, the values of an integral criterion for mixing efficiency were calculated. It is shown that pulsed heating can lead both to a decrease in the average mixing efficiency and to its increase (up to 9% in the considered heating mode). The calculation method used (unsteady Reynolds-averaged Navier – Stokes equations with a modified $k-\varepsilon$ turbulence model) was validated by considering a typical case of the secondary transverse jet interaction with a supersonic flow, which was studied by several independent research groups and well documented in the literature. The grid convergence was shown for the simulation of this typical case in FlowVision. A quantitative comparison was made of the results obtained from FlowVision calculations with experimental data and calculations in other programs. The results of this study can be useful for specialists dealing with the problems of gas mixing and combustion in a supersonic flow, as well as the development of engines for supersonic aviation.

Рассматривается нелинейная колебательная система, описываемая обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, в которой в явном виде выделяются члены, линейно зависящие от координат, скоростей и ускорений; нелинейные члены записываются в виде неявных функций от этих переменных. Для численного решения начальной задачи, описываемой такой системой дифференциальных уравнений, используется одношаговый метод Галёркина. На шаге интегрирования неизвестные функции представляются в виде суммы линейных функций, удовлетворяющих начальным условиям, и нескольких заданных корректирующих функций в виде полиномов второй и выше степеней с неизвестными коэффициентами. Дифференциальные уравнения на шаге удовлетворяются приближенно по методу Галёркина на системе корректирующих функций. Получаются алгебраические уравнения с нелинейными членами, которые на каждом шаге решаются методом итераций. Из решения в конце каждого шага определяются начальные условия на следующем шаге.

Корректирующие функции берутся одинаковыми для всех шагов. В общем случае для расчетов на больших интервалах времени используются 4 или 5 корректирующих функций: в первом наборе — базовые степенные функции от 2-й до 4-й или 5-й степеней; во втором наборе — образованные из базовых функций ортогональные степенные полиномы; в третьем наборе — образованные из базовых функций специальные линейно независимые многочлены с конечными условиями, упрощающими «стыковку» решений на следующих шагах.

На двух примерах расчета нелинейных колебаний систем с одной и с двумя степенями свободы выполнены численные исследования точности численного решения начальных задач на различных интервалах времени по методу Галёркина с использованием указанных наборов степенных корректирующих функций. Выполнены сравнения результатов, полученных по методу Галёркина и по методам Адамса и Рунге – Кутты четвертого порядка. Показано, что методом Галёркина можно получить достоверные результатына значительно больших интервалах времени, чем по методам Адамса и Рунге – Кутты.

A nonlinear oscillatory system described by ordinary differential equations with variable coefficients is considered, in which terms that are linearly dependent on coordinates, velocities and accelerations are explicitly distinguished; nonlinear terms are written as implicit functions of these variables. For the numerical solution of the initial problem described by such a system of differential equations, the one-step Galerkin method is used. At the integration step, unknown functions are represented as a sum of linear functions satisfying the initial conditions and several given correction functions in the form of polynomials of the second and higher degrees with unknown coefficients. The differential equations at the step are satisfied approximately by the Galerkin method on a system of corrective functions. Algebraic equations with nonlinear terms are obtained, which are solved by iteration at each step. From the solution at the end of each step, the initial conditions for the next step are determined.

The corrective functions are taken the same for all steps. In general, 4 or 5 correction functions are used for calculations over long time intervals: in the first set — basic power functions from the 2nd to the 4th or 5th degrees; in the second set — orthogonal power polynomials formed from basic functions; in the third set — special linear-independent polynomials with finite conditions that simplify the “docking” of solutions in the following steps.

Using two examples of calculating nonlinear oscillations of systems with one and two degrees of freedom, numerical studies of the accuracy of the numerical solution of initial problems at various time intervals using the Galerkin method using the specified sets of power-law correction functions are performed. The results obtained by the Galerkin method and the Adams and Runge –Kutta methods of the fourth order are compared. It is shown that the Galerkin method can obtain reliable results at significantly longer time intervals than the Adams and Runge – Kutta methods.