All issues

Рассматривается модель стека длинных джозефсоновских переходов (ДДП), состоящего из чередующихся сверхпроводящих слоев и слоев диэлектрика, с учетом индуктивной и емкостной связи между слоями. Модель описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно разности фаз и напряжения между соседними сверхпроводящими слоями в стеке ДДП, с соответствующими начальными и граничными условиями. Численное решение этой системы уравнений основано на использовании стандартных трехточечных конечно-разностных формул для дискретной аппроксимации по пространственной координате и применении четырехшагового метода Рунге–Кутты для решения полученной задачи Коши. Разработанный параллельный алгоритм реализован на основе технологии MPI (Message Passing Interface). В работе дана математическая постановка задачи в рамках рассматриваемой модели, описаны вычислительная схема и методика расчета вольт-амперных характеристик системы ДДП, представлены два варианта параллельной реализации. Продемонстрировано влияние индуктивной и емкостной связи между ДДП на структуру вольт-амперной характеристики в рамках рассматриваемой модели. Представлены результаты методических расчетов с различными параметрами длины и количества джозефсоновских переходов в стеке ДДП в зависимости от количества задействованных параллельных вычислительных узлов. Расчеты выполнены на многопроцессорных кластерах HybriLIT и ЦИВК Многофункционального информационно-вычислительного комплекса Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований (Дубна). На основе полученных численных результатов обсуждается эффективность рассмотренных вариантов распределения вычислений для численного моделирования системы ДДП в параллельном режиме. Показано, что один из предложенных подходов приводит к ускорению вычислений до 9 раз по сравнению с расчетами в однопроцессорном режиме.

We consider a model of stacked long Josephson junctions (LJJ), which consists of alternating superconducting and dielectric layers. The model takes into account the inductive and capacitive coupling between the neighbor junctions. The model is described by a system of nonlinear partial differential equations with respect to the phase differences and the voltage of LJJ, with appropriate initial and boundary conditions. The numerical solution of this system of equations is based on the use of standard three-point finite-difference formulae for discrete approximations in the space coordinate, and the applying the four-step Runge-Kutta method for solving the Cauchy problem obtained. Designed parallel algorithm is implemented by means of the MPI technology (Message Passing Interface). In the paper, the mathematical formulation of the problem is given, numerical scheme and a method of calculation of the current-voltage characteristics of the LJJ system are described. Two variants of parallel implementation are presented. The influence of inductive and capacitive coupling between junctions on the structure of the current-voltage characteristics is demonstrated. The results of methodical calculations with various parameters of length and number of Josephson junctions in the LJJ stack depending on the number of parallel computing nodes, are presented. The calculations have been performed on multiprocessor clusters HybriLIT and CICC of Multi-Functional Information and Computing Complex (Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research, Dubna). The numerical results are discussed from the viewpoint of the effectiveness of presented approaches of the LJJ system numerical simulation in parallel. It has been shown that one of parallel algorithms provides the 9 times speedup of calculations.

В статье рассматривается квартичное семейство планарных векторных полей, соответствующее рациональной системе Холлинга, которая моделирует динамику популяций типа «хищник–жертва» в данной экологической или биомедицинской системе и которая обобщает классическую систему Лотки–Вольтерры. В простейших математических моделях изменение концентрации жертв в единицу времени в расчете на одного хищника, которое характеризуется так называемой функцией отклика, прямо пропорционально концентрации жертв, т. е. функция отклика в этих моделях линейная. Это означает, что в системе нет насыщения хищников, когда количество жертв достаточно велико. Однако было бы более реалистично рассматривать нелинейные и ограниченные функции отклика, и в литературе действительно используются различные виды таких функций для моделирования отклика хищников. После алгебраических преобразований рациональную систему Холлинга можно записать в виде квартичной динамической системы. Для исследования характера и расположения особых точек в фазовой плоскости этой системы используется разработанный нами метод, смысл которого состоит в том, чтобы получить простейшую (хорошо известную) систему путем обращения в нуль некоторых параметров (обычно параметров, поворачивающих поле) исходной системы, а затем последовательно вводить эти параметры, изучая динамику особых точек (как конечных, так и бесконечно удаленных) в фазовой плоскости. Используя полученную информацию об особых точках и применяя наш геометрический подход к качественному анализу, мы изучаем бифуркации предельных циклов квартичной системы. Чтобы контролировать все бифуркации предельных циклов, особенно бифуркации кратных предельных циклов, необходимо знать свойства и комбинировать действия всех параметров, поворачивающих векторное поле системы. Это может быть сделано с помощью принципа окончания Уинтнера–Перко, согласно которому максимальное однопараметрическое семейство кратных предельных циклов заканчивается либо в особой точке, которая, как правило, имеет ту же кратность (цикличность), либо на сепаратрисном цикле, который также, как правило, имеет ту же кратность (цикличность). Применяя этот принцип, мы доказываем, что квадричная система (и соответствующая рациональная система Холлинга) может иметь не более двух предельных циклов, окружающих одну особую точку.

In this paper, we consider a quartic family of planar vector fields corresponding to a rational Holling system which models the dynamics of the populations of predators and their prey in a given ecological or biomedical system and which is a variation on the classical Lotka–Volterra system. For the latter system, the change of the prey density per unit of time per predator called the response function is proportional to the prey density. This means that there is no saturation of the predator when the amount of available prey is large. However, it is more realistic to consider a nonlinear and bounded response function, and in fact different response functions have been used in the literature to model the predator response. After algebraic transformations, the rational Holling system can be written in the form of a quartic dynamical system. To investigate the character and distribution of the singular points in the phase plane of the quartic system, we use our method the sense of which is to obtain the simplest (well-known) system by vanishing some parameters (usually field rotation parameters) of the original system and then to input these parameters successively one by one studying the dynamics of the singular points (both finite and infinite) in the phase plane. Using the obtained information on singular points and applying our geometric approach to the qualitative analysis, we study the limit cycle bifurcations of the quartic system. To control all of the limit cycle bifurcations, especially, bifurcations of multiple limit cycles, it is necessary to know the properties and combine the effects of all of the rotation parameters. It can be done by means of the Wintner–Perko termination principle stating that the maximal one-parameter family of multiple limit cycles terminates either at a singular point which is typically of the same multiplicity (cyclicity) or on a separatrix cycle which is also typically of the same multiplicity (cyclicity). Applying this principle, we prove that the quartic system (and the corresponding rational Holling system) can have at most two limit cycles surrounding one singular point.