All issues

В контексте проблем водородной и термоядерной энергетики ведутся интенсивные исследования свойств изотопов водорода. Математические модели позволяют уточнять физико-химические представления о взаимодействии водорода с конструкционными материалами, выделять лимитирующие факторы. Классических моделей диффузии часто недостаточно. Статья посвящена моделям и численному решению краевых задач термодесорбции и водородопроницаемости с учетом динамики нелинейных сорбционно-десорбционных процессов на поверхности и обратимого захвата атомов водорода в объеме. Алгоритмы основаны на разностных аппроксимациях. Представлены результаты компьютерного моделирования потока водорода из конструкционного материала.

In the context of problems of hydrogen and thermonuclear power engineering intensive research of the hydrogen isotopes properties is being conducted. Mathematical models help to specify physical-chemical ideas about the interaction of hydrogen isotopes with structural materials, to discover the limiting factors. Classical diffusion models are often insufficient. The paper is devoted to the models and numerical solution of the boundary-value problems of hydrogen thermodesorption and permeability taking into account nonlinear sorption-desorption dynamics on the surface and reversible capture of hydrogen atoms in the bulk. Algorithms based on difference approximations. The results of computer simulation of the hydrogen flux from a structural material sample are presented.

Схемы WENO (взвешенные, существенно не осциллирующие схемы) в настоящее время имеют достаточно обширную область применения для аппроксимации разрывных решений в уравнениях в частных производных. Данные схемы применялись для прямого численного моделирования и моделирования динамики больших вихрей в задачах газовой динамики, задачах МГД и даже для задач нейтронной кинетики. Данная работа посвящена уточнению некоторых характеристик схем WENO и численному моделированию характерных задач, которые позволяют сделать выводы обоб ласти применимости данных схем. Первая часть работы содержала результаты по доказательству свойств аппроксимации, устойчивости и сходимости схем WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 и WENO13. Во второй части работы проводится модифицированный волновой анализ, позволяющий сделать вывод о дисперсионных и диссипативных свойствах схем. Далее, проводится численное моделирование ряда характерных задач для уравнений гиперболического типа: уравнений переноса (одномерное и двухмерное), уравнения Хопфа, уравнения Бюргерса (с малой диссипацией) и уравнения динамики невязкого газа (одномерное и двухмерное). Для каждой из задач, подразумевающих гладкое решение, приведено практическое вычисление порядка аппроксимации с помощью метода Рунге. Во всех задачах проверяются выводы, сделанные в первой части работы по влиянию шага по времени на нелинейные свойства схем. В частности, для уравнений переноса разрывной функции и уравнений Хопфа показано, что невыполнение указанных рекомендаций ведет вначале к росту вариации решения, а затем включается диссипативный нелинейный механизм схемы и аппроксимация падает. Практически подтверждены выводы первой части по условиям устойчивости. Для одномерного уравнения Бюргерса проведено моделирование затухания случайно распределенных начальных условий в периодической области и выполнено сопоставление со спектральным методом. Делается вывод о применимости схем WENO7–WENO13 для прямого численного моделирования турбулентности. В конце демонстрируются возможности схем на начально-краевых задачах для уравнений динамики невязкого газа: неустойчивость Рэлея–Тейлора и отражение ударной волны от клина с образованием сложной конфигурации ударных волн и разрывов.

WENO schemes (weighted, essentially non oscillating) are currently having a wide range of applications as approximate high order schemes for discontinuous solutions of partial differential equations. These schemes are used for direct numerical simulation (DNS) and large eddy simmulation in the gas dynamic problems, problems for DNS in MHD and even neutron kinetics. This work is dedicated to clarify some characteristics of WENO schemes and numerical simulation of specific tasks. Results of the simulations can be used to clarify the field of application of these schemes. The first part of the work contained proofs of the approximation properties, stability and convergence of WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 and WENO13 schemes. In the second part of the work the modified wave number analysis is conducted that allows to conclude the dispersion and dissipative properties of schemes. Further, a numerical simulation of a number of specific problems for hyperbolic equations is conducted, namely for advection equations (one-dimensional and two-dimensional), Hopf equation, Burgers equation (with low dissipation) and equations of non viscous gas dynamics (onedimensional and two-dimensional). For each problem that is implying a smooth solution, the practical calculation of the order of approximation via Runge method is performed. The influence of a time step on nonlinear properties of the schemes is analyzed experimentally in all problems and cross checked with the first part of the paper. In particular, the advection equations of a discontinuous function and Hopf equations show that the failure of the recommendations from the first part of the paper leads first to an increase in total variation of the solution and then the approximation is decreased by the non-linear dissipative mechanics of the schemes. Dissipation of randomly distributed initial conditions in a periodic domain for one-dimensional Burgers equation is conducted and a comparison with the spectral method is performed. It is concluded that the WENO7–WENO13 schemes are suitable for direct numerical simulation of turbulence. At the end we demonstrate the possibility of the schemes to be used in solution of initial-boundary value problems for equations of non viscous gas dynamics: Rayleigh–Taylor instability and the reflection of the shock wave from a wedge with the formation a complex configuration of shock waves and discontinuities.

Рассматривается математическая модель, описывающая конкуренцию за неоднородный ресурс двух близкородственных видов на одномерном ареале. Распространение популяций определяется диффузией и направленной миграцией, а рост подчиняется логистическому закону. Исследуются решения соответствующей начально-краевой задачи для нелинейных уравнений параболического типа с переменными коэффициентами (функция ресурса, параметры роста, диффузии и миграции). Для анализа формирования популяционных структур применяется подход на основе теории косимметричных динамических систем В. И. Юдовича. Аналитически получены условия на параметры системы, при выполнении которых у системы имеется нетривиальная косимметрия. В численном эксперименте подтверждено возникновение непрерывного семейства стационарных решений при выполнении условий существования косимметрии. Расчетная схема основана на конечно-разностной дискретизации по пространственной переменной с использованием интегро-интерполяционного метода и интегрировании по времени методом Рунге–Кутты. Далее численно исследовано влияние параметров диффузии и миграции на пространственно-временные сценарии развития популяций. В окрестности многообразия, соответствующего косимметрии задачи, рассчитаны нейтральные кривые диффузионных параметров, отвечающих границам устойчивости решений с одной популяцией. Для ряда значений параметров миграции и функций ресурса с одним и двумя максимумами построены карты областей параметров, которые соответствуют различным сценариям сосуществования и вытеснения видов. В частности, найдены области параметров, при которых выживание того или иного вида определяется условиями начального размещения. Отмечено, что реализуемая при этом динамика может быть нетривиальна: после начального снижения плотностей обоих видов наблюдается последующий рост одной популяции и убывание другой. Проведенный анализ показал, что области диффузионных параметров, отвечающих различным сценариям формирования популяционных структур, группируются вблизи линий, соответствующих косимметрии рассматриваемой математической модели. Полученные карты позволяют объяснить медленную динамику системы близостью к косимметричному случаю и дать трактовку эффекта выживания популяции за счет изменения диффузионной мобильности при исчерпании ресурса.

We consider a mathematical model describing the competition for a heterogeneous resource of two populations on a one-dimensional area. Distribution of populations is governed by diffusion and directed migration, species growth obeys to the logistic law. We study the corresponding problem of nonlinear parabolic equations with variable coefficients (function of a resource, parameters of growth, diffusion and migration). Approach on the theory the cosymmetric dynamic systems of V. Yudovich is applied to the analysis of population patterns. Conditions on parameters for which the problem under investigation has nontrivial cosymmetry are analytically derived. Numerical experiment is used to find an emergence of continuous family of steady states when cosymmetry takes place. The numerical scheme is based on the finite-difference discretization in space using the balance method and integration on time by Runge-Kutta method. Impact of diffusive and migration parameters on scenarios of distribution of populations is studied. In the vicinity of the line, corresponding to cosymmetry, neutral curves for diffusive parameters are calculated. We present the mappings with areas of diffusive parameters which correspond to scenarios of coexistence and extinction of species. For a number of migration parameters and resource functions with one and two maxima the analysis of possible scenarios is carried out. Particularly, we found the areas of parameters for which the survival of each specie is determined by initial conditions. It should be noted that dynamics may be nontrivial: after starting decrease in densities of both species the growth of only one population takes place whenever another specie decreases. The analysis has shown that areas of the diffusive parameters corresponding to various scenarios of population patterns are grouped near the cosymmetry lines. The derived mappings allow to explain, in particular, effect of a survival of population due to increasing of diffusive mobility in case of starvation.

В работе сформулирована математическая модель для исследования нелинейного гидроупругого отклика стенки узкого канала, заполненного пульсирующей вязкой жидкостью, опирающейся на пружину c нелинейной жесткостью. В отличие от известных подходов в рамках предложенной модели осуществлен одновременный учет инерционных и диссипативных свойств вязкой несжимаемой жидкости и нелинейности восстанавливающей силы поддерживающей пружины. Математическая модель представляет собой систему уравнений плоской задачи гидроупругости, включающей уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости, с соответствующими краевыми условиями, и уравнение движения стенки канала как одномассовой модели с восстанавливающей силой, имеющей кубическую нелинейность. Динамика вязкой жидкости первоначально исследована в рамках гидродинамической теории смазки, т.е. без учета инерции ее движения. На следующем этапе для учета инерции движения вязкой жидкости использован метод итерации. Найдены законы распределения гидродинамических параметров вязкой жидкости в канале, что позволило определить ее реакцию, действующую на стенку канала. В результате показано, что исходная задача гидроупругости сводится к одному нелинейному уравнению, совпадающему с уравнением Дуффинга. В данном уравнении коэффициент демпфирования определяется физическими свойствами жидкости и геометрическими размерами канала, а учет инерции движения жидкости приводит к появлению дополнительной присоединенной массы, зависящей от тех же параметров. Исследование нелинейного уравнения гидроупругих колебаний проведено методом гармонического баланса для основной частоты пульсаций вязкой жидкости. В результате найден основной гидроупругий отклик стенки канала, опирающейся на пружину с мягкой или жесткой кубической нелинейностью. Численное моделирование гидроупругого отклика стенки канала показало возможность скачкообразного изменения амплитуд ее колебаний, а также дало возможность оценить влияние инерции движения жидкости на частотный диапазон, в котором наблюдаются данные изменения.

The paper deals with the mathematical model formulation for studying the nonlinear hydro-elastic response of the narrow channel wall supported by a spring with cubic nonlinearity and interacting with a pulsating viscous liquid filling the channel. In contrast to the known approaches, within the framework of the proposed mathematical model, the inertial and dissipative properties of the viscous incompressible liquid and the restoring force nonlinearity of the supporting spring were simultaneously taken into account. The mathematical model was an equations system for the coupled plane hydroelasticity problem, including the motion equations of a viscous incompressible liquid, with the corresponding boundary conditions, and the channel wall motion equation as a single-degree-of-freedom model with a cubic nonlinear restoring force. Initially, the viscous liquid dynamics was investigated within the framework of the hydrodynamic lubrication theory, i. e. without taking into account the liquid motion inertia. At the next stage, the iteration method was used to take into account the motion inertia of the viscous liquid. The distribution laws of the hydrodynamic parameters for the viscous liquid in the channel were found which made it possible to determine its reaction acting on the channel wall. As a result, it was shown that the original hydroelasticity problem is reduced to a single nonlinear equation that coincides with the Duffing equation. In this equation, the damping coefficient is determined by the liquid physical properties and the channel geometric dimensions, and taking into account the liquid motion inertia lead to the appearance of an added mass. The nonlinear equation study for hydroelastic oscillations was carried out by the harmonic balance method for the main frequency of viscous liquid pulsations. As a result, the primary steady-state hydroelastic response for the channel wall supported by a spring with softening or hardening cubic nonlinearity was found. Numerical modeling of the channel wall hydroelastic response showed the possibility of a jumping change in the amplitudes of channel wall oscillations, and also made it possible to assess the effect of the liquid motion inertia on the frequency range in which these amplitude jumps are observed.

В работе сформулирована математическая модель гидроупругих колебаний пластины на нелинейно-упрочняющемся основании, взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкой жидкости. В предложенной модели, в отличие от известных, совместно учтены упругие свойства пластины, нелинейность ее основания, а также диссипативные свойства жидкости и инерция ее движения. Модель представлена системой уравнений двумерной задачи гидроупругости, включающей: уравнение динамики пластины Кирхгофа на упругом основании с жесткой кубической нелинейностью, уравнения Навье – Стокса, уравнение неразрывности, краевые условия для прогибов пластины, давления жидкости на торцах пластины, а также для скоростей движения жидкости на границах контакта жидкости и ограничивающих ее стенок. Исследование модели проведено методом возмущений с последующим использованием метода итерации для уравнений тонкого слоя вязкой жидкости. В результате определен закон распределения давления жидкости на поверхности пластины и осуществлен переход к интегро-дифференциальному уравнению изгибных гидроупругих колебаний пластины. Данное уравнение решено методом Бубнова – Галёркина с применением метода гармонического баланса для определения основного гидроупругого отклика пластины и фазового сдвига. Показано, что исходная задача может быть сведена к исследованию обобщенного уравнения Дуффинга, в котором коэффициенты при инерционных, диссипативных и жесткостных членах определяются физико-механическими параметрами исходной системы. Найдены основной гидроупругий отклик пластины и фазовый сдвиг, проведено их численное исследование при учете инерции движения жидкости и для ползущего движения жидкости при нелинейно- и линейно-упругом основании пластины. Результаты расчетов показали необходимостьу чета вязкости жидкости и инерции ее движения совместно с упругими свойствами пластины и ее основания как для нелинейных колебаний, так и для линейных колебаний пластины.

The paper formulates a mathematical model for hydroelastic oscillations of a plate resting on a nonlinear hardening elastic foundation and interacting with a pulsating fluid layer. The main feature of the proposed model, unlike the wellknown ones, is the joint consideration of the elastic properties of the plate, the nonlinearity of elastic foundation, as well as the dissipative properties of the fluid and the inertia of its motion. The model is represented by a system of equations for a twodimensional hydroelasticity problem including dynamics equation of Kirchhoff’s plate resting on the elastic foundation with hardening cubic nonlinearity, Navier – Stokes equations, and continuity equation. This system is supplemented by boundary conditions for plate deflections and fluid pressure at plate ends, as well as for fluid velocities at the bounding walls. The model was investigated by perturbation method with subsequent use of iteration method for the equations of thin layer of viscous fluid. As a result, the fluid pressure distribution at the plate surface was obtained and the transition to an integrodifferential equation describing bending hydroelastic oscillations of the plate is performed. This equation is solved by the Bubnov –Galerkin method using the harmonic balance method to determine the primary hydroelastic response of the plate and phase response due to the given harmonic law of fluid pressure pulsation at plate ends. It is shown that the original problem can be reduced to the study of the generalized Duffing equation, in which the coefficients at inertial, dissipative and stiffness terms are determined by the physical and mechanical parameters of the original system. The primary hydroelastic response and phases response for the plate are found. The numerical study of these responses is performed for the cases of considering the inertia of fluid motion and the creeping fluid motion for the nonlinear and linearly elastic foundation of the plate. The results of the calculations showed the need to jointly consider the viscosity and inertia of the fluid motion together with the elastic properties of the plate and its foundation, both for nonlinear and linear vibrations of the plate.

В статье предложена математическая модель фазового перехода на примере гидрирования/дегидрирования порошка металла. Рассматривается одна частица, форма которой обладает некоторой симметрией. Шар, цилиндр и плоская пластина являются частными случаями симметричных форм. Модель описывает как сценарий «сжимающегося ядра» (формирование слоя новой фазы на поверхности частицы с его последующим утолщением), так и сценарий «образования и роста зародышей», при которых сплошной слой не формируется до полного исчезновения старой фазы. Модель представляет собой неклассическую диффузионную краевую задачу со свободной границей и нелинейными граничными условими III рода. Предположения симметрии позволяют свести задачу к одной пространственной переменной. Модель апробирована на серии экспериментальных данных. Показано, что влияние формы частиц на кинетику несущественно. Также показано, что ансамбль частиц различных форм с распределением по размерам может быть аппроксимирован одной частицей «среднего» размера простой формы, что оправдывает использование в моделях упрощающих предположений.

In the paper we construct the model of phase change. Process of hydriding / dehydriding is taken as an example. A single powder particle is considered under the assumption about its symmetry. A ball, a cylinder, and a flat plate are examples of such symmetrical shapes. The model desribes both the "shrinking core"(when the skin of the new phase appears on the surface of the particle) and the "nucleation and growth"(when the skin does not appear till complete vanishing of the old phase) scenarios. The model is the non-classical boundary-value problem with the free boundary and nonlinear Neumann boundary condition. The symmetry assumptions allow to reduce the problem to the single spatial variable. The model was tested on the series of experimental data. We show that the particle shape’s influence on the kinetics is insignificant. We also show that a set of particles of different shapes with size distribution can be approxomated by the single particle of the "average" size and of a simple shape; this justifies using single particle approximation and simple shapes in mathematical models.

Производство высокочистого водорода необходимо для экологически чистой энергетики и различных химико-технологических процессов. Значительная часть водорода будет производиться за счет конверсии метана. Методом измерения удельной водородопроницаемости исследуются различные сплавы, перспективные для использования в газоразделительных установках. Требуется оценить параметры диффузии и сорбции, чтобы иметь возможность численно моделировать различные сценарии и условия эксплуатации материала (включая экстремальные), выделять лимитирующие факторы. В статье представлены нелинейная модель водородопроницаемости в соответствии со спецификой эксперимента, численный метод решения краевой задачи и результаты параметрической идентификации модели для сплава V₈₅Ni₁₅.

High-purity hydrogen is required for clean energy and a variety of chemical technology processes. A considerable part of hydrogen is to be obtained by methane conversion. Different alloys, which may be wellsuited for use in gas-separation plants, were investigated by measuring specific hydrogen permeability. One had to estimate the parameters of diffusion and sorption to numerically model the different scenarios and experimental conditions of the material usage (including extreme ones), and identify the limiting factors. This paper presents a nonlinear model of hydrogen permeability in accordance with the specifics of the experiment, the numerical method for solving the boundary-value problem, and the results of parametric identification for the alloy V₈₅Ni₁₅.

В последние годы моделирование социальных, социо-биологических и исторических процессов получило большое развитие. В настоящей работе на основе кинетического подхода моделируются исторические процессы: агрессивное вторжение нацистской Германии в Польшу, Францию и СССР. Показано, что изучаемая система нелинейных уравнений полностью интегрируема: общее решение строится в виде квадратур. Вторжение (блицкриг) описывается краевой задачей Коши для двухэлементной кинетической модели с однородными по двум частям пространства начальными условиями. Решение данной задачи имеет вид бегущей волны, а скорость смещения линии фронта зависит от отношения начальных концентраций войск. Полученные оценки скорости распространения фронта согласуются с историческими фактами.

Recently many investigations have been devoted to theoretical models in new areas concerning description of different biological, sociological and historical processes. In the present paper we investigate the nazi Germany invasion in Poland, France and USSR from the kinetic theory point of view. We model this process with the Cauchy boundary problem for the two-element kinetic equations with spatial uniform initial conditions. The solution of the problem is given in the form of the traveling wave and the propagation velocity of a frontline depends on the quotient between initial forces concentrations. Moreover it is obtained that the general solution of the model can be obtained in terms of the quadratures and elementary functions. Finally it is shown that the frontline velocities are complied with the historical data.