All issues

Мультипликативные методы для разреженных матриц являются наиболее приспособленными для снижения трудоемкости операций решения систем линейных уравнений, выполняемых на каждой итерации симплекс-метода. Матрицы ограничений в этих задачах слабо заполнены ненулевыми элементами, что позволяет получать мультипликаторы, главные столбцы которых также разрежены, а операция умножения вектора на мультипликатор по трудоемкости пропорциональна числу ненулевых элементов этого мультипликатора. Кроме того, при переходе к смежному базису мультипликативное представление достаточно легко корректируется. Для повышения эффективности таких методов требуется уменьшение заполненности мультипликативного представления ненулевыми элементами. Однако на каждой итерации алгоритма к последовательности мультипликаторов добавляется еще один. А трудоемкость умножения, которая линейно зависит от длины последовательности, растет. Поэтому требуется выполнять время от времени перевычисление обратной матрицы, получая ее из единичной. Однако в целом проблема не решается. Кроме того, набор мультипликаторов представляет собой последовательность структур, причем размер этой последовательности неудобно велик и точно неизвестен. Мультипликативные методы не учитывают фактора высокой степени разреженности исходных матриц и ограничения-равенства, требуют определения первоначального базисного допустимого решения задачи и, как следствие, не допускают сокращения размерности задачи линейного программирования и регулярной процедуры сжатия — уменьшения размерности мультипликаторов и исключения ненулевых элементов из всех главных столбцов мультипликаторов, полученных на предыдущих итерациях. Таким образом, разработка численных методов решения задач линейного программирования, позволяющих преодолеть или существенно ослабить недостатки схем реализации симплекс-метода, относится к актуальным проблемам вычислительной математики.

В данной работе рассмотрен подход к построению численно устойчивых прямых мультипликативных методов решения задач линейного программирования, учитывающих разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество подхода состоит в уменьшении размерности и минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных.

В качестве прямого продолжения данной работы в основу построения прямого мультипликативного алгоритма задания направления спуска в ньютоновских методах безусловной оптимизации предлагается положить модификацию прямого мультипликативного метода линейного программирования путем интеграции одной из существующих техник построения существенно положительно-определенной матрицы вторых производных.

Multiplicative methods for sparse matrices are best suited to reduce the complexity of operations solving systems of linear equations performed on each iteration of the simplex method. The matrix of constraints in these problems of sparsely populated nonzero elements, which allows to obtain the multipliers, the main columns which are also sparse, and the operation of multiplication of a vector by a multiplier according to the complexity proportional to the number of nonzero elements of this multiplier. In addition, the transition to the adjacent basis multiplier representation quite easily corrected. To improve the efficiency of such methods requires a decrease in occupancy multiplicative representation of the nonzero elements. However, at each iteration of the algorithm to the sequence of multipliers added another. As the complexity of multiplication grows and linearly depends on the length of the sequence. So you want to run from time to time the recalculation of inverse matrix, getting it from the unit. Overall, however, the problem is not solved. In addition, the set of multipliers is a sequence of structures, and the size of this sequence is inconvenient is large and not precisely known. Multiplicative methods do not take into account the factors of the high degree of sparseness of the original matrices and constraints of equality, require the determination of initial basic feasible solution of the problem and, consequently, do not allow to reduce the dimensionality of a linear programming problem and the regular procedure of compression — dimensionality reduction of multipliers and exceptions of the nonzero elements from all the main columns of multipliers obtained in previous iterations. Thus, the development of numerical methods for the solution of linear programming problems, which allows to overcome or substantially reduce the shortcomings of the schemes implementation of the simplex method, refers to the current problems of computational mathematics.

In this paper, the approach to the construction of numerically stable direct multiplier methods for solving problems in linear programming, taking into account sparseness of matrices, presented in packaged form. The advantage of the approach is to reduce dimensionality and minimize filling of the main rows of multipliers without compromising accuracy of the results and changes in the position of the next processed row of the matrix are made that allows you to use static data storage formats.

As a direct continuation of this work is the basis for constructing a direct multiplicative algorithm set the direction of descent in the Newton methods for unconstrained optimization is proposed to put a modification of the direct multiplier method, linear programming by integrating one of the existing design techniques significantly positive definite matrix of the second derivatives.

Представлен алгоритм моделирования ансамбля траекторий нестационарных временных рядов. Построена численная схема аппроксимации выборочной плотности функции распределения в задаче с закрепленными концами, когда начальное распределение за заданное количество шагов переходит в определенное конечное распределение, так, что на каждом шаге выполняется полугрупповое свойство решения уравнения Лиувилля. Модель позволяет численно построить эволюционирующие плотности функций распределения при случайном переключении состояний системы, порождающей исходный временной ряд.

Основная проблема, рассматриваемая в работе, связана с тем, что при численной реализации левосторонней разностной производной по времени решение становится неустойчивым, но именно такой подход отвечает моделированию эволюции. При выборе неявных устойчивых схем с «заходом в будущее» используется итерационный процесс, который на каждом своем шаге не отвечает полугрупповому свойству. Если же моделируется некоторый реальный процесс, в котором предположительно имеет место целеполагание, то желательно использовать схемы, которые порождают модель переходного процесса. Такая модель используется в дальнейшем для того, чтобы построить предиктор разладки, который позволит определить, в какое именно состояние переходит изучаемый процесс до того, как он действительно в него перешел. Описываемая в статье модель может использоваться как инструментарий моделирования реальных нестационарных временных рядов.

Схема моделирования состоит в следующем. Из заданного временного ряда отбираются фрагменты, отвечающие определенным состояниям, например трендам с заданными углами наклона и дисперсиями. Из этих фрагментов составляются эталонные распределения состояний. Затем определяются эмпирические распределения длительностей пребывания системы в указанных состояниях и длительности времени перехода из состояния в состояние. В соответствии с этими эмпирическими распределениями строится вероятностная модель разладки и моделируются соответствующие траектории временного ряда.

This paper presents algorithm for modeling set of trajectories of non-stationary time series, based on a numerical scheme for approximating the sample density of the distribution function in a problem with fixed ends, when the initial distribution for a given number of steps transforms into a certain final distribution, so that at each step the semigroup property of solving the Liouville equation is satisfied. The model makes it possible to numerically construct evolving densities of distribution functions during random switching of states of the system generating the original time series.

The main problem is related to the fact that with the numerical implementation of the left-hand differential derivative in time, the solution becomes unstable, but such approach corresponds to the modeling of evolution. An integrative approach is used while choosing implicit stable schemes with “going into the future”, this does not match the semigroup property at each step. If, on the other hand, some real process is being modeled, in which goal-setting presumably takes place, then it is desirable to use schemes that generate a model of the transition process. Such model is used in the future in order to build a predictor of the disorder, which will allow you to determine exactly what state the process under study is going into, before the process really went into it. The model described in the article can be used as a tool for modeling real non-stationary time series.

Steps of the modeling scheme are described further. Fragments corresponding to certain states are selected from a given time series, for example, trends with specified slope angles and variances. Reference distributions of states are compiled from these fragments. Then the empirical distributions of the duration of the system’s stay in the specified states and the duration of the transition time from state to state are determined. In accordance with these empirical distributions, a probabilistic model of the disorder is constructed and the corresponding trajectories of the time series are modeled.