All issues

В работе рассматривается квадратичная дискретная модель популяционной динамики с запаздыванием под воздействием случайных возмущений. Анализ стохастических аттракторов модели проводится с помощью методов прямого численного моделирования и техники функций стохастической чувствительности. Показана деформация вероятностных распределений случайных состояний вокруг устойчивых равновесий и циклов при изменении параметров. Продемонстрировано явление индуцированных шумом переходов в зоне дискретных циклов.

We consider a time-delayed quadratic discrete model of population dynamics under the influence of random perturbations. Analysis of stochastic attractors of the model is performed using the methods of direct numerical simulation and the stochastic sensitivity function technique. A deformation of the probability distribution of random states around the stable equilibria and cycles is studied parametrically. The phenomenon of noise-induced transitions in the zone of discrete cycles is demonstrated.

Предложена модель рыночного ценообразования фирм-дуополистов, представляющая динамику цен в виде четырехпараметрического двумерного отображения. Показано, что неподвижная точка данного отображения совпадает с точкой локального равновесия цен по Нэшу при игровом взаимодействии фирм. Численно выявлены бифуркации неподвижной точки, показан сценарий перехода от периодического режима к хаотическому через удвоение периода. Для обеспечения устойчивости локального равновесия цен по Нэшу предложен механизм управления динамикой цен на рынке, позволяющий стабилизировать хаотические траектории цен и согласовать экономические интересы фирм в процессе формирования их ценовой политики.

The model of market pricing in duopoly describing the prices dynamics as a two-dimensional map is presented. It is shown that the fixed point of the map coincides with the local Nash-equilibrium price in duopoly game. There have been numerically identified a bifurcation of the fixed point, shown the scheme of transition from periodic to chaotic mode through a doubling period. To ensure the sustainability of local Nashequilibrium price the controlling chaos mechanism has been proposed. This mechanism allows to harmonize the economic interests of the firms and to form the balanced pricing policy.

Транспорт дыхательных газов дыхательной и кровеносной системами является одним из основных процессов, связанных с жизнедеятельностью организма человека. Значительные и/или длительные отклонения от нормальных значений концентраций кислорода и углекислого газа в крови могут приводить к существенным патологическим изменениям, вызывающим необратимые последствия: недостаток кислорода (гипоксия и ишемические явления), изменение кислотно-щелочного баланса крови (ацидоз или алкалоз) и др. В условиях меняющейся внешней среды и внутреннего состояния организма действие его регуляторных систем направлено на поддержание гомеостаза. Одним из основных механизмов поддержания концентраций (парциальных давлений) кислорода и углекислого газа в крови на нормальном уровне является регуляция минутной вентиляции, частоты и глубины дыхания за счет активности центрального и периферического регуляторов.

В данной работе предложена математическая модель регуляции параметров легочной вентиляции, которая затем используется для расчета минутной вентиляции легких при гипоксии и гиперкапнии. Модель построена с использованием однокомпонентной модели легкого и уравнений биохимического равновесия кислорода в крови и альвеолярном объеме легких. Приводится сопоставление с данными лабораторных исследований. Анализ полученных результатов показывает, что модель удовлетворительно воспроизводит динамику минутной вентиляции при гиперкапнии. Анализируются факторы, которые необходимо учесть для более точного моделирования регуляции минутной вентиляции при гипоксии.

Респираторная функция является одним из главных лимитирующих факторов организма при интенсивных физических нагрузках, характерных для спорта высших достижений. Поэтому результаты данной работы имеют значимое прикладное значения в области математического моделирования в спорте. Условия гипоксии и гиперкапнии отчасти воспроизводят тренировки в условиях высокогорья и гипоксии, целью которых является легальное повышение гемоглобина в крови у спортсменов.

Transport of respiratory gases by respiratory and circulatory systems is one of the most important processes associated with living conditions of the human body. Significant and/or long-term deviations of oxygen and carbon dioxide concentrations from the normal values in blood can be a reason of significant pathological changes with irreversible consequences: lack of oxygen (hypoxia and ischemic events), the change in the acidbase balance of blood (acidosis or alkalosis), and others. In the context of a changing external environment and internal conditions of the body the action of its regulatory systems aimed at maintaining homeostasis. One of the major mechanisms for maintaining concentrations (partial pressures) of oxygen and carbon dioxide in the blood at a normal level is the regulation of minute ventilation, respiratory rate and depth of respiration, which is caused by the activity of the central and peripheral regulators.

In this paper we propose a mathematical model of the regulation of pulmonary ventilation parameter. The model is used to calculate the minute ventilation adaptation during hypoxia and hypercapnia. The model is developed using a single-component model of the lungs, and biochemical equilibrium conditions of oxygen and carbon dioxide in the blood and the alveolar lung volume. A comparison with laboratory data is performed during hypoxia and hypercapnia. Analysis of the results shows that the model reproduces the dynamics of minute ventilation during hypercapnia with sufficient accuracy. Another result is that more accurate model of regulation of minute ventilation during hypoxia should be developed. The factors preventing from satisfactory accuracy are analysed in the final section.

Respiratory function is one of the main limiting factors of the organism during intense physical activities. Thus, it is important characteristic of high performance sport and extreme physical activity conditions. Therefore, the results of this study have significant application value in the field of mathematical modeling in sport. The considered conditions of hypoxia and hypercapnia are partly reproduce training at high altitude and at hypoxia conditions. The purpose of these conditions is to increase the level of hemoglobin in the blood of highly qualified athletes. These conditions are the only admitted by sport committees.

Для изучения нелинейных эффектов взаимодействия биологических видов развивается численно-аналитический подход, основанный на теории косимметрии, объясняющей явление возникновения непрерывных семейств решений дифференциальных уравнений, когда каждое решение может быть реализовано из соответствующего бассейна начальных данных. В задачах математической экологии возникновение косимметрии обычно связано с выполнением ряда соотношений между параметрами системы. При нарушении этих соотношений происходит разрушение семейств, когда вместо континуума решений возникает конечное число изолированных решений, а процесс установления может занимать большое время. При этом динамический процесс происходит в окрестности семейства, исчезнувшего в результате разрушения косимметрии.

Рассматривается модель пространственно-временной конкуренции хищников и жертв с учетом направленной миграции, функционального отклика Холлинга типа II и нелинейной функции роста жертв, допускающей эффект Олли. Найдены условия на параметры системы, при которых существует линейная по плотностям популяций косимметрия. Показано, что косимметричность не зависит от вида функции ресурса в случае неоднородного ареала. Для расчета стационарных решений и колебательных режимов и случая пространственной неоднородности применяется вычислительный эксперимент в среде MATLAB.

Рассмотрены важные случаи взаимодействия трех популяций (жертва и два хищника, две жертвы и хищник). В случае однородного ареала исследованы возникновение семейств стационарных распределений и ответвление предельных циклов от теряющих устойчивость равновесий семейства. Для системы двух жертв и хищника обнаружены области параметров, при которых реализуются три семейства устойчивых решений: сосуществование двух жертв без хищника, стационарные и колебательные распределения трех сосуществующих видов. В численном эксперименте проанализировано разрушение косимметрии и установлено долгое установление, приводящее к решениям с вытеснением одной из жертв или вымиранием хищника.

To study nonlinear effects of biological species interactions numerical-analytical approach is being developed. The approach is based on the cosymmetry theory accounting for the phenomenon of the emergence of a continuous family of solutions to differential equations where each solution can be obtained from the appropriate initial state. In problems of mathematical ecology the onset of cosymmetry is usually connected with a number of relationships between the parameters of the system. When the relationships collapse families vanish, we get a finite number of isolated solutions instead of a continuum of solutions and transient process can be long-term, dynamics taking place in a neighborhood of a family that has vanished due to cosymmetry collapse.

We consider a model for spatiotemporal competition of predators or prey with an account for directed migration, Holling type II functional response and nonlinear prey growth function permitting Alley effect. We found out the conditions on system parameters under which there is linear with respect to population densities cosymmetry. It is demonstated that cosymmetry exists for any resource function in case of heterogeneous habitat. Numerical experiment in MATLAB is applied to compute steady states and oscillatory regimes in case of spatial heterogeneity.

The dynamics of three population interactions (two predators and a prey, two prey and a predator) are considered. The onset of families of stationary distributions and limit cycle branching out of equlibria of a family that lose stability are investigated in case of homogeneous habitat. The study of the system for two prey and a predator gave a wonderful result of species coexistence. We have found out parameter regions where three families of stable solutions can be realized: coexistence of two prey in absence of a predator, stationary and oscillatory distributions of three coexisting species. Cosymmetry collapse is analyzed and long-term transient dynamics leading to solutions with the exclusion of one of prey or extinction of a predator is established in the numerical experiment.

В работе предлагается многоагентная локально-нелокальная модель образования глобальной структуры городов с условным названием Technoscape. Technoscape можно в определенной степени считать также моделью возникновения глобальной экономики. Текущий вариант модели рассматривает очень простые способы поведения и взаимодействия агентов, при этом модель демонстрирует весьма интересные пространственно-временные паттерны.

Под локальностью и нелокальностью понимаются пространственные характеристики способа взаимодействия агентов друг с другом и с географическим пространством, на котором разворачивается эволюция системы. Под агентом понимается условный ремесленник, семья или промышленно-торговая фирма, причем не делается разницы между производством и торговлей. Агенты размещены на ограниченном двумерном пространстве, разбитом на квадратные ячейки, и перемещаются по нему. Модель демонстрирует процессы высокой концентрации агентов в выделенных ячейках, что трактуется как образование Technoscape: мультиагентная модель эволюции «сетигородов». Происходит постоянный процесс как возникновения, так и исчезновения городов. Агенты живут Technoscape: мультиагентная модель эволюции «сетивечно», не мутируют и не эволюционируют, хотя это перспективное направление развития модели.

Система Technoscape демонстрирует качественно новый вид самоорганизации. Частично эта самоорганизация напоминает поведение модели сегрегации по Томасу Шеллингу, однако эволюционные правила Technoscape существенно иные. В модели Шеллинга существуют лавины, но без добавления новых агентов в системе существуют простые равновесия, в то время как в Technoscape не существует даже строгих равновесий, в лучшем случае квазиравновесные, медленно изменяющиеся состояния.

Нетривиальный результат в модели Technoscape, также контрастирующий с моделью сегрегации Шеллинга, состоит в том, что агенты проявляют склонность к концентрации в больших городах даже при полном игнорировании локальных связей.

При этом, хотя агенты и стремятся в большие города, размер города не является гарантией стабильности. По ходу эволюции системы происходит постоянное Technoscape: мультиагентная модель эволюции «сетипереманивание» жителей в другие города такого же класса.

The paper presents agent-based model for city formation named Technoscape which is both local and nonlocal. Technoscape can, to a certain degree, be also assumed as a model for emergence of global economy. The current version of the model implements very simple way of agents’ behavior and interaction, still the model provides rather interesting spatio-temporal patterns.

Locality and non-locality mean here the spatial features of the way the agents interact with each other and with geographical space upon which the evolution takes place. Technoscape agent is some conventional artisan, family, or а producing and trading firm, while there is no difference between production and trade. Agents are located upon and move through bounded two-dimensional space divided into square cells. The model demonstrates processes of agents’ concentration in a small set of cells, which is interpreted as «city» formation. Agents are immortal, they don’t mutate and evolve, though this is interesting perspective for the evolution of the model itself.

Technoscape provides some distinctively new type of self-organization. Partially, this type of selforganization resembles the behavior of segregation model by Thomas Shelling, still that model has evolution rules substantially different from Technoscape. In Shelling model there exist avalanches still simple equilibria exist if no new agents are added to the game board, while in Technoscape no such equilibria exist. At best, we can observe quasi-equilibrium, slowly changing global states.

One non-trivial phenomenon Technoscape exhibits, which also contrasts to Shelling segregation model, is the ability of agents to concentrate in local cells (interpreted as cities) even explicitly and totally ignoring local interactions, using non-local interactions only.

At the same time, while the agents tend to concentrate in large one-cell cities, large scale of such cities does not guarantee them from decay: there always exists a process of «enticement» of agents and their flow to new cities.

В работе теоретически и экспериментально рассматривается задача об автоматическом поддержании механического равновесия неоднородно нагретой жидкости в термосифоне с помощью подсистемы, которая подавляет конвекцию посредством малых изменений ориентации системы в пространстве. Обнаружено, что чрезмерное усиление обратной связи возбуждает в системе колебания, причина которых кроется в запаздывании работы контроллера. При наличии шума колебания возникают даже тогда, когда детерминистское описание предсказывает стационарное поведение. Получено хорошее согласие между экспериментом и теорией.

The problem of active control of the mechanical equilibrium of an inhomogeneously heated fluid in a thermosyphon is studied theoretically and experimentally. The control is performed by using a feedback subsystem which inhibits convection by changing the orientation of thermosyphon in space. It is shown that excess feedback leads to the excitation of oscillations which are related to a delay in the controller work. In the presense of noise, the oscillations arise even when deterministic description predicts stationary behaviour. The experimental data and theory are in good agreement.

В работе исследуется стохастическая динамика двумерной модели Хиндмарш–Розе в параметрической зоне сосуществования устойчивых равновесий и предельных циклов. Изучается явление индуцированных шумом переходов между аттракторами. Под воздействием случайных возмущений равновесные и периодические режимы объединяются в пачечные: система демонстрирует чередование малых колебаний около равновесия с осцилляциями больших амплитуд. Проводится анализ этого эффекта с помощью техники функций стохастической чувствительности и предлагается метод оценки критических значений интенсивности шума.

We study the stochastic dynamics of the two-dimensional Hindmarsh–Rose model in the parametrical zone of coexisting stable equilibria and limit cycles. The phenomenon of noise-induced transitions between the attractors is investigated. Under the random disturbances, equilibrium and periodic regimes combine in bursting regime: the system demonstrates an alternation of small fluctuations near the equilibrium with high amplitude oscillations. This effect is analysed using the stochastic sensitivity function technique and a method of estimation of critical values for noise intensity is proposed.

В работе исследуется модификация модели Хотеллинга, в которой одна из фирм обладает нерыночным преимуществом, введенным по аналогии с валентностью, используемой в задачах политической экономии. Нерыночное (валентное) преимущество может интерпретироваться как реклама (узнаваемость фирмы). Установлено, что при аддитивной функции полезности потребителей, зависящей квадратично от расстояния до фирмы, существует единственное равновесие по Нэшу. Это равновесие значительно «богаче» равновесия в исходной модели Хотеллинга. В частности, дополнительное нерыночное преимущество может быть избыточным и его использование — неэффективным.

The principle of minimal differentiation, based on the Hotelling model, is well known in the economy. It is applicable to horizontal differentiated goods of almost any nature. The Hotelling approach to modeling competition of oligopolies corresponds to a modern description of monopolistic competition with increasing returns to scale and imperfect competition. We develop a modification of the Hotelling model that endows a firm with a non-market advantage, which is introduced alike the valence advantage known in problems of political economy. The nonmarket (valence) advantage can be interpreted as advertisement (brand awareness of firms). Problem statement. Consider two firms competing with prices and location. Homogeneous consumers vary with its location on a segment. They minimize their costs, which additively includes the price of the product and the distance from them to the product. The utility function is linear with respect to the price and quadratic with respect to the distance. It is also expected that one of the firms (for certainty, firm № 1) has a market advantage d. The consumers are assumed to take into account the sum of the distance to the product and the market advantage of firm 1. Thus, the strategy of the firms and the consumers depend on two parameters: the unit t of the transport costs and the non-market advantage d. I explore characteristics of the equilibrium in the model as a function of the non-market advantage for different fixed t. The aim of the research is to assess the impact of the non-market advantage on the equlibrium. We prove that the Nash equilibrium exists and it is unique under additive consumers' preferences de-pending on the square of the distance between consumers and firms. This equilibrium is ‘richer’ than that in the original Hotelling model. In particular, non-market advantage can be excessive and inefficient to use.

В работе рассматривается модель «хищник – жертва» с учетом конкуренции жертв, хищников за отличные от жертвы ресурсы и их взаимодействия, описываемого трофической функцией Холлинга второго типа. Проводится анализ аттракторов модели в зависимости от коэффициента конкуренции хищников. В детерминированном случае данная модель демонстрирует сложное поведение, связанное с локальными (Андронова–Хопфа и седлоузловая) и глобальной (рождение цикла из петли сепаратрисы) бифуркациями. Важной особенностью этой модели является исчезновение устойчивого цикла вследствие седлоузловой бифуркации. В силу наличия внутривидовой конкуренции в обеих популяциях возникают параметрические зоны моно- и бистабильности. В зоне параметров бистабильности система имеет сосуществующие аттракторы: два равновесия или цикл и равновесие. Проводится исследование геометрического расположения аттракторов и сепаратрис, разделяющих их бассейны притяжения. Понимание взаимного расположения аттракторов и сепаратрис, в совокупности с чувствительностью аттракторов к случайным воздействиям, является важной составляющей в изучении стохастических явлений. В рассматриваемой модели сочетание нелинейности и случайных возмущений приводит к появлению новых феноменов, не имеющих аналогов в детерминированном случае, таких как индуцированные шумом переходы через сепаратрису, стохастическая возбудимость и генерация осцилляций смешанных мод. Для параметрического исследования этих феноменов используются аппарат функции стохастической чувствительности и метод доверительных областей, эффективность которых проверялась на широком круге моделей нелинейной динамики. В зонах бистабильности проводится исследование деформации равновесного или осцилляционного режимов под действием шума. Геометрическим критерием возникновения такого рода качественных изменений служит пересечение доверительных областей с сепаратрисой детерминированной модели. В зоне моностабильности изучаются феномены резкого изменения численности и вымирания одной или обеих популяций при малых изменениях внешних условий. С помощью аппарата доверительных областей решается задача оценки близости стохастической популяции к опасным границам, при достижении которых сосуществование популяций разрушается и наблюдается их вымирание.

We consider “predator – prey” model taking into account the competition of prey, predator for different from the prey resources, and their interaction described by the second type Holling trophic function. An analysis of the attractors is carried out depending on the coefficient of competition of predators. In the deterministic case, this model demonstrates the complex behavior associated with the local (Andronov –Hopf and saddlenode) and global (birth of a cycle from a separatrix loop) bifurcations. An important feature of this model is the disappearance of a stable cycle due to a saddle-node bifurcation. As a result of the presence of competition in both populations, parametric zones of mono- and bistability are observed. In parametric zones of bistability the system has either coexisting two equilibria or a cycle and equilibrium. Here, we investigate the geometrical arrangement of attractors and separatrices, which is the boundary of basins of attraction. Such a study is an important component in understanding of stochastic phenomena. In this model, the combination of the nonlinearity and random perturbations leads to the appearance of new phenomena with no analogues in the deterministic case, such as noise-induced transitions through the separatrix, stochastic excitability, and generation of mixed-mode oscillations. For the parametric study of these phenomena, we use the stochastic sensitivity function technique and the confidence domain method. In the bistability zones, we study the deformations of the equilibrium or oscillation regimes under stochastic perturbation. The geometric criterion for the occurrence of such qualitative changes is the intersection of confidence domains and the separatrix of the deterministic model. In the zone of monostability, we evolve the phenomena of explosive change in the size of population as well as extinction of one or both populations with minor changes in external conditions. With the help of the confidence domains method, we solve the problem of estimating the proximity of a stochastic population to dangerous boundaries, upon reaching which the coexistence of populations is destroyed and their extinction is observed.

В работе представлена модель типа «хищник–жертва», описывающая пространственно-временную динамику планктонного сообщества с учетом биогенных элементов. Система описывается уравнениями типа «реакция–диффузия–адвекция» в одномерной области, соответствующей вертикальному столбу воды в поверхностном слое. Адвективный член уравнения хищника описывает вертикальные перемещения зоопланктона в направлении градиента фитопланктона. Исследование посвящено определению условий возникновения пространственно-неоднородных структур, генерируемых системой под воздействием этих перемещений (таксиса). В предположении равных коэффициентов диффузии всех компонент модели анализируется неустойчивость системы в окрестности гомогенного равновесия к малым пространственно-неоднородным возмущениям.

В результате линейного анализа получены условия для возникновения неустойчивости Тьюринга и волновой неустойчивости. Определено, что соотношения между параметрами локальной кинетики системы определяют возможность потери устойчивости системой и тип неустойчивости. В качестве бифуркационного параметра в исследовании рассматривается скорость таксиса. Показано, что при малых значениях этого параметра система устойчива, а начиная с некоторого критического значения устойчивость может теряться, и система способна генерировать либо стационарные пространственно-неоднородные структуры, либо структуры, неоднородные и по времени, и по пространству. Полученные результаты согласуются с ранними исследованиями подобных двухкомпонентных моделей.

В работе получен интересный результат, указывающий, что бесконечное увеличение скорости таксиса не будет существенно менять вид этих структур. Выявлено, что существует предел величины волнового числа, соответствующего самой неустойчивой моде. Это значение и определяет вид пространственной структуры. В подтверждение полученных результатов в работе приведены варианты пространственно-временной динамики компонент модели в случае неустойчивости Тьюринга и волновой неустойчивости.

The paper deals with a prey-predator model, which describes the spatiotemporal dynamics of plankton community and the nutrients. The system is described by reaction-diffusion-advection equations in a onedimensional vertical column of water in the surface layer. Advective term of the predator equation represents the vertical movements of zooplankton with velocity, which is assumed to be proportional to the gradient of phytoplankton density. This study aimed to determine the conditions under which these movements (taxis) lead to the spatially heterogeneous structures generated by the system. Assuming diffusion coefficients of all model components to be equal the instability of the system in the vicinity of stationary homogeneous state with respect to small inhomogeneous perturbations is analyzed.

Necessary conditions for the flow-induced instability were obtained through linear stability analysis. Depending on the local kinetics parameters, increasing the taxis rate leads to Turing or wave instability. This fact is in good agreement with conditions for the emergence of spatial and spatiotemporal patterns in a minimal phytoplankton–zooplankton model after flow-induced instabilities derived by other authors. This mechanism of generating patchiness is more general than the Turing mechanism, which depends on strong conditions on the diffusion coefficients.

While the taxis exceeding a certain critical value, the wave number corresponding to the fastest growing mode remains unchanged. This value determines the type of spatial structure. In support of obtained results, the paper presents the spatiotemporal dynamics of the model components demonstrating Turing-type pattern and standing wave pattern.