All issues

В статье приводится описание расчетного исследования гидродинамических процессов, происходящих при течении теплоносителя через тепловыделяющую сборку активной зоны реактора на быстрых нейтронах с натриевым теплоносителем. В рамках исследования разработаны методика и расчетная модель на базе программного комплекса вычислительной гидродинамики FlowVision, которые позволили с помощью обоснованных упрощений получить коэффициент запаса до всплытия тепловыделяющей сборки, а также исследовать гидродинамические характеристики процессов, происходящих при моделировании различных исходных событий, влияющих на движение тепловыделяющей сборки активной зоны реактора.

Для проведения расчетного обоснования разработана эквивалентная по гидравлическим сопротивлениям модель тепловыделяющей сборки, позволяющая не моделировать явным образом сложную натурную конструкцию сборки. Упрощение геометрии сборки позволило уменьшить количество расчетных ячеек в модели и сократить используемые вычислительные ресурсы и время счета.

Выполнение расчетов гидродинамических параметров эквивалентной модели тепловыделяющей сборки в программном комплексе FlowVision проводилось в два этапа. На первом этапе с целью определения минимального коэффициента запаса до всплытия тепловыделяющей сборки и минимального расхода теплоносителя, при котором происходит перемещение сборки, проведены стационарные расчеты, в которых на входе в модель были заданы различные значения расхода и, далее, определены силы, действующие на сборку. На втором этапе проведена серия расчетов динамических режимов. В этих режимах на входе в модель было задано скачкообразное увеличение давления, являющееся исходным событием, которое гипотетически может произойти в реакторной установке на быстрых нейтронах с натриевым теплоносителем, а также определены гидродинамические параметры и силы, действующие на тепловыделяющую сборку.

По результатам первого этапа расчетного исследования подтверждены минимальный коэффициент запаса до всплытия тепловыделяющей сборки реактора на быстрых нейтронах, обоснованный в материалах проекта реакторной установки, а также минимальный расход теплоносителя через сборку, при котором возможно ее перемещение. По итогам второго этапа исследования сделаны выводы о невозможности перемещения тепловыделяющей сборки при исходном событии, связанном со скачкообразным повышением давления в напорной камере реактора.

The paper describes an analytical study of hydrodynamic processes taking place in the course of coolant flow through a fuel assembly of the core of a fast neutron sodium-cooled reactor. Within the framework of the study, a procedure and an analytical model were developed based on program complex FlowVision of computational fluid dynamics, which, using proved simplifications, permits to obtain a coefficient of rod lifting margin of a fuel assembly and to study hydrodynamic characteristics of processes taking place in the course of simulation of different initial events influencing motion of a reactor core fuel assembly.

For analytical justification a fuel assembly model was developed, which is equivalent by hydraulic resistance values and permits not to simulate explicitly a complicated full-scale fuel assembly design, thus, decreasing a number of computational cells in the model and, as a result, reducing computational and time resources.

Hydraulic parameters of the equivalent fuel assembly model in program complex FlowVision were analyzed in two stages. At the first stage, to determine the minimum rod lifting margin coefficient of a fuel assembly, steady-state analyses were performed, where various flowrate values were assigned at the model inlet and forces acting upon the assembly were analyzed. A series of dynamic mode analyses was performed at the second stage. Jump-like pressure increase being the initial event which could occur hypothetically in the fast neutron sodium cooled reactor plant was assigned in these modes. Hydrodynamic parameters and forces acting upon the fuel assembly were determined.

The results of the first stage of the analytical study proved the minimum coefficient of rod lifting margin of a fuel assembly of the fast neutron reactor justified in reactor plant design documentation. As a result of the second stage of the study, conclusions were made on impossibility for the fuel assembly to move at the initial event associated with jump-like pressure increase in the reactor pressure chamber.

Статья посвящена разработке вычислительного алгоритма метода декартовых сеток для исследования взаимодействия ударной волны с подвижными телами с кусочно-линейной границей. Интерес к подобным задачам связан с прямым численным моделированием течений двухфазных сред. Эффект формы частицы может иметь значение в задаче о диспергировании пылевого слоя за проходящей ударной волной. Экспериментальные данные по коэффициенту аэродинамического сопротивления несферических частиц практически отсутствуют.

Математическая модель основана на двумерных уравнениях Эйлера, которые решаются в области с подвижными границами. Определяющая система уравнений численно интегрируется по явной схеме с использованием метода декартовых сеток. Вычислительный алгоритм на шаге интегрирования по времени включает: определение величины шага, расчет динамики движения тела (определение силы и момента, действующих на тело; определение линейной и угловой скоростей тела; расчет новых координат тела), расчет параметров газа. На каждом шаге интегрирования по времени все ячейки делятся на два класса — внешние (внутри тела или пересекаются его границами) и внутренние (целиком заполнены газом). Решение уравнений Эйлера строится только во внутренних. Основная сложность заключается в расчете численного потока через ребра, общие для внутренних и внешних ячеек, пересекаемых подвижными границами тел. Для расчета этого потока используются двухволновое приближение при решении задачи Римана и схема Стигера–Уорминга. Представлено подробное описание вычислительного алгоритма.

Работоспособность алгоритма продемонстрирована на задаче о подъеме цилиндра с основанием в форме круга, эллипса и прямоугольника за проходящей ударной волной. Тест с круговым цилиндром рассмотрен во множестве статей, посвященных методам погруженной границы. Проведен качественный и количественный анализ траектории движения центра масс цилиндра на основании сравнения с результатами расчетов, представленными в восьми других работах. Для цилиндра с основанием в форме эллипса и прямоугольника получено удовлетворительное согласие по динамике его движения и вращения в сравнении с имеющимися немногочисленными литературными источниками. Для прямоугольника исследована сеточная сходимость результатов. Показано, что относительная погрешность выполнения закона сохранения суммарной массы газа в расчетной области убывает линейно при измельчении расчетной сетки.

The work is devoted to the development of a computational algorithm of the Cartesian grid method for studying the interaction of a shock wave with moving bodies with a piecewise linear boundary. The interest in such problems is connected with direct numerical simulation of two-phase media flows. The effect of the particle shape can be important in the problem of dust layer dispersion behind a passing shock wave. Experimental data on the coefficient of aerodynamic drag of non-spherical particles are practically absent.

Mathematical model is based on the two-dimensional Euler equations, which are solved in a region with varying boundaries. The defining system of equations is integrated using an explicit scheme and the Cartesian grid method. The computational algorithm at the time integration step includes: determining the step value, calculating the dynamics of the body movement (determining the force and moment acting on the body; determining the linear and angular velocities of the body; calculating the new coordinates of the body), calculating the gas parameters. At each time step, all cells are divided into two classes – external (inside the body or intersected by its boundaries) and internal (completely filled with gas). The solution of the Euler equations is constructed only in the internal ones. The main difficulty is the calculation of the numerical flux through the edges common to the internal and external cells intersected by the moving boundaries of the bodies. To calculate this flux, we use a two-wave approximation for solving the Riemann problem and the Steger-Warming scheme. A detailed description of the numerical algorithm is presented.

The efficiency of the algorithm is demonstrated on the problem of lifting a cylinder with a base in the form of a circle, ellipse and rectangle behind a passing shock wave. A circular cylinder test was considered in many papers devoted to the immersed boundary methods development. A qualitative and quantitative analysis of the trajectory of the cylinder center mass is carried out on the basis of comparison with the results of simulations presented in eight other works. For a cylinder with a base in the form of an ellipse and a rectangle, a satisfactory agreement was obtained on the dynamics of its movement and rotation in comparison with the available few literary sources. Grid convergence of the results is investigated for the rectangle. It is shown that the relative error of mass conservation law fulfillment decreases with a linear rate.

В статье представлены результаты численного исследования структуры течения в двухмерном плоском диффузоре. Особенностью диффузоров является то, что в них наблюдается сложное анизотропное турбулентное течение, которое возникает за счет рециркуляционных потоков. Турбулентные модели RANS, в основе которых лежит гипотеза Буссинеска, не способны описывать с достаточной точностью течение в диффузорах. Потому что гипотеза Буссинеска основана на изотропной турбулентности. Поэтому для расчета анизотропных турбулентных течений привлекаются модели, в которых не используется данная гипотеза. Одним из таких направлений в моделировании турбулентности являются методы рейнольдсовых напряжений. Эти методы сложны и требуют довольно больших вычислительных ресурсов. В работе для исследования течения в плоском диффузоре использована сравнительно недавно разработанная двухжидкостная модель турбулентности. Данная модель разработана на основе двухжидкостного подхода к проблеме турбулентности. В отличие от подхода Рейнольдса двухжидкостный подход позволяет получить замкнутую систему уравнений турбулентности с использованием динамики двух жидкостей. Следовательно, если в RANS-моделях для замыкания используются эмпирические уравнения, то в двухжидкостной модели используемые уравненияя вляются точными уравнениями динамики. Одно из главных преимуществ двухжидкостной модели заключаетсяв том, что она способна описывать сложные анизотропные турбулентные течения. В работе полученные численные результаты для профилей продольной скорости, турбулентных напряжений в различных сечениях канала, а также коэффициента трениясравнив аются с известными экспериментальными данными. Для демонстрации достоинства использованной модели турбулентности представлены и численные результаты метода рейнольдсовых напряжений EARSM. Для численной реализации систем уравнений двухжидкостной модели использована нестационарная система уравнений, решение которой асимптотически приближалось к стационарному решению. Дляэтой цели использована конечно-разностная схема, где вязкостные члены аппроксимировались центральной разностью неявным образом, а для конвективных членов использована явная схема против потока второго порядка точности. Результаты получены для числа Рейнольдса Re = 20 000. Показано, что двухжидкостная модель, несмотря на использование равномерной расчетной сетки без сгущенияо коло стенок, способна давать более точное решение, чем достаточно сложный метод рейнольдсовых напряжений с большим разрешением расчетных сеток.

The article presents the results of a numerical study of the flow structure in a two-dimensional flat diffuser. A feature of diffusers is that they have a complex anisotropic turbulent flow, which occurs due to recirculation flows. The turbulent RANS models, which are based on the Boussinesq hypothesis, are not able to describe the flow in diffusers with sufficient accuracy. Because the Boussinesq hypothesis is based on isotropic turbulence. Therefore, to calculate anisotropic turbulent flows, models are used that do not use this hypothesis. One of such directions in turbulence modeling is the methods of Reynolds stresses. These methods are complex and require rather large computational resources. In this work, a relatively recently developed two-fluid turbulence model was used to study the flow in a flat diffuser. This model is developed on the basis of a two-fluid approach to the problem of turbulence. In contrast to the Reynolds approach, the two-fluid approach allows one to obtain a closed system of turbulence equations using the dynamics of two fluids. Consequently, if empirical equations are used in RANS models for closure, then in the two-fluid model the equations used are exact equations of dynamics. One of the main advantages of the two-fluid model is that it is capable of describing complex anisotropic turbulent flows. In this work, the obtained numerical results for the profiles of the longitudinal velocity, turbulent stresses in various sections of the channel, as well as the friction coefficient are compared with the known experimental data. To demonstrate the advantages of the used turbulence model, the numerical results of the Reynolds stress method EARSM are also presented. For the numerical implementation of the systems of equations of the two-fluid model, a non-stationary system of equations was used, the solution of which asymptotically approached the stationary solution. For this purpose, a finite-difference scheme was used, where the viscosity terms were approximated by the central difference implicitly, and for the convective terms, an explicit scheme against the flow of the second order of accuracy was used. The results are obtained for the Reynolds number Re = 20 000. It is shown that the two-fluid model, despite the use of a uniform computational grid without thickening near the walls, is capable of giving a more accurate solution than the rather complex Reynolds stress method with a high resolution of computational grids.

Деформирование сплошных сред из материалов с памятью формы под влиянием возрастающей нагрузки и при постоянной температуре протекает обычным для металлов идеальным упругопластическим образом. При этом величина максимальных упругих деформаций много меньше предельных пластических. Восстановление формы происходит при повышенной температуре и невысоком уровне напряжений. Феноменологически «обратное» деформирование аналогично с точностью до знака изменению формыпри активном загружении силами. Так как в неупругом процессе решающую роль играет пластическая деформация, то анализ механического поведения целесообразно провести в рамках идеальной жесткопластической модели с двумя поверхностями нагружения. В этой модели поверхностям нагружения отвечают два физических состояния материала: пластическое течение при высоких напряжениях и плавление при сравнительно невысокой температуре. Во втором параграфе формулируется задача деформирования жесткопластических сред при постоянной температуре в двух формах: в виде принципа виртуальных скоростей с условием текучести Мизеса и как требование минимальности диссипативного функционала. Доказываются равносильность принятых формулировок и существование обобщенных решений в обоих принципах. В третьем параграфе изучается жесткопластическая модель сплошной среды при изменяющейся температуре с двумя поверхностями нагружения. Для принятой модели формулируются два оптимальных принципа, связывающих внешние нагрузки и скорости перемещений точек среды как при активном нагружении, так и в процессе восстановления формыпр и нагревании. Доказано существование обобщенных скоростей для широкого класса трехмерных областей. Связь вариационных принципов и изменяющейся температуры обеспечивается включением в расчетную схему первого и второго начал термодинамики. Существенно, что в процессе доказательств используется только феноменологическое описание явления. Аустенитно-мартенситные превращения сплавов, которые часто являются основными при объяснении механического поведения материалов с памятью формы, не используются. В четвертом параграфе дано определение материалов с памятью формы как сплошных сред с двумя поверхностями нагружения, доказано существование решений в принятых ограничениях. Показана адекватность модели и опытов по деформированию материалов с памятью формы. В заключении формулируются математические задачи, которые представляются интересными в будущих исследованиях.

Under increasing loading and at a constant temperature shape memory solids become deformed in an ideal elastic plastic way as other metals, and the maximum elastic strains are much less than the ultimate plastic ones. The shape is restored at the elevated temperature and low stress level. Phenomenologically, the «reverse» deformation is equivalent to the change in shape under active loading up to sign. Plastic deformation plays a leading role in a non-elastic process; thus, the mechanical behavior should be analyzed within the ideal rigid-plastic model with two loading surfaces. In this model two physical states of the material correspond to the loading surfaces: plastic flow under high stresses and melting at a relatively low temperature. The second section poses a problem of deformation of rigid-plastic bodies at the constant temperature in two forms: as a principle of virtual velocities with the von Mises yield condition and as a requirement of the minimum dissipative functionаl. The equivalence of the accepted definitions and the existence of the generalized solutions is proved for both principles. The third section studies the rigid-plastic model of the solid at the variable temperature with two loading surfaces. For the assumed model two optimal principles are defined that link the external loads and the displacement velocities of the solid points both under active loading and in the process of shape restoration under heating. The existence of generalized velocities is proved for the wide variety of 3D domains. The connection between the variational principles and the variable temperature is ensured by inclusion of the first and second principles of thermodynamics in the calculation model. It is essential that only the phenomenological description of the phenomenon is used in the proving process. The austenite-tomartensite transformations of alloys, which are often the key elements in explanations of the mechanical behavior of shape memory materials, are not used here. The fourth section includes the definition of the shape memory materials as solids with two loading surfaces and proves the existence of solutions within the accepted restrictions. The adequacy of the model and the experiments on deformation of shape memory materials is demonstrated. In the conclusion mathematical problems that could be interesting for future research are defined.

На основе метода моделирования задач газовой динамики с помощью системы сеток реализован алгоритм для решения нестационарной задачи с движущими телами. Алгоритм учитывает перемещение и вращение тел по заданному закону движения. Алгоритм применен для исследования обтекания бесконечной решетки, составленной из цилиндров с эллиптическим сечением, которые либо перемещаются поперек потока, либо вращаются с изменением угла атаки. Для моделирования обтекания тел с острой кромкой, характерных для профилей турбомашин, реализован алгоритм построения сетки типа С с включением некоторой области за профилем. Программа моделирования течения около профиля реализована в рамках моделей уравнений Эйлера, уравнений Навье – Стокса в приближении тонкого слоя с ламинарной вязкостью и турбулентной вязкостью в рамках алгебраической модели вязкости. Также программа была адаптирована для решения задач внутренней газодинамики турбомашин. Для этого была изменена методика задания граничных условий на входе и выходе из расчетной области со скорости на перепад давления, а также на боковых границах со свободного потока на периодичность. Это позволило моделировать течение газа в межлопаточных каналах компрессоров и турбин газотурбинных двигателей. Для отработки алгоритма были проведены серии расчетов аэродинамических параметров нескольких турбинных решеток на различных дозвуковых и сверхзвуковых режимах и их сравнение с экспериментом. Расчеты параметров турбинных решеток были проведены в рамках модели невязкого и вязкого газа. Сравнение расчета и эксперимента проводилось по распределению параметров газа около профиля, а также по потерям энергии потока в решетке. Расчеты показали применимость и корректность работы программы для решения данного класса задач. Для тестирования программы на задачах внешней дозвуковой аэродинамики были выполнены расчеты аэродинамических характеристик изолированного аэродинамического профиля в невозмущенном потоке. Полученные результаты позволяют утверждать о применимости метода гибридных сеток к различным классам задач прикладной газовой динамики.

Based on the modeling method using a mesh system, an algorithm is implemented for solving a unsteady problem with moving bodies The algorithm takes into account the movement and rotation of bodies according to a given law of motion. The algorithm is applied to analysis the flow around an infinite composed of cylinders with an elliptical cross-section, which either move across the flow or rotate with a change in the angle of attack. To simulate the flow of bodies with a sharp edge, characteristic of the profiles of gas turbine machines, an algorithm for constructing a mesh of type C with the inclusion of a certain area behind the profile is implemented. The program for modeling the flow near the profile is implemented within the framework of models of Euler equations, Navier – Stokes equations in the approximation of a thin layer with laminar viscosity and turbulent viscosity in the framework of an algebraic viscosity model. The program has also been adapted to solve the problems of internal gas dynamics of turbomachines. For this purpose, the method of setting the boundary conditions at the entrance and exit from the calculated area from the velocity to the pressure drop, as well as at the lateral boundaries from the free flow to the periodicity, was changed. This made it possible to simulate the flow of gas in the inter-blade channels of compressors and turbines of gas turbine engines. To refine the algorithm, a series of calculations of the aerodynamic parameters of several turbine cascades in various subsonic and supersonic modes and their comparison with the experiment were carried out. Calculations of turbine grating parameters were carried out within the framework of the inviscid and viscous gas model. The calculation and experiment were compared by the distribution of gas parameters near the profile, as well as by the energy losses of the flow in the cascade. Calculations have shown the applicability and correctness of the program to solve this class of problems. To test the program on the problems of external subsonic aerodynamics, calculations of the aerodynamic characteristics of an isolated airfoil in an undisturbed flow were performed. The results obtained allow us to assert the applicability of the hybrid grid method to various classes of problems of applied gas dynamics.

В настоящее время ведутся активные разработки ядерных реакторов 4-го поколения с жидкометаллическими теплоносителями, в связи с чем актуальными являются расчеты их элементов и узлов с использованием программ трехмерного моделирования. Теплогидравлический анализ реакторных установок с жидкометаллическим теплоносителем признается одним из важнейших направлений комплекса взаимосвязанных задач по обоснованию параметров реакторных установок, включая обоснование безопасности. Сложность получения необходимой информации об условиях эксплуатации реакторного оборудования с жидкометаллическими теплоносителями на основе экспериментальных исследований требует привлечения численного моделирования. В качестве инструмента, описанного в статье исследования, использован отечественный CFD-код FlowVision, который имеет аттестат НТЦ ЯРБ для расчетного обеспечения безопасности ядерных реакторов. Ранее было доказано успешное применение данного расчетного кода для моделирования процессов в ядерных реакторах с натриевым теплоносителем. Поскольку на данный момент в ядерной отрасли в качестве перспективных реакторов рассматриваются установки со свинцово-висмутовым теплоносителем, необходимо обосновать пригодность кода FlowVision также и для моделирования течения такого теплоносителя, что и являлось целью данной работы. В статье приведены результаты численного моделирования потока свинцово-висмутовой эвтектики в пучке теплообменных труб парогенератора АЭС. В рамках CFD-моделирования процессов гидродинамики и теплообмена в пучке теплообменных труб произведены исследования сходимости по сетке, по шагу, выбрана модель турбулентности, определены коэффициенты гидравлического сопротивления решеток и проведено сравнение расчетов с использованием модели $k_\theta^{}$-$e_\theta^{}$ и без нее. По итогам исследования получено, что результаты расчета с использованием $k_\theta^{}$-$e_\theta^{}$-модели турбулентности более точно согласуются с корреляциями. В качестве дополнительной проверки точности результатов выполнена кросс-верификация с ПО STAR-CCM+, полученные результаты лежат в пределах погрешностей использованных для сравнения корреляций.

Nowadays, active development of 4th generation nuclear reactors with liquid metal coolants takes place. Therefore, simulation of their elements and units in 3D modelling software are relevant. The thermal-hydraulic analysis of reactor units with liquid metal coolant is recognized as one of the most important directions of the complex of interconnected tasks on reactor unit parameters justification. The complexity of getting necessary information about operating conditions of reactor equipment with liquid-metal coolant on the base of experimental investigations requires the involvement of numerical simulation. The domestic CFD code FlowVision has been used as a research tool. FlowVision software has a certificate of the Scientific and Engineering Centre for Nuclear and Radiation Safety for the nuclear reactor safety simulations. Previously it has been proved that this simulation code had been successfully used for modelling processes in nuclear reactors with sodium coolant. Since at the moment the nuclear industry considers plants with lead-bismuth coolant as promising reactors, it is necessary to justify the FlowVision code suitability also for modeling the flow of such coolant, which is the goal of this work. The paper presents the results of lead-bismuth eutectic flow numerical simulation in the heat exchange tube bundle of NPP steam generator. The convergence studies on a grid and step have been carried out, turbulence model has been selected, hydraulic resistance coefficients of lattices have been determined and simulations with and without $k_\theta^{}$-$e_\theta^{}$ model are compared within the framework of fluid dynamics and heat exchange modeling in the heat-exchange tube bundle. According to the results of the study, it was found that the results of the calculation using the $k_\theta^{}$-$e_\theta^{}$ turbulence model are more precisely consistent with the correlations. A cross-verification with STAR-CCM+ software has been performed as an additional verification on the accuracy of the results, the results obtained are within the error limits of the correlations used for comparison.

В работе проведено исследование структуры ударной волны в бинарной газовой смеси на основе прямого решения кинетического уравнения Больцмана. Для вычисления интеграла столкновений в кинетическом уравнении используется консервативный проекционный метод. Детально описаны применяемые расчетные формулы и методика вычислений. В качестве потенциала взаимодействия молекул используется модель твердых сфер. Численное моделирование проводится с использованием разработанной программно-моделирующей среды, которая позволяет исследовать стационарные и нестационарные течения газовых смесей в различных режимах и для произвольной геометрии задачи. Моделирование выполняется на системе кластерной архитектуры. За счет использования технологий распараллеливания кода достигается значительное ускорение вычислений. С фиксированной точностью, контролируемой параметрами моделирования, получены распределения макроскопических величин компонентов смеси по фронту ударной волны. Расчеты выполнены для различных соотношений молекулярных масс и чисел Маха. Достигнута общая точность моделирования не менее 1% по локальным значениям концентрации и температуры и 3% по ширине фронта ударной волны. Проведено сравнение полученных результатов с существующими расчетными данными. Представленные в данной работе результаты имеют теоретическое значение, а также могут служить в качестве тестового расчета, поскольку они получены с использованием точного уравнения Больцмана.

In this paper, the structure of a shock wave in a binary gas mixture is studied on the basis of direct solution of the Boltzmann kinetic equation. The conservative projection method is used to evaluate the collision integral in the kinetic equation. The applied evaluation formulas and numerical methods are described in detail. The model of hard spheres is used as an interaction potential of molecules. Numerical simulation is performed using the developed simulation environment software, which makes it possible to study both steady and non-steady flows of gas mixtures in various flow regimes and for an arbitrary geometry of the problem. Modeling is performed on a cluster architecture. Due to the use of code parallelization technologies, a significant acceleration of computations is achieved. With a fixed accuracy controlled by the simulation parameters, the distributions of macroscopic characteristics of the mixture components through the shock wave front were obtained. Computations were conducted for various ratios of molecular masses and Mach numbers. The total accuracy of at least 1% for the local values of molecular density and temperature and 3% for the shock front width was achieved. The obtained results were compared with existing computation data. The results presented in this paper are of theoretical significance, and can serve as a test computation, since they are obtained using the exact Boltzmann equation.

Рассматривается математическая модель, описывающая конкуренцию за неоднородный ресурс двух близкородственных видов на одномерном ареале. Распространение популяций определяется диффузией и направленной миграцией, а рост подчиняется логистическому закону. Исследуются решения соответствующей начально-краевой задачи для нелинейных уравнений параболического типа с переменными коэффициентами (функция ресурса, параметры роста, диффузии и миграции). Для анализа формирования популяционных структур применяется подход на основе теории косимметричных динамических систем В. И. Юдовича. Аналитически получены условия на параметры системы, при выполнении которых у системы имеется нетривиальная косимметрия. В численном эксперименте подтверждено возникновение непрерывного семейства стационарных решений при выполнении условий существования косимметрии. Расчетная схема основана на конечно-разностной дискретизации по пространственной переменной с использованием интегро-интерполяционного метода и интегрировании по времени методом Рунге–Кутты. Далее численно исследовано влияние параметров диффузии и миграции на пространственно-временные сценарии развития популяций. В окрестности многообразия, соответствующего косимметрии задачи, рассчитаны нейтральные кривые диффузионных параметров, отвечающих границам устойчивости решений с одной популяцией. Для ряда значений параметров миграции и функций ресурса с одним и двумя максимумами построены карты областей параметров, которые соответствуют различным сценариям сосуществования и вытеснения видов. В частности, найдены области параметров, при которых выживание того или иного вида определяется условиями начального размещения. Отмечено, что реализуемая при этом динамика может быть нетривиальна: после начального снижения плотностей обоих видов наблюдается последующий рост одной популяции и убывание другой. Проведенный анализ показал, что области диффузионных параметров, отвечающих различным сценариям формирования популяционных структур, группируются вблизи линий, соответствующих косимметрии рассматриваемой математической модели. Полученные карты позволяют объяснить медленную динамику системы близостью к косимметричному случаю и дать трактовку эффекта выживания популяции за счет изменения диффузионной мобильности при исчерпании ресурса.

We consider a mathematical model describing the competition for a heterogeneous resource of two populations on a one-dimensional area. Distribution of populations is governed by diffusion and directed migration, species growth obeys to the logistic law. We study the corresponding problem of nonlinear parabolic equations with variable coefficients (function of a resource, parameters of growth, diffusion and migration). Approach on the theory the cosymmetric dynamic systems of V. Yudovich is applied to the analysis of population patterns. Conditions on parameters for which the problem under investigation has nontrivial cosymmetry are analytically derived. Numerical experiment is used to find an emergence of continuous family of steady states when cosymmetry takes place. The numerical scheme is based on the finite-difference discretization in space using the balance method and integration on time by Runge-Kutta method. Impact of diffusive and migration parameters on scenarios of distribution of populations is studied. In the vicinity of the line, corresponding to cosymmetry, neutral curves for diffusive parameters are calculated. We present the mappings with areas of diffusive parameters which correspond to scenarios of coexistence and extinction of species. For a number of migration parameters and resource functions with one and two maxima the analysis of possible scenarios is carried out. Particularly, we found the areas of parameters for which the survival of each specie is determined by initial conditions. It should be noted that dynamics may be nontrivial: after starting decrease in densities of both species the growth of only one population takes place whenever another specie decreases. The analysis has shown that areas of the diffusive parameters corresponding to various scenarios of population patterns are grouped near the cosymmetry lines. The derived mappings allow to explain, in particular, effect of a survival of population due to increasing of diffusive mobility in case of starvation.

В статье представлены результаты численного моделирования и экспериментальные данные по высокоскоростному внедрению ударника в преграду. В расчетах использовалась дискретно-элементная модель, основанная на представлении ударника и преграды совокупностью плотно упакованных взаимосвязанных частиц. Данный класс моделей находит все более широкое применение в задачах высокоскоростного взаимодействия тел. В предыдущих работах авторов рассмотрены вопросы применения дискретно-элементной модели к задаче внедрения металлических шаров в массивные преграды. На основе сравнительного анализа данных вычислительных и физических экспериментов было показано, что для широкого класса задач высокоскоростного внедрения достаточно высокая точность дискретно-элементного моделирования может быть достигнута с использованием двухпараметрического потенциала Леннарда–Джонса. При этом была идентифицирована зависимость энергии межэлементной связи от динамической твердости материалов. Использование построенной таким образом дискретно-элементной модели позволило достаточно точно описать наблюдаемые в экспериментах процессы внедрения ударника в массивную преграду в диапазоне скоростей взаимодействия 500–2500 м/c.

В настоящей работе проводится сравнение результатов дискретно-элементного моделирования с экспериментальными данными по пробитию высокопрочных преград различной толщины стальными ударниками. Использование технологий распараллеливания вычислений на графических процессорах в сочетании со средствами трехмерной визуализации и анимации результатов позволяет получить детальные пространственно-временные картины процесса внедрения и провести сопоставление полученных картин с экспериментальными данными.

Сравнительный анализ экспериментальных и расчетных данных показал достаточно высокую точность дискретно-элементного моделирования для широкого диапазона толщин преград: для тонких преград, пробиваемых с сохранением цельности деформируемого ударника, для преград средней толщины, пробиваемых с практически полной фрагментацией ударника на выходе из преграды, а также для непробиваемых насквозь преград.

The paper presents the results of numerical simulation and experimental data on the high-speed penetration of the impactor into the obstacle. In the calculations, a discrete-element model has been used, based on the representation of the impactor and the target by a set of close packed interconnected particles. This class of models finds an increasingly wide application in the problems of high-speed interaction of bodies. In the previous works of the authors, the questions of application of the discrete-element model to the problem of the penetration of spherical impactors into massive targets were considered. On the basis of a comparative analysis of the data of computational and physical experiments, it was found out that for a wide class of high-speed penetration problems, a high accuracy of discrete-element modeling can be achieved using the two-parameter Lennard–Jones potential. The binding energy was identified as a function of the dynamic hardness of materials. It was shown that the use of this approach makes it possible to describe accurately the penetration process in the range of impactor velocities 500–2500 m/c.

In this paper, we compare the results of discrete-element modeling with experimental data on penetration of high-strength targets of different thickness by steel impactors. The use of computational parallelization technologies on graphic processors in combination with 3D visualization and animation of the results makes it possible to obtain detailed spatio-temporal patterns of the penetration process and compare them with experimental data.

A comparative analysis of the experimental and calculated data has shown a sufficiently high accuracy of discrete-element modeling for a wide range of target thicknesses: for thin targets pierced with preservation of the integrity of the deformed impactor, for targets of medium thickness, pierced with practically complete fragmentation of the impactor at the exit from the target, and for thick impenetrable targets.

В ряде фундаментальных и прикладных задач возникает необходимость описания динамики движения частиц сложной формы в высокоскоростном потоке газа. В качестве примера можно привести движение угольных частиц за фронтом сильной ударной волныв о время взрыва в угольной шахте. Статья посвящена численному моделированию динамики поступательного и вращательного движения тела квадратной формык ак модельного примера частицы более сложной, чем круглая, формы, в сверхзвуковом потоке за проходящей ударной волной. Постановка задачи приближенно соответствует натурным экспериментам В. М. Бойко и С. В. Поплавского (ИТПМ СО РАН).

Математическая модель основана на двумерных уравнениях Эйлера, которые решаются в области с подвижными границами. Определяющая система уравнений численно интегрируется по явной схеме с использованием разработанного ранее и верифицированного метода декартовых сеток. Вычислительный алгоритм на шаге интегрирования по времени включает: определение величиныш ага, расчет динамики движения тела (определение силыи момента, действующих на тело; определение линейной и угловой скоростей тела; расчет новых координат тела), расчет параметров газа. Для расчета численного потока через ребра ячеек, пересекаемых границами тела, используется двухволновое приближение при решении задачи Римана и схема Стигера – Уорминга.

Движение квадрата со стороной 6 мм инициировалось прохождением ударной волныс числом Маха 3,0, распространяющейся в плоском канале длиной 800 мм и шириной 60 мм. Канал был заполнен воздухом при пониженном давлении. Рассматривалась различная начальная ориентация квадрата относительно оси канала. Обнаружено, что начальное положение квадрата стороной поперек потока является менее устойчивым при его движении, чем начальное положение диагональю поперек потока. В этом расчетные результаты качественно соответствуют экспериментальным наблюдениям. Для промежуточных начальных положений квадрата описан типичный режим его движения, состоящий из колебаний, близких к гармоническим, переходящих во вращение с постоянной средней угловой скоростью. В процессе движения квадрата наблюдается в среднем монотонное уменьшение расстояния между центром масс и центром давления до нуля.

In a number of fundamental and practical problems, it is necessary to describe the dynamics of the motion of complexshaped particles in a high-speed gas flow. An example is the movement of coal particles behind the front of a strong shock wave during an explosion in a coal mine. The paper is devoted to numerical simulation of the dynamics of translational and rotational motion of a square-shaped body, as an example of a particle of a more complex shape than a round one, in a supersonic flow behind a passing shock wave. The formulation of the problem approximately corresponds to the experiments of Professor V. M. Boiko and Professor S. V. Poplavski (ITAM SB RAS).

Mathematical model is based on the two-dimensional Euler equations, which are solved in a region with varying boundaries. The defining system of equations is integrated using an explicit scheme and the Cartesian grid method which was developed and verified earlier. The computational algorithm at the time integration step includes: determining the step value, calculating the dynamics of the body movement (determining the force and moment acting on the body; determining the linear and angular velocities of the body; calculating the new coordinates of the body), calculating the gas parameters. To calculate numerical fluxes through the edges of the cell intersected by the boundaries of the body, we use a two-wave approximation for solving the Riemann problem and the Steger – Warming scheme.

The movement of a square with a side of 6 mm was initiated by the passage of a shock wave with a Mach number of 3,0 propagating in a flat channel 800 mm long and 60 mm wide. The channel was filled with air at low pressure. Different initial orientation of the square relative to the channel axis was considered. It is found that the initial position of the square with its side across the flow is less stable during its movement than the initial position with a diagonal across the flow. In this case, the calculated results qualitatively correspond to experimental observations. For the intermediate initial positions of a square, a typical mode of its motion is described, consisting of oscillations close to harmonic, turning into rotation with a constant average angular velocity. During the movement of the square, there is an average monotonous decrease in the distance between the center of mass and the center of pressure to zero.