All issues

Одной из особенностей беспилотных автомобильных транспортных средств является их способность к организованному движению в форме кластеров: последовательности движущихся с единой скоростью транспортных средств. Влияние образования и движения этих кластеров на динамику транспортных потоков представляет большой интерес. В настоящей работе предложена качественная имитационная модель кластерного движения беспилотных транспортных средств в гетерогенной транспортной системе, состоящей из двух типов агентов (транспортных средств): управляемых человеком и беспилотных. В основу описания временной эволюции системы положены правила 184 и 240 для элементарных клеточных автоматов. Управляемые человеком транспортные средства перемещаются по правилу 184 с добавлением случайного торможения, вероятность которого зависит от расстояния до находящегося впереди транспортного средства. Для беспилотных транспортных средств используется комбинация правил, в том числе в зависимости от типа ближайших соседей, в некоторых случаях независимо от расстояния до них, что привносит в модель нелокальное взаимодействие. При этом учтено, что группа последовательно движущихся беспилотных транспортных средств может сформировать организованный кластер. Исследовано влияние соотношения типов транспортных средств в системе на характеристики транспортного потока при свободномд вижении на круговой однополосной и двухполосной дорогах, а также при наличии светофора. Результаты моделирования показали, что эффект образования кластеров имеет существенное влияние при свободномдвиж ении, а наличие светофора снижает положительный эффект приблизительно вдвое. Также исследовано движение кластеров из беспилотных автомобилей на двухполосных дорогах с возможностью перестроения. Показано, что учет при перестроении беспилотными транспортными средствами типов соседних транспортных средств (беспилотное или управляемое человеком) положительно влияет на характеристики транспортного потока.

The gradual incorporation of automated vehicles into the global transport networks leads to the need to develop tools to assess the impact of this process on various aspects of traffic. This implies a more organized movement of automated vehicles which can form uniformly moving platoons. The influence of the formation and movement of these platoons on the dynamics of traffic flow is of great interest. The currently most developed traffic flow models are based on the cellular automaton approach. They are mainly developed in the direction of increasing accuracy. This inevitably leads to the complication of models, which in their modern form have significantly moved away from the original philosophy of cellular automata, which implies simplicity and schematicity of models at the level of evolution rules, leading, however, to a complex organized behavior of the system. In the present paper, a simulation model of connected automated vehicles platoon dynamics in a heterogeneous transport system is proposed, consisting of two types of agents (vehicles): human-driven and automated. The description of the temporal evolution of the system is based on modified rules 184 and 240 for elementary cellular automata. Human-driven vehicles move according to rule 184 with the addition of accidental braking, the probability of which depends on the distance to the vehicle in front. For automated vehicles, a combination of rules is used depending on the type of nearest neighbors, regardless of the distance to them, which brings non-local interaction to the model. At the same time, it is considered that a group of sequentially moving connected automated vehicles can form an organized platoon. The influence of the ratio of types of vehicles in the system on the characteristics of the traffic flow during free movement on a circular one-lane and two-lane roads, as well as in the presence of a traffic light, is studied. The simulation results show that the effect of platoon formation is significant for a freeway traffic flow; the presence of a traffic light reduces the positive effect by about half. The movement of platoons of connected automated vehicles on two-lane roads with the possibility of lane changing was also studied. It is shown that considering the types of neighboring vehicles (automated or human-driven) when changing lanes for automated vehicles has a positive effect on the characteristics of the traffic flow.

В различных областях науки, техники, защиты окружающей среды, в строительстве актуальными являются вопросы изучения процессов взаимодействия пористых материалов с веществами, находящимися в различных агрегатных состояниях. Особенно актуальными с точки зрения экологии и защиты окружающей среды являются исследования процессов взаимодействия пористых материалов с водой в жидкой и газообразной фазе. Поскольку в одном моле воды содержится 6.022140857 · 10²³ молекул H₂O, для описания свойств, например, водяного пара в поре в основном используются макроскопические подходы, рассматривающие водяной пар как сплошную среду в рамках аэродинамики. В данной работе построена и использовалась для моделирования макроскопическая двумерная диффузионная модель [Bitsadze, Kalinichenko, 1980] поведения водяного пара внутри изолированной поры. Наряду с макроскопической моделью в работе предложена микроскопическая модель поведения водяного пара внутри изолированной поры, построенная в рамках молекулярно-динамического подхода [Gould et al., 2005]. В данной модели на основе классической механики Ньютона описывается движение каждой молекулы воды, взаимодействующей как с другими молекулами воды, так и со стенками поры. Рассматривается эволюция системы «водяной пар – пора» с течением времени. В зависимости от внешних по отношению к поре условий система эволюционирует к различным состояниям равновесия, которые характеризуются различными значениями макроскопических характеристик, таких как температура, плотность, давление. Сравнение результатов молекулярно-динамического моделирования с результатами вычислений на основе макроскопической диффузионной модели и экспериментальными данными позволяет сделать вывод о необходимости сочетания макроскопического и микроскопического подхода для адекватного и более точного описания процессов взаимодействия водяного пара с пористыми материалами.

In various areas of science, technology, environment protection, construction, it is very important to study processes of porous materials interaction with different substances in different aggregation states. From the point of view of ecology and environmental protection it is particularly actual to investigate processes of porous materials interaction with water in liquid and gaseous phases. Since one mole of water contains 6.022140857 · 10²³ molecules of H₂O, macroscopic approaches considering the water vapor as continuum media in the framework of classical aerodynamics are mainly used to describe properties, for example properties of water vapor in the pore. In this paper we construct and use for simulation the macroscopic two-dimensional diffusion model [Bitsadze, Kalinichenko, 1980] describing the behavior of water vapor inside the isolated pore. Together with the macroscopic model it is proposed microscopic model of the behavior of water vapor inside the isolated pores. This microscopic model is built within the molecular dynamics approach [Gould et al., 2005]. In the microscopic model a description of each water molecule motion is based on Newton classical mechanics considering interactions with other molecules and pore walls. Time evolution of “water vapor – pore” system is explored. Depending on the external to the pore conditions the system evolves to various states of equilibrium, characterized by different values of the macroscopic characteristics such as temperature, density, pressure. Comparisons of results of molecular dynamic simulations with the results of calculations based on the macroscopic diffusion model and experimental data allow to conclude that the combination of macroscopic and microscopic approach could produce more adequate and more accurate description of processes of water vapor interaction with porous materials.

В работе проведен краткий обзор имеющихся подходов к расчету разрушения твердых тел. Основное внимание уделено алгоритмам, использующим единый подход к расчету деформирования и для неразрушенного, и для разрушенного состояний материала. Представлен термодинамический вывод единых реологических соотношений, учитывающих упругие, вязкие и пластические свойства материалов и описывающих потерю способности сопротивления деформации по мере накопления микроповреждений. Показано, что рассматриваемая математическая модель обеспечивает непрерывную зависимость решения от входных параметров (параметров материальной среды, начальных и граничных условий, параметров дискретизации) при разупрочнении материала.

Представлены явные и неявные безматричные алгоритмы расчета эволюции деформирования. Неявные схемы реализованы с использованием итераций метода сопряженных градиентов, при этом расчет каждой итерации в точности совпадает с расчетом шага по времени для двухслойных явных схем. Так что алгоритмы решения являются очень простыми.

Приведены результаты решения типовых задач разрушения твердых деформируемых тел для медленных (квазистатических) и быстрых (динамических) процессов деформации. На основании опыта рас- четов даны рекомендации по моделированию процессов разрушения и обеспечению достоверности численных решений.

The paper reviews the existing approaches to calculating the destruction of solids. The main attention is paid to algorithms using a unified approach to the calculation of deformation both for nondestructive and for the destroyed states of the material. The thermodynamic derivation of the unified rheological relationships taking into account the elastic, viscous and plastic properties of materials and describing the loss of the deformation resistance ability with the accumulation of microdamages is presented. It is shown that the mathematical model under consideration provides a continuous dependence of the solution on input parameters (parameters of the material medium, initial and boundary conditions, discretization parameters) with softening of the material.

Explicit and implicit non-matrix algorithms for calculating the evolution of deformation and fracture development are presented. Non-explicit schemes are implemented using iterations of the conjugate gradient method, with the calculation of each iteration exactly coinciding with the calculation of the time step for two-layer explicit schemes. So, the solution algorithms are very simple.

The results of solving typical problems of destruction of solid deformable bodies for slow (quasistatic) and fast (dynamic) deformation processes are presented. Based on the experience of calculations, recommendations are given for modeling the processes of destruction and ensuring the reliability of numerical solutions.

В предлагаемой статье приводятся результаты аналитического и компьютерного исследования хаотической эволюции регулярного поля скорости, возникающего под действием крупномасштабной гармонической вынуждающей силы. Авторами получено аналитическое решение для функции тока течения и ее производных величин (скорости, завихренности, кинетической энергии, энстрофии и палинстрофии). Проведено численное моделирование эволюции течения с помощью пакета программ OpenFOAM (на основе модели несжимаемой среды), а также двух собственных реализаций, использующих приближение слабой сжимаемости (схемы КАБАРЕ и схемы МакКормака). Расчеты проводились на последовательности вложенных сеток с 64², 128², 256², 512², 1024² ячейками для двух характерных (асимптотических) чисел Рейнольдса Rea, характеризующих ламинарную и турбулентную эволюцию течения соответственно. Моделирование показало, что разрушение аналитического решения происходит в обоих случаях. Энергетические характеристики течения обсуждаются на основе кривых энергии, а также скоростей диссипации. Для самой подробной сетки эта величина оказывается на несколько порядков меньше своего гидродинамического (вязкого) аналога. Разрушение регулярной структуры течения наблюдается для любого из численных методов, в том числе на поздних стадиях ламинарной эволюции, когда полученные распределения близки к аналитическим значениям. Можно предположить, что предпосылкой к развитию неустойчивости выступает ошибка, накапливаемая в процессе счета. Эта ошибка приводит к неравномерностям в распределении завихренности и, как следствие, к появлению вихрей различной интенсивности, взаимодействие которых приводит к хаотизации течения. Для исследования процессов производства завихренности мы использовали две интегральные величины, определяемые на ее основе, — интегральные энстрофию ($\zeta$) и палинстрофию $(P)$. Постановка задачи с периодическими граничными условиями позволяет установить простую связь между этими величинами. Кроме того, $\zeta$ может выступать в качестве меры вихреразрешающей способности численного метода, а палинстрофия определяет степень производства мелкомасштабной завихренности.

This article presents the results of an analytical and computer study of the chaotic evolution of a regular velocity field generated by a large-scale harmonic forcing. The authors obtained an analytical solution for the flow stream function and its derivative quantities (velocity, vorticity, kinetic energy, enstrophy and palinstrophy). Numerical modeling of the flow evolution was carried out using the OpenFOAM software package based on incompressible model, as well as two inhouse implementations of CABARET and McCormack methods employing nearly incompressible formulation. Calculations were carried out on a sequence of nested meshes with 64², 128², 256², 512², 1024² cells for two characteristic (asymptotic) Reynolds numbers characterizing laminar and turbulent evolution of the flow, respectively. Simulations show that blow-up of the analytical solution takes place in both cases. The energy characteristics of the flow are discussed relying upon the energy curves as well as the dissipation rates. For the fine mesh, this quantity turns out to be several orders of magnitude less than its hydrodynamic (viscous) counterpart. Destruction of the regular flow structure is observed for any of the numerical methods, including at the late stages of laminar evolution, when numerically obtained distributions are close to analytics. It can be assumed that the prerequisite for the development of instability is the error accumulated during the calculation process. This error leads to unevenness in the distribution of vorticity and, as a consequence, to the variance vortex intensity and finally leads to chaotization of the flow. To study the processes of vorticity production, we used two integral vorticity-based quantities — integral enstrophy ($\zeta$) and palinstrophy $(P)$. The formulation of the problem with periodic boundary conditions allows us to establish a simple connection between these quantities. In addition, $\zeta$ can act as a measure of the eddy resolution of the numerical method, and palinstrophy determines the degree of production of small-scale vorticity.

Построена математическая модель эволюции микробных популяций при длительном непрерывном культивировании на протоке. Модель представляет собой обобщение целого ряда известных математических моделей эволюции, в которых учитываются такие факторы генетической изменчивости как хромосомные мутации, мутации плазмидных генов, перенос плазмид между клетками микроорганизмов, потери плазмид при делении клеток и др. Для общей модели эволюции построена функция Ляпунова и на основании теоремы Ла-Салля доказано существование в пространстве состояний математической модели ограниченного, положительно инвариантного и глобально притягивающего множества. Дано аналитическое описание этого множества. Обсуждаются перспективы применения численных методов для оценки числа, местоположения и последующего исследования предельных множеств в математических моделях эволюции на протоке.

A mathematical model for the evolution of microbial populations during prolonged cultivation in a chemostat has been constructed. This model generalizes the sequence of the well-known mathematical models of the evolution, in which such factors of the genetic variability were taken into account as chromosomal mutations, mutations in plasmid genes, the horizontal gene transfer, the plasmid loss due to cellular division and others. Liapunov’s function for the generic model of evolution is constructed. The existence proof of bounded, positive invariant and globally attracting set in the state space of the generic mathematical model for the evolution is presented because of the application of La-Salle’s theorem. The analytic description of this set is given. Numerical methods for estimate of the number of limit sets, its location and following investigation in the mathematical models for evolution are discussed.

В рамках метода молекулярной динамики, с использованием многочастичного потенциаламежатомного взаимодействия, на модели свободной частицы Ni₆₀Ag₄₀ диаметром 40 Å, исследована структурная эволюция в процессе закалки. Проведен сравнительный анализ структурных перестроек для моделей частицы и массивного образца. Отмечено снижение температуры начала и конца превращений для частицы. Показано, что в образовании перколяционного кластера из взаимопроникающих и контактирующих между собой икосаэдров, для модели свободной частицы, задействовано на 10 % атомов больше, чем для модели массивного тела.

Molecular dynamics simulation using the embedded-atom method is applied to study the structural evolution of the particle diameter of 40 Å during the quenching process. Was carried comparative analysis of the structural reconstruction for the particle and the bulk models. Was a reduction in temperature of the beginning and end of the transformation of the particle. In formation of a percolation cluster from interpenetrating and contacting icosahedrons, for model of the particle, it is involved for 10 percent of atoms more, than for model of a bulk.

Для математического моделирования несвязного речного дна широко используется уравнение Экснера совместно с феноменологическими моделями транспорта наносов. В случае моделирования эволюции дна простой геометрической формы такой подход позволяет получить точное решение без каких-либо затруднений. Однако в случае моделирования неустойчивого дна сложной геометрической формы в ряде случаев возникает численная неустойчивость, которую сложно отделить от естественной физической неустойчивости.

В настоящей работе выполнен анализпр ичин возникновения численной неустойчивости при моделировании эволюции дна сложной геометрической формы с помощью уравнения Экснера и феноменологических моделей расхода наносов. Показано, что при численном решении уравнения Экснера, замкнутого феноменологической моделью транспорта наносов, могут реализовываться два вида неопределенности. Первая неопределенность возникает при условии транзита наносов над областью дна, где деформаций не происходит. Вторая неопределенность возникает в точках экстремума донного профиля, когда расход наносов меняется, а дно остается неизменным. Авторами выполнено замыкание уравнения Экснера с помощью аналитической модели транспорта наносов, которое позволило преобразовать уравнение Экснера к уравнению параболического типа. Анализполу ченного уравнения показал, что его численное решение не приводит к возникновению вышеуказанных неопределенностей. Параболический вид преобразованного уравнения Экснера позволяет применить для его решения эффективную и устойчивую неявную центрально-разностную схему.

Выполнено решение модельной задачи об эволюции дна при периодическом распределении придонного касательного напряжения. Для численного решения задачи использовалась явная центрально-разностная схема с применением и без применения метода фильтрации и неявная центрально-разностная схема. Показано, что явная центрально-разностная схема теряет устойчивость в области экстремума донного профиля. Использование метода фильтрации привело к повышенной диссипативности решения. Решение с помощью неявной центрально-разностной схемы соответствует закону распределения придонного касательного напряжения и является устойчивым во всей расчетной области.

The Exner equation in conjunction phenomenological sediment transport models is widely used for mathematical modeling non-cohesive river bed. This approach allows to obtain an accurate solution without any difficulty if one models evolution of simple shape bed. However if one models evolution of complex shape bed with unstable soil the numerical instability occurs in some cases. It is difficult to detach this numerical instability from the natural physical instability of bed.

This paper analyses the causes of numerical instability occurring while modeling evolution of complex shape bed by using the Exner equation and phenomenological sediment rate models. The paper shows that two kinds of indeterminateness may occur while solving numerically the Exner equation closed by phenomenological model of sediment transport. The first indeterminateness occurs in the bed area where sediment transport is transit and bed is not changed. The second indeterminateness occurs at the extreme point of bed profile when the sediment rate varies and the bed remains the same. Authors performed the closure of the Exner equation by the analytical sediment transport model, which allowed to transform the Exner equation to parabolic type equation. Analysis of the obtained equation showed that it’s numerical solving does not lead to occurring of the indeterminateness mentioned above. Parabolic form of the transformed Exner equation allows to apply the effective and stable implicit central difference scheme for this equation solving.

The model problem of bed evolution in presence of periodic distribution of the bed shear stress is carried out. The authors used the explicit central difference scheme with and without filtration method application and implicit central difference scheme for numerical solution of the problem. It is shown that the explicit central difference scheme is unstable in the area of the bed profile extremum. Using the filtration method resulted to increased dissipation of the solution. The solution obtained by using the implicit central difference scheme corresponds to the distribution law of bed shear stress and is stable throughout the calculation area.

Представлена новая дискретная эколого-эволюционная математическая модель, в которой реализованы механизмы поиска эволюционно устойчивых маршрутов миграции рыбных популяций. Предложенные адаптивные конструкции имеют малую размерность и поэтому обладают высоким быстродействием, что позволяет проводить компьютерные расчеты на длительный срок за приемлемое машинное время. При исследовании устойчивости использованы как геометрические подходы нелинейного анализа, так и компьютерные асимптотические методы. Динамика миграции рыбной популяции описывается некоторой марковской матрицей, которая может изменяться в процессе эволюции. В семействе марковских матриц (фиксированной размерности) выделены базисные матрицы, которые использованы для генерации маршрутов миграции мутантов. В результате конкуренции исходной популяции с мутантами выявляется перспективное направление эволюции пространственного поведения рыбы при заданном промысле и кормовой базе. Данная модель была применена к решению проблемы оптимального вылова на долгосрочную перспективу, при условии, что водоем разделен на две части, у каждой из которых свой собственник. При решении оптимизационных задач используется динамическое программирование, основанное на построении функции Беллмана. Обнаружена парадоксальная стратегия заманивания, когда один из участников промысла на своей акватории временно сокращает вылов. В этом случае мигрирующая рыба больше времени проводит в этом районе (при условии равной кормовой базы). Такой маршрут эволюционно закрепляется и не изменяется даже после возобновления промысла в этом районе. Второй участник промысла может восстановить статус-кво, применив заманивание на своей части акватории. Возникает бесконечная последовательность заманиваний — своеобразная игра в поддавки. Введено новое эффективное понятие — внутренняя цена рыбной популяции, зависящая от района водоема. По сути, эти цены представляют собой частные производные функции Беллмана и могут быть использованы в качестве налога на выловленную рыбу. В этом случае проблема многолетнего промысла сводится к решению задачи одногодичной оптимизации.

A new discrete ecological-evolutionary mathematical model is presented, in which the search mechanisms for evolutionarily stable migration routes of fish populations are implemented. The proposed adaptive designs have a small dimension, and therefore have high speed. This allows carrying out calculations on long-term perspective for an acceptable machine time. Both geometric approaches of nonlinear analysis and computer “asymptotic” methods were used in the study of stability. The migration dynamics of the fish population is described by a certain Markov matrix, which can change during evolution. The “basis” matrices are selected in the family of Markov matrices (of fixed dimension), which are used to generate migration routes of mutant. A promising direction of the evolution of the spatial behavior of fish is revealed for a given fishery and food supply, as a result of competition of the initial population with mutants. This model was applied to solve the problem of optimal catch for the long term, provided that the reservoir is divided into two parts, each of which has its own owner. Dynamic programming is used, based on the construction of the Bellman function, when solving optimization problems. A paradoxical strategy of “luring” was discovered, when one of the participants in the fishery temporarily reduces the catch in its water area. In this case, the migrating fish spends more time in this area (on condition of equal food supply). This route is evolutionarily fixes and does not change even after the resumption of fishing in the area. The second participant in the fishery can restore the status quo by applying “luring” to its part of the water area. Endless sequence of “luring” arises as a kind of game “giveaway”. A new effective concept has been introduced — the internal price of the fish population, depending on the zone of the reservoir. In fact, these prices are Bellman's private derivatives, and can be used as a tax on caught fish. In this case, the problem of long-term fishing is reduced to solving the problem of one-year optimization.

Предложена трехкомпонентная модельпланк тонного сообщества с дискретным временем. Сообщество представлено зоопланктоном и двумя конкурирующими за ресурсы видами фитопланктона: токсичным и нетоксичным. Модельдв ух связанных уравнений Рикера, ориентированная на описание динамики конкурентного сообщества, используется для описания взаимодействия двух видов фитопланктона и позволяет неявно учитывать ограничение роста биомассы каждого из видов-конкурентов доступностью внешних ресурсов. Изъятие фитопланктона за счет питания зоопланктоном описывается трофической функцией Холлинга II типа с учетом насыщения хищника. Способность фитопланктона защищаться от хищничества и избирательность питания хищника учтены в виде ограничения потребления: зоопланктон питается только нетоксичным фитопланктоном.

Анализ сценариев перехода от стационарной динамики к колебаниям численности сообщества показал, что потеря устойчивости нетривиального равновесия, соответствующего сосуществованию двух видов фитопланктона и зоопланктона, может происходитьч ерез каскад бифуркаций удвоения периода, также возникает бифуркация Неймарка – Сакера, ведущая к возникновению квазипериодических колебаний. Вариация внутрипопуляционных параметров фито- или зоопланктона может приводитьк выраженным изменениям динамического режима в сообществе: резким переходам от регулярной к квазипериодической динамике и далее к точным циклам с небольшим периодом или даже стационарной динамике. В областях мультистабильности возможна кардинальная смена как динамического режима, так и состава сообщества за счет изменения начальных условий или же текущего состава сообщества. Предложенная в данной работе трехкомпонентная модель динамики сообщества с дискретным временем, являясь достаточно простой, позволяет получитьадекв атную динамику взаимодействующих видов: возникают динамические режимы, отражающие основные свойства экспериментальной динамики. Так, наблюдается динамика характерная для модели «хищник–жертва» без учета эволюции — с отставанием динамики хищника от жертвы примерно на четвертьперио да. Рассмотрение генетической неоднородности фитопланктона, даже в случае выделения всего двух генетически различных форм: токсичного и нетоксичного, позволяет наблюдатьв модели как длиннопериодические противофазные циклы хищника и жертвы, так и скрытые циклы, при которых плотностьч исленности жертв остается практически постоянной, а плотность численности хищников колеблется, демонстрируя влияние быстрой эволюции, маскирующей трофическое взаимодействие видов.

We propose a three-component discrete-time model of the phytoplankton-zooplankton community, in which toxic and non-toxic species of phytoplankton compete for resources. The use of the Holling functional response of type II allows us to describe an interaction between zooplankton and phytoplankton. With the Ricker competition model, we describe the restriction of phytoplankton biomass growth by the availability of external resources (mineral nutrition, oxygen, light, etc.). Many phytoplankton species, including diatom algae, are known not to release toxins if they are not damaged. Zooplankton pressure on phytoplankton decreases in the presence of toxic substances. For example, Copepods are selective in their food choices and avoid consuming toxin-producing phytoplankton. Therefore, in our model, zooplankton (predator) consumes only non-toxic phytoplankton species being prey, and toxic species phytoplankton only competes with non-toxic for resources.

We study analytically and numerically the proposed model. Dynamic mode maps allow us to investigate stability domains of fixed points, bifurcations, and the evolution of the community. Stability loss of fixed points is shown to occur only through a cascade of period-doubling bifurcations. The Neimark – Sacker scenario leading to the appearance of quasiperiodic oscillations is found to realize as well. Changes in intrapopulation parameters of phytoplankton or zooplankton can lead to abrupt transitions from regular to quasi-periodic dynamics (according to the Neimark – Sacker scenario) and further to cycles with a short period or even stationary dynamics. In the multistability areas, an initial condition variation with the unchanged values of all model parameters can shift the current dynamic mode or/and community composition.

The proposed discrete-time model of community is quite simple and reveals dynamics of interacting species that coincide with features of experimental dynamics. In particular, the system shows behavior like in prey-predator models without evolution: the predator fluctuations lag behind those of prey by about a quarter of the period. Considering the phytoplankton genetic heterogeneity, in the simplest case of two genetically different forms: toxic and non-toxic ones, allows the model to demonstrate both long-period antiphase oscillations of predator and prey and cryptic cycles. During the cryptic cycle, the prey density remains almost constant with fluctuating predators, which corresponds to the influence of rapid evolution masking the trophic interaction.

Выполнен численный расчет структур и колебательных спектров малых структурных фрагментов воды на основе решения молекулярного уравнения Шредингера в рамках теории функционала плотности с гибридными функционалами B3LYP, X3LYP. Обсуждаются спектральные особенности и эволюция свойств водородных связей в кластерах с увеличением размера. Определены характеристики колебательно-вращательных гамильтонианов и ангармонические резонансы Ферми и Дарлинга-Деннисона в малых водных ассоциатах. Полученные результаты могут быть использованы для расчетов воды и процессов в активных центрах ферментов, протекающих при участии молекул воды, комбинированными методами квантовой химии и молекулярной динамики.

Numerical calculations of structures and vibrational spectra of small water clusters are performed by solution of the molecular Schrodinger equation in the density functional theory framework using B3LYP and X3LYP hybrid functionals. Spectral features and evolution of hydrogen bond properties in clusters with their size increasing are discussed. The vibrotational Hamiltonian parameters and Fermi and Darling-Dennison anharmonic resonances in small water oligomers are determined. Obtained results may be used in quantum mechanics/molecular dynamics simulations of water and processes in active site of enzyme.