All issues

В работе предложена методика упрощения математической модели химической реакции за счет сокращения числа стадий схемы реакции, основанная на анализе чувствительности целевой функции к изменению параметров модели. Функционал характеризует меру близости расчетных значений по исходной кинетической схеме реакции и схеме, полученной возмущением ее параметров. Преимуществом данной методики является возможность анализа сложных кинетических схем и редуцирования кинетических моделей до размеров, приемлемых с точки зрения точности описания и простоты практического использования. В функционал можно включить результаты вычислительных экспериментов при различных условиях проведения реакции и таким образом получить компактную схему, согласующуюся с детальной схемой для требуемого диапазона условий. Анализ чувствительности функционала модели позволяет выявить те параметры, которые обеспечивают наибольший (или наименьший) вклад на результат моделирования процесса. Математическая модель может содержать параметры, изменение значений которых не влияет на качественное и количественное описание процесса. Вклад таких параметров в значение функционала не будет иметь большого значения. Поэтому стадии, которые не служат для моделирования кинетических кривых веществ, можно исключить из рассмотрения. С применением данной методики была исследована кинетическая схема реакции окисления формальдегида, детальный механизм которой включает в себя 25 стадий и 15 веществ. На основании локального и глобального анализа чувствительности определены наиболее значимые стадии процесса, влияющие на общую динамику изменения концентраций целевых веществ реакции. Получена редуцированная схема модельной реакции окисления формальдегида, которая так же описывает поведение основных веществ реакции, как и детальная схема, но имеет значительно меньшее число стадий реакций. Приведены результаты сравнительного анализа моделирования реакции окисления формальдегида по детальной и редуцированной схемам. В статье приведены вычислительные аспекты решения задач химической кинетики глобальным методом Соболя И.М. на примере данной реакции. Приведены результаты сравнения локальных, глобальных и полных глобальных коэффициентов чувствительности.

The technique of simplification of mathematical model of a chemical reaction by reducing the number of steps of the reaction scheme, based on an analysis of sensitivity to changes in the objective function of the model parameters, is proposed. The reduced scheme of model reaction of formaldehyde oxidation is received. Functional characterizes the measure of proximity to the calculated values for the initial kinetic reaction scheme and the scheme resulting disturbance of its parameters. The advantage of this technique is the ability to analyze complex kinetic schemes and reduction of kinetic models to a size suitable for practical use. The results of computational experiments under different reaction conditions can be included in the functional and thus to receive the reduce scheme, which is consistent the detailed scheme for the desired range of conditions. Sensitivity analysis of the functional model allows to identify those parameters, which provide the largest (or smallest) the contribution to the result of the process simulation. The mathematical model can contain parameters, which change of values do not affect the qualitative and quantitative description of the process. The contribution of these parameters in the functional value won’t be of great importance. Thus it can be eliminated from consideration, which do not serve for modeling kinetic curves substances. The kinetic scheme of formaldehyde oxidation, the detailed mechanism which includes 25 stages and 15 substances, were investigated using this method. On the basis of the local and global sensitivity analysis, the most important stage of the process that affect the overall dynamics of the target concentrations of the reaction. The reduced scheme of model reaction of formaldehyde oxidation is received. This scheme also describes the behavior of the main substances, as detailed scheme, but has a much smaller number of reaction stages. The results of the comparative analysis of modeling of formaldehyde oxidation on detailed and reduced schemes are given. Computational aspects of the problems of chemical kinetics by Sobol’ global method an example of this reaction are specified. The comparison results are local, global and total sensitivity indices are given.

Работа посвящена проблеме анализа близости популяционной системы к опасным границам, при пересечении которых в системе разрушается устойчивое сосуществование взаимодействующих популяций. В качестве причины такого разрушения рассматриваются случайные возмущения, неизбежно присутствующие в любой живой системе. Это исследование проводится на примере известной модели взаимодействия популяций хищника и жертвы, учитывающей как стабилизирующий фактор конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы, так и дестабилизирующий фактор насыщения хищника. Для описания насыщения хищника используется трофическая функция Холлинга второго типа. Динамика системы исследуется в зависимости от коэффициента, характеризующего насыщение хищника, и коэффициента конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы. В работе дается параметрическое описание возможных режимов динамики детерминированной модели, исследуются локальные и глобальные бифуркации и выделяются зоны устойчивого сосуществования популяций в равновесном и осцилляционном режимах. Интересной математической особенностью данной модели, впервые рассмотренной Базыкиным, является глобальная бифуркация рождения цикла из петли сепаратрисы. В работе исследуется воздействие шума на равновесный и осцилляционный режимы сосуществования популяций хищника и жертвы. Показано, что увеличение интенсивности случайных возмущений может привести к значительным деформациям этих режимов вплоть до их разрушения. Целью данной работы является разработка конструктивного вероятностного критерия близости этой стохастической системы к опасным границам. Основой предлагаемого математического подхода является техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных областей — доверительных эллипсов, окружающих устойчивое равновесие, и доверительных полос вокруг устойчивого цикла. Размеры доверительных областей пропорциональны интенсивности шума и стохастической чувствительности исходных детерминированных аттракторов. Геометрическим критерием выхода популяционной системы из режима устойчивого сосуществования является пересечение доверительных областей и соответствующих сепаратрис детерминированной модели. Эффективность данного аналитического подхода подтверждается хорошим соответствием теоретических оценок и результатов прямого численного моделирования.

The paper is devoted to the analysis of the proximity of the population system to dangerous boundaries. An intersection of these boundaries results in the collapse of the stable coexistence of interacting populations. As a reason of such destruction one can consider random perturbations inevitably presented in any living system. This study is carried out on the example of the well-known model of interaction between predator and prey populations, taking into account both a stabilizing factor of the competition of predators for another than prey resources, and also a destabilizing saturation factor for predators. To describe the saturation of predators, we use the second type Holling trophic function. The dynamics of the system is studied as a function of the predator saturation, and the coefficient of predator competition for resources other than prey. The paper presents a parametric description of the possible dynamic regimes of the deterministic model. Here, local and global bifurcations are studied, and areas of sustainable coexistence of populations in equilibrium and the oscillation modes are described. An interesting feature of this mathematical model, firstly considered by Bazykin, is a global bifurcation of the birth of limit cycle from the separatrix loop. We study the effects of noise on the equilibrium and oscillatory regimes of coexistence of predator and prey populations. It is shown that an increase of the intensity of random disturbances can lead to significant deformations of these regimes right up to their destruction. The aim of this work is to develop a constructive probabilistic criterion for the proximity of the population stochastic system to the dangerous boundaries. The proposed approach is based on the mathematical technique of stochastic sensitivity functions, and the method of confidence domains. In the case of a stable equilibrium, this confidence domain is an ellipse. For the stable cycle, this domain is a confidence band. The size of the confidence domain is proportional to the intensity of the noise and stochastic sensitivity of the initial deterministic attractor. A geometric criterion of the exit of the population system from sustainable coexistence mode is the intersection of the confidence domain and the corresponding separatrix of the unforced deterministic model. An effectiveness of this analytical approach is confirmed by the good agreement of theoretical estimates and results of direct numerical simulations.

Функциональное моделирование процессов свертывания крови, в частности возникновения фибрин–полимерных сгустков, имеет большое значение для прикладных вопросов медицинской биофизики. Несмотря на некоторые неточности в математических моделях, качественные результаты представляют огромный интерес для экспериментаторов как средство анализа возможных вариантов развития их работ. При достижении хорошего количественного совпадения с экспериментальными результатами такие модели могут быть использованы для технологических применений. Целью данной работы является моделирование процесса многоступенчатой полимеризации фибрина и сопряженного с ними золь-гель-перехода — возникновения фибрин-полимерной сетки в точечной системе. Для программной реализации и численных экспериментов используется неявный метод Розенброка второго порядка с комплексными коэффициентами (CROS). В работе представлены результаты моделирования и проведен анализ чувствительности численных решений к коэффициентам математической модели методами вариации. Показано, что в физиологическом диапазоне параметров констант модели существует лаг-период 20 секунд между началом реакции и возникновением зародышей фибрин-полимерной сетки, что хорошо соответствует экспериментальным наблюдениям подобных систем. Показана возможность появления нескольких $(n = 1–3)$ последовательных золь-гель-переходов. Такое необычное поведение системы является прямым следствием наличия нескольких фаз в процессе полимеризации фибрина. На последнем этапе раствор олигомеров фибрина длины 10 может достичь полуразбавленного состояния. Это, в свою очередь, приведет к исключительно быстрой кинетике формирования фибрин-полимерной сетки, управляемой вращательной диффузией олигомеров. Если же состояние полуразбавленного раствора не достигается, то образование фибрин-полимерной сетки контролируется трансляционной диффузией, которая является существенно более медленным процессом. Такой дуализм в процессе золь-гель-перехода привел к необходимости введения функции переключения в уравнения для кинетики образования фибрин-полимера. Ситуация с последовательными золь-гель-переходами соответствует экспериментальным системам, где вследствие физических процессов, таких как пресипитация, фибрин-полимерная сетка может быть быстро удалена из объема.

Functional modeling of blood clotting and fibrin-polymer mesh formation is of a significant value for medical and biophysics applications. Despite the fact of some discrepancies present in simplified functional models their results are of the great interest for the experimental science as a handy tool of the analysis for research planning, data processing and verification. Under conditions of the good correspondence to the experiment functional models can be used as an element of the medical treatment methods and biophysical technologies. The aim of the paper in hand is a modeling of a point system of the fibrin-polymer formation as a multistage polymerization process with a sol-gel transition at the final stage. Complex-value Rosenbroke method of second order (CROS) used for computational experiments. The results of computational experiments are presented and discussed. It was shown that in the physiological range of the model coefficients there is a lag period of approximately 20 seconds between initiation of the reaction and fibrin gel appearance which fits well experimental observations of fibrin polymerization dynamics. The possibility of a number of the consequent $(n = 1–3)$ sol-gel transitions demonstrated as well. Such a specific behavior is a consequence of multistage nature of fibrin polymerization process. At the final stage the solution of fibrin oligomers of length 10 can reach a semidilute state, leading to an extremely fast gel formation controlled by oligomers’ rotational diffusion. Otherwise, if the semidilute state is not reached the gel formation is controlled by significantly slower process of translational diffusion. Such a duality in the sol-gel transition led authors to necessity of introduction of a switch-function in an equation for fibrin-polymer formation kinetics. Consequent polymerization events can correspond to experimental systems where fibrin mesh formed gets withdrawn from the volume by some physical process like precipitation. The sensitivity analysis of presented system shows that dependence on the first stage polymerization reaction constant is non-trivial.

В работе рассматривается модель экономической динамики Гудвина, находящаяся под воздействием случайных возмущений. Проведен полный параметрический анализ равновесий и циклов детерминированной системы. Исследованы вероятностные свойства аттракторов стохастической системы с использованием техники функций стохастической чувствительности и метода прямого численного моделирования. Обсуждается явление генерации стохастических бизнес-циклов в зоне, где исходная детерминированная модель имеет лишь устойчивые равновесия.

The Goodwin dynamical model under the random external disturbances is considered. A full parametrical analysis for equlibria and cycles of deterministic model is developed. We study probabilistic properties of stochastic attractors using stochastic sensitivity functions technique and numerical methods. A phenomenon of the generation of stochastic business cycles in the zones of stable equilibria is discussed.

Работа посвящена проблеме анализа эффектов, связанных с воздействием аддитивного и параметрического шума на процессы, происходящие в нервной клетке. Это исследование проводится на примере известной модели Моррис–Лекара, которая описывается двумерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из основных свойств нейрона является возбудимость — способность отвечать на внешнее воздействие резким изменением электрического потенциала на мембране клетки. В данной статье рассматривается набор параметров, при котором модель демонстрирует возбудимость класса 2. Динамика системы исследуется при изменении параметра внешнего тока. Рассматриваются две параметрические зоны: зона моностабильности, в которой единственным аттрактором детерминированной системы является устойчивое равновесие, и зона бистабильности, характеризующаяся сосуществованием устойчивого равновесия и предельного цикла. Показывается, что в обоих случаях под действием шума в системе генерируются колебания смешанных мод (т. е. чередование колебаний малых и больших амплитуд). В зоне моностабильности данный феномен связан с высокой возбудимостью системы, а в зоне бистабильности он объясняется индуцированными шумом переходами между аттракторами. Это явление подтверждается изменениями плотности распределения случайных траекторий, спектральной плотности и статистиками межспайковых интервалов. Проводится сравнение действия аддитивного и параметрического шума. Показывается, что при добавлении параметрического шума стохастическая генерация колебаний смешанных мод наблюдается при меньших интенсивностях, чем при воздействии аддитивного шума. Для количественного анализа этих стохастических феноменов предлагается и применяется подход, основанный на технике функций стохастической чувствительности и методе доверительных областей. В случае устойчивого равновесия это эллипс, а для устойчивого предельного цикла такой областью является доверительная полоса. Исследование взаимного расположения доверительных областей и границы, разделяющей бассейны притяжения аттракторов, при изменении параметров шума позволяет предсказать возникновение индуцированных шумом переходов. Эффективность данного аналитического подхода подтверждается хорошим соответствием теоретических оценок с результатами прямого численного моделирования.

This paper is devoted to the analysis of the effect of additive and parametric noise on the processes occurring in the nerve cell. This study is carried out on the example of the well-known Morris – Lecar model described by the two-dimensional system of ordinary differential equations. One of the main properties of the neuron is the excitability, i.e., the ability to respond to external stimuli with an abrupt change of the electric potential on the cell membrane. This article considers a set of parameters, wherein the model exhibits the class 2 excitability. The dynamics of the system is studied under variation of the external current parameter. We consider two parametric zones: the monostability zone, where a stable equilibrium is the only attractor of the deterministic system, and the bistability zone, characterized by the coexistence of a stable equilibrium and a limit cycle. We show that in both cases random disturbances result in the phenomenon of the stochastic generation of mixed-mode oscillations (i. e., alternating oscillations of small and large amplitudes). In the monostability zone this phenomenon is associated with a high excitability of the system, while in the bistability zone, it occurs due to noise-induced transitions between attractors. This phenomenon is confirmed by changes of probability density functions for distribution of random trajectories, power spectral densities and interspike intervals statistics. The action of additive and parametric noise is compared. We show that under the parametric noise, the stochastic generation of mixed-mode oscillations is observed at lower intensities than under the additive noise. For the quantitative analysis of these stochastic phenomena we propose and apply an approach based on the stochastic sensitivity function technique and the method of confidence domains. In the case of a stable equilibrium, this confidence domain is an ellipse. For the stable limit cycle, this domain is a confidence band. The study of the mutual location of confidence bands and the boundary separating the basins of attraction for different noise intensities allows us to predict the emergence of noise-induced transitions. The effectiveness of this analytical approach is confirmed by the good agreement of theoretical estimations with results of direct numerical simulations.