All issues

Репрессилятором называют первую в синтетической биологии генную регуляторную сеть, искусственно сконструированную в 2000 году. Он представляет собой замкнутую малоразмерную цепь из трех генов: $lacI$, $\lambda cI$ и $tetR$, которые в такой комбинации в природе не встречаются. Промотор каждого гена контролирует следующий за ним цистрон по принципу отрицательной обратной связи, подавляя экспрессию соседнего гена. Ранее в работе [Брацун и др., 2018] была предложена математическая модель запаздывающего репрессилятора и изучены ее свойства в рамках детерминистского описания. Предполагается, что запаздывание может быть как естественным, т. е. возникать во время процессов транскрипции/трансляции в силу многоступенчатого характера этих процессов, так и искусственным, т. е. специально вноситься в работу регуляторной сети с помощью методов генной инженерии. Данная работа посвящена стохастическому описанию динамических процессов в запаздывающем репрессиляторе, которое является важным дополнением детерминистского анализа из-за сильных флуктуаций и небольшого числа молекул, принимающих обычно участие в генной регуляции. Стохастическое исследование было проведено численно с помощью алгоритма Гиллеспи, модифицированного для систем с запаздыванием. Приводятся описание алгоритма, его программная реализация и результаты тестовых расчетов для одногенного авторепрессора с запаздыванием. При исследовании репрессилятора обнаружено, что стохастическое описание в ряде случаев дает новую информацию о поведении системы, которая не сводится к детерминистской динамике даже при усреднении по большому числу реализаций. В подкритической области, где детерминистский анализ предсказывает абсолютную устойчивость системы, было обнаружено возбуждение квазирегулярных колебаний, вызываемых нелинейным взаимодействием шума и запаздывания. Выше порога возникновения неустойчивости обнаружено спонтанное изменение фазы колебаний из-за внезапной временной деградации этих колебаний. Ранее в детерминистском анализе был обнаружен долгоживущий переходный режим, который отвечает движению фазовой траектории по медленному многообразию и отражает процесс длительной синхронизации пульсаций в работе отдельных генов. Показано, что в стохастическом случае переход к кооперативному режиму работы генов репрессилятора происходит в среднем на два порядка быстрее. Построено распределение вероятности соскока фазовой траектории с медленного многообразия и определено наиболее вероятное время такого перехода. Обсуждается влияние внутреннего шума химических реакций на динамические свойства репрессилятора.

The repressilator is the first genetic regulatory network in synthetic biology, which was artificially constructed in 2000. It is a closed network of three genetic elements $lacI$, $\lambda cI$ and $tetR$, which have a natural origin, but are not found in nature in such a combination. The promoter of each of the three genes controls the next cistron via the negative feedback, suppressing the expression of the neighboring gene. In our previous paper [Bratsun et al., 2018], we proposed a mathematical model of a delayed repressillator and studied its properties within the framework of a deterministic description. We assume that delay can be both natural, i.e. arises during the transcription / translation of genes due to the multistage nature of these processes, and artificial, i.e. specially to be introduced into the work of the regulatory network using gene engineering technologies. In this work, we apply the stochastic description of dynamic processes in a delayed repressilator, which is an important addition to deterministic analysis due to the small number of molecules involved in gene regulation. The stochastic study is carried out numerically using the Gillespie algorithm, which is modified for time delay systems. We present the description of the algorithm, its software implementation, and the results of benchmark simulations for a onegene delayed autorepressor. When studying the behavior of a repressilator, we show that a stochastic description in a number of cases gives new information about the behavior of a system, which does not reduce to deterministic dynamics even when averaged over a large number of realizations. We show that in the subcritical range of parameters, where deterministic analysis predicts the absolute stability of the system, quasi-regular oscillations may be excited due to the nonlinear interaction of noise and delay. Earlier, we have discovered within the framework of the deterministic description, that there exists a long-lived transient regime, which is represented in the phase space by a slow manifold. This mode reflects the process of long-term synchronization of protein pulsations in the work of the repressilator genes. In this work, we show that the transition to the cooperative mode of gene operation occurs a two order of magnitude faster, when the effect of the intrinsic noise is taken into account. We have obtained the probability distribution of moment when the phase trajectory leaves the slow manifold and have determined the most probable time for such a transition. The influence of the intrinsic noise of chemical reactions on the dynamic properties of the repressilator is discussed.

Для трубчатых пороховых элементов большого удлинения, используемых в артиллерийских метательных зарядах, имеют место условия неравномерного горения. Здесь необходимо параллельно рассматривать процессы горения и движения пороховых газов внутри и вне каналов пороховых трубок. Без этого невозможно адекватно поставить и решить задачи о воспламенении, эрозионном горении и напряженно-деформированном состоянии трубчатых пороховых элементов в процессе выстрела. В работе представлена физико-математическая постановка основной задачи внутренней баллистики артиллерийского выстрела для заряда, состоящего из совокупности пороховых трубок. Горение и движение пучка пороховых трубок по каналу ствола моделируются эквивалентным трубчатым зарядом всестороннего горения. Площади торца и сечения канала такого заряда (эквивалентной трубки) равны сумме площадей торцов и сечений каналов пороховых трубок соответственно. Поверхность горения канала равна сумме внутренних поверхностей трубок в пучке. Внешняя поверхность горения эквивалентной трубки равна сумме внешних поверхностей трубок в пучке. Предполагается, что эквивалентная трубка движется по оси канала ствола. Скорость движения эквивалентного трубчатого заряда и его текущее положение определяются из второго закона Ньютона. Для расчета параметров течения использованы двумерные осесимметричные уравнения газовой динамики, для решения которых строится осесимметричная ортогонализированная разностная сетка, адаптирующаяся к условиям течения. При перемещении и горении трубки разностная сетка перестраивается с учетом изменяющихся областей интегрирования. Для численного решения системы газодинамических уравнений применяется метод контрольного объема. Параметры газа на границах контрольных объемов определяются с использованием автомодельного решения задачи о распаде произвольного разрыва С.К. Годунова. Разработанная методика использована при расчетах внутрибаллистических параметров артиллерийского выстрела. Данный подход рассмотрен впервые и позволяет по-новому подойти к проектированию трубчатых артиллерийских зарядов, поскольку позволяет получить необходимую информацию в виде полей скорости и давления пороховых газов для расчета процесса постепенного воспламенения, нестационарного эрозионного горения, напряженно-деформированного состояния и прочности пороховых элементов при выстреле. Представлены временные зависимости параметров внутрибаллистического процесса и распределения основных параметров течения продуктов горения в различные моменты времени.

There are conditions of uneven combustion for tubular powder elements of large elongation used in artillery propelling charges. Here it is necessary to consider in parallel the processes of combustion and movement of powder gases inside and outside the channels of the powder tubes. Without this, it is impossible to adequately formulate and solve the problems of ignition, erosive combustion and stress-strain state of tubular powder elements in the shot process. The paper presents a physical and mathematical formulation of the main problem of the internal ballistics of an artillery shot for a charge consisting of a set of powder tubes. Combustion and movement of a bundle of powder tubes along the barrel channel is modeled by an equivalent tubular charge of all-round combustion. The end and cross-sectional areas of the channel of such a charge (equivalent tube) are equal to the sum of the areas of the ends and cross-sections of the channels of the powder tubes, respectively. The combustion surface of the channel is equal to the sum of the inner surfaces of the tubes in the bundle. The outer combustion surface of the equivalent tube is equal to the sum of the outer surfaces of the tubes in the bundle. It is assumed that the equivalent tube moves along the axis of the bore. The speed of motion of an equivalent tubular charge and its current position are determined from Newton’s second law. To calculate the flow parameters, we used two-dimensional axisymmetric equations of gas dynamics, for the solution of which an axisymmetric orthogonalized difference mesh is constructed, which adapts to the flow conditions. When the tube moves and burns, the difference grid is rearranged taking into account the changing regions of integration. The control volume method is used for the numerical solution of the system of gas-dynamic equations. The gas parameters at the boundaries of the control volumes are determined using a self-similar solution to the Godunov problem of decay for an arbitrary discontinuity. The developed technique was used to calculate the internal ballistics parameters of an artillery shot. This approach is considered for the first time and allows a new approach to the design of tubular artillery charges, since it allows obtaining the necessary information in the form of fields of velocity and pressure of powder gases for calculating the process of gradual ignition, unsteady erosive combustion, stress-strain state and strength of powder elements during the shot. The time dependences of the parameters of the internal ballistics process and the distribution of the main parameters of the flow of combustion products at different times are presented.

Технический углерод (сажа) — продукт, получаемый термическим разложением (пиролизом) углеводородов (как правило, нефти) в потоке газа-теплоносителя. Технический углерод широко применяется в качестве усиливающего компонента в производстве резин и пластических масс. В производстве шин используется 70% всего выпускаемого углерода. При печном производстве углерода жидкое углеводородное сырье впрыскивается форсунками в поток продуктов сгорания природного газа. Происходит распыл и испарение сырья с дальнейшим пиролизом. Важно, чтобы сырье полностью испарилось до начала пиролиза, иначе будет образовываться кокс, загрязняющий продукт. Для совершенствования технологии производства углерода, в частности обеспечения полного испарения сырья до начала пиролиза, невозможно обойтись без математического моделирования самого процесса. Оно является важнейшим способом получения наиболее полной и детальной информации об особенностях работы реактора.

В программном комплексе (ПК) FlowVision разрабатываются трехмерная математическая модель и метод расчета распыла и испарения сырья в потоке газа-теплоносителя. Для отработки методики моделирования в качестве сырья выбрана вода. Рабочими веществами в камере реактора являются продукты сгорания природного газа. Движение капель сырья и испарение в потоке газа моделируются в рамках эйлерова подхода взаимодействия дисперсной и сплошной сред. Представлены результаты расчета распыла и испарения сырья в реакторе для производства технического углерода. По найденному в каждый момент времени распределению множества капель распыла сырья в реакторе определяется важный параметр, характеризующий мелкость распыла — средний саутеровский диаметр.

Technical carbon (soot) is a product obtained by thermal decomposition (pyrolysis) of hydrocarbons (usually oil) in a stream of heat carrier gas. Technical carbon is widely used as a reinforcing component in the production of rubber and plastic masses. Tire production uses 70% of all carbon produced. In furnace carbon production, the liquid hydrocarbon feedstock is injected into the natural gas combustion product stream through nozzles. The raw material is atomized and vaporized with further pyrolysis. It is important for the raw material to be completely evaporated before the pyrolysis process starts, otherwise coke, that contaminates the product, will be produced. It is impossible to operate without mathematical modeling of the process itself in order to improve the carbon production technology, in particular, to provide the complete evaporation of the raw material prior to the pyrolysis process. Mathematical modelling is the most important way to obtain the most complete and detailed information about the peculiarities of reactor operation.

A three-dimensional mathematical model and calculation method for raw material atomization and evaporation in the thermal gas flow are being developed in the FlowVision software package PC. Water is selected as a raw material to work out the modeling technique. The working substances in the reactor chamber are the combustion products of natural gas. The motion of raw material droplets and evaporation in the gas stream are modeled in the framework of the Eulerian approach of interaction between dispersed and continuous media. The simulation results of raw materials atomization and evaporation in a real reactor for technical carbon production are presented. Numerical method allows to determine an important atomization characteristic: average Sauter diameter. That parameter could be defined from distribution of droplets of raw material at each time of spray forming.

Статья представляет собой исследование математической модели и особенностей кинематики параллельного сферического манипулятора. Этот тип манипулятора был предложен еще в 80-х годах прошлого века и с тех пор нашел применение в экзоскелетах и реабилитационных роботах благодаря своей структуре, которая позволяет имитировать естественные движения суставов человеческого тела.

Параллельный сферический манипулятор имеет три параллельных двухзвенных рычажных механизма, которые соединяют две платформы — базовую и мобильную. Звенья механизма имеют дугообразную форму. Геометрически манипулятор можно описать с помощью двух виртуальных пирамид, которые расположены друг над другом.

В данной работе рассматриваются два основных типа конфигураций манипулятора (классическая и асимметричная) и решаются основные кинематические задачи для каждой из них. Исследование показывает, что асимметричное исполнение манипулятора имеет максимальное рабочее пространство, особенно когда моторы установлены в месте соединения опорных звеньев манипулятора.

Для оптимизации параметров параллельного сферического манипулятора вводится метрика полезного объема рабочего пространства. Данная метрика представляет собой объем сектора сферы, в котором робот не испытывает внутренних коллизий или сингулярных состояний. Внутри параллельного сферического манипулятора возможны три типа сингулярных состояний: последовательная, параллельная и смешанная сингулярность. Для расчета полезного объема были учтены все три типа сингулярностей. В ходе исследования решалась задача максимизации полезного объема рабочего пространства.

В результате исследования было обнаружено, что асимметричная конфигурация сферического манипулятора обеспечивает максимальное рабочее пространство, когда моторы расположены в месте соединения опорных звеньев механизмов робота. При этом для достижения максимального рабочего пространства параметр $\beta_1$ должен быть равен нулю градусов. Это позволило создать прототип робота, в котором вместо нижних опорных звеньев использована радиусная рельса, вдоль которой движутся моторы. Это позволило уменьшить линейные размеры самого робота и повысить жесткость конструкции.

Полученные результаты могут быть использованы для оптимизации параметров параллельного сферического манипулятора с целью применения его в различных промышленных и научных задачах, а также для дальнейшего исследования других типов параллельных роботов и манипуляторов.

The paper is a study of the mathematical model and kinematics of a parallel spherical manipulator. This type of manipulator was proposed back in the 80s of the last century and has since found application in exoskeletons and rehabilitation robots due to its structure, which allows imitating natural joint movements of the human body.

The Parallel Spherical Manipulator is a robot with three legs and two platforms, a base platform and a mobile platform. Its legs consist of two support links that are arc-shaped. Mathematically, the manipulator can be described using two virtual pyramids that are placed on top of each other.

The paper considers two types of manipulator configurations: classical and asymmetric, and solves basic kinematic problems for each. The study shows that the asymmetric design of the manipulator has the maximum workspace, especially when the motors are mounted at the joints of the manipulator’s links inside legs.

To optimize the parameters of the parallel spherical manipulator, we introduced a metric of usable workspace volume. This metric represents the volume of the sector of the sphere in which the robot does not experience internal collisions or singular states. There are three types of singular states possible within a parallel spherical manipulator — serial, parallel, and mixed singularity. We used all three types of singularities to calculate the useful volume. In our research work, we solved the problem related to maximizing the usable volume of the workspace.

Through our research work, we found that the asymmetric configuration of the spherical manipulator maximizes the workspace when the motors are located at the articulation point of the robot leg support arms. At the same time, the parameter $\beta_1$ must be zero degrees to maximize the workspace. This allowed us to create a prototype robot in which we eliminated the use of lower links in legs in favor of a radiused rail along which the motors run. This allowed us to reduce the linear dimensions of the robot itself and gain on the stiffness of the structure.

The results obtained can be used to optimize the parameters of the parallel spherical manipulator in various industrial and scientific applications, as well as for further research of other types of parallel robots and manipulators.

С помощью компьютерной модели, основанной на методах многочастичного прямого моделирования и броуновской динамики, изучается кинетика образования комплекса между компонентами фотосинтетической электронтранспортной цепи — белком флаводоксином и мембранным комплексом фотосистемы 1. Моделируется броуновское движение нескольких сотен молекул флаводоксина, учитываются электростатические взаимодействия и сложная форма молекул. С помощью данной модели удалось воспроизвести экспериментальную немонотонную зависимость константы связывания флаводоксина с фотосистемой 1. Это говорит о том, что для описания такого вида зависимости достаточно учета только электростатических взаимодействий.

Kinetics of complex formation between components of the photosynthetic electron transport chain — flavodoxin and membrane complex photosystem I has been studied using computer model based on methods of multiparticle simulation and Brownian dynamics. We simulated Brownian motion of several hundreds of flavodoxin molecules, taking into account electrostatic interactions and complex shape of the molecules. Our model could describe experimental nonmonotonic dependence of the association rate constant for flavodoxin and photosystem I. This lets us conclude that electrostatic interactions are sufficient to form such kind of nonmonotonic dependence.

В данной работе изучаются вращательные колебания азотистых оснований, образующих центральную пару в коротком фрагменте ДНК, состоящем из трех пар оснований. Построен простой механический аналог фрагмента, в котором основания имитируются маятниками, а взаимодействия между основаниями — пружинками. Получен лагранжиан модельной системы и уравнения движения. Получены решения уравнений движения для однородного случая, когда рассматриваемый фрагмент ДНК состоит из одинаковых пар оснований: из пар аденин-тимин (AT) или гуанинцитозин (GC). Построены траектории модельной системы в конфигурационном пространстве.

In this paper we study the rotational oscillations of the nitrous bases forming a central pair in a short DNA fragment consisting of three base pairs. A simple mechanical analog of the fragment where the bases are imitated by pendulums and the interactions between pendulums — by springs, has been constructed. We derived Lagrangian of the model system and the nonlinear equations of motions. We found solutions in the homogeneous case when the fragment considered consists of identical base pairs: Adenine-Thymine (AT- pair) or Guanine-Cytosine (GC-pair). The trajectories of the model system in the configuration space were also constructed.

Известно, что в нативном состоянии молекула ДНК всегда содержит некоторое количество локально расплетенных участков, часто называемых открытыми состояниями ДНК. Считается, что эти состояния играют важную роль в ДНК-белковом узнавании, и изучение их динамики может пролить дополнительный свет на механизмы регуляции транскрипции и репликации. В этой статье мы рассматриваем влияние термостата на движение открытых состояний в искусственной последовательности, состоящей из четырех однородных областей. Мы построим энергетический профиль этой последовательности и исследуем траектории движения открытых состояний в этом профиле под действием случайной силы.

It is known that in the native state the DNA molecule always contains some amount of locally unwound regions, often called the open states of DNA. It is believed that these states play an important role in DNA-protein recognition and that the study of the open states dynamics may shed further light on the mechanisms of regulation of transcription and replication. In this paper we consider the effect of the thermostat on the movement of the open states in the artificial sequence consisting of four homogeneous regions. We construct the energetic profile of the sequence and investigate the trajectories of the movement of the open states under the action of a random force.

В работе рассмотрено приложение методов кинетической теории к задачам гемодинамики. Для моделирования выбраны решеточные уравнения Больцмана. Данные модели описывают дискретизированную по пространственной и временной координате динамику движения частиц на одномерной решетке. Хорошо известно, что в пределе малых длин свободного пробега решеточные уравнения Больцмана описывают уравнения гидродинамики. Если течение достаточно медленное (мало число Маха), то данные уравнения гидродинамики переходят в уравнения Навье – Стокса для сжимаемого газа. Если в получающихся гидродинамических уравнениях переменные, отвечающие плотности и скорости звука, считать площадью поперечного сечения сосуда и скоростью распространения пульсовой волны давления, то выводятся хорошо известные в биомеханике нелинейные уравнения распространения несжимаемой вязкой жидкости (крови) в эластичном сосуде для частного случая постоянной пульсовой скорости.

В общем случае скорость распространения пульсовой волны зависит от площади просвета сосуда. Следует отметить интересную аналогию: уравнение состояния решеточного газа в новых переменных становится законом, связывающим давление и площадь поперечного сечения сосуда. Таким образом, в общем случае требуется модифицировать уравнение состояния для решеточного уравнения Больцмана. Данная процедура хорошо известна в теории неидеального газа и многофазных течений и эквивалентна введению в уравнения виртуальной силы. Получающиеся уравнения могут использоваться для моделирования любых законов, связывающих скорость пульсовой волны и площадь просвета сосуда.

В качестве тестовых задач рассмотрено распространение уединенной нелинейной пульсовой волны в сосуде с упругими свойствами, описываемыми законом Лапласа. Во второй задаче рассмотрено распространение пульсовых волн для бифуркации сосудов. Показано, что результаты расчетов хорошо совпадают с данными из предыдущих исследований.

In the present paper the application of the kinetic methods to the blood flow problems in elastic vessels is studied. The Lattice Boltzmann (LB) kinetic equation is applied. This model describes the discretized in space and time dynamics of particles traveling in a one-dimensional Cartesian lattice. At the limit of the small times between collisions LB models describe hydrodynamic equations which are equivalent to the Navier – Stokes for compressible if the considered flow is slow (small Mach number). If one formally changes in the resulting hydrodynamic equations the variables corresponding to density and sound wave velocity by luminal area and pulse wave velocity then a well-known 1D equations for the blood flow motion in elastic vessels are obtained for a particular case of constant pulse wave speed.

In reality the pulse wave velocity is a function of luminal area. Here an interesting analogy is observed: the equation of state (which defines sound wave velocity) becomes pressure-area relation. Thus, a generalization of the equation of state is needed. This procedure popular in the modeling of non-ideal gas and is performed using an introduction of a virtual force. This allows to model arbitrary pressure-area dependence in the resulting hemodynamic equations.

Two test case problems are considered. In the first problem a propagation of a sole nonlinear pulse wave is studied in the case of the Laplace pressure-area response. In the second problem the pulse wave dynamics is considered for a vessel bifurcation. The results show good precision in comparison with the data from literature.

В статье рассматривается процесс поиска опорных траекторий движения плоского пятизвенного двуногого шагающего робота с точечным контактом. Для этого используются метод приведения динамики к низкоразмерному нулевому многообразию с помощью наложения виртуальных связей и алгоритмы нелинейной оптимизации для поиска параметров наложенных связей. Проведен анализ влияния степени полиномов Безье, аппроксимирующих виртуальные связи, а также условия непрерывности управляющих воздействий на энергоэффективность движения. Численные расчеты показали, что на практике достаточно рассматривать полиномы со степенями 5 или 6, так как дальнейшее увеличение степени приводит к увеличению вычислительных затрат, но не гарантирует уменьшение энергозатрат походки. Помимо этого, было установлено, что введение ограничений на непрерывность управляющих воздействий не приводит к существенному уменьшению энергоэффективности и способствует реализуемости походки на реальном роботе благодаря плавному изменению крутящих моментов в приводах. В работе показано, что для решения задачи поиска минимума целевой функции в виде энергозатрат при наличии большого количества ограничений целесообразно на первом этапе найти допустимые точки в пространстве параметров, а на втором этапе — осуществлять поиск локальных минимумов, стартуя с этих точек. Для первого этапа предложен алгоритм расчета начальных приближений искомых параметров, позволяющий сократить время поиска траекторий (в среднем до 3-4 секунд) по сравнению со случайным начальным приближением. Сравнение значений целевых функций на первом и на втором этапах показывает, что найденные на втором этапе локальные минимумы дают в среднем двукратный выигрыш по энергоэффективности в сравнении со случайно найденной на первом этапе допустимой точкой. При этом времязатраты на выполнение локальной оптимизации на втором этапе являются существенными.

In this paper, we discuss the procedure for finding nominal trajectories of the planar five-link bipedal robot with point contact. To this end we use a virtual constraints method that transforms robot’s dynamics to a lowdimensional zero manifold; we also use a nonlinear optimization algorithms to find virtual constraints parameters that minimize robot’s cost of transportation. We analyzed the effect of the degree of Bezier polynomials that approximate the virtual constraints and continuity of the torques on the cost of transportation. Based on numerical results we found that it is sufficient to consider polynomials with degrees between five and six, as further increase in the degree of polynomial results in increased computation time while it does not guarantee reduction of the cost of transportation. Moreover, it was shown that introduction of torque continuity constraints does not lead to significant increase of the objective function and makes the gait more implementable on a real robot.

We propose a two step procedure for finding minimum of the considered optimization problem with objective function in the form of cost of transportation and with high number of constraints. During the first step we solve a feasibility problem: remove cost function (set it to zero) and search for feasible solution in the parameter space. During the second step we introduce the objective function and use the solution found in the first step as initial guess. For the first step we put forward an algorithm for finding initial guess that considerably reduced optimization time of the first step (down to 3–4 seconds) compared to random initialization. Comparison of the objective function of the solutions found during the first and second steps showed that on average during the second step objective function was reduced twofold, even though overall computation time increased significantly.

В работе предложена новая математическая модель для исследования динамики взаимодействия продольной стенки узкого канала с его торцевым уплотнением — торцевой стенкой, имеющей упругое закрепление. В рамках данной модели взаимодействие указанных стенок происходит через слой вязкой жидкости, заполняющей канал, и ранее не исследовалось. Это потребовало постановки и решения задачи гидроупругости. Поставленная задача состоит из уравнений Навье–Стокса, уравнения неразрывности, уравнения динамики торцевой стенки как одномассовой модели и соответствующих краевых условий. На первом этапе задача исследована при ползучем течении. На втором этапе исследования данное ограничение снимается и, при использовании метода итераций, осуществлено обобщение исходной задачи с учетом инерции движения жидкости. Решение сформулированной задачи позволило определить законы распределения скоростей и давления в слое жидкости, а также закон движения торцевой стенки. Показано, что при ползучем течении физические свойства слоя жидкости и геометрические размеры канала полностью определяют демпфирование в рассматриваемой колебательной системе. При этом на демпфирующие свойства слоя жидкости оказывает влияние как скорость движения торцевой стенки, так и скорость движения продольной стенки. Найдены выражения для коэффициентов демпфирования слоя жидкости в продольном и поперечном направлении. При учете сил инерции жидкости выявлено их влияние на колебания торцевой стенки, проявляющиеся в виде двух присоединенных масс в уравнении ее движения. Определены выражения для указанных присоединенных масс. Для режима установившихся гармонических колебаний построены амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики торцевой стенки, учитывающие демпфирующие и инерционные свойства слоя вязкой жидкости в канале. Моделирование показало, что совместный учет инерции движения слоя жидкости в канале и его демпфирующих свойств приводит к сдвигу резонансных частот колебаний в низкочастотную область и возрастанию амплитуд колебаний торцевой стенки.

The paper proposes a new mathematical model to study the interaction dynamics of the longitudinal wall of a narrow channel with its end seal. The end seal was considered as the edge wall on a spring, i.e. spring-mass system. These walls interaction occurs via a viscous liquid filling the narrow channel; thus required the formulation and solution of the hydroelasticity problem. However, this problem has not been previously studied. The problem consists of the Navier–Stokes equations, the continuity equation, the edge wall dynamics equation, and the corresponding boundary conditions. Two cases of fluid motion in a narrow channel with parallel walls were studied. In the first case, we assumed the liquid motion as the creeping one, and in the second case as the laminar, taking into account the motion inertia. The hydroelasticty problem solution made it possible to determine the distribution laws of velocities and pressure in the liquid layer, as well as the motion law of the edge wall. It is shown that during creeping flow, the liquid physical properties and the channel geometric dimensions completely determine the damping in the considered oscillatory system. Both the end wall velocity and the longitudinal wall velocity affect the damping properties of the liquid layer. If the fluid motion inertia forces were taken into account, their influence on the edge wall vibrations was revealed, which manifested itself in the form of two added masses in the equation of its motion. The added masses and damping coefficients of the liquid layer due to the joint consideration of the liquid layer inertia and its viscosity were determined. The frequency and phase responses of the edge wall were constructed for the regime of steady-state harmonic oscillations. The simulation showed that taking into account the fluid layer inertia and its damping properties leads to a shift in the resonant frequencies to the low-frequency region and an increase in the oscillation amplitudes of the edge wall.