All issues

В работе рассматривается возможность сравнения и классификации динамических систем на основе топологического анализа данных. Определение мер взаимодействия между каналами динамических систем на основе методов HIIA (Hankel Interaction Index Array) и PM (Participation Matrix) позволяет построить графы HIIA и PM и их матрицы смежности. Для любой линейной динамической системы может быть построен аппроксимирующий ориентированный граф, вершины которого соответствуют компонентам вектора состояния динамической системы, а дуги — мерам взаимного влияния компонент вектора состояния. Построение меры расстояния (близости) между графами различных динамических систем имеет важное значение, например для идентификации штатного функционирования или отказов динамической системы или системы управления. Для сравнения и классификации динамических систем в работе предварительно формируются взвешенные ориентированные графы, соответствующие динамическим системам, с весами ребер, соответствующими мерам взаимодействия между каналами динамической системы. На основе методов HIIA и PM определяются матрицы мер взаимодействия между каналами динамических систем. В работе приведены примеры формирования взвешенных ориентированных графов для различных динамических систем и оценивания расстояния между этими системами на основе топологического анализа данных. Приведен пример формирования взвешенного ориентированного графа для динамической системы, соответствующей системе управления компонентами вектора угловой скорости летательного аппарата, который рассматривается как твердое тело с главными моментами инерции. Метод топологического анализа данных, используемый в настоящей работе для оценки расстояния между структурами динамических систем, основан на формировании персистентных баркодов и функций персистентного ландшафта. Методы сравнения динамических систем на основе топологического анализа данных могут быть использованы при классификации динамических систем и систем управления. Применение традиционной алгебраической топологии для анализа объектов не позволяет получить достаточное количество информации из-за уменьшения размерности данных (в связи потерей геометрической информации). Методы топологического анализа данных обеспечивают баланс между уменьшением размерности данных и характеристикой внутренней структуры объекта. В настоящей работе используются методы топологического анализа данных, основанные на применении фильтраций Vietoris-Rips и Dowker для присвоения каждому топологическому признаку геометрической размерности. Для отображения персистентных диаграмм метода топологического анализа данных в гильбертово пространство и последующей количественной оценки сравнения динамических систем используются функции персистентного ландшафта. На основе построения функций персистентного ландшафта предлагаются сравнение графов динамических систем и нахождение расстояний между динамическими системами. Для этой цели предварительно формируются взвешенные ориентированные графы, соответствующие динамическим системам. Приведены примеры нахождения расстояния между объектами (динамическими системами).

The paper considers the possibility of comparing and classifying dynamical systems based on topological data analysis. Determining the measures of interaction between the channels of dynamic systems based on the HIIA (Hankel Interaction Index Array) and PM (Participation Matrix) methods allows you to build HIIA and PM graphs and their adjacency matrices. For any linear dynamic system, an approximating directed graph can be constructed, the vertices of which correspond to the components of the state vector of the dynamic system, and the arcs correspond to the measures of mutual influence of the components of the state vector. Building a measure of distance (proximity) between graphs of different dynamic systems is important, for example, for identifying normal operation or failures of a dynamic system or a control system. To compare and classify dynamic systems, weighted directed graphs corresponding to dynamic systems are preliminarily formed with edge weights corresponding to the measures of interaction between the channels of the dynamic system. Based on the HIIA and PM methods, matrices of measures of interaction between the channels of dynamic systems are determined. The paper gives examples of the formation of weighted directed graphs for various dynamic systems and estimation of the distance between these systems based on topological data analysis. An example of the formation of a weighted directed graph for a dynamic system corresponding to the control system for the components of the angular velocity vector of an aircraft, which is considered as a rigid body with principal moments of inertia, is given. The method of topological data analysis used in this work to estimate the distance between the structures of dynamic systems is based on the formation of persistent barcodes and persistent landscape functions. Methods for comparing dynamic systems based on topological data analysis can be used in the classification of dynamic systems and control systems. The use of traditional algebraic topology for the analysis of objects does not allow obtaining a sufficient amount of information due to a decrease in the data dimension (due to the loss of geometric information). Methods of topological data analysis provide a balance between reducing the data dimension and characterizing the internal structure of an object. In this paper, topological data analysis methods are used, based on the use of Vietoris-Rips and Dowker filtering to assign a geometric dimension to each topological feature. Persistent landscape functions are used to map the persistent diagrams of the method of topological data analysis into the Hilbert space and then quantify the comparison of dynamic systems. Based on the construction of persistent landscape functions, we propose a comparison of graphs of dynamical systems and finding distances between dynamical systems. For this purpose, weighted directed graphs corresponding to dynamical systems are preliminarily formed. Examples of finding the distance between objects (dynamic systems) are given.

В работе представлены результаты фундаментального исследования, направленного на теоретическое изучение и компьютерное моделирование свойств статистического распределения фазы квазигармонического сигнала, формируемого в результате воздействия гауссовского шума на исходно гармонический сигнал. Методами математического анализа получены в явном виде формулы для основных характеристик данного распределения — функции распределения, функции плотности вероятности, функции правдоподобия. В результате проведенного компьютерного моделирования проанализированы зависимости данных функций от параметров распределения фазы. В работе разработаны и обоснованы методы оценивания параметров распределения фазы, несущих информацию об исходном, не искаженном шумом сигнале. Показано, что задача оценивания исходного значения фазы квазигармонического сигнала может эффективно решаться простым усреднением результатов выборочных измерений фазы, в то время как для решения задачи оценивания второго параметра распределения фазы — параметра уровня сигнала относительно шума — предлагается использовать метод максимума правдоподобия. В работе представлены графические материалы, полученные путем компьютерного моделирования основных характеристик исследуемого статистического распределения фазы. Существование и единственность максимума функции правдоподобия позволяют обосновать возможность и эффективность решения задачи оценивания уровня сигнала относительно уровня шума методом максимума правдоподобия. Развиваемый в работе метод оценивания уровня незашумленного сигнала относительно уровня шума, т.е. параметра, характеризующего интенсивность сигнала, на основании измерений фазы сигнала является оригинальным, принципиально новым, открывающим перспективы использования фазовых измерений как инструмента анализа стохастических данных. Данное исследование является значимым для решения задач расчета фазы и уровня сигнала методами статистической обработки выборочных фазовых измерений. Предлагаемые методы оценивания параметров распределения фазы квазигармонического сигнала могут использоваться при решении различных научных и прикладных задач, в частности, в таких областях, как радиофизика, оптика, радиолокация, радионавигация, метрология.

The paper presents the results of the fundamental research directed on the theoretical study and computer simulation of peculiarities of the quasi-harmonic signal’s phase statistical distribution. The quasi-harmonic signal is known to be formed as a result of the Gaussian noise impact on the initially harmonic signal. By means of the mathematical analysis the formulas have been obtained in explicit form for the principle characteristics of this distribution, namely: for the cumulative distribution function, the probability density function, the likelihood function. As a result of the conducted computer simulation the dependencies of these functions on the phase distribution parameters have been analyzed. The paper elaborates the methods of estimating the phase distribution parameters which contain the information about the initial, undistorted signal. It has been substantiated that the task of estimating the initial value of the phase of quasi-harmonic signal can be efficiently solved by averaging the results of the sampled measurements. As for solving the task of estimating the second parameter of the phase distribution, namely — the parameter, determining the signal level respectively the noise level — a maximum likelihood technique is proposed to be applied. The graphical illustrations are presented that have been obtained by means of the computer simulation of the principle characteristics of the phase distribution under the study. The existence and uniqueness of the likelihood function’s maximum allow substantiating the possibility and the efficiency of solving the task of estimating signal’s level relative to noise level by means of the maximum likelihood technique. The elaborated method of estimating the un-noised signal’s level relative to noise, i. e. the parameter characterizing the signal’s intensity on the basis of measurements of the signal’s phase is an original and principally new technique which opens perspectives of usage of the phase measurements as a tool of the stochastic data analysis. The presented investigation is meaningful for solving the task of determining the phase and the signal’s level by means of the statistical processing of the sampled phase measurements. The proposed methods of the estimation of the phase distribution’s parameters can be used at solving various scientific and technological tasks, in particular, in such areas as radio-physics, optics, radiolocation, radio-navigation, metrology.

Решается двойственная задача интегральной геометрии: по заданному оператору усреднения определить класс функций, на котором возможно обращение этого оператора. Эти классы определяются неоднозначно. Дается полное описание таких классов в форме минимальной дополнительной информации, которую надо знать о функции. Исследуется возможность их конструктивного описания, и в случае конечной системы усреднения даются формулы обращения.

The dual task of integral geometry – to define for a given averaging operator the function class where inversion of that operator is possible – is solved. Those classes are defined ambiguously. Full description of those classes is given in the form of minimal complimentary information necessary to know about the function. The possible to give a constructive description of the class is researched and in the case of a finite averaging system the inversion formulas are given.

В работе представлена численная методика определения спектральных электромагнитных характеристик (эффективных электрической проводимости и относительной диэлектрической проницаемости) насыщенных пористых сред. Их определение находит применение при интерпретации данных петрофизических исследований скважин, а также при изучении кернового материала. Особенностью настоящей работы является использование трехмерных цифровых моделей насыщенных пористых сред, построенных на основе комбинированной информации о микроструктуре среды и капиллярном равновесии двухфазной смеси типа «нефть–вода» в поровом пространстве. Данные о микроструктуре модели получаются путем использования методов рентгеновской микротомографии. Многофазное многокомпонентное распределение флюидов в поровом пространстве модели находится с помощью метода функционала плотности. Для определения непосредственно электромагнитных характеристик модели выполняется фурье-преобразование по времени уравнения Максвелла, выражающего обобщенную теорему Ампера о циркуляции. В низкочастотном приближении задача сводится к решению уравнения эллиптического типа на комплексный потенциал. Для конечно- разностной аппроксимации используется дискретизация модели на изотропной равномерной ортогональной сетке. При этом считается, что в каждой расчетной ячейке сетки содержится либо вода, либо нефть, либо по- рода со своими электрическими параметрами. Для этого выполняется процедура сегментации, в результате которой в модели отсутствуют ячейки, содержащие несколько фаз (нефть–вода). Подобная модификация модели позволяет избежать использования сложноструктурированных расчетных сеток, а также дает возможность исключить влияние способа задания свойств ячеек, заполненных смесью различных фаз, на результаты расчета. Полученная система разностных уравнений решается с использованием стабилизированного метода бисопряженных градиентов с многосеточным предобуславливателем. На основе вычисленных распределений комплексного потенциала находятся средние значения электрической проводимости и относительной диэлектрической проницаемости. Для простоты в настоящей работе рассматривался случай отсутствия спектральной зависимости проводимости и проницаемости компонентов от частоты. Результаты расчетов частотных зависимостей эффективных характеристик неоднородно насыщенных пористых сред (электрической проводимости и относительной диэлектрической проницаемости) в широком диапазоне частот и водонасыщенностей представлены на графиках и в таблице. В заключение делается вывод об эффективности предложенного подхода для задачи определения дисперсионных электромагнитных характеристик насыщенных горных пород.

This article represents numerical simulation technique for determining effective spectral electromagnetic properties (effective electrical conductivity and relative dielectric permittivity) of saturated porous media. Information about these properties is vastly applied during the interpretation of petrophysical exploration data of boreholes and studying of rock core samples. The main feature of the present paper consists in the fact, that it involves three-dimensional saturated digital rock models, which were constructed based on the combined data considering microscopic structure of the porous media and the information about capillary equilibrium of oil-water mixture in pores. Data considering microscopic structure of the model are obtained by means of X-ray microscopic tomography. Information about distributions of saturating fluids is based on hydrodynamic simulations with density functional technique. In order to determine electromagnetic properties of the numerical model time-domain Fourier transform of Maxwell equations is considered. In low frequency approximation the problem can be reduced to solving elliptic equation for the distribution of complex electric potential. Finite difference approximation is based on discretization of the model with homogeneous isotropic orthogonal grid. This discretization implies that each computational cell contains exclusively one medium: water, oil or rock. In order to obtain suitable numerical model the distributions of saturating components is segmented. Such kind of modification enables avoiding usage of heterogeneous grids and disregards influence on the results of simulations of the additional techniques, required in order to determine properties of cells, filled with mixture of media. Corresponding system of differential equations is solved by means of biconjugate gradient stabilized method with multigrid preconditioner. Based on the results of complex electric potential computations average values of electrical conductivity and relative dielectric permittivity is calculated. For the sake of simplicity, this paper considers exclusively simulations with no spectral dependence of conductivities and permittivities of model components. The results of numerical simulations of spectral dependence of effective characteristics of heterogeneously saturated porous media (electrical conductivity and relative dielectric permittivity) in broad range of frequencies and multiple water saturations are represented in figures and table. Efficiency of the presented approach for determining spectral electrical properties of saturated rocks is discussed in conclusion.

Эффективность производственного процесса непосредственно зависит от качества управления технологией, которая, в свою очередь, опирается на точность и оперативность обработки контрольно- измерительной информации. Разработка математических методов исследования системных связей и закономерностей функционирования и построение математических моделей с учетом структурных особенностей объекта исследований, а также написание программных продуктов для реализации данных методов являются актуальными задачами. Практика показала, что список параметров, имеющих место при исследовании сложного объекта современного производства, варьируется от нескольких десятков до нескольких сот наименований, причем степень воздействия каждого из факторов в начальный момент не ясна. Приступать к работе по непосредственному определению модели в этих условиях нельзя — объем требуемой информации может оказаться слишком велик, причем бóльшая часть работы по сбору этой информации будет проделана впустую из-за того, что степень влияния на параметры оптимизации большинства факторов из первоначального списка окажется пренебрежимо малой. Поэтому необходимым этапом при определении модели сложного объекта является работа по сокращению размерности факторного пространства. Большинство промышленных производств являются групповыми иерархическими процессами массового и крупносерийного производства, характеризующимися сотнями факторов. (Для примера реализации математических методов и апробации построенных моделей в основу были взяты данные Молдавского металлургического завода.) С целью исследования системных связей и закономерностей функционирования таких сложных объектов обычно выбираются несколько информативных параметров и осуществляется их выборочный контроль. В данной статье описывается последовательность приведения исходных показателей технологического процесса выплавки стали к виду, пригодному для построения математической модели с целью прогнозирования, внедрения новых видов стали и создание основы для разработки системы автоматизированного управления качеством продукции. В процессе преобразования выделяются следующие этапы: сбор и анализ исходных данных, построение таблицы слабокоррелированных параметров, сокращение факторного пространства с помощью корреляционных плеяд и метода весовых коэффициентов. Полученные результаты позволяют оптимизировать процесс построения модели многофакторного процесса.

Efficiency of production directly depends on quality of the management of technology which, in turn, relies on the accuracy and efficiency of the processing of control and measuring information. Development of the mathematical methods of research of the system communications and regularities of functioning and creation of the mathematical models taking into account structural features of object of researches, and also writing of the software products for realization of these methods are an actual task. Practice has shown that the list of parameters that take place in the study of complex object of modern production, ranging from a few dozen to several hundred names, and the degree of influence of each factor in the initial time is not clear. Before working for the direct determination of the model in these circumstances, it is impossible — the amount of the required information may be too great, and most of the work on the collection of this information will be done in vain due to the fact that the degree of influence on the optimization of most factors of the original list would be negligible. Therefore, a necessary step in determining a model of a complex object is to work to reduce the dimension of the factor space. Most industrial plants are hierarchical group processes and mass volume production, characterized by hundreds of factors. (For an example of realization of the mathematical methods and the approbation of the constructed models data of the Moldavian steel works were taken in a basis.) To investigate the systemic linkages and patterns of functioning of such complex objects are usually chosen several informative parameters, and carried out their sampling. In this article the sequence of coercion of the initial indices of the technological process of the smelting of steel to the look suitable for creation of a mathematical model for the purpose of prediction is described. The implementations of new types became also creation of a basis for development of the system of automated management of quality of the production. In the course of weak correlation the following stages are selected: collection and the analysis of the basic data, creation of the table the correlated of the parameters, abbreviation of factor space by means of the correlative pleiads and a method of weight factors. The received results allow to optimize process of creation of the model of multiple-factor process.

В данной работе приводятся нижние оценки скорости сходимости для класса численных методов выпуклой оптимизации первого порядка и выше, т. е. использующих градиент и старшие производные. Обсуждаются вопросы достижимости данных оценок. Приведенные в статье оценки замыкают известные на данный момент результаты в этой области. Отметим, что замыкание осуществляется без должного обоснования, поэтому в той общности, в которой данные оценки приведены в статье, их стоит понимать как гипотезу. Опишембо лее точно основной результат работы. Пожалуй, наиболее известнымм етодом второго порядка является метод Ньютона, использующий информацию о градиенте и матрице Гессе оптимизируемой функции. Однако даже для сильно выпуклых функций метод Ньютона сходится лишь локально. Глобальная сходимость метода Ньютона обеспечивается с помощью кубической регуляризации оптимизируемой на каждом шаге квадратичной модели функции [Nesterov, Polyak, 2006]. Сложность решения такой вспомогательной задачи сопоставима со сложностью итерации обычного метода Ньютона, т. е. эквивалентна по порядку сложности обращения матрицы Гессе оптимизируемой функции. В 2008 году Ю. Е. Нестеровымбыл предложен ускоренный вариант метода Ньютона с кубической регуляризацией [Nesterov, 2008]. В 2013 г. Monteiro – Svaiter сумели улучшить оценку глобальной сходимости ускоренного метода с кубической регуляризацией [Monteiro, Svaiter, 2013]. В 2017 году Arjevani – Shamir – Shiff показали, что оценка Monteiro – Svaiter оптимальна (не может быть улучшена более чем на логарифми- ческий множитель на классе методов 2-го порядка) [Arjevani et al., 2017]. Также удалось получить вид нижних оценок для методов порядка $p ≥ 2$ для задач выпуклой оптимизации. Отметим, что при этом для сильно выпуклых функций нижние оценки были получены только для методов первого и второго порядка. В 2018 году Ю. Е. Нестеров для выпуклых задач оптимизации предложил методы 3-го порядка, которые имеют сложность итерации сопоставимую со сложностью итерации метода Ньютона и сходятся почти по установленным нижним оценкам [Nesterov, 2018]. Таким образом, было показано, что методы высокого порядка вполне могут быть практичными. В данной работе приводятся нижние оценки для методов высокого порядка $p ≥ 3$ для сильно выпуклых задач безусловной оптимизации. Работа также может рассматриваться как небольшой обзор современного состояния развития численных методов выпуклой оптимизации высокого порядка.

In this paper we discuss lower bounds for convergence of convex optimization methods of high order and attainability of this bounds. We formulate a hypothesis that covers all the cases. It is noticeable that we provide this statement without a proof. Newton method is the most famous method that uses gradient and Hessian of optimized function. However, it converges locally even for strongly convex functions. Global convergence can be achieved with cubic regularization of Newton method [Nesterov, Polyak, 2006], whose iteration cost is comparable with iteration cost of Newton method and is equivalent to inversion of Hessian of optimized function. Yu.Nesterov proposed accelerated variant of Newton method with cubic regularization in 2008 [Nesterov, 2008]. R.Monteiro and B. Svaiter managed to improve global convergence of cubic regularized method in 2013 [Monteiro, Svaiter, 2013]. Y.Arjevani, O. Shamir and R. Shiff showed that convergence bound of Monteiro and Svaiter is optimal (cannot be improved by more than logarithmic factor with any second order method) in 2017 [Arjevani et al., 2017]. They also managed to find bounds for convex optimization methods of p-th order for $p ≥ 2$. However, they got bounds only for first and second order methods for strongly convex functions. In 2018 Yu.Nesterov proposed third order convex optimization methods with rate of convergence that is close to this lower bounds and with similar to Newton method cost of iteration [Nesterov, 2018]. Consequently, it was showed that high order methods can be practical. In this paper we formulate lower bounds for p-th order methods for $p ≥ 3$ for strongly convex unconstrained optimization problems. This paper can be viewed as a little survey of state of the art of high order optimization methods.

Мы рассматриваем модель спонтанного формирования вычислительной структуры в мозге человека для решения заданного класса задач в процессе выполнения серии однотипных заданий. Модель основана на специальном определении числовой меры сложности алгоритма решения. Эта мера обладает информационным свойством: сложность вычислительной структуры, состоящей из двух независимых структур, равна сумме сложностей этих структур. Тогда вероятность спонтанного возникновения структуры экспоненциально зависит от сложности структуры. Коэффициент при экспоненте требует экспериментального определения для каждого типа задач. Он может зависеть от формы предъявления исходных данных и от процедуры выдачи результата. Этот метод оценки применен к результатам серии экспериментов, в которых определялась стратегия решения человеком серии однотипных задач с растущим числом исходных данных. Эти эксперименты были описаны в ранее изданных работах. Рассматривались две основные стратегии: последовательное выполнение вычислительного алгоритма или использование параллельных вычислений в тех задачах, где это эффективно. Эти стратегии различаются схемами проведения вычислений. Используя оценку сложности схем, можно по эмпирической вероятности одной из стратегий рассчитать вероятность другой. Проведенные вычисления показали хорошее совпадение расчетной и эмпирической вероятности. Это подтверждает гипотезу о спонтанном формировании структур, решающих задачу, в процессе начальной тренировки человека. Работа содержит краткое описание экспериментов, подробные вычислительные схемы и строгое определение меры сложности вычислительных структур и вывод зависимости вероятности формирования структуры от ее сложности.

We consider a model of spontaneous formation of a computational structure in the human brain for solving a given class of tasks in the process of performing a series of similar tasks. The model is based on a special definition of a numerical measure of the complexity of the solution algorithm. This measure has an informational property: the complexity of a computational structure consisting of two independent structures is equal to the sum of the complexities of these structures. Then the probability of spontaneous occurrence of the structure depends exponentially on the complexity of the structure. The exponential coefficient requires experimental determination for each type of problem. It may depend on the form of presentation of the source data and the procedure for issuing the result. This estimation method was applied to the results of a series of experiments that determined the strategy for solving a series of similar problems with a growing number of initial data. These experiments were described in previously published papers. Two main strategies were considered: sequential execution of the computational algorithm, or the use of parallel computing in those tasks where it is effective. These strategies differ in how calculations are performed. Using an estimate of the complexity of schemes, you can use the empirical probability of one of the strategies to calculate the probability of the other. The calculations performed showed a good match between the calculated and empirical probabilities. This confirms the hypothesis about the spontaneous formation of structures that solve the problem during the initial training of a person. The paper contains a brief description of experiments, detailed computational schemes and a strict definition of the complexity measure of computational structures and the conclusion of the dependence of the probability of structure formation on its complexity.

Работа посвящена структурному анализу сложных технических систем. Рассматриваются механические структуры, свойства которых влияют на поведение изделия в процессе сборки, ремонта и эксплуатации. Основным источником данных о деталях и механических связях между ними является гиперграф. Эта модель формализует многоместное отношение базирования. Она корректно описывает связность и взаимную координацию деталей, которые достигаются в процессе сборки изделия. При разработке сложных изделий в CAD-системах инженер часто допускает тяжелые проектные ошибки: перебазирование деталей и несеквенциальность сборочных операций. Предложены эффективные способы идентификации данных структурных дефектов. Показано, что свойство независимой собираемости можно представить как оператор замыкания на булеане множества деталей изделия. Образы этого оператора представляют собой связные координированные совокупности деталей, которые можно собрать независимо. Описана решеточная модель, которая представляет собой пространство состояний изделия в процессе сборки, разборки и декомпозиции на сборочные единицы. Решеточная модель служит источником разнообразной структурной информации о проекте. Предложены численные оценки мощности множества допустимых альтернатив в задачах выбора последовательности сборки и декомпозиции на сборочные единицы. Для многих технических операций (например, контроль, испытания и др.) необходимо монтировать все детали-операнды в одну сборочную единицу. Разработана простая формализация технических условий, требующих включения (исключения) деталей в сборочную единицу (из сборочной единицы). Приведена теорема, которая дает математическое описание декомпозиции изделия на сборочные единицы в точных решеточных терминах. Предложен способ численной оценки робастности механической структурыс ложной технической системы.

The work is devoted to the structural analysis of complex technical systems. Mechanical structures are considered, the properties of which affect the behavior of products during assembly, repair and operation. The main source of data on parts and mechanical connections between them is a hypergraph. This model formalizes the multidimensional basing relation. The hypergraph correctly describes the connectivity and mutual coordination of parts, which is achieved during the assembly of the product. When developing complex products in CAD systems, an engineer often makes serious design mistakes: overbasing of parts and non-sequential assembly operations. Effective ways of identifying these structural defects have been proposed. It is shown that the property of independent assembly can be represented as a closure operator whose domain is the boolean of the set of product parts. The images of this operator are connected and coordinated subsets of parts that can be assembled independently. A lattice model is described, which is the state space of the product during assembly, disassembly and decomposition into assembly units. The lattice model serves as a source of various structural information about the project. Numerical estimates of the cardinality of the set of admissible alternatives in the problems of choosing an assembly sequence and decomposition into assembly units are proposed. For many technical operations (for example, control, testing, etc.), it is necessary to mount all the operand parts in one assembly unit. A simple formalization of the technical conditions requiring the inclusion (exclusion) of parts in the assembly unit (from the assembly unit) has been developed. A theorem that gives an mathematical description of product decomposition into assembly units in exact lattice terms is given. A method for numerical evaluation of the robustness of the mechanical structure of a complex technical system is proposed.

Нахождение глобального минимума невыпуклых функций — одна из ключевых и самых сложных проблем современной оптимизации. В этой работе мы рассматриваем отдельные классы невыпуклых задач, которые имеют четкий и выраженный глобальный минимум.

В первой части статьи мы рассматриваем два класса «хороших» невыпуклых функций, которые могут быть ограничены снизу и сверху параболической функцией. Такой класс задач не исследован широко в литературе, хотя является довольно интересным с прикладной точки зрения. Более того, для таких задач методы первого и более высоких порядков могут быть абсолютно неэффективны при поиске глобального минимума. Это связано с тем, что функция может сильно осциллировать или может быть сильно зашумлена. Поэтому наши новые методы используют информацию только нулевого порядка и основаны на поиске по сетке. Размер и мелкость этой сетки, а значит, и гарантии скорости сходимости и оракульной сложности зависят от «хорошести» задачи. В частности, мы показываем, если функция зажата довольно близкими параболическими функциями, то сложность не зависит от размерности задачи. Мы показываем, что наши новые методы сходятся с линейной скоростью сходимости $\log(1/\varepsilon)$ к глобальному минимуму на кубе.

Во второй части статьи мы рассматриваем задачу невыпуклой оптимизации с другого ракурса. Мы предполагаем, что целевая минимизируемая функция есть сумма выпуклой квадратичной задачи и невыпуклой «шумовой» функции, пропорциональной по модулю расстоянию до глобального решения. Рассмотрение функций с такими предположениями о шуме для методов нулевого порядка является новым в литературе. Для такой задачи мы используем классический безградиентный подход с аппроксимацией градиента через конечную разность. Мы показываем, как можно свести анализ сходимости для нашей задачи к стандартному анализу для задач выпуклой оптимизации. В частности, и для таких задач мы добиваемся линейной скорости сходимости.

Экспериментальные результаты подтверждают работоспособность и практическую применимость всех полученных методов.

Finding the global minimum of a nonconvex function is one of the key and most difficult problems of the modern optimization. In this paper we consider special classes of nonconvex problems which have a clear and distinct global minimum.

In the first part of the paper we consider two classes of «good» nonconvex functions, which can be bounded below and above by a parabolic function. This class of problems has not been widely studied in the literature, although it is rather interesting from an applied point of view. Moreover, for such problems first-order and higher-order methods may be completely ineffective in finding a global minimum. This is due to the fact that the function may oscillate heavily or may be very noisy. Therefore, our new methods use only zero-order information and are based on grid search. The size and fineness of this grid, and hence the guarantee of convergence speed and oracle complexity, depend on the «goodness» of the problem. In particular, we show that if the function is bounded by fairly close parabolic functions, then the complexity is independent of the dimension of the problem. We show that our new methods converge with a linear convergence rate $\log(1/\varepsilon)$ to a global minimum on the cube.

In the second part of the paper, we consider the nonconvex optimization problem from a different angle. We assume that the target minimizing function is the sum of the convex quadratic problem and a nonconvex «noise» function proportional to the distance to the global solution. Considering functions with such noise assumptions for zero-order methods is new in the literature. For such a problem, we use the classical gradient-free approach with gradient approximation through finite differences. We show how the convergence analysis for our problems can be reduced to the standard analysis for convex optimization problems. In particular, we achieve a linear convergence rate for such problems as well.

Experimental results confirm the efficiency and practical applicability of all the obtained methods.

Белок-белковые взаимодействия являются основой большинства биологических процессов. Компьютерное моделирование динамики связывания белков дает важную информацию для понимания механизмов их функционирования. Разработана компьютерная программа ProKSim (Protein Kinetics Simulator), предназначенная для моделирования взаимодействия макромолекул методом многочастичной броуновской динамики с учетом дальнодействующих электростатических взаимодействий. Проведено исследование диффузионно-столкновительных комплексов для трех пар белков: ферредоксин и ферредоксин:НАДФ⁺-редуктаза, пластоцианин и цитохром f, барназа и барстар. Исследована роль электростатических взаимодействий во взаимной ориентации молекул белков при образовании диффузионно-столкновительных комплексов.

Protein-protein interactions are of central importance for virtually every process in living matter. Modeling the dynamics of protein association is crucial for understanding their functionality. This paper proposes novel simulation software ProKSim (Protein Kinetics Simulator) for modeling of protein interactions by means of the multi-particle Brownian Dynamics. Effect of long-range electrostatic interactions on the process of transient encounter complex formation is numerically estimated. Investigation of transient encounter complex formation was performed for three pairs of proteins: ferredoxin and ferredoxin:NADP⁺-redustase, plastocyanin and cytochrome f, barnase and barstar.