All issues

В работе рассмотрено приложение методов кинетической теории к задачам гемодинамики. Для моделирования выбраны решеточные уравнения Больцмана. Данные модели описывают дискретизированную по пространственной и временной координате динамику движения частиц на одномерной решетке. Хорошо известно, что в пределе малых длин свободного пробега решеточные уравнения Больцмана описывают уравнения гидродинамики. Если течение достаточно медленное (мало число Маха), то данные уравнения гидродинамики переходят в уравнения Навье – Стокса для сжимаемого газа. Если в получающихся гидродинамических уравнениях переменные, отвечающие плотности и скорости звука, считать площадью поперечного сечения сосуда и скоростью распространения пульсовой волны давления, то выводятся хорошо известные в биомеханике нелинейные уравнения распространения несжимаемой вязкой жидкости (крови) в эластичном сосуде для частного случая постоянной пульсовой скорости.

В общем случае скорость распространения пульсовой волны зависит от площади просвета сосуда. Следует отметить интересную аналогию: уравнение состояния решеточного газа в новых переменных становится законом, связывающим давление и площадь поперечного сечения сосуда. Таким образом, в общем случае требуется модифицировать уравнение состояния для решеточного уравнения Больцмана. Данная процедура хорошо известна в теории неидеального газа и многофазных течений и эквивалентна введению в уравнения виртуальной силы. Получающиеся уравнения могут использоваться для моделирования любых законов, связывающих скорость пульсовой волны и площадь просвета сосуда.

В качестве тестовых задач рассмотрено распространение уединенной нелинейной пульсовой волны в сосуде с упругими свойствами, описываемыми законом Лапласа. Во второй задаче рассмотрено распространение пульсовых волн для бифуркации сосудов. Показано, что результаты расчетов хорошо совпадают с данными из предыдущих исследований.

In the present paper the application of the kinetic methods to the blood flow problems in elastic vessels is studied. The Lattice Boltzmann (LB) kinetic equation is applied. This model describes the discretized in space and time dynamics of particles traveling in a one-dimensional Cartesian lattice. At the limit of the small times between collisions LB models describe hydrodynamic equations which are equivalent to the Navier – Stokes for compressible if the considered flow is slow (small Mach number). If one formally changes in the resulting hydrodynamic equations the variables corresponding to density and sound wave velocity by luminal area and pulse wave velocity then a well-known 1D equations for the blood flow motion in elastic vessels are obtained for a particular case of constant pulse wave speed.

In reality the pulse wave velocity is a function of luminal area. Here an interesting analogy is observed: the equation of state (which defines sound wave velocity) becomes pressure-area relation. Thus, a generalization of the equation of state is needed. This procedure popular in the modeling of non-ideal gas and is performed using an introduction of a virtual force. This allows to model arbitrary pressure-area dependence in the resulting hemodynamic equations.

Two test case problems are considered. In the first problem a propagation of a sole nonlinear pulse wave is studied in the case of the Laplace pressure-area response. In the second problem the pulse wave dynamics is considered for a vessel bifurcation. The results show good precision in comparison with the data from literature.

В работе предложена новая математическая модель для исследования динамики взаимодействия продольной стенки узкого канала с его торцевым уплотнением — торцевой стенкой, имеющей упругое закрепление. В рамках данной модели взаимодействие указанных стенок происходит через слой вязкой жидкости, заполняющей канал, и ранее не исследовалось. Это потребовало постановки и решения задачи гидроупругости. Поставленная задача состоит из уравнений Навье–Стокса, уравнения неразрывности, уравнения динамики торцевой стенки как одномассовой модели и соответствующих краевых условий. На первом этапе задача исследована при ползучем течении. На втором этапе исследования данное ограничение снимается и, при использовании метода итераций, осуществлено обобщение исходной задачи с учетом инерции движения жидкости. Решение сформулированной задачи позволило определить законы распределения скоростей и давления в слое жидкости, а также закон движения торцевой стенки. Показано, что при ползучем течении физические свойства слоя жидкости и геометрические размеры канала полностью определяют демпфирование в рассматриваемой колебательной системе. При этом на демпфирующие свойства слоя жидкости оказывает влияние как скорость движения торцевой стенки, так и скорость движения продольной стенки. Найдены выражения для коэффициентов демпфирования слоя жидкости в продольном и поперечном направлении. При учете сил инерции жидкости выявлено их влияние на колебания торцевой стенки, проявляющиеся в виде двух присоединенных масс в уравнении ее движения. Определены выражения для указанных присоединенных масс. Для режима установившихся гармонических колебаний построены амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики торцевой стенки, учитывающие демпфирующие и инерционные свойства слоя вязкой жидкости в канале. Моделирование показало, что совместный учет инерции движения слоя жидкости в канале и его демпфирующих свойств приводит к сдвигу резонансных частот колебаний в низкочастотную область и возрастанию амплитуд колебаний торцевой стенки.

The paper proposes a new mathematical model to study the interaction dynamics of the longitudinal wall of a narrow channel with its end seal. The end seal was considered as the edge wall on a spring, i.e. spring-mass system. These walls interaction occurs via a viscous liquid filling the narrow channel; thus required the formulation and solution of the hydroelasticity problem. However, this problem has not been previously studied. The problem consists of the Navier–Stokes equations, the continuity equation, the edge wall dynamics equation, and the corresponding boundary conditions. Two cases of fluid motion in a narrow channel with parallel walls were studied. In the first case, we assumed the liquid motion as the creeping one, and in the second case as the laminar, taking into account the motion inertia. The hydroelasticty problem solution made it possible to determine the distribution laws of velocities and pressure in the liquid layer, as well as the motion law of the edge wall. It is shown that during creeping flow, the liquid physical properties and the channel geometric dimensions completely determine the damping in the considered oscillatory system. Both the end wall velocity and the longitudinal wall velocity affect the damping properties of the liquid layer. If the fluid motion inertia forces were taken into account, their influence on the edge wall vibrations was revealed, which manifested itself in the form of two added masses in the equation of its motion. The added masses and damping coefficients of the liquid layer due to the joint consideration of the liquid layer inertia and its viscosity were determined. The frequency and phase responses of the edge wall were constructed for the regime of steady-state harmonic oscillations. The simulation showed that taking into account the fluid layer inertia and its damping properties leads to a shift in the resonant frequencies to the low-frequency region and an increase in the oscillation amplitudes of the edge wall.

В работе рассматривается вопрос математического моделирования робототехнических структур на основе напряженно-связных конструкций, известных в англоязычных источниках как tensegrity structures (тенсегрити-структуры). Определяющим свойством таких конструкций является то, что образующие их элементы работают только на сжатие или растяжение, что позволяет использовать материалы и конструктивные решения для выполнения этих элементов, минимизирующие вес структуры, сохраняя ее прочность.

Тенсегрити-структуры отличаются рядом свойств, важных для коллаборативной робототехники, задач разведывания и движения в недетерминированных средах: естественной податливостью, компактностью при транспортировке, малым весом при значительной удароустойчивости и жесткости. При этом открытыми остаются многие вопросы управления такими структурами, что в свою очередь связано со сложностью описания их динамики.

В работе предложен подход к описанию и составлению динамических уравнений для таких конструкций, основанный на описании динамики второго порядка декартовых координат элементов структуры (стержней), динамики первого порядка для угловых скоростей стержней и динамики первого порядка для кватернионов, используемых для описания ориентации стержней. Предложен подход к численному решению составленных динамических уравнений. Предложенные методы реализованы в виде свободно распространяемого математического пакета с открытым исходным кодом.

В работе продемонстрировано, как разработанный программный комплекс может использоваться для моделирования динамики и определения режимов работы тенсегрити-структур. Рассмотрен пример тенсегрити-структуры с тремя жесткими стержнями и девятью упругими элементами, работающими на растяжение (тросами), движущейся в невесомости. Показаны особенности динамики структуры в процессе достижения положения равновесия, определены области начальных значений параметров ориентации стержней, при которых структура работает в штатном режиме, и значения, при которых растяжение тросов превышает выбранное критическое значение или происходит провисание тросов. Полученные результаты могут непосредственно использоваться при анализе характера пассивных динамических движений роботов, основанных на трехзвенной тенсегрити-структуре, рассмотренный в работе; предложенные методы моделирования и разработанное программное обеспечение пригодны для моделирования значительного многообразия тенсегрити-роботов.

In this paper, we address the mathematical modeling of robots based on tensegrity structures. The pivotal property of such structures is the forming elements working only for compression or tension, which allows the use of materials and structural solutions that minimize the weight of the structure while maintaining its strength.

Tensegrity structures hold several properties important for collaborative robotics, exploration and motion tasks in non-deterministic environments: natural compliance, compactness for transportation, low weight with significant impact resistance and rigidity. The control of such structures remains an open research problem, which is associated with the complexity of describing the dynamics of such structures.

We formulate an approach for describing the dynamics of such structures, based on second-order dynamics of the Cartesian coordinates of structure elements (rods), first-order dynamics for angular velocities of rods, and first-order dynamics for quaternions that are used to describe the orientation of rods. We propose a numerical method for solving these dynamic equations. The proposed methods are implemented in the form of a freely distributed mathematical package with open source code.

Further, we show how the provided software package can be used for modeling the dynamics and determining the operating modes of tensegrity structures. We present an example of a tensegrity structure moving in zero gravity with three rigid rods and nine elastic elements working in tension (cables), showing the features of the dynamics of the structure in reaching the equilibrium position. The range of initial conditions for which the structure operates in the normal mode is determined. The results can be directly used to analyze the nature of passive dynamic movements of the robots based on a three-link tensegrity structure, considered in the paper; the proposed modeling methods and the developed software are suitable for modeling a significant variety of tensegrity robots.

Предлагается простая модель на основе уравнения кинетического типа для описания распространения вируса в пространстве посредством миграции носителей вируса из выделенного центра. Рассматриваются страны, для которых применима одномерная модель: Россия, Италия, Чили. Одномерный подход возможен из-за географического расположения этих стран и их протяженности в направлениях от центров заражения (Москвы, Ломбардии и Сантьяго соответственно). Определяется изменение плотности зараженных во времени и пространстве. Применяется двухпараметрическая модель. Первый параметр — величина средней скорости распространения, соответствующий переносу инфицированных транспортными средствами. Второй параметр — частота уменьшения количества инфицированных элементов по мере продвижения по территории страны, что связано с прибытием пассажиров в места назначения, а также с карантинными мерами, препятствующими их перемещению по стране. Параметры модели определяются по фактически известным данным. Строится аналитическое решение, для получения серии расчетов применяются также простые численные методы. В модели рассматривается пространственное распространение заболевания, при этом заражения на местах не учитываются. Поэтому вычисленные значения на начальном этапе хорошо соответствуют экспериментальным данным, а затем плотность заболевших начинает быстрее возрастать из-за заражений на местах. Тем не менее модельные расчеты позволяют делать некоторые предсказания. Помимо скорости заражения, возможна аналогичная «скорость выздоровления». По моменту времени достижения охвата большей части населения страны при движении фронта выздоровления делается вывод о начале глобального выздоровления, что соответствует реальным данным.

A simple model based on a kinetic-type equation is proposed to describe the spread of a virus in space through the migration of virus carriers from a certain center. The consideration is carried out on the example of three countries for which such a one-dimensional model is applicable: Russia, Italy and Chile. The geographical location of these countries and their elongation in the direction from the centers of infection (Moscow, Milan and Lombardia in general, as well as Santiago, respectively) makes it possible to use such an approximation. The aim is to determine the dynamic density of the infected in time and space. The model is two-parameter. The first parameter is the value of the average spreading rate associated with the transfer of infected moving by transport vehicles. The second parameter is the frequency of the decrease of the infected as they move through the country, which is associated with the passengers reaching their destination, as well as with quarantine measures. The parameters are determined from the actual known data for the first days of the spatial spread of the epidemic. An analytical solution is being built; simple numerical methods are also used to obtain a series of calculations. The geographical spread of the disease is a factor taken into account in the model, the second important factor is that contact infection in the field is not taken into account. Therefore, the comparison of the calculated values with the actual data in the initial period of infection coincides with the real data, then these data become higher than the model data. Those no less model calculations allow us to make some predictions. In addition to the speed of infection, a similar “speed of recovery” is possible. When such a speed is found for the majority of the country's population, a conclusion is made about the beginning of a global recovery, which coincides with real data.

Целью работы является исследование монотонной конечно-разностной схемы второго порядка точности, созданной на основе обобщения одномерной Z-схемы. Исследование проведено для модельных уравнений переноса несжимаемой среды. В работе описано двумерное обобщение Z-схемы с нелинейной коррекцией, использующей вместо потоков косые разности, содержащие значения из разных временных слоев. Численно проверена монотонность полученной нелинейной схемы для функций-ограничителей двух видов, как для гладких решений, так и для негладких, и получены численные оценки порядка точности построенной схемы. Построенная схема является абсолютно устойчивой, но теряет свойство монотонности при превышении шага Куранта. Отличительной особенностью предложенной конечно-разностной схемы является минимальность ее шаблона.

Построенная численная схема предназначена для моделей плазменных неустойчивостей различных масштабов в низкоширотной ионосферной плазме Земли. Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере в условиях возникновения неустойчивости Рэлея – Тейлора и плазменных структур с меньшими масштабами, механизмами генерации которых являются неустойчивости других типов, что приводит к явлению F-рассеяния. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направле- нии предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы.

The aim of the work is to study a monotone finite-difference scheme of the second order of accuracy, created on the basis of a generalization of the one-dimensional Z-scheme. The study was carried out for model equations of the transfer of an incompressible medium. The paper describes a two-dimensional generalization of the Z-scheme with nonlinear correction, using instead of streams oblique differences containing values from different time layers. The monotonicity of the obtained nonlinear scheme is verified numerically for the limit functions of two types, both for smooth solutions and for nonsmooth solutions, and numerical estimates of the order of accuracy of the constructed scheme are obtained.

The constructed scheme is absolutely stable, but it loses the property of monotony when the Courant step is exceeded. A distinctive feature of the proposed finite-difference scheme is the minimality of its template. The constructed numerical scheme is intended for models of plasma instabilities of various scales in the low-latitude ionospheric plasma of the Earth. One of the real problems in the solution of which such equations arise is the numerical simulation of highly nonstationary medium-scale processes in the earth’s ionosphere under conditions of the appearance of the Rayleigh – Taylor instability and plasma structures with smaller scales, the generation mechanisms of which are instabilities of other types, which leads to the phenomenon F-scattering. Due to the fact that the transfer processes in the ionospheric plasma are controlled by the magnetic field, it is assumed that the plasma incompressibility condition is fulfilled in the direction transverse to the magnetic field.

Рассматривалась ранее разработанная модель, описывающая динамику социальной напряженности общества, разделенного на две группы: элиту и народ. Эта модель учитывала влияние изменения экономической ситуации и взаимовлияние народа и элиты. Модель модифицирована путем включения в уравнение, описывающее напряженность народа, слагаемого, учитывающего адаптацию народа к создавшейся ситуации.

Оценка коэффициентов модели является важной задачей, решение которой позволяет получить информацию о характере взаимодействии элиты и народа. Предполагалось, что при оптимальных значениях коэффициентов решение системы уравнений модели наиболее близко к значениям индикатора, характеризующего социальную напряженность. В качестве индикатора социальной напряженности в данной работе использовался нормированный уровень убийств.

Исследуемая модель содержит семь коэффициентов. Два коэффициента, характеризующие степень влияния изменения экономической ситуации на элиту и народ, приняты равными между собой и одинаковыми для всех стран. Их оценки получены по упрощенной модели, учитывающей только изменение экономической ситуации и допускающей аналитическое решение.

С помощью байесовского подхода проведена оценка остальных пяти коэффициентов модели для постсоветских стран. Для всех рассматриваемых стран априорные плотности вероятностей четырех коэффициентов принимались одинаковыми. Априорная плотность вероятности пятого коэффициента считалась зависящей от режима правления (авторитарный или переходный). Принималось, что расчетное значение социальной напряженности совпадает с соответствующим значением индикатора напряженности в тех случаях, когда разность между ними не превышала 5%.

Проведенные расчеты показали, что для постсоветских стран получено хорошее совпадение расчетных значений напряженности народа и нормированного уровня убийств. Отметим, что совпадение удовлетворительно только в среднем, что естественно для достаточно грубой модели.

В работе получены следующие основные результаты: под влиянием некоторых значительных событий в 40% постсоветских стран наблюдалось быстрое изменение характера взаимодействия элиты и народа; региональные особенности оказывают некоторое влияние на взаимодействие элиты и народа; тип правления не оказывает существенного влияния на взаимодействие элиты и народа; предложен способ оценки стабильности страны по величине коэффициентов модели.

A previously developed model that describes the dynamics of social tension in a society divided into two groups: the elite and the people was considered. This model took into account the impact of economic situation changes and the elite–people interaction. The model has been modified by including in the equation describing the tension of the people, a term that takes into account the adaptation of the people to the current situation.

The model coefficients estimation is an important task, the solution of which allows obtaining information about the nature of the interaction between elite and people. We believe that the solution of the system of model equations with optimal coefficients is closest to the values of the indicator characterizing social tension. We used the normalized level of homicide rate as an indicator of social tension.

The model contains seven coefficients. Two coefficients characterizing the influence of economic situation changes on elite and people are taken equal to each other and the same for all countries. We obtained their estimations using a simplified model that takes into account only the change in the economic situation and allows an analytical solution.

The Bayesian approach was used to estimate the remaining five coefficients of model for post-Soviet countries. The prior probability densities of the four coefficients for all countries under consideration were taken to be the same. The prior probability density of fifth coefficient was considered to depend on the regime of government (authoritarian or «transitional»). We assumed that the calculated tension matches with the corresponding indicator of tension in cases where the difference between them does not exceed 5%.

The calculations showed that for the post-Soviet countries, a good coincidence was obtained between the calculated values of the people tension and the normalized level of homicide rate. The coincidence is satisfactory only on average.

The following main results was obtained at the work: under the influence of some «significant» events in 40% of post-Soviet countries, there was a rapid change in the nature of interaction between the elite and the people; regional feature have some influence on the elite–people interaction; the type of government does not significantly affect the elite–people interaction; the method for assessing the stability of the country by the value of the model coefficients is proposed.

Изменения численности y образующихся популяций могут развиваться по нескольким динамическим сценариям. Для стремительных биологических инвазий оказывается важным фактор времени выработки реакции противодействия со стороны биотического окружения. Известны два классических эксперимента с разным завершением противоборства биологических видов. В опытах Гаузе с инфузориями вселенный хищник после кратких осцилляций полностью уничтожал свой ресурс, так его $r$-параметр для созданных условий стал избыточен. Собственная репродуктивная активность не регулировалась дополнительными факторами и в результате становилась критичной для вселенца. В экспериментах Утиды с жуками и выпущенными паразитическими осами виды сосуществовали. В ситуации, когда популяцию с высоким репродуктивным потенциалом регулируют несколько естественных врагов, могут возникать интересные динамические эффекты, наблюдавшиеся у фитофагов в вечнозеленом лесу Австралии. Паразитические перепончатокрылые, конкурируя между собой, создают для быстро размножающихся вредителей псиллид систему регуляции с запаздыванием, когда допускается быстрое увеличение локальной популяции, но не превышающее порогового значения численности вредителя. В работе предложена модель на основе дифференциального уравнения с запаздыванием, описывающая сценарий адаптационной регуляции для популяции с большим репродуктивным потенциалом при активном, но запаздывающем противодействии с пороговой регуляцией данного вновь возникшего воздействия. За кратким максимумом следует быстрое сокращение численности, но минимизация не становится критической для популяции. Показано, что усложнение функции регуляции биотического противодействия приводит к стабилизации динамики после прохождения минимума численности быстро размножающимся видом. Для гибкой системы переходные режимы «рост/кризис» ведут к поиску нового равновесия в эволюционном противостоянии.

Changes in abundance for emerging populations can develop according to several dynamic scenarios. After rapid biological invasions, the time factor for the development of a reaction from the biotic environment will become important. There are two classic experiments known in history with different endings of the confrontation of biological species. In Gause’s experiments with ciliates, the infused predator, after brief oscillations, completely destroyed its resource, so its $r$-parameter became excessive for new conditions. Its own reproductive activity was not regulated by additional factors and, as a result, became critical for the invader. In the experiments of the entomologist Uchida with parasitic wasps and their prey beetles, all species coexisted. In a situation where a population with a high reproductive potential is regulated by several natural enemies, interesting dynamic effects can occur that have been observed in phytophages in an evergreen forest in Australia. The competing parasitic hymenoptera create a delayed regulation system for rapidly multiplying psyllid pests, where a rapid increase in the psyllid population is allowed until the pest reaches its maximum number. A short maximum is followed by a rapid decline in numbers, but minimization does not become critical for the population. The paper proposes a phenomenological model based on a differential equation with a delay, which describes a scenario of adaptive regulation for a population with a high reproductive potential with an active, but with a delayed reaction with a threshold regulation of exposure. It is shown that the complication of the regulation function of biotic resistance in the model leads to the stabilization of the dynamics after the passage of the minimum number by the rapidly breeding species. For a flexible system, transitional regimes of growth and crisis lead to the search for a new equilibrium in the evolutionary confrontation.

Фоновая социальная напряженность общества может быть количественно оценена по различным статистическим индикаторам. Модели, прогнозирующие динамику социальной напряженности, успешно применяются для описания различных социальных процессов. Когда количество рассматриваемых групп общества мало, динамику соответствующих индикаторов можно описать при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При увеличении количества взаимодействующих элементов резко возрастает сложность задач, что существенно затрудняет их аналитическое исследование. Модель сплошной социальной стратификации получаетсяв результате перехода от дискретной цепочки взаимодействующих социальных слоев к их непрерывному распределению на некотором интервале, то есть перехода к модели сплошной среды. В этом случае напряженность распространяется локально, но в действительности элита общества влияет на все слои через средства массовой информации, а также интернет позволяет влиять всем группам на другие. Эти факторы можно учесть через слагаемое модели, описывающее негативное внешнее воздействие. В настоящей работе предложена модель сплошной социальной стратификации, описывающая динамику системы из двух социумов, связанных через процесс миграции населения. Предполагается, что из социального слоя системы-донора с наибольшей напряженностью происходит отток людей, переносящих свою напряженность в систему-акцептор, причем при миграции люди попадают в более бедные слои принимающего общества. Рассматриваетсяслуч ай пространственно однородных коэффициентов, что соответствует частному случаю небольшого социума. При помощи метода конечных объемов построена пространственнаяди скретизация задачи, корректно отражающая конечную скорость распространения напряженности в обществе. Выполнена проверка выбранной дискретизации путем сравненияч исленного решения с точными решениями вспомогательного уравнения нелинейной диффузии. Проведено численное исследование системы с миграцией при различных значениях параметров, проанализировано влияние интенсивности миграции на принимающее общество, найдены условия дестабилизации общества акцептора под влиянием миграции. Полученные в работе результаты могут быть применены при дальнейшем исследовании модели в случае пространственно неоднородных коэффициентов, что соответствует более реалистичной картине общества.

The background social strain of a society can be quantitatively estimated using various statistical indicators. Mathematical models, allowing to forecast the dynamics of social strain, are successful in describing various social processes. If the number of interacting groups is small, the dynamics of the corresponding indicators can be modelled with a system of ordinary differential equations. The increase in the number of interacting components leads to the growth of complexity, which makes the analysis of such models a challenging task. A continuous social stratification model can be considered as a result of the transition from a discrete number of interacting social groups to their continuous distribution in some finite interval. In such a model, social strain naturally spreads locally between neighbouring groups, while in reality, the social elite influences the whole society via news media, and the Internet allows non-local interaction between social groups. These factors, however, can be taken into account to some extent using the term of the model, describing negative external influence on the society. In this paper, we develop a continuous social stratification model, describing the dynamics of two societies connected through migration. We assume that people migrate from the social group of donor society with the highest strain level to poorer social layers of the acceptor society, transferring the social strain at the same time. We assume that all model parameters are constants, which is a realistic assumption for small societies only. By using the finite volume method, we construct the spatial discretization for the problem, capable of reproducing finite propagation speed of social strain. We verify the discretization by comparing the results of numerical simulations with the exact solutions of the auxiliary non-linear diffusion equation. We perform the numerical analysis of the proposed model for different values of model parameters, study the impact of migration intensity on the stability of acceptor society, and find the destabilization conditions. The results, obtained in this work, can be used in further analysis of the model in the more realistic case of inhomogeneous coefficients.

В данной работе рассматривается система уравнений магнитной гидродинамики (МГД). Найденные точные решения описывают течения жидкости в пористой среде и связаны с вопросами разработки кернового симулятора и задачами управления параметрами несжимаемой жидкости и направлены на создание отечественной технологии «цифровое месторождение». Центральной проблемой, связанной с использованием вычислительной техники, являются сеточные аппроксимации большой размерности и суперЭВМ высокой производительности с большим числом параллельно работающих микропроцессоров. В качестве возможной альтернативы сеточным аппроксимациям большой размерности разрабатываются кинетические методы решения дифференциальных уравнений и методы «склейки» точных решений на грубых сетках. Сравнительный анализ эффективности вычислительных систем позволяет сделать вывод о необходимости развития организации вычислений, основанных на целочисленной арифметике в сочетании с универсальными приближенными методами. Предложен класс точных решений системы Навье – Стокса, описывающий трехмерные течения для несжимаемой жидкости, а также точные решения нестационарной трехмерной магнитной гидродинамики. Эти решения важны для практических задач управляемой динамики минерализованных флюидов, а также для создания библиотек тестов для верификации приближенных методов. Выделены ряд явлений, связанных с образованием макроскопических структур за счет высокой интенсивности взаимодействия элементов пространственно однородных систем, а также их возникновение за счет линейного пространственного переноса в пространственно-неоднородных системах. Принципиальным является то, что возникновение структур — это следствие разрывности операторов в нормах законов сохранения. Наиболее разработанной и универсальной является теория вычислительных методов для линейных задач. Поэтому с этой точки зрения важными являются процедуры «погружения» нелинейных задач в общие классы линейных за счет изменения исходной размерности описания и расширения функциональных пространств. Отождествление функциональных решений с функциями позволяет вычислять интегральные средние неизвестной, но в то же время ее нелинейные суперпозиции, вообще говоря, не являются слабыми пределами нелинейных суперпозиций приближений метода, т.е. существуют функциональные решения, которые не являются обобщенными в смысле С. Л. Соболева.

In this paper, the system of equations of magnetic hydrodynamics (MHD) is considered. The exact solutions found describe fluid flows in a porous medium and are related to the development of a core simulator and are aimed at creating a domestic technology «digital deposit» and the tasks of controlling the parameters of incompressible fluid. The central problem associated with the use of computer technology is large-dimensional grid approximations and high-performance supercomputers with a large number of parallel microprocessors. Kinetic methods for solving differential equations and methods for «gluing» exact solutions on coarse grids are being developed as possible alternatives to large-dimensional grid approximations. A comparative analysis of the efficiency of computing systems allows us to conclude that it is necessary to develop the organization of calculations based on integer arithmetic in combination with universal approximate methods. A class of exact solutions of the Navier – Stokes system is proposed, describing three-dimensional flows for an incompressible fluid, as well as exact solutions of nonstationary three-dimensional magnetic hydrodynamics. These solutions are important for practical problems of controlled dynamics of mineralized fluids, as well as for creating test libraries for verification of approximate methods. A number of phenomena associated with the formation of macroscopic structures due to the high intensity of interaction of elements of spatially homogeneous systems, as well as their occurrence due to linear spatial transfer in spatially inhomogeneous systems, are highlighted. It is fundamental that the emergence of structures is a consequence of the discontinuity of operators in the norms of conservation laws. The most developed and universal is the theory of computational methods for linear problems. Therefore, from this point of view, the procedures of «immersion» of nonlinear problems into general linear classes by changing the initial dimension of the description and expanding the functional spaces are important. Identification of functional solutions with functions makes it possible to calculate integral averages of an unknown, but at the same time its nonlinear superpositions, generally speaking, are not weak limits of nonlinear superpositions of approximations of the method, i.e. there are functional solutions that are not generalized in the sense of S. L. Sobolev.

Перспективным методом повышения количества осадков в засушливом климате является способ создания вертикальной высокотемпературной струи, насыщенной гигроскопическим аэрозолем. Такая установка позволяет создавать искусственные облака с возможностью образования осадков в безоблачной атмосфере, в отличие от традиционных способов искусственного увеличения осадков, в которых предусматривается повышение эффективности осадко-образования только в естественных облаках путем их засева ядрами кристаллизации и конденсации. Для увеличения мощности струи добавляются хлорид кальция, карбамид, пищевая соль в виде грубодисперсного аэрозоля, а также нанопорошок NaCl/TiO₂, который способен конденсировать значительно больше водяного пара, чем перечисленные типы аэрозолей. Дисперсные включения в струе также являются центрами кристаллизации и конденсации в создаваемом облаке для повышения возможности осадкообразования. Для моделирования конвективных течений в атмосфере применяется математическая модель атмосферных течений большого масштаба FlowVision, решение уравнений движения, энергии и массопереноса проводится в относительных переменных. Рассматриваемая постановка задачи разделена на две части: модель начальной струи и постановка атмосферных течений большого масштаба FlowVision. Нижняя область, где происходит течение начальной высокоскоростной струи, моделируется в сжимаемой постановке с решением уравнения энергии относительно полной энтальпии. Данное разделение задачи на две отдельные подобласти необходимо, чтобы корректно провести численный расчет начальной турбулентной струи при высокой скорости (M > 0,3). Приводятся основные математические зависимости модели. С использованием представленной модели проведены численные эксперименты, для исходных данных взяты экспериментальные данные из натурных испытаний установки по созданию искусственных облаков, проведенные в Объединенных Арабских Эмиратах. Получено хорошее согласие с экспериментом: в 55% проведенных расчетов значение вертикальной скорости на высоте 400 м (более 2 м/с) и высота подъема струи (более 600 м) находятся в пределах погрешности 30% от экспериментальных характеристик, а в 30% расчетах — полностью согласуются с экспериментом. Результаты численного моделирования позволяют оценить возможность использования метода высокоскоростной струи для стимулирования искусственной конвекции и, в конечном итоге, для создания осадков. Расчеты проведены с использованием программного комплекса FlowVision на суперкомпьютере «Торнадо ЮУрГУ».

A promising method of increasing precipitation in arid climates is the method of creating a vertical high-temperature jet seeded by hygroscopic aerosol. Such an installation makes it possible to create artificial clouds with the possibility of precipitation formation in a cloudless atmosphere, unlike traditional methods of artificial precipitation enhancement, which provide for increasing the efficiency of precipitation formation only in natural clouds by seeding them with nuclei of crystallization and condensation. To increase the power of the jet, calcium chloride, carbamide, salt in the form of a coarse aerosol, as well as NaCl/TiO₂ core/shell novel nanopowder, which is capable of condensing much more water vapor than the listed types of aerosols, are added. Dispersed inclusions in the jet are also centers of crystallization and condensation in the created cloud to increase the possibility of precipitation. To simulate convective flows in the atmosphere, a mathematical model of FlowVision large-scale atmospheric flows is used, the solution of the equations of motion, energy and mass transfer is carried out in relative variables. The statement of the problem is divided into two parts: the initial jet model and the FlowVision large-scale atmospheric model. The lower region, where the initial high-speed jet flows, is calculated using a compressible formulation with the solution of the energy equation with respect to the total enthalpy. This division of the problem into two separate subdomains is necessary in order to correctly carry out the numerical calculation of the initial turbulent jet at high velocity (M > 0.3). The main mathematical dependencies of the model are given. Numerical experiments were carried out using the presented model, experimental data from field tests of the installation for creating artificial clouds were taken for the initial data. A good agreement with the experiment is obtained: in 55% of the calculations carried out, the value of the vertical velocity at a height of 400 m (more than 2 m/s) and the height of the jet rise (more than 600 m) is within an deviation of 30% of the experimental characteristics, and in 30% of the calculations it is completely consistent with the experiment. The results of numerical simulation allow evaluating the possibility of using the high-speed jet method to stimulate artificial updrafts and to create precipitation. The calculations were carried out using FlowVision CFD software on SUSU Tornado supercomputer.