All issues

Данная статья посвящена изучению самопродвижения тел в жидкости за счет действия внутренних механизмов, без изменения внешней формы тела. В работе представлен обзор теоретических работ, обосновывающих возможностьда нного перемещения в идеальной и вязкой жидкостях.

Рассмотрен частный случай самопродвижения твердого тела по поверхности жидкости за счет движения двух внутренних масс по окружностям. В работе представлена математическая модельдвиж ения твердого тела с подвижными внутренними массами в трехмерной постановке. Данная модельу читывает трехмерные колебания тела при движении, возникающие под действием внешних сил — силы тяжести, силы Архимеда и сил, действующих на тело со стороны вязкой жидкости.

В качестве тела рассмотрен однородный эллиптический цилиндр с килем, расположенным вдоль большей диагонали. Внутри цилиндра расположены две материальные точечные массы, перемещающиеся по окружностям. Центры окружностей лежат на наименьшей диагонали эллипса на равном удалении от центра масс.

Уравнения движения рассматриваемой системы (тело с двумя материальными точками, помещенное в жидкость) представлены в виде уравнений Кирхгофа с добавлением внешних сил и моментов, действующих на тело. Для описания сил сопротивления движению в жидкости выбрана феноменологическая модель вязкого трения, квадратичная по скорости. Коэффициенты сопротивления движению, используемые в модели, определялись экспериментально. Силы, действующие на киль, определялись с помощью численного моделирования колебаний киля в вязкой жидкости с использованием уравнений Навье–Стокса.

В данной работе была проведена экспериментальная проверка предложенной математической модели. Представлено несколько серий экспериментов по самопродвижению тела в жидкости с помощью вращения внутренних масс с разными скоростями вращения. Исследована зависимостьс редней скорости продвижения, размаха поперечных колебаний в зависимости от частоты вращения внутренних масс. Проведено сравнение полученных экспериментальных данных с результатами, полученными в рамках предложенной математической модели.

This article is devoted to the study of self-propulsion of bodies in a fluid by the action of internal mechanisms, without changing the external shape of the body. The paper presents an overview of theoretical papers that justify the possibility of this displacement in ideal and viscous liquids.

A special case of self-propulsion of a rigid body along the surface of a liquid is considered due to the motion of two internal masses along the circles. The paper presents a mathematical model of the motion of a solid body with moving internal masses in a three-dimensional formulation. This model takes into account the three-dimensional vibrations of the body during motion, which arise under the action of external forces-gravity force, Archimedes force and forces acting on the body, from the side of a viscous fluid.

The body is a homogeneous elliptical cylinder with a keel located along the larger diagonal. Inside the cylinder there are two material point masses moving along the circles. The centers of the circles lie on the smallest diagonal of the ellipse at an equal distance from the center of mass.

Equations of motion of the system (a body with two material points, placed in a fluid) are represented as Kirchhoff equations with the addition of external forces and moments acting on the body. The phenomenological model of viscous friction is quadratic in velocity used to describe the forces of resistance to motion in a fluid. The coefficients of resistance to movement were determined experimentally. The forces acting on the keel were determined by numerical modeling of the keel oscillations in a viscous liquid using the Navier – Stokes equations.

In this paper, an experimental verification of the proposed mathematical model was carried out. Several series of experiments on self-propulsion of a body in a liquid by means of rotation of internal masses with different speeds of rotation are presented. The dependence of the average propagation velocity, the amplitude of the transverse oscillations as a function of the rotational speed of internal masses is investigated. The obtained experimental data are compared with the results obtained within the framework of the proposed mathematical model.

В предположении анизотропии свойств жидкости и среды моделируется возникновение гравитационной конвекции в пористом прямоугольнике, насыщенном теплопроводной жидкостью с примесью и подогреваемом снизу. Рассматривается плоская задача на основе уравнений Дарси – Буссинеска для бинарной жидкости с учетом эффекта Соре. Устанавливаются условия, при которых система уравнений относительно функции тока, отклонений температуры и концентрации от равновесного состояния является косимметричной и возможно ответвление от механического равновесия непрерывного семейства стационарных движений.

Показано, что в условиях существования косимметрии имеются подобласти параметров, для которых критические значения температурного и концентрационного чисел Рэлея находятся по явным формулам. Для случая монотонной неустойчивости механического равновесия выведены формулы критических чисел Рэлея и приведены результаты подтверждающих вычислений.

Развита конечно-разностная дискретизация задачи второго порядка точности по пространственным переменным, сохраняющая косимметричность исследуемой системы. С помощью разработанной численной схемы проведен анализ устойчивости механического равновесия при различных комбинациях управляющих параметров.

На плоскости температурного и концентрационного чисел Рэлея представлены нейтральные кривые устойчивости механического равновесия и рассчитаны участки колебательной неустойчивости. Установлена зависимость от параметров термодиффузии концентрационного числа Рэлея, при котором колебательная неустойчивость предшествует монотонной. В общей ситуации, когда не выполняются условия косимметрии, выведенные формулы критических чисел Рэлея могут быть использованы для оценки порогов возникновения конвекции.

We study an appearance of gravitational convection in a porous medium saturated by the double-diffusive fluid. The rectangle heated from below is considered with anisotropy of media properties. We analyze Darcy – Boussinesq equations for a binary fluid with Soret effect.

Resulting system for the stream function, the deviation of temperature and concentration is cosymmetric under some additional conditions for the parameters of the problem. It means that the quiescent state (mechanical equilibrium) loses its stability and a continuous family of stationary regimes branches off. We derive explicit formulas for the critical values of the Rayleigh numbers both for temperature and concentration under these conditions of the cosymmetry. It allows to analyze monotonic instability of mechanical equilibrium, the results of corresponding computations are presented.

A finite-difference discretization of a second-order accuracy is developed with preserving of the cosymmetry of the underlying system. The derived numerical scheme is applied to analyze the stability of mechanical equilibrium.

The appearance of stationary and nonstationary convective regimes is studied. The neutral stability curves for the mechanical equilibrium are presented. The map for the plane of the Rayleigh numbers (temperature and concentration) are displayed. The impact of the parameters of thermal diffusion on the Rayleigh concentration number is established, at which the oscillating instability precedes the monotonic instability. In the general situation, when the conditions of cosymmetry are not satisfied, the derived formulas of the critical Rayleigh numbers can be used to estimate the thresholds for the convection onset.

Для модельного неоднородного уравнения переноса с источником выполнен анализ устойчивости линейной гибридной схемы (комбинации противопоточной и центральной аппроксимаций). Получены условия устойчивости, зависящие от параметра гибридности, фактора интенсивности источника (произведения интенсивности на шаг по времени) и весового коэффициента линейной комбинации мощности источника на нижнем и верхнем временном слое. В нелинейном случае для уравнений движения неравновесной по скоростям и температурам газовзвеси расчетным путем подтвержден линейный анализ устойчивости. Установлено, что предельно допустимое число Куранта гибридного метода крупных частиц второго порядка точности по пространству и времени при неявном учете трения и теплообмена между газом и частицами не зависит от фактора интенсивности межфазных взаимодействий, шага расчетной сетки и времен релаксации фаз (K-устойчивость). В традиционном случае явного способа расчета источниковых членов для значений безразмерного фактора интенсивности больше 10 наблюдается катастрофическое (на несколько порядков) снижение предельно допустимого числа Куранта, при котором расчетный шаг по времени становится неприемлемо малым.

На основе базовых соотношений распада разрыва в равновесной гетерогенной среде получено асимптотически точное автомодельное решение задачи взаимодействия ударной волны со слоем газовзвеси, к которому сходится численное решение двухскоростной двухтемпературной динамики газовзвеси при уменьшении размеровди сперсных частиц.

Изучены динамика движения скачка уплотнения в газе и его взаимодействия с ограниченным слоем газовзвеси для различных размеров дисперсных частиц: 0.1, 2 и 20 мкм. Задача характеризуется двумя распадами разрывов: отраженной и преломленной ударными волнами на левой границе слоя, отраженной волной разрежения и прошедшим скачком уплотнения на правой контактной границе. Обсуждено влияние релаксационных процессов (безразмерных времен релаксации фаз) на характер течения газовзвеси. Для мелких частиц времена выравнивания скоростей и температур фаз малы, а зоны релаксации являются подсеточными. Численное решение в характерных точках с относительной точностью $O\, (10^{−4})$  сходится к автомодельным решениям.

For a non-homogeneous model transport equation with source terms, the stability analysis of a linear hybrid scheme (a combination of upwind and central approximations) is performed. Stability conditions are obtained that depend on the hybridity parameter, the source intensity factor (the product of intensity per time step), and the weight coefficient of the linear combination of source power on the lower- and upper-time layer. In a nonlinear case for the non-equilibrium by velocities and temperatures equations of gas suspension motion, the linear stability analysis was confirmed by calculation. It is established that the maximum permissible Courant number of the hybrid large-particle method of the second order of accuracy in space and time with an implicit account of friction and heat exchange between gas and particles does not depend on the intensity factor of interface interactions, the grid spacing and the relaxation times of phases (K-stability). In the traditional case of an explicit method for calculating the source terms, when a dimensionless intensity factor greater than 10, there is a catastrophic (by several orders of magnitude) decrease in the maximum permissible Courant number, in which the calculated time step becomes unacceptably small.

On the basic ratios of Riemann’s problem in the equilibrium heterogeneous medium, we obtained an asymptotically exact self-similar solution of the problem of interaction of a shock wave with a layer of gas-suspension to which converge the numerical solution of two-velocity two-temperature dynamics of gassuspension when reducing the size of dispersed particles.

The dynamics of the shock wave in gas and its interaction with a limited gas suspension layer for different sizes of dispersed particles: 0.1, 2, and 20 ìm were studied. The problem is characterized by two discontinuities decay: reflected and refracted shock waves at the left boundary of the layer, reflected rarefaction wave, and a past shock wave at the right contact edge. The influence of relaxation processes (dimensionless phase relaxation times) to the flow of a gas suspension is discussed. For small particles, the times of equalization of the velocities and temperatures of the phases are small, and the relaxation zones are sub-grid. The numerical solution at characteristic points converges with relative accuracy $O \, (10^{-4})$ to self-similar solutions.

В работе сформулирована математическая модель для исследования нелинейного гидроупругого отклика стенки узкого канала, заполненного пульсирующей вязкой жидкостью, опирающейся на пружину c нелинейной жесткостью. В отличие от известных подходов в рамках предложенной модели осуществлен одновременный учет инерционных и диссипативных свойств вязкой несжимаемой жидкости и нелинейности восстанавливающей силы поддерживающей пружины. Математическая модель представляет собой систему уравнений плоской задачи гидроупругости, включающей уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости, с соответствующими краевыми условиями, и уравнение движения стенки канала как одномассовой модели с восстанавливающей силой, имеющей кубическую нелинейность. Динамика вязкой жидкости первоначально исследована в рамках гидродинамической теории смазки, т.е. без учета инерции ее движения. На следующем этапе для учета инерции движения вязкой жидкости использован метод итерации. Найдены законы распределения гидродинамических параметров вязкой жидкости в канале, что позволило определить ее реакцию, действующую на стенку канала. В результате показано, что исходная задача гидроупругости сводится к одному нелинейному уравнению, совпадающему с уравнением Дуффинга. В данном уравнении коэффициент демпфирования определяется физическими свойствами жидкости и геометрическими размерами канала, а учет инерции движения жидкости приводит к появлению дополнительной присоединенной массы, зависящей от тех же параметров. Исследование нелинейного уравнения гидроупругих колебаний проведено методом гармонического баланса для основной частоты пульсаций вязкой жидкости. В результате найден основной гидроупругий отклик стенки канала, опирающейся на пружину с мягкой или жесткой кубической нелинейностью. Численное моделирование гидроупругого отклика стенки канала показало возможность скачкообразного изменения амплитуд ее колебаний, а также дало возможность оценить влияние инерции движения жидкости на частотный диапазон, в котором наблюдаются данные изменения.

The paper deals with the mathematical model formulation for studying the nonlinear hydro-elastic response of the narrow channel wall supported by a spring with cubic nonlinearity and interacting with a pulsating viscous liquid filling the channel. In contrast to the known approaches, within the framework of the proposed mathematical model, the inertial and dissipative properties of the viscous incompressible liquid and the restoring force nonlinearity of the supporting spring were simultaneously taken into account. The mathematical model was an equations system for the coupled plane hydroelasticity problem, including the motion equations of a viscous incompressible liquid, with the corresponding boundary conditions, and the channel wall motion equation as a single-degree-of-freedom model with a cubic nonlinear restoring force. Initially, the viscous liquid dynamics was investigated within the framework of the hydrodynamic lubrication theory, i. e. without taking into account the liquid motion inertia. At the next stage, the iteration method was used to take into account the motion inertia of the viscous liquid. The distribution laws of the hydrodynamic parameters for the viscous liquid in the channel were found which made it possible to determine its reaction acting on the channel wall. As a result, it was shown that the original hydroelasticity problem is reduced to a single nonlinear equation that coincides with the Duffing equation. In this equation, the damping coefficient is determined by the liquid physical properties and the channel geometric dimensions, and taking into account the liquid motion inertia lead to the appearance of an added mass. The nonlinear equation study for hydroelastic oscillations was carried out by the harmonic balance method for the main frequency of viscous liquid pulsations. As a result, the primary steady-state hydroelastic response for the channel wall supported by a spring with softening or hardening cubic nonlinearity was found. Numerical modeling of the channel wall hydroelastic response showed the possibility of a jumping change in the amplitudes of channel wall oscillations, and also made it possible to assess the effect of the liquid motion inertia on the frequency range in which these amplitude jumps are observed.

В ряде фундаментальных и прикладных задач возникает необходимость описания динамики движения частиц сложной формы в высокоскоростном потоке газа. В качестве примера можно привести движение угольных частиц за фронтом сильной ударной волныв о время взрыва в угольной шахте. Статья посвящена численному моделированию динамики поступательного и вращательного движения тела квадратной формык ак модельного примера частицы более сложной, чем круглая, формы, в сверхзвуковом потоке за проходящей ударной волной. Постановка задачи приближенно соответствует натурным экспериментам В. М. Бойко и С. В. Поплавского (ИТПМ СО РАН).

Математическая модель основана на двумерных уравнениях Эйлера, которые решаются в области с подвижными границами. Определяющая система уравнений численно интегрируется по явной схеме с использованием разработанного ранее и верифицированного метода декартовых сеток. Вычислительный алгоритм на шаге интегрирования по времени включает: определение величиныш ага, расчет динамики движения тела (определение силыи момента, действующих на тело; определение линейной и угловой скоростей тела; расчет новых координат тела), расчет параметров газа. Для расчета численного потока через ребра ячеек, пересекаемых границами тела, используется двухволновое приближение при решении задачи Римана и схема Стигера – Уорминга.

Движение квадрата со стороной 6 мм инициировалось прохождением ударной волныс числом Маха 3,0, распространяющейся в плоском канале длиной 800 мм и шириной 60 мм. Канал был заполнен воздухом при пониженном давлении. Рассматривалась различная начальная ориентация квадрата относительно оси канала. Обнаружено, что начальное положение квадрата стороной поперек потока является менее устойчивым при его движении, чем начальное положение диагональю поперек потока. В этом расчетные результаты качественно соответствуют экспериментальным наблюдениям. Для промежуточных начальных положений квадрата описан типичный режим его движения, состоящий из колебаний, близких к гармоническим, переходящих во вращение с постоянной средней угловой скоростью. В процессе движения квадрата наблюдается в среднем монотонное уменьшение расстояния между центром масс и центром давления до нуля.

In a number of fundamental and practical problems, it is necessary to describe the dynamics of the motion of complexshaped particles in a high-speed gas flow. An example is the movement of coal particles behind the front of a strong shock wave during an explosion in a coal mine. The paper is devoted to numerical simulation of the dynamics of translational and rotational motion of a square-shaped body, as an example of a particle of a more complex shape than a round one, in a supersonic flow behind a passing shock wave. The formulation of the problem approximately corresponds to the experiments of Professor V. M. Boiko and Professor S. V. Poplavski (ITAM SB RAS).

Mathematical model is based on the two-dimensional Euler equations, which are solved in a region with varying boundaries. The defining system of equations is integrated using an explicit scheme and the Cartesian grid method which was developed and verified earlier. The computational algorithm at the time integration step includes: determining the step value, calculating the dynamics of the body movement (determining the force and moment acting on the body; determining the linear and angular velocities of the body; calculating the new coordinates of the body), calculating the gas parameters. To calculate numerical fluxes through the edges of the cell intersected by the boundaries of the body, we use a two-wave approximation for solving the Riemann problem and the Steger – Warming scheme.

The movement of a square with a side of 6 mm was initiated by the passage of a shock wave with a Mach number of 3,0 propagating in a flat channel 800 mm long and 60 mm wide. The channel was filled with air at low pressure. Different initial orientation of the square relative to the channel axis was considered. It is found that the initial position of the square with its side across the flow is less stable during its movement than the initial position with a diagonal across the flow. In this case, the calculated results qualitatively correspond to experimental observations. For the intermediate initial positions of a square, a typical mode of its motion is described, consisting of oscillations close to harmonic, turning into rotation with a constant average angular velocity. During the movement of the square, there is an average monotonous decrease in the distance between the center of mass and the center of pressure to zero.

Врабо те представлена физико-математическая постановка задач внутренней баллистики артиллерийского выстрела для заряда, состоящего из совокупности пороховых трубок, и их напряженно-деформированного состояния. Горение и движение пучка пороховых трубок по каналу ствола моделируются эквивалентным трубчатым зарядом всестороннего горения. Предполагается, что эквивалентная трубка движется по оси канала ствола. Скорость движения эквивалентного трубчатого заряда и его текущее положение определяются из второго закона Ньютона. При расчете параметров течения использованы двумерные осесимметричные уравнения газовой динамики, для решения которых строится осесимметричная ортогонализированная разностная сетка, адаптирующаяся к условиям течения. Для численного решения системы газодинамических уравнений применяется метод контрольного объема. Параметры газа на границах контрольных объемов определяются с использованием автомодельного решения задачи о распаде произвольного разрыва С. К. Годунова. Напряженно-деформированное состояние моделируется для отдельной горящей пороховой трубки, находящейся в поле нестационарных газодинамических параметров. Расчет газодинамических параметров выстрела осуществляется без учета деформированного состояния пороховых элементов. При данных условиях рассмотрено поведение пороховых элементов при выстреле. Для решения нестационарной задачи упругости используется метод конечных элементов с разбиением области расчета на треугольные элементы. В процессе выгорания пороховой трубки расчетная сетка на каждом временном слое динамической задачи полностью обновляется в связи с изменением границ порохового элемента за счет горения. Представлены временные зависимости параметров внутрибаллистического процесса и напряженно-деформированного состояния пороховых элементов, а также распределения основных параметров течения продуктов горения в различные моменты времени. Установлено, что трубчатые пороховые элементы в процессе выстрела испытывают существенные деформации, которые необходимо учитывать при решении основной задачи внутренней баллистики. Полученные данные дают представления об уровне эквивалентных напряжений, действующих в различных точках порохового элемента. Представленные результаты говорят об актуальности сопряженной постановки задачи газовой динамики и напряженно-деформированного состояния для зарядов, состоящих из трубчатых порохов, поскольку это позволяет по-новому подойти к проектированию трубчатых зарядов и открывает возможность определения параметров, от которых существенно зависят физика процесса горения пороха и, следовательно, динамика процесса выстрела.

The paper presents the physical and mathematical formulation of the problems of internal ballistics of an artillery shot for a charge consisting of a set of powder tubes and their stress-strain state. Combustion and movement of a bundle of powder tubes along the barrel channel is modeled by an equivalent tubular charge of all-round combustion. It is assumed that the equivalent tube moves along the axis of the bore. The speed of movement of an equivalent tubular charge and its current position are determined from Newton’s second law. When calculating the flow parameters, two-dimensional axisymmetric equations of gas dynamics were used, for the solution of which an axisymmetric orthogonalized difference grid is constructed, which adapts to the flow conditions. The control volume method is used to numerically solve the system of gas-dynamic equations. The gas parameters at the boundaries of the control volumes are determined using a self-similar solution to the Godunov’s problem of the decay of an arbitrary discontinuity. The stress-strain state is modeled for a separate burning powder tube located in the field of gas-dynamic parameters. The calculation of the gas-dynamic parameters of the shot is carried out without taking into account the deformed state of the powder elements. The behavior of powder elements during firing is considered under these conditions. The finite element method with the division of the calculation area into triangular elements is used to solve the problem of elasticity. In the process of powder tube burnout, the computational grid on each time layer of the dynamic problem is completely updated due to a change in the boundaries of the powder element due to combustion. The paper shows the time dependences of the parameters of the internal ballistics process and the stress-strain state of powder elements, as well as the distribution of the main parameters of the flow of combustion products at different points in time. It has been established that the tubular powder elements during the shot experience significant deformations, which must be taken into account when solving the basic problem of internal ballistics. The data obtained give an idea of the level of equivalent stresses acting at various points of the powder element. The results obtained indicate the relevance of the conjugate formulation of the problem of gas dynamics and the stress-strain state for charges consisting of tubular powders, since this allows a new approach to the design of tubular charges and opens up the possibility of determining the parameters on which the physics of the combustion process of gunpowder significantly depends, therefore, and the dynamics of the shot process.

Дискретизация задач по методу гидродинамики сглаженных частиц (SPH) предполагает присутствие в решении нескольких констант — параметров дискретизации. Среди них особо следует отметить модельную скорость звука $c_0$, которая связывает мгновенную плотность в SPH-частице с возникающим давлением через замыкающее уравнение состояния.

В работе изложен подход к точному определению необходимого значения модельной скорости звука, имеющий в своей основе анализ изменения плотностей в SPH-частицах при их относительном смещении. Примером движения сплошной среды принята задача о плоском сдвиговом течении; объектом анализа является функция относительного уплотнения $\varepsilon_\rho$ в SPH-частице, определяемая формой ядра сглаживания. Идеальный плоскопараллельный относительный сдвиг частиц в области сглаживания определяет периодическое изменение их плотностей. Исследование функций $\varepsilon_\rho$, получаемых от использования различных ядер сглаживания в аппроксимации плотности с учетом такого сдвига, позволило установить пульсационный характер возникновения давлений в частицах. Кроме того, определен случай расположения соседей в области сглаживания, обеспечивающий максимум уплотнения в частице.

Сопоставление функций $\varepsilon_\rho$ с SPH-аппроксимацией уравнения движения позволило связать параметр дискретизации $c_0$ с формой ядра сглаживания и прочими параметрами дискретного аналога задачи, в том числе коэффициентом искусственной диссипации. В результате сформулировано уравнение, обеспечивающее нахождение необходимого и достаточного для решения значения модельной скорости звука. Для трех представителей ядер сглаживания приведены выражения корня $c_0$ такого уравнения, упрощенные из полиномов до числовых коэффициентов при параметрах рассматриваемой задачи.

The problem discrete statement by the smoothed particle hydrodynamics method (SPH) include a discretization constants parameters set. Of them particular note is the model sound speed $c_0$, which relates the SPH-particle instantaneous density to the resulting pressure through the equation of state.

The paper describes an approach to the exact determination of the model sound speed required value. It is on the analysis based, how SPH-particle density changes with their relative shift. An example of the continuous medium motion taken the plane shear flow problem; the analysis object is the relative compaction function $\varepsilon_\rho$ in the SPH-particle. For various smoothing kernels was research the functions of $\varepsilon_\rho$, that allowed the pulsating nature of the pressures occurrence in particles to establish. Also the neighbors uniform distribution in the smoothing domain was determined, at which shaping the maximum of compaction in the particle.

Through comparison the function $\varepsilon_\rho$ with the SPH-approximation of motion equation is defined associate the discretization parameter $c_0$ with the smoothing kernel shape and other problem parameters. As a result, an equation is formulated that the necessary and sufficient model sound speed value provides finding. For such equation the expressions of root $c_0$ are given for three different smoothing kernels, that simplified from polynomials to numerical coefficients for the plane shear flow problem parameters.

Статья посвящена моделированию гидродинамических процессов мелководных водоемов на примере Азовского моря. В статье приведена математическая модель гидродинамики мелководного водоема, позволяющая вычислить трехмерные поля вектора скорости движения водной среды. Применение регуляризаторов по Б.Н. Четверушкину в уравнении неразрывности привело к изменению способа расчета поля давления, базирующегося на решении волнового уравнения. Построена дискретная конечно-разностная схема для расчета давления в области, линейные размеры которой по вертикали существенно меньше размеров по горизонтальным координатным направлениям, что является характерным для геометрии мелководных водоемов. Описаны метод и алгоритм решения сеточных уравнений с предобуславливателем трехдиагонального вида. Предложенный метод применен для решения сеточных уравнений, возникающих при расчете давления для трехмерной задачи гидродинамики Азовского моря. Показано, что предложенный метод сходится быстрее модифицированного попеременно-треугольного метода. Представлена параллельная реализация предложенного метода решения сеточных уравнений и проведены теоретические и практические оценки ускорения алгоритма с учетом времени латентности вычислительной системы. Приведены результаты вычислительных экспериментов для решения задач гидродинамики Азовского моря с использованием гибридной технологии MPI + OpenMP. Разработанные модели и алгоритмы применялись для реконструкции произошедшей в 2001 году в Азовском море экологической катастрофы и решения задачи движения водной среды в устьевых районах. Численные эксперименты проводились на гибридном вычислительном кластере К-60 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

The article is devoted to modeling the shallow water hydrodynamic processes using the example of the Azov Sea. The article presents a mathematical model of the hydrodynamics of a shallow water body, which allows one to calculate three-dimensional fields of the velocity vector of movement of the aquatic environment. Application of regularizers according to B.N.Chetverushkin in the continuity equation led to a change in the method of calculating the pressure field, based on solving the wave equation. A discrete finite-difference scheme has been constructed for calculating pressure in an area whose linear vertical dimensions are significantly smaller than those in horizontal coordinate directions, which is typical for the geometry of shallow water bodies. The method and algorithm for solving grid equations with a tridiagonal preconditioner are described. The proposed method is used to solve grid equations that arise when calculating pressure for the three-dimensional problem of hydrodynamics of the Azov Sea. It is shown that the proposed method converges faster than the modified alternating triangular method. A parallel implementation of the proposed method for solving grid equations is presented and theoretical and practical estimates of the acceleration of the algorithm are carried out taking into account the latency time of the computing system. The results of computational experiments for solving problems of hydrodynamics of the Sea of Azov using the hybrid MPI + OpenMP technology are presented. The developed models and algorithms were used to reconstruct the environmental disaster that occurred in the Sea of Azov in 2001 and to solve the problem of the movement of the aquatic environment in estuary areas. Numerical experiments were carried out on the K-60 hybrid computing cluster of the Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences.

Первое решение для ветрового движения однородной жидкости было найдено в 1905 г. Экманом и представляло собой сумму двух слагаемых: дрейфовой составляющей, определяемой напряжением ветра, и геострофической, определяемой наклоном свободной поверхности. Дрейфовая составляющая определяется конкретной формулой и легко поддается анализу. Нахождение геострофической составляющей требует решения уравнения эллиптического типа в области, ограниченной береговой линией, и представляет собой более сложную задачу. В данной работе приводятся примеры областей и ветровых напряжений, когда уравнения для нахождения геострофической составляющей решаются аналитически.

The first solution for wind-induced flow of homogeneous fluid was found in 1905 by Ekman and it involved the sum of two components: the drift current determined by wind stress and the geostrophic current determined by slope of the free surface. Drift current is defined by the specific formula and can be easily analyzed. In order to find the geostrophic current it is necessary to solve an elliptic type equation in the area bounded by coastline and it is a more difficult problem. In this paper examples of areas and wind stresses are given for the case when the equations for finding the geostrophic current are solved analytically.

В работе на основе предложенной ранее русловой модели решена одномерная задача устойчивости песчаного дна напорного канала. Особенностью исследуемой задачи является используемое оригинальное уравнение русловых деформаций, учитывающее влияние физико-механических и гранулометрических характеристик донного материала и неровности донной поверхности при русловом анализе. Еще одной особенностью рассматриваемой задачи является учет влияния не только придонного касательного, но и нормального напряжения при изучении русловой неустойчивости. Из решения задачи устойчивости песчаного дна для напорного канала получена аналитическая зависимость, определяющая длину волны для быстрорастущих донных возмущений. Выполнен анализ полученной аналитической зависимости, показано, что она обобщает ряд известных эмпирических формул: Коулмана, Шуляка и Бэгнольда. Структура полученной аналитической зависимости указывает на существование двух гидродинамических режимов, характеризуемых числом Фруда, при которых рост донных возмущений может сильно или слабо зависеть от числа Фруда. Учитывая природную стохастичность процесса движения донных волн и наличие области определения решения со слабой зависимостью от чисел Фруда, можно сделать вывод о том, что экспериментальное наблюдение за процессом развития движения донных волн в данной области должно приводить к получению данных, имеющих существенную дисперсию, что и происходит в действительности.

In this paper on the basis of the riverbed model proposed earlier the one-dimensional stability problem of closed flow channel with sandy bed is solved. The feature of the investigated problem is used original equation of riverbed deformations, which takes into account the influence of mechanical and granulometric bed material characteristics and the bed slope when riverbed analyzing. Another feature of the discussed problem is the consideration together with shear stress influence normal stress influence when investigating the riverbed instability. The analytical dependence determined the wave length of fast-growing bed perturbations is obtained from the solution of the sandy bed stability problem for closed flow channel. The analysis of the obtained analytical dependence is performed. It is shown that the obtained dependence generalizes the row of well-known empirical formulas: Coleman, Shulyak and Bagnold. The structure of the obtained analytical dependence denotes the existence of two hydrodynamic regimes characterized by the Froude number, at which the bed perturbations growth can strongly or weakly depend on the Froude number. Considering a natural stochasticity of the waves movement process and the presence of a definition domain of the solution with a weak dependence on the Froude numbers it can be concluded that the experimental observation of the of the bed waves movement development should lead to the data acquisition with a significant dispersion and it occurs in reality.