All issues

При моделировании методами классической молекулярной динамики поведения системы частиц используются уравнения движения в ньютоновской и гамильтоновой формулировке. При использовании уравнений Ньютона для получения координат и скоростей частиц системы, состоящей из $N$ частиц, требуется на каждом временном шаге в трехмерном случае решить $3N$ обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Традиционно для решения уравнений движения молекулярной динамики в ньютоновской формулировке используются численные схемы метода Верле. Для сохранения устойчивости численных схем Верле на достаточно больших интервалах времени приходится уменьшать шаг интегрирования. Это приводит к существенному увеличению объема вычислений. В большинстве современных пакетов программ молекулярной динамики для численного интегрирования уравнений движения используют схемы метода Верле с контролем сохранения гамильтониана (энергии системы) по времени. Для уменьшения времени вычислений при молекулярно-динамических расчетах можно использовать два дополняющих друг друга подхода. Первый основан на совершенствовании и программной оптимизации существующих пакетов программ молекулярной динамики с использованием векторизации, распараллеливания, спецпроцессоров. Второй подход основан на разработке эффективных методов численного интегрирования уравнений движения. В работе предложена процедура построения явных, неявных и симметричных симплектических численных схем с заданной точностью аппроксимации относительно шага интегрирования для решения уравнений движения молекулярной динамики в гамильтоновой форме. В основе подхода для построения предложенной в работе процедуры лежат следующие положения: гамильтонова формулировка уравнений движения, использование разложения точного решения в ряд Тейлора, использование для вывода численных схем аппарата производящих функций для сохранения геометрических свойств точного решения. Численные эксперименты показали, что полученная в работе симметричная симплектическая схема третьего порядка точности сохраняет в приближенном решении основные свойства точного решения, является более устойчивой по шагу аппроксимации и более точно сохраняет гамильтониан системы на большом интервале интегрирования, чем численные схемы метода Верле второго порядка.

Equations of motion in Newtonian and Hamiltonian forms are used for classical molecular dynamics simulation of particle system time evolution. When Newton equations of motion are used for finding of particle coordinates and velocities in $N$-particle system it takes to solve $3N$ ordinary differential equations of second order at every time step. Traditionally numerical schemes of Verlet method are used for solving Newtonian equations of motion of molecular dynamics. A step of integration is necessary to decrease for Verlet numerical schemes steadiness conservation on sufficiently large time intervals. It leads to a significant increase of the volume of calculations. Numerical schemes of Verlet method with Hamiltonian conservation control (the energy of the system) at every time moment are used in the most software packages of molecular dynamics for numerical integration of equations of motion. It can be used two complement each other approaches to decrease of computational time in molecular dynamics calculations. The first of these approaches is based on enhancement and software optimization of existing software packages of molecular dynamics by using of vectorization, parallelization and special processor construction. The second one is based on the elaboration of efficient methods for numerical integration for equations of motion. A procedure for constructing of explicit, implicit and symmetric symplectic numerical schemes with given approximation accuracy in relation to integration step for solving of molecular dynamic equations of motion in Hamiltonian form is proposed in this work. The approach for construction of proposed in this work procedure is based on the following points: Hamiltonian formulation of equations of motion; usage of Taylor expansion of exact solution; usage of generating functions, for geometrical properties of exact solution conservation, in derivation of numerical schemes. Numerical experiments show that obtained in this work symmetric symplectic third-order accuracy scheme conserves basic properties of the exact solution in the approximate solution. It is more stable for approximation step and conserves Hamiltonian of the system with more accuracy at a large integration interval then second order Verlet numerical schemes.

Рассматривается численно устойчивый прямой мультипликативный алгоритм решения систем линейных уравнений, учитывающий разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество алгоритма состоит в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных. Решение системы линейных уравнений прямым мультипликативным алгоритмом — это, как и решение с помощью $LU$-разложения, просто другая схема реализации метода исключения Гаусса.

В данной работе этот алгоритм лежит в основе решения следующих задач.

Задача 1. Задание направления спуска в ньютоновских методах безусловной оптимизации путем интеграции одной из известных техник построения существенно положительно определенной матрицы. Такой подход позволяет ослабить или снять дополнительные специфические трудности, обусловленные необходимостью решения больших систем уравнений с разреженными матрицами, представленных в упакованном виде.

Задача 2. Построение новой математической формулировки задачи квадратичного программирования и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности. Они достаточно просты и могут быть использованы для построения методов математического программирования, например для поиска минимума квадратичной функции на многогранном множестве ограничений, основанного на решениях систем линейных уравнений, размерность которых не выше числа переменных целевой функции.

Задача 3. Построение непрерывного аналога задачи минимизации вещественного квадратичного многочлена от булевых переменных и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности для разработки методов их решения за полиномиальное время. В результате исходная задача сводится к задаче поиска минимального расстояния между началом координат и угловой точкой выпуклого многогранника (полиэдра), который является возмущением $n$-мерного куба и описывается системой двойных линейных неравенств с верхней треугольной матрицей коэффициентов с единицами на главной диагонали. Исследованию подлежат только две грани, одна из которых или обе содержат вершины, ближайшие к началу координат. Для их вычисления достаточно решить $4n – 4$ систем линейных уравнений и выбрать среди них все ближайшие равноудаленные вершины за полиномиальное время. Задача минимизации квадратичного полинома является $NP$-трудной, поскольку к ней сводится $NP$-трудная задача о вершинном покрытии для произвольного графа. Отсюда следует вывод, что $P = NP$, в основе построения которого лежит выход за пределы целочисленных методов оптимизации.

We consider a numerically stable direct multiplicative algorithm of solving linear equations systems, which takes into account the sparseness of matrices presented in a packed form. The advantage of the algorithm is the ability to minimize the filling of the main rows of multipliers without losing the accuracy of the results. Moreover, changes in the position of the next processed row of the matrix are not made, what allows using static data storage formats. Linear system solving by a direct multiplicative algorithm is, like the solving with $LU$-decomposition, just another scheme of the Gaussian elimination method implementation.

In this paper, this algorithm is the basis for solving the following problems:

Problem 1. Setting the descent direction in Newtonian methods of unconditional optimization by integrating one of the known techniques of constructing an essentially positive definite matrix. This approach allows us to weaken or remove additional specific difficulties caused by the need to solve large equation systems with sparse matrices presented in a packed form.

Problem 2. Construction of a new mathematical formulation of the problem of quadratic programming and a new form of specifying necessary and sufficient optimality conditions. They are quite simple and can be used to construct mathematical programming methods, for example, to find the minimum of a quadratic function on a polyhedral set of constraints, based on solving linear equations systems, which dimension is not higher than the number of variables of the objective function.

Problem 3. Construction of a continuous analogue of the problem of minimizing a real quadratic polynomial in Boolean variables and a new form of defining necessary and sufficient conditions of optimality for the development of methods for solving them in polynomial time. As a result, the original problem is reduced to the problem of finding the minimum distance between the origin and the angular point of a convex polyhedron, which is a perturbation of the $n$-dimensional cube and is described by a system of double linear inequalities with an upper triangular matrix of coefficients with units on the main diagonal. Only two faces are subject to investigation, one of which or both contains the vertices closest to the origin. To calculate them, it is sufficient to solve $4n – 4$ linear equations systems and choose among them all the nearest equidistant vertices in polynomial time. The problem of minimizing a quadratic polynomial is $NP$-hard, since an $NP$-hard problem about a vertex covering for an arbitrary graph comes down to it. It follows therefrom that $P = NP$, which is based on the development beyond the limits of integer optimization methods.

Данная работа посвящена применению метода численного решения уравнения Больцмана для решения задачи моделирования поведения радионуклидов в полости межэлектродного зазора многоэлементного электрогенерирующего канала. Анализ газокинетических процессов термоэмиссионных преобразователей может быть использован для ресурсного обоснования конструкции электрогенерирующего канала. В работе рассматриваются две конструктивные схемы канала: с одно- и двусторонним выводом газообразных продуктов деления в вакуумно-цезиевую систему. Анализ проводился с использованием двумерного уравнения переноса второго порядка точности для решения левой части и проекционного метода для решения правой части — интеграла столкновений. В ходе работы был реализован программный комплекс, позволяющий производить расчет на кластерной архитектуре за счет использования алгоритма распараллеливания левой части уравнения, результаты анализа зависимости эффективности вычисления от числа параллельных узлов представлены в работе. С использованием программного комплекса были проведены расчеты и получены данные по распределениям давлений газообразных продуктов деления в полости зазора, рассмотрены различные варианты начальных давлений и потоков, обнаружена зависимость давления радионуклидов в области коллектора от давлений цезия на концах зазора. Полученные результаты качественно подтверждаются испытаниями в петлевом канале ядерного реактора.

This paper is devoted to the application of the method of numerical solution of the Boltzmann equation for the solution of the problem of modeling the behavior of radionuclides in the cavity of the interelectric gap of a multielement electrogenerating channel. The analysis of gas-kinetic processes of thermionic converters is important for proving the design of the power-generating channel. The paper reviews two constructive schemes of the channel: with one- and two-way withdrawal of gaseous fission products into a vacuum-cesium system. The analysis uses a two-dimensional transport equation of the second-order accuracy for the solution of the left-hand side and the projection method for solving the right-hand side — the collision integral. In the course of the work, a software package was implemented that makes it possible to calculate on the cluster architecture by using the algorithm of parallelizing the left-hand side of the equation; the paper contains the results of the analysis of the dependence of the calculation efficiency on the number of parallel nodes. The paper contains calculations of data on the distribution of pressures of gaseous fission products in the gap cavity, calculations use various sets of initial pressures and flows; the dependency of the radionuclide pressure in the collector region was determined as a function of cesium pressures at the ends of the gap. The tests in the loop channel of a nuclear reactor confirm the obtained results.

В статье получены оценки скорости сходимости по функции для недавно предложенного Ю.Е. Нестеровым метода минимизации выпуклой липшицевой функции двух переменных на квадрате с фиксированной стороной. Идея метода — деление квадрата на меньшие части и постепенное их удаление так, чтобы в оставшейся достаточно малой части все значения целевой функции были достаточно близки к оптимальному. При этом метод заключается вр ешении вспомогательных задач одномерной минимизации вдоль разделяющих отрезков и не предполагает вычисления точного значения градиента целевого функционала. Основной результат работы о необходимом количестве итераций для достижений заданной точности доказан вкла ссе гладких выпуклых функций, имеющих липшицев градиент. При этом отмечено, что свойство липшицевости градиента достаточно потребовать не на всем квадрате, а лишь на некоторых отрезках. Показано, что метод может работать при наличии погрешностей решения вспомогательных одномерных задач, а также при вычислении направлений градиентов. Также описана ситуация, когда возможно пренебречь временными затратами (или уменьшить их) на решение вспомогательных одномерных задач. Для некоторых примеровэк спериментально продемонстрировано, что метод может эффективно работать и на некоторых классах негладких функций. При этом построен пример простой негладкой функции, для которой при неудачном выборе субградиента даже в случае точного решения вспомогательных одномерных задач может не наблюдаться сходимость метода. Проведено сравнение работы метода Ю.Е. Нестерова, метода эллипсоидов и градиентного спуска для некоторых гладких выпуклых функций. Эксперименты показали, что метод Ю.Е. Нестерова может достигать желаемой точности решения задачи за меньшее (в сравнении с другими рассмотренными методами) время. В частности, замечено, что при увеличении точности искомого решения время работы метода Ю.Е. Нестерова может расти медленнее, чем время работы метода эллипсоидов.

In the article we have obtained some estimates of the rate of convergence for the recently proposed by Yu. E.Nesterov method of minimization of a convex Lipschitz-continuous function of two variables on a square with a fixed side. The idea of the method is to divide the square into smaller parts and gradually remove them so that in the remaining sufficiently small part. The method consists in solving auxiliary problems of one-dimensional minimization along the separating segments and does not imply the calculation of the exact value of the gradient of the objective functional. The main result of the paper is proved in the class of smooth convex functions having a Lipschitz-continuous gradient. Moreover, it is noted that the property of Lipschitzcontinuity for gradient is sufficient to require not on the whole square, but only on some segments. It is shown that the method can work in the presence of errors in solving auxiliary one-dimensional problems, as well as in calculating the direction of gradients. Also we describe the situation when it is possible to neglect or reduce the time spent on solving auxiliary one-dimensional problems. For some examples, experiments have demonstrated that the method can work effectively on some classes of non-smooth functions. In this case, an example of a simple non-smooth function is constructed, for which, if the subgradient is chosen incorrectly, even if the auxiliary one-dimensional problem is exactly solved, the convergence property of the method may not hold. Experiments have shown that the method under consideration can achieve the desired accuracy of solving the problem in less time than the other methods (gradient descent and ellipsoid method) considered. Partially, it is noted that with an increase in the accuracy of the desired solution, the operating time for the Yu. E. Nesterov’s method can grow slower than the time of the ellipsoid method.

Представлен итерационный алгоритм, который численно решает нелинейные одномерные несингулярные интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерры второго рода типа Урысона. Показано, что метод последовательных приближений Пикара может быть использован при численном решении такого типа уравнений. Сходимость числовой схемы гарантируется теоремами о неподвижной точке. При этом квадратурный алгоритм основан на явной форме встроенного правила Рунге–Кутты пятого порядка с адаптивным контролем размера шага. Возможность контроля локальных ошибок квадратур позволяет создавать очень точные автоматические числовые схемы и значительно уменьшить основной недостаток итераций Пикара, а именно чрезвычайно большое количество вычислений с увеличением глубины рекурсии. Наш алгоритм организован так, что по сравнению с большинством подходов нелинейность интегральных уравнений не вызывает каких-либо дополнительных вычислительных трудностей, его очень просто применять и реализовывать в программе. Наш алгоритм демонстрирует практически важные черты универсальности. Во-первых, следует подчеркнуть, что метод столь же прост в применении к нелинейным, как и к линейным уравнениям типа Фредгольма и Вольтерры. Во-вторых, алгоритм снабжен правилами останова, по которым вычисления могут в значительной степени контролироваться автоматически. Представлен компактный C++-код описанного алгоритма. Реализация нашей программы является самодостаточной: она не требует никаких предварительных вычислений, никаких внешних функций и библиотек и не требует дополнительной памяти. Приведены числовые примеры, показывающие применимость, эффективность, надежность и точность предложенного подхода.

We present the iterative algorithm that solves numerically both Urysohn type Fredholm and Volterra nonlinear one-dimensional nonsingular integral equations of the second kind to a specified, modest user-defined accuracy. The algorithm is based on descending recursive sequence of quadratures. Convergence of numerical scheme is guaranteed by fixed-point theorems. Picard’s method of integrating successive approximations is of great importance for the existence theory of integral equations but surprisingly very little appears on numerical algorithms for its direct implementation in the literature. We show that successive approximations method can be readily employed in numerical solution of integral equations. By that the quadrature algorithm is thoroughly designed. It is based on the explicit form of fifth-order embedded Runge–Kutta rule with adaptive step-size self-control. Since local error estimates may be cheaply obtained, continuous monitoring of the quadrature makes it possible to create very accurate automatic numerical schemes and to reduce considerably the main drawback of Picard iterations namely the extremely large amount of computations with increasing recursion depth. Our algorithm is organized so that as compared to most approaches the nonlinearity of integral equations does not induce any additional computational difficulties, it is very simple to apply and to make a program realization. Our algorithm exhibits some features of universality. First, it should be stressed that the method is as easy to apply to nonlinear as to linear equations of both Fredholm and Volterra kind. Second, the algorithm is equipped by stopping rules by which the calculations may to considerable extent be controlled automatically. A compact C++-code of described algorithm is presented. Our program realization is self-consistent: it demands no preliminary calculations, no external libraries and no additional memory is needed. Numerical examples are provided to show applicability, efficiency, robustness and accuracy of our approach.

Представлена гиперболическая модель вязкого теплопроводного газа, в которой для гиперболизации уравнений использован подход Максвелла–Каттанео, обеспечивающий распространение волн с конечными скоростями. В модифицированной модели вместо оригинальных законов Стокса и Фурье использовались их релаксационные аналоги и показано, что при стремлении времен релаксации $\tau_\sigma^{}$ и $\tau_w^{}$ к нулю гиперболизированные уравнения приводятся к классической системе Навье–Стокса негиперболического типа с бесконечными скоростями перемещения вязких и тепловых волн. Отмечено, что рассматриваемая в работе гиперболизированная система уравнений движения вязкого теплопроводного газа инвариантна не только по отношению к преобразованиям Галилея, но и к повороту, поскольку при дифференцировании по времени компонентов тензора вязких напряжений использована производная Яуманна. Для интегрирования уравнений модели применены гибридный метод Годунова (ГМГ) и многомерный узловой метод характеристик. ГМГ предназначен для интегрирования гиперболических систем, в которых имеются как уравнения, записанные в дивергентном виде, так и уравнения, не приводящиеся к таковому (оригинальный метод Годунова применяется только для систем уравнений, представленных в дивергентной форме). При вычислении потоковых переменных на гранях смежных ячеек использован линеаризованный римановский решатель. Для дивергентных уравнений применена конечно-объемная, а для недивергентных — конечноразностная аппроксимация. Для расчета ряда задач в работе также использовался неконсервативный многомерный узловой метод характеристик, который базируется на расщеплении исходной системы уравнений на ряд одномерных подсистем, для решения которых использован одномерный узловой метод характеристик. С помощью описанных численных методов решен ряд модельных одномерных задач о распаде произвольного разрыва, а также рассчитано двумерное течение вязкого газа при взаимодействии ударного скачка с прямоугольной ступенькой, непроницаемой для газа.

A hyperbolic model of a viscous heat-conducting gas is presented, in which the Maxwell – Cattaneo approach is used to hyperbolize the equations, which provides finite wave propagation velocities. In the modified model, instead of the original Stokes and Fourier laws, their relaxation analogues were used and it is shown that when the relaxation times $\tau_\sigma^{}$ и $\tau_w^{}$ tend to The hyperbolized equations are reduced to zero to the classical Navier – Stokes system of non-hyperbolic type with infinite velocities of viscous and heat waves. It is noted that the hyperbolized system of equations of motion of a viscous heat-conducting gas considered in this paper is invariant not only with respect to the Galilean transformations, but also with respect to rotation, since the Yaumann derivative is used when differentiating the components of the viscous stress tensor in time. To integrate the equations of the model, the hybrid Godunov method (HGM) and the multidimensional nodal method of characteristics were used. The HGM is intended for the integration of hyperbolic systems in which there are equations written both in divergent form and not resulting in such (the original Godunov method is used only for systems of equations presented in divergent form). A linearized solver’s Riemann is used to calculate flow variables on the faces of adjacent cells. For divergent equations, a finitevolume approximation is applied, and for non-divergent equations, a finite-difference approximation is applied. To calculate a number of problems, we also used a non-conservative multidimensional nodal method of characteristics, which is based on splitting the original system of equations into a number of one-dimensional subsystems, for solving which a one-dimensional nodal method of characteristics was used. Using the described numerical methods, a number of one-dimensional problems on the decay of an arbitrary rupture are solved, and a two-dimensional flow of a viscous gas is calculated when a shock jump interacts with a rectangular step that is impermeable to gas.

Работа посвящена численному моделированию двухфазных течений, а именно расчету сверхзвукового обтекания затупленного тела потоком вязкого газа с примесью относительно крупных частиц, масса которых позволяет после отражения от поверхности выйти за пределы ударного слоя, двигаясь по инерции навстречу набегающему потоку. Натурные и вычислительные эксперименты показывают, что движение высокоинерционных частиц существенным образом изменяет структуру течения газа в ударном слое, а формирующиеся при этом направленные на тело импактные струи вызывают увеличение давления газа вблизи участков поверхности и кратный рост конвективного теплового потока.

Построена математическая модель обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа с твердыми частицами. Решение системы нестационарных уравнений Навье–Стокса в консервативных переменных осуществляется бессеточным методом, в основе которого лежит аппроксимация частных пространственных производных газодинамических величин и содержащих их функций методом наименьших квадратов на множестве распределенных в области расчета узлов. Расчет невязких потоков выполняется методом HLLC в сочетании с MUSCL-реконструкцией третьего порядка, вязких потоков — схемой второго порядка. МНК-аппроксимация частных производных параметров газа по направлению также применяется для реализации краевых условий Неймана на выходной границе области расчета, а также поверхностях обтекаемых тел, которые считаются изотермическими твердыми стенками.

Каждое движущееся тело окружено облаком расчетных узлов, принадлежащих его домену и перемещающихся вместе с ним в пространстве. Реализовано два подхода к моделированию перемещения объектов с учетом обратного влияния на течение газа: метод скользящих облаков фиксированной формы и эволюции единого облака узлов, представляющего собой объединение узлов разных доменов. Проведенные численные эксперименты подтвердили применимость предложенных методов к решению целевых задач моделирования движения крупных частиц в сверхзвуковом потоке.

Выполнена программная реализация представленных алгоритмов на основе технологии параллельных гетерогенных вычислений OpenCL. Представлены результаты моделирования движения крупной частицы вдоль оси симметрии сферы навстречу набегающему потоку с числом Маха $\mathrm{M}=6$.

The work is devoted to numerical modeling of two-phase flows, namely, the calculation of supersonic flow around a blunt body by a viscous gas flow with an admixture of large high inertia particles. The system of unsteady Navier – Stokes equations is numerically solved by the meshless method. It uses the cloud of points in space to represent the fields of gas parameters. The spatial derivatives of gas parameters and functions are approximated by the least square method to calculate convective and viscous fluxes in the Navier – Stokes system of equations. The convective fluxes are calculated by the HLLC method. The third-order MUSCL reconstruction scheme is used to achieve high order accuracy. The viscous fluxes are calculated by the second order approximation scheme. The streamlined body surface is represented by a model of an isothermal wall. It implements the conditions for the zero velocity and zero pressure gradient, which is also modeled using the least squares method.

Every moving body is surrounded by its own cloud of points belongs to body’s domain and moving along with it in space. The explicit three-sage Runge–Kutta method is used to solve numerically the system of gas dynamics equations in the main coordinate system and local coordinate systems of each particle.

Two methods for the moving objects modeling with reverse impact on the gas flow have been implemented. The first one uses stationary point clouds with fixed neighbors within the same domain. When regions overlap, some nodes of one domain, for example, the boundary nodes of the particle domain, are excluded from the calculation and filled with the values of gas parameters from the nearest nodes of another domain using the least squares approximation of gradients. The internal nodes of the particle domain are used to reconstruct the gas parameters in the overlapped nodes of the main domain. The second method also uses the exclusion of nodes in overlapping areas, but in this case the nodes of another domain take the place of the excluded neighbors to build a single connected cloud of nodes. At the same time, some of the nodes are moving, and some are stationary. Nodes membership to different domains and their relative speed are taken into account when calculating fluxes.

The results of modeling the motion of a particle in a stationary gas and the flow around a stationary particle by an incoming flow at the same relative velocity show good agreement for both presented methods.

Рассматривается конечномерная оптимизационная задача, постановка которой, помимо искомых переменных, содержит параметры. Ее решение есть зависимость оптимальных значений переменных от параметров. В общем случае такие зависимости не являются функциями, поскольку могут быть неоднозначными, а в функциональном случае — быть недифференцируемыми. Кроме того, область их существования может оказаться уже области определения функций в условии задачи. Эти свойства затрудняют решение как исходной задачи, так и задач, в постановку которых входят данные зависимости. Для преодоления этих затруднений обычно применяются методы типа недифференцируемой оптимизации.

В статье предлагается альтернативный подход, позволяющий получать решения параметрических задач в форме, лишенной указанных свойств. Показывается, что такие представления могут исследоваться стандартными алгоритмами, основанными на формуле Тейлора. Данная форма есть функция, гладко аппроксимирующая решение исходной задачи. При этом величина погрешности аппроксимации регулируется специальным параметром. Предлагаемые аппроксимации строятся с помощью специальных функций, устанавливающих обратные связи между переменными и множителями Лагранжа. Приводится краткое описание этого метода для линейных задач с последующим обобщением на нелинейный случай.

Построение аппроксимации сводится к отысканию седловой точки модифицированной функции Лагранжа исходной задачи. Показывается, что необходимые условия существования такой седловой точки подобны условиям теоремы Каруша – Куна – Таккера, но не содержат в явном виде ограничений типа неравенств и условий дополняющей нежесткости. Эти необходимые условия аппроксимацию определяют неявным образом. Поэтому для вычисления ее дифференциальных характеристик используется теорема о неявных функциях. Эта же теорема применяется для уменьшения погрешности аппроксимации.

Особенности практической реализации метода функций обратных связей, включая оценки скорости сходимости к точному решению, демонстрируются для нескольких конкретных классов параметрических оптимизационных задач. Конкретно: рассматриваются задачи поиска глобального экстремума функций многих переменных и задачи на кратный экстремум (максимин-минимакс). Также рассмотрены оптимизационные задачи, возникающие при использовании многокритериальных математических моделей. Для каждого из этих классов приводятся демонстрационные примеры.

We consider a finite-dimensional optimization problem, the formulation of which in addition to the required variables contains parameters. The solution to this problem is a dependence of optimal values of variables on parameters. In general, these dependencies are not functions because they can have ambiguous meanings and in the functional case be nondifferentiable. In addition, their domain of definition may be narrower than the domains of definition of functions in the condition of the original problem. All these properties make it difficult to solve both the original parametric problem and other tasks, the statement of which includes these dependencies. To overcome these difficulties, usually methods such as non-differentiable optimization are used.

This article proposes an alternative approach that makes it possible to obtain solutions to parametric problems in a form devoid of the specified properties. It is shown that such representations can be explored using standard algorithms, based on the Taylor formula. This form is a function smoothly approximating the solution of the original problem for any parameter values, specified in its statement. In this case, the value of the approximation error is controlled by a special parameter. Construction of proposed approximations is performed using special functions that establish feedback (within optimality conditions for the original problem) between variables and Lagrange multipliers. This method is described for linear problems with subsequent generalization to the nonlinear case.

From a computational point of view the construction of the approximation consists in finding the saddle point of the modified Lagrange function of the original problem. Moreover, this modification is performed in a special way using feedback functions. It is shown that the necessary conditions for the existence of such a saddle point are similar to the conditions of the Karush – Kuhn – Tucker theorem, but do not contain constraints such as inequalities and conditions of complementary slackness. Necessary conditions for the existence of a saddle point determine this approximation implicitly. Therefore, to calculate its differential characteristics, the implicit function theorem is used. The same theorem is used to reduce the approximation error to an acceptable level.

Features of the practical implementation feedback function method, including estimates of the rate of convergence to the exact solution are demonstrated for several specific classes of parametric optimization problems. Specifically, tasks searching for the global extremum of functions of many variables and the problem of multiple extremum (maximin-minimax) are considered. Optimization problems that arise when using multicriteria mathematical models are also considered. For each of these classes, there are demo examples.

Рассматривается создание прикладного программного интерфейса с выделением самостоятельного приложения для синхронизации и обмена данными, в котором реализуются отдельные подзадачи связывания для решения сопряженных задач взаимодействия конструкции с жидкостью или газом. Обсуждаются алгоритмы связывания подзадач и деформирования расчетных сеток. На численных примерах показывается возможность решения ряда задач на кластерах с графическими процессорами.

In this paper, we propose a new software for simulation of fluid-structure interaction. The software is designed for solving coupled problems and provides an interface for synchronization synchronisation and data exchange between existing fluid and structural solvers. Algorithms of coupling solvers and mesh deformation are discussed. The software can be used on hybrid CPU/GPU platforms.

Предлагается подход к параллельной реализации низкочастотных PIC-алгоритмов, учитывающий особенности безызлучательного (дарвинского) приближения электромагнитных полей разреженной плазмы. Обсуждаются его достоинства и специфика адаптации к основным типам программно-аппаратных платформ для высокопроизводительных вычислений

The approach to parallel implementation of low-frequency PIC-algorithms is proposed, taking into account peculiarity of the nonradiative (Darwin) field approximation. Its advantages and specifics of adaptation to the base computer types for high performance calculations are discussed.