All issues

В работе исследуется динамика конечномерной модели, описывающей взаимодействие трех популяций: жертвы $x(t)$, потребляющего ее хищника $y(t)$ и суперхищника $z(t)$, питающегося обоими видами. Математически задача записывается в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с правой частью $[x(1-x)-(y+z)g;\,\eta_1^{}yg-d_1^{}f-\mu_1^{}y;\,\eta_2^{}zg+d_2^{}f-\mu_2^{}z]$, где $\eta_j^{}$, $d_j^{}$, $\mu_j^{}$ ($j=1,\,2$) — положительные коэффициенты. Рассматриваемая модель относится к классу кoсимметричных динамических систем при функциональном отклике Лотки – Вольтерры $g=x$, $f=yz$ и дополнительных условиях на параметры: $\mu_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\mu_1^{}}{d_1^{}}\right)$, $\eta_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\eta_1^{}}{d_1^{}}\right)$. В этом случае формируется семейство равновесий в виде прямой в фазовом пространстве. Проанализирована устойчивость равновесий семейства и изолированных равновесий, построены карты существования стационарных решений и предельных циклов. Изучено разрушение семейства при нарушении условий косимметрии и использовании моделей Хoллинга $g(x)=\frac x{1+b_1^{}x}$ и Беддингтона–ДеАнгелиса $f(y,\,z)=\frac{yz}{1+b_2^{}y+b_3^{}z}$. Для этого применяется аппарат теории косимметрии В.И. Юдовича, включающий вычисление косимметрических дефектов и селективных функций. С использованием численного эксперимента проанализированы инвазивные сценарии: внедрение суперхищника в систему «хищник–жертва», выдавливание хищника или суперхищника.

The paper investigates the dynamics of a finite-dimensional model describing the interaction of three populations: prey $x(t)$, its consuming predator $y(t)$, and a superpredator $z(t)$ that feeds on both species. Mathematically, the problem is formulated as a system of nonlinear first-order differential equations with the following right-hand side: $[x(1-x)-(y+z)g;\,\eta_1^{}yg-d_1^{}f-\mu_1^{}y;\,\eta_2^{}zg+d_2^{}f-\mu_2^{}z]$, where $\eta_j^{}$, $d_j^{}$, $\mu_j^{}$ ($j=1,\,2$) are positive coefficients. The considered model belongs to the class of cosymmetric dynamical systems under the Lotka\,--\,Volterra functional response $g=x$, $f=yz$, and two parameter constraints: $\mu_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\mu_1^{}}{d_1^{}}\right)$, $\eta_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\eta_1^{}}{d_1^{}}\right)$. In this case, a family of equilibria is being of a straight line in phase space. We have analyzed the stability of the equilibria from the family and isolated equilibria. Maps of stationary solutions and limit cycles have been constructed. The breakdown of the family is studied by violating the cosymmetry conditions and using the Holling model $g(x)=\frac x{1+b_1^{}x}$ and the Beddington–DeAngelis model $f(y,\,z)=\frac{yz}{1+b_2^{}y+b_3^{}z}$. To achieve this, the apparatus of Yudovich's theory of cosymmetry is applied, including the computation of cosymmetric defects and selective functions. Through numerical experimentation, invasive scenarios have been analyzed, encompassing the introduction of a superpredator into the predator-prey system, the elimination of the predator, or the superpredator.

Рассмотрены современные математические модели динамики системы «почва–растение», составляющими которых выступают: растение сельскохозяйственного назначения, микроорганизмы ризосферы (прикорневой зоны растений), элементы минерального питания растений их подвижной и неподвижной форм. На основании анализа принятых положений разработана модель, в которой учитываются взаимосвязи и определенный согласованный характер совместных изменений ее составляющих. В частности, динамика содержащихся в растениях элементов их минерального питания и динамика биомассы растений определяются текущим содержанием в ризосфере внесенных сюда удобрений и отмершими продуктами жизнедеятельности ризосферных элементов (отмершие корни растений, опавшие листья (опад) и т. д.). Полагаются пространственная неподвижность растений и пространственная подвижность микро- организмов, механизм которой определяется здесь диффузией. Предлагаются формальные соотношения влияния суммарного воздействия на динамику растений сорняков (они характеризуют отдельный вид растений) и вредителей (они характеризуют отдельный вид микроорганизмов), где учитываются взаимные переходы элементов минерального питания из подвижной их формы в неподвижную. Для системы, где каждая из составляющих представлена только одним видом (удобрение, ассоциация микроорганизмов и растения представлены только одним видом), выполнено аналитическое исследование. Для однолетних культур сельскохозяйственного назначения разработана адаптация модели распространения волны в системе «ресурс–потребитель» (волны Колмогорова–Петровского–Пискунова). Реализация модели выполнена на примере динамики роста яровой пшеницы Красноуфимская-100 на торфяной низинной почве, куда предварительно были внесены фосфорные и калийные удобрения. Цифровой материал представлен массивом экспериментальных распределений биомассы растений и элементов минерального питания. Специфика экспериментального материала обусловила переход к модели, которая является редукцией сформулированной общей модели. Ее составляющими выступают распределение биомассы растений и содержание в них элементов минерального питания. Оценка адекватности модельных и экспериментальных распределений показала хорошую степень их соответствия.

Modern mathematical models in the dynamics system “soil–plant” are considered. The components of this system are: agricultural plant, microorganisms of the rhizosphere (root zone of plants), the mineral nutrition elements of plants in their mobile and immobile forms. The model of submitted system based on the analysis of the adopted provisions was developed. The construction of system elements allows to display the coordinated dynamics of these elements among themselves. In particular, the dynamics of mineral nutrition elements in plants and the dynamics of their biomass are determined by the current contents in the rhizosphere of mineral fertilizers and organic origin substances (plant roots, leaves, etc.). The immobility of plants spatial distribution and the mobile spatial nature of microorganisms are assumed. This mechanism is determined by diffusion. Mutual relationships between weeds and pests are suggested. The dynamics of the mineral nutrition elements is determined by the peculiarity of sorption in the soil solution, environmental conditions, organic decomposition and fertilizer application. An analytical study for a system where each of the components is represented by only one species (fertilizer, the association of microorganisms and plants) was performed. An adaptation of the wave propagation model in the “resource–consumer” system (Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov waves) has been developed for annual agricultural crops. The developed model has been adapted for the growth of Krasnoufimskaya-100 spring wheat in a vessel on peat lowland soil, where nitrogen, phosphorus, and potassium fertilizers were added variably. Sample distributions are plants biomass and the content of mineral nutrition elements in them. The parametric identification of the model and its adequacy was performed. An assessment of the model adequacy showed a good agreement between the model and experimental data.

В работе приводится сравнительный анализ результатов, полученных при различных подходах к моделированию процесса артиллерийского выстрела. В этой связи дана постановка основной задачи внутренней баллистики и ее частного случая задачи Лагранжа в осредненных параметрах, где в рамках допущений термодинамического подхода впервые учтены распределения давления и скорости газа по заснарядному пространству для канала переменного сечения. Представлена также постановка задачи Лагранжа в рамках газодинамического подхода, учитывающего пространственное (одномерное и двумерное осесимметричное) изменение характеристик внутрибаллистического процесса. Для численного решения системы газодинамических уравнений Эйлера применяется метод контрольного объема. Параметры газа на границах контрольных объемов опреде- ляются с использованием автомодельного решения задачи о распаде произвольного разрыва. На базе метода Годунова предложена модификация схемы Ошера, позволяющая реализовать алгоритм численного расчета со вторым порядком точности по координате и времени. Проведено сравнение решений, полученных в рамках термодинамического и газодинамического подходов, при различных параметрах заряжания. Изучено влияние массы снаряда и уширения камеры на распределение внутрибаллистических параметров выстрела и динамику движения снаряда. Показано, что термодинамический подход, по сравнению с газодинамическим подходом, приводит к систематическому завышению расчетной дульной скорости снаряда во всем исследованном диапазоне изменения параметров, при этом различие по дульной скорости может достигать 35 %. В то же время расхождение результатов, полученных в рамках одномерной и двумерной газодинамических моделей выстрела в этом же диапазоне изменения параметров, составляет не более 1.3 %.

Дана пространственная газодинамическая постановка задачи о противодавлении, описывающая изменение давления перед ускоряющимся снарядом при его движении по каналу ствола. Показано, что учет формы передней части снаряда в рамках двумерной осесимметричной постановки задачи приводит к существенному различию полей давления за фронтом ударной волны по сравнению с решением в рамках одномерной постановки задачи, где форму передней части снаряда учесть невозможно. Сделан вывод, что это может существенно повлиять на результаты моделирования баллистики выстрела при высоких скоростях метания.

The paper provides a comparative analysis of the results obtained by various approaches to modeling the process of artillery shot. In this connection, the main problem of internal ballistics and its particular case of the Lagrange problem are formulated in averaged parameters, where, within the framework of the assumptions of the thermodynamic approach, the distribution of pressure and gas velocity over the projectile space for a channel of variable cross section is taken into account for the first time. The statement of the Lagrange problem is also presented in the framework of the gas-dynamic approach, taking into account the spatial (one-dimensional and two-dimensional axisymmetric) changes in the characteristics of the ballistic process. The control volume method is used to numerically solve the system of Euler gas-dynamic equations. Gas parameters at the boundaries of control volumes are determined using a selfsimilar solution to the Riemann problem. Based on the Godunov method, a modification of the Osher scheme is proposed, which allows to implement a numerical calculation algorithm with a second order of accuracy in coordinate and time. The solutions obtained in the framework of the thermodynamic and gas-dynamic approaches are compared for various loading parameters. The effect of projectile mass and chamber broadening on the distribution of the ballistic parameters of the shot and the dynamics of the projectile motion was studied. It is shown that the thermodynamic approach, in comparison with the gas-dynamic approach, leads to a systematic overestimation of the estimated muzzle velocity of the projectile in the entire range of parameters studied, while the difference in muzzle velocity can reach 35%. At the same time, the discrepancy between the results obtained in the framework of one-dimensional and two-dimensional gas-dynamic models of the shot in the same range of change in parameters is not more than 1.3%.

A spatial gas-dynamic formulation of the backpressure problem is given, which describes the change in pressure in front of an accelerating projectile as it moves along the barrel channel. It is shown that accounting the projectile’s front, considered in the two-dimensional axisymmetric formulation of the problem, leads to a significant difference in the pressure fields behind the front of the shock wave, compared with the solution in the framework of the onedimensional formulation of the problem, where the projectile’s front is not possible to account. It is concluded that this can significantly affect the results of modeling ballistics of a shot at high shooting velocities.

Для решения уравнений Навье – Стокса в случае несжимаемых течений разработано большое количество методов, наиболее популярными из которых являются методы с коррекцией скорости по алгоритму SIMPLE, аналогом которого является метод расщепления по физическим переменным. Данные методы, разработанные еще в прошлом веке, использовались для решения достаточно простых задач — расчета как стационарных течений, так и нестационарных, в которых границы расчетной области были неподвижны. В настоящее время задачи вычислительной гидродинамики существенно усложнились. Интерес представляют задачи с движением тел в расчетной области, движением контактных границ, кавитацией и задачи с динамической локальной адаптацией расчетной сетки. При этом расчетная сетка меняется, что приводит к нарушению условия дивергентности скорости на ней. Поскольку дивергентные скорости используются не только для уравнений Навье – Стокса, но и для всех остальных уравнений математической модели движения жидкости — моделей турбулентности, массопереноса и сохранения энергии, нарушение этого условия ведет к численным ошибкам и, зачастую, к расхождению вычислительного алгоритма.

В статье представлен неявный метод расщепления по физическим переменным, который использует дивергентные скорости с данного шага по времени для решения несжимаемых уравнений Навье – Стокса. Метод разработан для расчета течений при наличии подвижных и контактных границ, моделируемых в постановке Эйлера. Метод позволяет проводить расчеты с шагом интегрирования, на порядки превышающем явный шаг по времени (число Куранта – Фридрихcа – Леви $CFL\gg1$). В данной статье представлен вариант метода для несжимаемых течений. Вариант метода, позволяющий рассчитывать движение жидкости и газа при любых числах Маха, будет опубликован в ближайшее время. Метод для полностью сжимаемых течений реализован в программном комплексе FlowVision.

В статье приводятся результаты численного решения классической задачи обтекания кругового цилиндра при малых числах Рейнольдса ($50<Re<140$), при которых ламинарное обтекание цилиндра становиться нестационарным и образуется дорожка Кармана. Показано хорошее совпадение расчетов с экспериментальными данными, опубликованными в классических работах Ван-Дайка и Танеды.

A large number of methods have been developed to solve the Navier – Stokes equations in the case of incompressible flows, the most popular of which are methods with velocity correction by the SIMPLE algorithm and its analogue — the method of splitting by physical variables. These methods, developed more than 40 years ago, were used to solve rather simple problems — simulating both stationary flows and non-stationary flows, in which the boundaries of the calculation domain were stationary. At present, the problems of computational fluid dynamics have become significantly more complicated. CFD problems are involving the motion of bodies in the computational domain, the motion of contact boundaries, cavitation and tasks with dynamic local adaptation of the computational mesh. In this case the computational mesh changes resulting in violation of the velocity divergence condition on it. Since divergent velocities are used not only for Navier – Stokes equations, but also for all other equations of the mathematical model of fluid motion — turbulence, mass transfer and energy conservation models, violation of this condition leads to numerical errors and, often, to undivergence of the computational algorithm.

This article presents an implicit method of splitting by physical variables that uses divergent velocities from a given time step to solve the incompressible Navier – Stokes equations. The method is developed to simulate flows in the case of movable and contact boundaries treated in the Euler paradigm. The method allows to perform computations with the integration step exceeding the explicit time step by orders of magnitude (Courant – Friedrichs – Levy number $CFL\gg1$). This article presents a variant of the method for incompressible flows. A variant of the method that allows to calculate the motion of liquid and gas at any Mach numbers will be published shortly. The method for fully compressible flows is implemented in the software package FlowVision.

Numerical simulating classical fluid flow around circular cylinder at low Reynolds numbers ($50 < Re < 140$), when laminar flow is unsteady and the Karman vortex street is formed, are presented in the article. Good agreement of calculations with the experimental data published in the classical works of Van Dyke and Taneda is demonstrated.

Рассматривается модель, описывающая пространственно-временную динамику сообщества, состоящего из трех популяций, представляющих звенья трофической цепи. Локальные взаимодействия популяций строятся по типу «хищник – жертва», причем хищник потребляет не только жертву, но и ресурс, составляющий рацион жертвы. В предыдущей работе автором был проведен анализ модели без учета пространственной неоднородности. Данное исследование продолжает модельное изучение сообщества, учитывая диффузию особей, а также направленные перемещения хищника. Предполагается, что хищник реагирует на пространственное изменение ресурса и жертвы, занимая области с более высокой плотностью или избегая их. В модели такое поведение описывается адвективным членом со скоростью, пропорциональной градиенту плотности ресурса и жертвы. Система рассматривается в одномерной области в предположении нулевых потоков через границу. Динамика модели определяется устойчивостью системы в окрестности пространственно-однородного равновесия к малым пространственно-неоднородным возмущениям. В работе проведен анализ возможности возникновения в системе волновой неустойчивости, приводящей к возникновению автоволн и неустойчивости Тьюринга, в результате которой образуются стационарные структуры. Получены достаточные условия существования обоих видов неустойчивости, определяющие границы области значений коэффициентов таксиса, при которых система может потерять устойчивость. Анализ влияния параметров локальной кинетики модели на возможность образования пространственных структур показал, что при положительном таксисе на ресурс возможна лишь неустойчивость Тьюринга, а при отрицательном — оба вида неустойчивости. Для поиска численного решения системы использован метод линий с расщеплением разностного оператора по физическим процессам. Пространственно-временная динамика системы представлена в нескольких вариантах, реализующих один из типов неустойчивости. В случае положительного таксиса на жертву в областях меньшего размера возможно как реализация автоволнового режима, так и образование стационарных структур; с увеличением области тьюринговы структуры не образуются. Если же таксис на жертву отрицательный, то стационарные структуры возникают в областях любого размера, периодические структуры появляются только в более крупных областях.

The spatiotemporal dynamics of a three-component model for food web is considered. The model describes the interactions among resource, prey and predator that consumes both species. In a previous work, the author analyzed the model without taking into account spatial heterogeneity. This study continues the model study of the community considering the diffusion of individuals, as well as directed movements of the predator. It is assumed that the predator responds to the spatial change in the resource and prey density by occupying areas where species density is higher or avoiding them. Directed predator movement is described by the advection term, where velocity is proportional to the gradient of resource and prey density. The system is considered on a one-dimensional domain with zero-flux conditions as boundary ones. The spatiotemporal dynamics produced by model is determined by the system stability in the vicinity of stationary homogeneous state with respect to small inhomogeneous perturbations. The paper analyzes the possibility of wave instability leading to the emergence of autowaves and Turing instability, as a result of which stationary patterns are formed. Sufficient conditions for the existence of both types of instability are obtained. The influence of local kinetic parameters on the spatial structure formation was analyzed. It was shown that only Turing instability is possible when taxis on the resource is positive, but with a negative taxis, both types of instability are possible. The numerical solution of the system was found by using method of lines (MOL) with the numerical integration of ODE system by means of splitting techniques. The spatiotemporal dynamics of the system is presented in several variants, realizing one of the instability types. In the case of a positive taxis on the prey, both autowave and stationary structures are formed in smaller regions, with an increase in the region size, Turing structures are not formed. For negative taxis on the prey, stationary patterns is observed in both regions, while periodic structures appear only in larger areas.

На основе гамильтониана Холстейна промоделирована динамика заряда, привнесенного в молекулярную цепочку сайтов, при разной температуре. При расчете температура цепочки задается начальными данными — случайными гауссовыми распределениями скоростей и смещений сайтов. Рассмотрены разные варианты начального распределенияз арядовой плотности. Расчеты показывают, что система на больших расчетных временах переходит к колебаниям около нового равновесного состояния. Для одинаковых начальных скоростей и смещений средняя кинетическая энергия (и, соответственно, температура $T$) цепочки меняется в зависимости от начального распределения зарядовой плотности: убывает при внесении в цепочку полярона или увеличивается, если в начальный момент электронная часть энергии максимальна.

Проведено сравнение с результатами, полученными ранее в модели с термостатом Ланжевена. В обоих случаях существование полярона определяется тепловой энергией всей цепочки. По результатам моделирования, переход от режима полярона к делокализованному состоянию происходит в одинаковой области значений тепловой энергии цепочки $N$ сайтов ~ $NT$ для обоих вариантов термостата, с дополнительной корректировкой: для гамильтоновой системы температура не соответствует начально заданной, а определяется на больших расчетных временах из средней кинетической энергии цепочки.

В поляронной области применение разных способов имитации температуры приводит к ряду существенных различий в динамике системы. В области делокализованного состояния заряда, для больших температур, результаты, усредненные по набору траекторий в системе со случайной силой, и результаты, усредненные по времени для гамильтоновой системы, близки, что не противоречит гипотезе эргодичности. С практической точки зрения для больших температур T ≈ 300 K при моделировании переноса заряда в однородных цепочках можно использовать любой вариант задания термостата.

Based on the Holstein Hamiltonian, the dynamics of the charge introduced into the molecular chain of sites was modeled at different temperatures. In the calculation, the temperature of the chain is set by the initial data ¡ª random Gaussian distributions of velocities and site displacements. Various options for the initial charge density distribution are considered. Long-term calculations show that the system moves to fluctuations near a new equilibrium state. For the same initial velocities and displacements, the average kinetic energy, and, accordingly, the temperature of the T chain, varies depending on the initial distribution of the charge density: it decreases when a polaron is introduced into the chain, or increases if at the initial moment the electronic part of the energy is maximum. A comparison is made with the results obtained previously in the model with a Langevin thermostat. In both cases, the existence of a polaron is determined by the thermal energy of the entire chain.

According to the simulation results, the transition from the polaron mode to the delocalized state occurs in the same range of thermal energy values of a chain of $N$ sites ~ $NT$ for both thermostat options, with an additional adjustment: for the Hamiltonian system the temperature does not correspond to the initially set one, but is determined after long-term calculations from the average kinetic energy of the chain.

In the polaron region, the use of different methods for simulating temperature leads to a number of significant differences in the dynamics of the system. In the region of the delocalized state of charge, for high temperatures, the results averaged over a set of trajectories in a system with a random force and the results averaged over time for a Hamiltonian system are close, which does not contradict the ergodic hypothesis. From a practical point of view, for large temperatures T ≈ 300 K, when simulating charge transfer in homogeneous chains, any of these options for setting the thermostat can be used.

Классическая математическая модель выращивания грибов Чантера–Торнли модифицирована и реализована в среде имитационного моделирования AnyLogic с одновременным использованием элементов системной динамики, дискретно-событийного и агентного подхода. Проведено численное исследование построенной модели и решена оптимизационная задача нахождения возраста срезания плодовых тел, обеспечивающего максимальный интегральный урожай грибов по всем «волнам» плодообразования.

Classical Chanter–Thornley model of mushroom growth has been modified and implemented in AnyLogic simulation environment by means of system dynamics, discrete-event and agent-based approaches. A numerical case study of the model is presented and the problem of optimum age at harvest, providing the maximum integral yield for all fruiting “waves” is solved.

В работе излагаются подходы к математическому моделированию механизмов, лежащих в основе широко используемых в биологии и медицине методов корреляционной адаптометрии. Построение базируется на конструкциях, лежащих в основе описания структурированных биологических систем. Предполагается, что плотность распределения численности биологической популяции удовлетворяет уравнению Колмогорова–Фоккера–Планка. С использованием данной методики оценивается эффективность лечения больных с ожирением. Все пациенты, в зависимости от степени ожирения и характера сопутствующей патологии, были разделены на три группы. Показано уменьшение веса корреляционного графа, вычисленного на измеренных у пациентов показателях для трех групп пациентов, что характеризует эффективность проведенного лечения для всех исследуемых групп. Данная методика также была использована для оценки напряженности тренировочных нагрузок у гребцов академической гребли трех возрастных групп. Было показано, что с наибольшим напряжением работали спортсмены молодежной группы. Также с использованием методики корреляционной адаптометрии оценивается эффективность лечения заместительной гормональной терапии (ЗГТ) у женщин. Все пациентки, в зависимости от назначенного препарата, были разделены на четыре группы. При стандартном анализе динамики средних величин показателей было показано, что в ходе всего лечения наблюдалась нормализация средних показателей для всех групп пациенток. Однако с использованием методики корреляционной адаптометрии было получено, что в течение первых шести месяцев вес корреляционного графа снижался, а в течение вторых шести месяцев этот вес повышался для всех исследуемых групп. Это свидетельствует о чрезмерной продолжительности годового курса ЗГТ и целесообразности перехода к полугодовому курсу.

The paper outlines the approaches to mathematical modeling correlation adaptometry techniques widely used in biology and medicine. The analysis is based on models employed in descriptions of structured biological systems. It is assumed that the distribution density of the biological population numbers satisfies the equation of Kolmogorov-Fokker-Planck. Using this technique evaluated the effectiveness of treatment of patients with obesity. All patients depending on the obesity degree and the comorbidity nature were divided into three groups. Shows a decrease in weight of the correlation graph computed from the measured in the patients of the indicators that characterizes the effectiveness of the treatment for all studied groups. This technique was also used to assess the intensity of the training loads in academic rowing three age groups. It was shown that with the highest voltage worked with athletes for youth group. Also, using the technique of correlation adaptometry evaluated the effectiveness of the treatment of hormone replacement therapy in women. All the patients depending on the assigned drug were divided into four groups. In the standard analysis of the dynamics of mean values of indicators, it was shown that in the course of the treatment were observed normalization of the averages for all groups of patients. However, using the technique of correlation adaptometry it was found that during the first six months the weight of the correlation graph was decreasing and during the second six months the weight increased for all study groups. This indicates the excessive length of the annual course of hormone replacement therapy and the practicality of transition to a semiannual rate.

В статье проведен анализ эмпирических данных по долгосрочной демографической и экономической динамике стран мира за период с начала XIX века по настоящее время. В качестве показателей, характеризующих долгосрочную демографическую и экономическую динамику стран мира, были выбраны данные по численности населения и ВВП ряда стран мира за период 1500–2016 годов. Страны выбирались таким образом, чтобы в их число вошли представители с различным уровнем развития (развитые и развивающиеся страны), а также страны из различных регионов мира (Северная Америка, Южная Америка, Европа, Азия, Африка). Для моделирования и обработки данных использована специально разработанная математическая модель. Представленная модель является автономной системой дифференциальных уравнений, которая описывает процессы социально-экономической модернизации, в том числе процесс перехода от аграрного общества к индустриальному и постиндустриальному. В модель заложена идея о том, что процесс модернизации начинается с возникновения в традиционном обществе инновационного сектора, развивающегося на основе новых технологий. Население из традиционного сектора постепенно перемещается в инновационный сектор. Модернизация завершается, когда большая часть населения переходит в инновационный сектор.

При работе с моделью использовались статистические методы обработки данных, методы Big Data, включая иерархическую кластеризацию. С помощью разработанного алгоритма на базе метода случайного спуска были идентифицированы параметры модели и проведена ее верификация на основе эмпирических рядов, а также проведено тестирование модели с использованием статистических данных, отражающих изменения, наблюдаемые в развитых и развивающихся странах в период происходящей в течение последних столетий модернизации. Тестирование модели продемонстрировало ее высокое качество — отклонения расчетных кривых от статистических данных, как правило, небольшие и происходят в периоды войн и экономических кризисов. Проведенный анализ статистических данных по долгосрочной демографической и экономической динамике стран мира позволил определить общие закономерности и формализовать их в виде математической модели. Модель будет использоваться с целью прогноза демографической и экономической динамики в различных странах мира.

The article analyzes empirical data on the long-term demographic and economic dynamics of the countries of the world for the period from the beginning of the 19th century to the present. Population and GDP of a number of countries of the world for the period 1500–2016 were selected as indicators characterizing the long-term demographic and economic dynamics of the countries of the world. Countries were chosen in such a way that they included representatives with different levels of development (developed and developing countries), as well as countries from different regions of the world (North America, South America, Europe, Asia, Africa). A specially developed mathematical model was used for modeling and data processing. The presented model is an autonomous system of differential equations that describes the processes of socio-economic modernization, including the process of transition from an agrarian society to an industrial and post-industrial one. The model contains the idea that the process of modernization begins with the emergence of an innovative sector in a traditional society, developing on the basis of new technologies. The population is gradually moving from the traditional sector to the innovation sector. Modernization is completed when most of the population moves to the innovation sector.

Statistical methods of data processing and Big Data methods, including hierarchical clustering were used. Using the developed algorithm based on the random descent method, the parameters of the model were identified and verified on the basis of empirical series, and the model was tested using statistical data reflecting the changes observed in developed and developing countries during the period of modernization taking place over the past centuries. Testing the model has demonstrated its high quality — the deviations of the calculated curves from statistical data are usually small and occur during periods of wars and economic crises. Thus, the analysis of statistical data on the long-term demographic and economic dynamics of the countries of the world made it possible to determine general patterns and formalize them in the form of a mathematical model. The model will be used to forecast demographic and economic dynamics in different countries of the world.

Теоретическое исследование консенсуса дает возможность проанализировать различные ситуации, с которыми приходится сталкиваться в реальной жизни социальным группам, принимающим групповые решения, абстрагируясь от конкретных особенностей групп. Актуальным для практики представляется исследование динамики социальной группы, состоящей из лояльных экспертов, которые в процессе поиска консенсуса уступают друг другу. В этом случае возможны психологические ловушки типа ложного консенсуса или группового мышления, которые иногда могут приводить к управленческим решениям с тяжелыми последствиями.

В статье построена математическая модель консенсуса для группы лояльных экспертов на основе моделирования с использованием регулярных марковских цепей. Анализ модели показал, что с ростом лояльности (уменьшением авторитарности) членов группы время достижения консенсуса экспоненциально растет (увеличивается число согласований), что, видимо, связано с отсутствием у экспертов желания брать ответственность за принимаемое решение. Рост численности группы (при остальных прочих равных условиях) приводит к

– уменьшению числа согласований до консенсуса в условиях стремления к абсолютной лояльности членов, т. е. каждый дополнительный лояльный член все меньше добавляет группе «силы»;

– логарифмическому росту числа согласований в условиях роста средней авторитарности членов.

Показано, что в очень малой группе (два лояльных эксперта) время наступления консенсуса может вырасти более чем в 10 раз по сравнению с группой из пяти и более членов, что вызывает затягивание самого процесса достижения консенсуса. Выявлено, что в случае наличия группы из двух абсолютно лояльных членов консенсус недостижим.

Сделан обоснованный вывод о том, что консенсус в группе лояльных экспертов является особым (специальным) случаем консенсуса, поскольку зависимость времени достижения консенсуса от авторитарности экспертов и их числа в группе описывается иными формами связи, чем в случае обычной группы экспертов.

The theoretical study of consensus makes it possible to analyze the various situations that social groups that make decisions in this way have to face in real life, abstracting from the specific characteristics of the groups. It is relevant for practice to study the dynamics of a social group consisting of loyal experts who, in the process of seeking consensus, yield to each other. In this case, psychological “traps” such as false consensus or groupthink are possible, which can sometimes lead to managerial decisions with dire consequences.

The article builds a mathematical consensus model for a group of loyal experts based on modeling using regular Markov chains. Analysis of the model showed that with an increase in the loyalty (decrease in authoritarianism) of group members, the time to reach consensus increases exponentially (the number of agreements increases), which is apparently due to the lack of desire among experts to take part of the responsibility for the decision being made. An increase in the size of such a group leads (ceteris paribus):

– to reduce the number of approvals to consensus in the conditions of striving for absolute loyalty of members, i. e. each additional loyal member adds less and less “strength” to the group;

– to a logarithmic increase in the number of approvals in the context of an increase in the average authoritarianism of members. It is shown that in a small group (two people), the time for reaching consensus can increase by more than 10 times compared to a group of 5 or more members), in the group there is a transfer of responsibility for making decisions.

It is proved that in the case of a group of two absolutely loyal members, consensus is unattainable.

A reasonable conclusion is made that consensus in a group of loyal experts is a special (special) case of consensus, since the dependence of the time until consensus is reached on the authoritarianism of experts and their number in the group is described by different curves than in the case of a regular group of experts.