All issues

С ростом населения городов сильнее ощущается необходимость планирования развития транспортной инфраструктуры. Для этой цели создаются пакеты транспортного моделирования, которые обычно содержат набор задач выпуклой оптимизации, итеративное решение которых приводит к искомому равновесному распределению потоков по путям. Одно из направлений развития транспортного моделирования — это построение более точных обобщенных моделей, которые учитывают различные типы пассажиров, их цели поездок, а также специфику личных и общественных средств передвижения, которыми могут воспользоваться агенты. Другим не менее важным направлением является улучшение эффективности производимых вычислений, так как в связи с большой размерностью современных транспортных сетей поиск численного решения задачи равновесного распределения потоков по путям является довольно затратным. Итеративность всего процесса решения лишь усугубляет это. Одним из подходов, ведущим к уменьшению числа производимых вычислений, и является построение согласованных моделей, которые позволяют объединить блоки 4-стадийной модели в единую задачу оптимизации. Это позволяет исключить итеративную прогонку блоков, перейдя от решения отдельной задачи оптимизации на каждом этапе к некоторой общей задаче. В ранних работах было доказано, что такие подходы дают эквивалентные решения. Тем не менее стоит рассмотреть обоснованность и интерпретируемость этих методов. Целью данной статьи является обоснование единой задачи, объединяющей в себе как расчет матрицы корреспонденций, так и модальный выбор, для обобщенного случая, когда в транспортной сети присутствуют различные слои спроса, типы агентов и классы транспортных средств. В статье приводятся возможные интерпретации для калибровочных параметров, применяемых в задаче, а также для двойственных множителей, ассоциированных с балансовыми ограничениями. Авторы статьи также показывают возможность объединения рассматриваемой задачи с блоком определения загрузки сети в единую задачу оптимизации.

As the population of cities grows, the need to plan for the development of transport infrastructure becomes more acute. For this purpose, transport modeling packages are created. These packages usually contain a set of convex optimization problems, the iterative solution of which leads to the desired equilibrium distribution of flows along the paths. One of the directions for the development of transport modeling is the construction of more accurate generalized models that take into account different types of passengers, their travel purposes, as well as the specifics of personal and public modes of transport that agents can use. Another important direction of transport models development is to improve the efficiency of the calculations performed. Since, due to the large dimension of modern transport networks, the search for a numerical solution to the problem of equilibrium distribution of flows along the paths is quite expensive. The iterative nature of the entire solution process only makes this worse. One of the approaches leading to a reduction in the number of calculations performed is the construction of consistent models that allow to combine the blocks of a 4-stage model into a single optimization problem. This makes it possible to eliminate the iterative running of blocks, moving from solving a separate optimization problem at each stage to some general problem. Early work has proven that such approaches provide equivalent solutions. However, it is worth considering the validity and interpretability of these methods. The purpose of this article is to substantiate a single problem, that combines both the calculation of the trip matrix and the modal choice, for the generalized case when there are different layers of demand, types of agents and classes of vehicles in the transport network. The article provides possible interpretations for the gauge parameters used in the problem, as well as for the dual factors associated with the balance constraints. The authors of the article also show the possibility of combining the considered problem with a block for determining network load into a single optimization problem.

В статье предлагается подход к имитационному моделированию спортивной игры, состоящей из дискретного набора отдельных поединков, основанный на рассмотрении матча как случайного процесса, в общем случае не являющегося марковским. Первоначально ход игры рассматривается как марковский процесс, на основании чего строятся рекуррентные соотношения между вероятностями достижения состояний теннисного матча, а также между вторичными показателями, такими как математическое ожидание и дисперсия числа розыгрышей, остающихся до завершения гейма. Затем, в рамках имитационной системы, моделирующей матч, мы позволяем произвольное изменение вероятностей исходов составляющих матч поединков, в том числе и в зависимости от результатов предыдущих. Данная работа посвящена модификации модели, ранее предлагавшейся авторами для спортивных игр с непрерывным временем.

Предлагаемый подход позволяет оценивать не только вероятность того или иного исхода матча, но и вероятности достижения каждого из возможных промежуточных результатов, а также вторичные показатели игры, такие как число таких отдельных поединков, потребовавшееся для завершения матча. Подробно изложено построение имитационной системы для гейма теннисного матча, по аналогии с которой осуществляется моделирование сета и всего матча. Доказано утверждение относительно справедливости правил подачи в теннисе, понимаемой в смысле отсутствия влиянии права первой подачи на исход матча. В качестве примера проведены моделирование и анализ планировавшейся, но не состоявшейся игры одного из турниров серии ATP. Получены наиболее вероятные промежуточные и окончательные результаты матча для трех сценариев хода игры.

Основным результатом данной работы является предлагаемая методика имитационного моделирования матча, применимая не только к теннису, но и к другим видам спортивных игр с дискретным временем.

The paper proposes an approach to simulation of a sport game, consisting of a discrete set of separate competitions. According to this approach, such a competition is considered as a random processes, generally — a non-Markov’s one. At first we treat the flow of the game as a Markov’s process, obtaining recursive relationship between the probabilities of achieving certain states of score in a tennis match, as well as secondary indicators of the game, such as expectation and variance of the number of serves to finish the game. Then we use a simulation system, modeling the match, to allow an arbitrary change of the probabilities of the outcomes in the competitions that compose the match. We, for instance, allow the probabilities to depend on the results of previous competitions. Therefore, this paper deals with a modification of the model, previously proposed by the authors for sports games with continuous time.

The proposed approach allows to evaluate not only the probability of the final outcome of the match, but also the probabilities of reaching each of the possible intermediate results, as well as secondary indicators of the game, such as the number of separate competitions it takes to finish the match. The paper includes a detailed description of the construction of a simulation system for a game of a tennis match. Then we consider simulating a set and the whole tennis match by analogy. We show some statements concerning fairness of tennis serving rules, understood as independence of the outcome of a competition on the right to serve first. We perform simulation of a cancelled ATP series match, obtaining its most probable intermediate and final outcomes for three different possible variants of the course of the match.

The main result of this paper is the developed method of simulation of the match, applicable not only to tennis, but also to other types of sports games with discrete time.

В статье предлагается математическая модель терапии глиомы с учетом гематоэнцефалического барьера, радиотерапии и терапии антителами. Проведена оценка параметров по экспериментальным данным, а также оценка влияния значений параметров на эффективность лечения и прогноз болезни. Исследованы возможные варианты последовательного применения радиотерапии и воздействия антител. Комбинированное применение радиотерапии с внутривенным введением $mab$ $Cx43$ приводит к потенцированию терапевтического эффекта при глиоме. Радиотерапия должна предшествовать химиотерапии, поскольку радиовоздействие уменьшает барьерную функцию эндотелиальных клеток. Эндотелиальные клетки сосудовмоз га плотно прилегают друг к другу. Между их стенками образуются так называемые плотные контакты, роль которых во беспечении ГЭБ состоит в том, что они предотвращают проникновение в ткань мозга различных нежелательных веществ из кровеносного русла. Плотные контакты между эндотелиальными клетками блокируют межклеточный пассивный транспорт.

Математическая модель состоит из непрерывной части и дискретной. Экспериментальные данные объема глиомы показывают следующую интересную динамику: после прекращения радиовоздействия рост опухоли не возобновляется сразу же, а существует некоторый промежуток времени, в течение которого глиома не растет. Клетки глиомы разделены на две группы. Первая группа — живые клетки, делящиеся с максимально возможной скоростью. Вторая группа — клетки, пострадавшие от радиации. В качестве показателя здоровья системы гематоэнцефалического барьера выбрано отношение количества клеток ГЭБ вт екущий момент к количеству клеток всо стоянии покоя, то есть всре днем здоровом состоянии.

Непрерывная часть модели включает в себя описание деления обоих типов клеток глиомы, восстановления клеток ГЭБ, а также динамику лекарственного средства. Уменьшение количества хорошо функционирующих клеток ГЭБ облегчает проникновение лекарственного средства к клеткам мозга, то есть усиливает действие лекарства. При этом скорость деления клеток глиомы не увеличивается, поскольку ограничена не дефицитом питательных веществ, доступных клеткам, а внутренними механизмами клетки. Дискретная часть математической модели включает в себя оператор радиовоздействия, который применяется к показателю ГЭБ и к глиомным клеткам.

В рамках математической модели лечения раковой опухоли (глиомы) решается задача оптимального управления с фазовыми ограничениями. Состояние пациента описывается двумя переменными: объемом опухоли и состоянием ГЭБ. Фазовые ограничения очерчивают некоторую область в пространстве этих показателей, которую мы называем областью выживаемости. Наша задача заключается в поиске таких стратегий лечения, которые минимизируют время лечения, максимизируют время отдыха пациента и при этом позволяют показателям состояния не выходить за разрешенные пределы. Поскольку задача выживаемости состоит в максимизации времени жизни пациента, то ищутся именно такие стратегии лечения, которые возвращают показатели в исходное положение (и мы видим на графиках периодические траектории). Периодические траектории говорят о том, что смертельно опасная болезнь переведена враз ряд хронических.

The paper proposes a mathematical model for the therapy of glioma, taking into account the blood-brain barrier, radiotherapy and antibody therapy. The parameters were estimated from experimental data and the evaluation of the effect of parameter values on the effectiveness of treatment and the prognosis of the disease were obtained. The possible variants of sequential use of radiotherapy and the effect of antibodies have been explored. The combined use of radiotherapy with intravenous administration of $mab$ $Cx43$ leads to a potentiation of the therapeutic effect in glioma.

Radiotherapy must precede chemotherapy, as radio exposure reduces the barrier function of endothelial cells. Endothelial cells of the brain vessels fit tightly to each other. Between their walls are formed so-called tight contacts, whose role in the provision of BBB is that they prevent the penetration into the brain tissue of various undesirable substances from the bloodstream. Dense contacts between endothelial cells block the intercellular passive transport.

The mathematical model consists of a continuous part and a discrete one. Experimental data on the volume of glioma show the following interesting dynamics: after cessation of radio exposure, tumor growth does not resume immediately, but there is some time interval during which glioma does not grow. Glioma cells are divided into two groups. The first group is living cells that divide as fast as possible. The second group is cells affected by radiation. As a measure of the health of the blood-brain barrier system, the ratios of the number of BBB cells at the current moment to the number of cells at rest, that is, on average healthy state, are chosen.

The continuous part of the model includes a description of the division of both types of glioma cells, the recovery of BBB cells, and the dynamics of the drug. Reducing the number of well-functioning BBB cells facilitates the penetration of the drug to brain cells, that is, enhances the action of the drug. At the same time, the rate of division of glioma cells does not increase, since it is limited not by the deficiency of nutrients available to cells, but by the internal mechanisms of the cell. The discrete part of the mathematical model includes the operator of radio interaction, which is applied to the indicator of BBB and to glial cells.

Within the framework of the mathematical model of treatment of a cancer tumor (glioma), the problem of optimal control with phase constraints is solved. The patient’s condition is described by two variables: the volume of the tumor and the condition of the BBB. The phase constraints delineate a certain area in the space of these indicators, which we call the survival area. Our task is to find such treatment strategies that minimize the time of treatment, maximize the patient’s rest time, and at the same time allow state indicators not to exceed the permitted limits. Since the task of survival is to maximize the patient’s lifespan, it is precisely such treatment strategies that return the indicators to their original position (and we see periodic trajectories on the graphs). Periodic trajectories indicate that the deadly disease is translated into a chronic one.

В работе анализируются методы исследования процесса взаимодействия почвенных сред с рабочими органами почвообрабатывающих машин. Подробно рассмотрены математические методы численного моделирования, позволяющие преодолеть недостатки аналитических и эмпирических подходов. Приводятся классификация и обзор возможностей континуальных (FEM — метод конечных элементов, CFD — вычислительная гидродинамика) и дискретных (DEM — метод дискретных элементов, SPH — гидродинамика сглаженных частиц) численных методов. На основе метода дискретных элементов разработана математическая модель, представляющая почву, в виде множества взаимодействующих сферических элементов малых размеров. Рабочие поверхности почвообрабатывающего орудия в рамках конечноэлементного приближения представлены в виде совокупности элементарных треугольников. В модели рассчитывается движение элементов почвы под действием сил контакта элементов почвы друг с другом и с рабочими поверхностями орудия (упругие силы, силы сухого и вязкого трения). Это дает возможность оценивать влияние геометрических параметров рабочих органов, технологических параметров процесса и параметров почвы на геометрические показатели смещения почвы, показатели самоустановки орудия, силовые нагрузки, показатели качества рыхления и пространственное распределение показателей. Всего исследуются 22 показателя (или распределение показателя в пространстве). Возможности математической модели демонстрируются на примере комплексного исследования процесса обработки почвы дисковой культиваторной батареей. В компьютерном эксперименте использованы виртуальный почвенный канал размером 5×1.4 м и 3D-модель дисковой культиваторной батареи. Радиус почвенных частиц принимался равным 18 мм, скорость рабочего органа — 1 м/с, общее время моделирования — 5 с. Глубина обработки составляла 10 см при углах атаки 10, 15, 20, 25 и 30°. Проверка достоверности результатов моделирования производилась на лабораторной установке, для объемного динамометрирования, путем исследования натурного образца, выполненного в полном соответствии с исследованной 3D-моделью. Контроль осуществлялся по трем составляющим вектора тягового сопротивления: $F_x$, $F_y$ и $F_z$. Сравнение данных, полученных экспериментальным путем, с данными моделирования показало, что расхождение составляет не более 22.2 %, при этом во всех случаях максимальные значения наблюдались при углах атаки 30°. Хорошая согласуемость данных по трем ключевым силовым параметрам подтверждает достоверность всего комплекса исследованных показателей.

The paper analyzes the methods of studying the process of interaction of soil environments with the tillage tools of soil processing machines. The mathematical methods of numerical modeling are considered in detail, which make it possible to overcome the disadvantages of analytical and empirical approaches. A classification and overview of the possibilities the continuous (FEM — finite element method, CFD — computational fluid dynamics) and discrete (DEM — discrete element method, SPH — hydrodynamics of smoothed particles) numerical methods is presented. Based on the discrete element method, a mathematical model has been developed that represents the soil in the form of a set of interacting small spherical elements. The working surfaces of the tillage tool are presented in the framework of the finite element approximation in the form of a combination of many elementary triangles. The model calculates the movement of soil elements under the action of contact forces of soil elements with each other and with the working surfaces of the tillage tool (elastic forces, dry and viscous friction forces). This makes it possible to assess the influence of the geometric parameters of the tillage tools, technological parameters of the process and soil parameters on the geometric indicators of soil displacement, indicators of the self-installation of tools, power loads, quality indicators of loosening and spatial distribution of indicators. A total of 22 indicators were investigated (or the distribution of the indicator in space). This makes it possible to reproduce changes in the state of the system of elements of the soil (soil cultivation process) and determine the total mechanical effect of the elements on the moving tillage tools of the implement. A demonstration of the capabilities of the mathematical model is given by the example of a study of soil cultivation with a disk cultivator battery. In the computer experiment, a virtual soil channel of 5×1.4 m in size and a 3D model of a disk cultivator battery were used. The radius of the soil particles was taken to be 18 mm, the speed of the tillage tool was 1 m/s, the total simulation time was 5 s. The processing depth was 10 cm at angles of attack of 10, 15, 20, 25 and 30°. The verification of the reliability of the simulation results was carried out on a laboratory stand for volumetric dynamometry by examining a full-scale sample, made in full accordance with the investigated 3D-model. The control was carried out according to three components of the traction resistance vector: $F_x$, $F_y$ and $F_z$. Comparison of the data obtained experimentally with the simulation data showed that the discrepancy is not more than 22.2%, while in all cases the maximum discrepancy was observed at angles of attack of the disk battery of 30°. Good consistency of data on three key power parameters confirms the reliability of the whole complex of studied indicators.

В работе предлагается численная модель седиментации и фильтрования суспензии, основанная на динамическом варианте метода дискретных элементов. Эта модель отражает поведение частиц на микро- и мезоуровне: образование пор, арок, хлопьев. Кроме того, предложенная модель качественно воспроизводит макроэффекты: осаждение слоя частиц, медленные процессы усадки этого слоя, уплотнения слоя под действием собственного веса частиц и приложенной извне силы.

The numerical model of sedimentation and suspension filtration is proposed in this paper. The model is based on dynamic variant of discrete element method. This model represents the particles behavior on microand meso-scales: pores, arches, flocks formation. In addition, the proposed model qualitatively reproduces macro phenomenon: sedimentation of particle layer, slow shrinkage of the layer, sealing of the layer under its own weight of the particles and the external applied force.

В теоретико-игровой постановке рассмотрена модель борьбы с коррупцией при распределении ресурсов. Система распределения ресурсов включает в свой состав одного принципала (субъект управления верхнего уровня), одного или нескольких супервайзеров (субъектов среднего уровня) и нескольких агентов (субъекты нижнего уровня). Отношения между субъектами разных уровней строятся на основе иерархии: субъект верхнего уровня воздействует (управляет) на субъектов среднего уровня, а те, в свою очередь, на субъектов нижнего уровня. Предполагается, что коррупции подвержен средний уровень управления. Агенты предлагают супервайзеру взятки, в обмен на которые он предоставляет им дополнительные доли ресурса. Предположим также, что принципал не подвержен коррупции и является бескорыстным, не преследующим частных целей. Исследование модели проведено с точки зрения как супервайзера, так и агентов. C точки зрения агентов, возникает некооперативная игра, в которой находится равновесие Нэша. При этом задачи оптимального управления для частного вида входных функций решаются аналитически с помощью принципа максимума Понтрягина. C точки зрения супервайзера, возникает игра, которая ведется в соответствии с регламентом игры Гермейера Г_2t. Указан алгоритм построения равновесия. Стратегия наказания находится аналитически. Стратегия поощрения в случае входных функций общего вида находится численно. Строится дискретный аналог непрерывной модели. Предполагается, что все субъекты управления могут изменять свои стратегии поведения в одни и те же моменты времени конечное число раз. В результате от задачи максимизации своего целевого функционала супервайзер переходит к задаче максимизации целевой функции многих переменных. Для нахождения ее наибольшего значения используется метод качественно репрезентативных сценариев. Идея этого метода состоит в том, что из множества потенциально возможных сценариев управления выбираются только сценарии, позволяющие представить качественно различные пути развития системы. В результате мощность этого множества не слишком велика и удается осуществить полный перебор качественно репрезентативных сценариев и найти стратегию поощрения агентов. После ее нахождения супервайзер предлагает агентам механизм управления с обратной связью по управлению, состоящий в наказании агентов при отклонении от выбранной супервайзером стратегии и поощрении в противном случае.

A dynamic game theoretic model of struggle against corruption in resource allocation is considered. It is supposed that the system of resource allocation includes one principal, one or several supervisors, and several agents. The relations between them are hierarchical: the principal influences to the supervisors, and they in turn exert influence on the agents. It is assumed that the supervisor can be corrupted. The agents propose bribes to the supervisor who in exchange allocates additional resources to them. It is also supposed that the principal is not corrupted and does not have her own purposes. The model is investigated from the point of view of the supervisor and the agents. From the point of view of agents a non-cooperative game arises with a set of Nash equilibria as a solution. The set is found analytically on the base of Pontryagin maximum principle for the specific class of model functions. From the point of view of the supervisor a hierarchical Germeyer game of the type Г_2t is built, and the respective algorithm of its solution is proposed. The punishment strategy is found analytically, and the reward strategy is built numerically on the base of a discrete analogue of the initial continuous- time model. It is supposed that all agents can change their strategies in the same time instants only a finite number of times. Thus, the supervisor can maximize his objective function of many variables instead of maximization of the objective functional. A method of qualitatively representative scenarios is used for the solution. The idea of this method consists in that it is possible to choose a very small number of scenarios among all potential ones that represent all qualitatively different trajectories of the system dynamics. These scenarios differ in principle while all other scenarios yield no essentially new results. Then a complete enumeration of the qualitatively representative scenarios becomes possible. After that, the supervisor reports to the agents the rewardpunishment control mechanism.

Несмотря на многочисленные достижения современной науки, до сих пор остается нераскрытой проблема зарождения молниевого разряда в безэлектродном грозовом облаке, максимальная напряженность электрического поля в котором примерно на порядок меньше диэлектрической прочности воздуха. Хотя не вызывает сомнений тот факт, что развитие разряда начинается с появления в облаке положительных стримеров, развитие которых становится возможным при примерно вдвое меньших значениях электрического поля по сравнению с отрицательными, на настоящий момент остается неизученным вопрос о том, каким образом холодные слабопроводящие стримерные системы объединяются в горячий хорошо проводящий лидерный канал, способный к самостоятельному распространению за счет эффективной поляризации в относительно слабом внешнем поле. В данной работе представлена самоорганизующаяся транспортная модель, реализованная на примере формирования фрактального древа электрического разряда в грозовом облаке и направленная на численное моделирование процесса начальной стадии развития молниевого разряда. Среди инновационных особенностей нашего подхода, отсутствующих в других численных моделях развития молнии, можно выделитьот сутствие привязки элементов проводящей структуры графа к узлам пространственной решетки, высокое пространственно-временное разрешение и учет временной эволюции электрических параметров транспортных каналов. Кроме того, модельучи тывает известную из многочисленных экспериментов асимметрию полей развития положительных и отрицательных стримеров. В рамках используемого подхода результирующий хорошо проводящий лидерный канал формируется за счет коллективного эффекта объединения токов десятков тысяч взаимодействующих между собой стримеров, каждый из которых изначально обладает пренебрежимо малой проводимостью и температурой, не отличающейся от температуры окружающей среды. Модельное биполярное древо представляет собой направленный граф (имеет положительную и отрицательную части) и имеет морфологические и электро-динамические характеристики, промежуточные между лабораторной длинной искрой и развитой молнией. Модель имеет универсальный характер, что при необходимости позволяет использовать ее в рамках других задач, связанных с исследованием транспортных (в широком смысле слова) сетей.

Despite numerous achievements of modern science the problem of lightning initiation in an electrodeless thundercloud, the maximum electric field strength inside which is approximately an order of magnitude lower than the dielectric strength of air, remains unsolved. Although there is no doubt that discharge activity begins with the appearance of positive streamers, which can develop under approximately half the threshold electric field as compared to negative ones, it remains unexplored how cold weakly conducting streamer systems unite in a joint hot well-conducting leader channel capable of self-propagation due to effective polarization in a relatively small external field. In this study, we present a self-organizing transport model which is applied to the case of electric discharge tree formation in a thundercloud. So, the model is aimed at numerical simulation of the initial stage of lightning discharge development. Among the innovative features of the model are the absence of grid spacing, high spatiotemporal resolution, and consideration of temporal evolution of electrical parameters of transport channels. The model takes into account the widely known asymmetry between threshold fields needed for positive and negative streamers development. In our model, the resulting well-conducting leader channel forms due to collective effect of combining the currents of tens of thousands of interacting streamer channels each of which initially has negligible conductivity and temperature that does not differ from the ambient one. The model bipolar tree is a directed graph (it has both positive and negative parts). It has morphological and electrodynamic characteristics which are intermediate between laboratory long spark and developed lightning. The model has universal character which allows to use it in other tasks related to the study of transport (in the broad sense of the word) networks.

Фоновая социальная напряженность общества может быть количественно оценена по различным статистическим индикаторам. Модели, прогнозирующие динамику социальной напряженности, успешно применяются для описания различных социальных процессов. Когда количество рассматриваемых групп общества мало, динамику соответствующих индикаторов можно описать при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При увеличении количества взаимодействующих элементов резко возрастает сложность задач, что существенно затрудняет их аналитическое исследование. Модель сплошной социальной стратификации получаетсяв результате перехода от дискретной цепочки взаимодействующих социальных слоев к их непрерывному распределению на некотором интервале, то есть перехода к модели сплошной среды. В этом случае напряженность распространяется локально, но в действительности элита общества влияет на все слои через средства массовой информации, а также интернет позволяет влиять всем группам на другие. Эти факторы можно учесть через слагаемое модели, описывающее негативное внешнее воздействие. В настоящей работе предложена модель сплошной социальной стратификации, описывающая динамику системы из двух социумов, связанных через процесс миграции населения. Предполагается, что из социального слоя системы-донора с наибольшей напряженностью происходит отток людей, переносящих свою напряженность в систему-акцептор, причем при миграции люди попадают в более бедные слои принимающего общества. Рассматриваетсяслуч ай пространственно однородных коэффициентов, что соответствует частному случаю небольшого социума. При помощи метода конечных объемов построена пространственнаяди скретизация задачи, корректно отражающая конечную скорость распространения напряженности в обществе. Выполнена проверка выбранной дискретизации путем сравненияч исленного решения с точными решениями вспомогательного уравнения нелинейной диффузии. Проведено численное исследование системы с миграцией при различных значениях параметров, проанализировано влияние интенсивности миграции на принимающее общество, найдены условия дестабилизации общества акцептора под влиянием миграции. Полученные в работе результаты могут быть применены при дальнейшем исследовании модели в случае пространственно неоднородных коэффициентов, что соответствует более реалистичной картине общества.

The background social strain of a society can be quantitatively estimated using various statistical indicators. Mathematical models, allowing to forecast the dynamics of social strain, are successful in describing various social processes. If the number of interacting groups is small, the dynamics of the corresponding indicators can be modelled with a system of ordinary differential equations. The increase in the number of interacting components leads to the growth of complexity, which makes the analysis of such models a challenging task. A continuous social stratification model can be considered as a result of the transition from a discrete number of interacting social groups to their continuous distribution in some finite interval. In such a model, social strain naturally spreads locally between neighbouring groups, while in reality, the social elite influences the whole society via news media, and the Internet allows non-local interaction between social groups. These factors, however, can be taken into account to some extent using the term of the model, describing negative external influence on the society. In this paper, we develop a continuous social stratification model, describing the dynamics of two societies connected through migration. We assume that people migrate from the social group of donor society with the highest strain level to poorer social layers of the acceptor society, transferring the social strain at the same time. We assume that all model parameters are constants, which is a realistic assumption for small societies only. By using the finite volume method, we construct the spatial discretization for the problem, capable of reproducing finite propagation speed of social strain. We verify the discretization by comparing the results of numerical simulations with the exact solutions of the auxiliary non-linear diffusion equation. We perform the numerical analysis of the proposed model for different values of model parameters, study the impact of migration intensity on the stability of acceptor society, and find the destabilization conditions. The results, obtained in this work, can be used in further analysis of the model in the more realistic case of inhomogeneous coefficients.

На основе дискретной по времени математической модели изучено влияние избирательного промысла с постоянной долей изъятия на динамику численности популяции с возрастной и половой структурой. При построении модели предполагается, что рождаемость популяции зависит от соотношения численностей полов и количества формируемых пар. Регуляция роста численности осуществляется путем лимитирования выживаемости молоди, когда с увеличением численностей половозрастных классов уменьшается выживаемость неполовозрелых особей. Рассмотрены случаи, когда изъятие осуществляется только из младшего возрастного класса либо из группы половозрелых самок или самцов. Выявлено, что изъятие зрелых самцов или самок на оптимальном уровне оказывается ответственным за изменение соотношения самок и самцов (с учетом среднего размера гарема). Показано, что максимальное число добытых самцов достигается либо при такой доле изъятия, когда изымается их избыточное количество и устанавливается баланс полов, либо при такой оптимальной доле изъятия, при которой соотношение полов смещено в сторону размножающихся самок. Оптимальный промысел самок, при котором добывается их наибольшее количество, либо сохраняет ранее существующий дефицит взрослых самцов, либо ведет к избытку самцов, либо приводит к установлению баланса полов. Обнаружено, что в зависимости от популяционных параметров для всех рассмотренных вариантов промысла может наблюдаться эффект гидры, т. е. увеличение равновесной численности изымаемого половозрастного класса (сразу после размножения) с ростом доли изъятия. Избирательный промысел, вследствие которого возникает эффект гидры, приводит одновременно к увеличению численности оставшейся части популяции после размножения и росту количества добытых особей. При этом численность эксплуатируемой группы после воспроизводства может быть даже выше, чем без эксплуатации. Равновесный промысел с оптимальной долей изъятия хотя и обеспечивает добычу максимально возможного количества особей, однако приводит к снижению численности популяции. Эффект гидры отмечается при меньших величинах доли изъятия, чем оптимальная доля. Вместе с тем следствием эффекта гидры может оказаться более высокая численность половозрастной группы при оптимальной эксплуатации по сравнению с тем уровнем, который отмечался в отсутствии промысла.

Based on the time-discrete model, we study the effect of selective proportional harvesting on the population dynamics with age and sex structure. When constructing the model, we assume that the population birth rate depends on the ratio of the sexes and the number of formed pairs. The regulation of population growth is carried out by limiting the juvenile’s survival when the survival of immature individuals decreases with an increase in the numbers of sex and age classes. We consider cases where the harvest is carried out only from a younger age class or from a group of mature females or males. We find that the harvesting of males or females at the optimal level is responsible for changing the ratio of females to males (taking into account the average size of the harem). We show that the maximum number of harvested males is achieved either at such a harvest rate when their excess number is withdrawn and the balance of sexes is established or at such an optimal catch quota at which the sex ratio is shifted towards breeding females. Optimal female harvesting, in which the highest number of them are taken, either maintains a preexisting shortage of adult males or leads to an excess of males or the fixing of a sex balance. We find that, depending on the population parameters for all considered harvesting strategies, the hydra effect can observe, i. e., the equilibrium size of the exploited sex and age-specific group (after reproduction) can increase with the growth of harvesting intensity. The selective harvesting, due to which the hydra effect occurs, simultaneously leads to an increase remaining population size and the number of harvested individuals. At the same time, the size of the exploited group after reproduction can become even more than without exploitation. Equilibrium harvesting with the optimal harvest rate that maximizes yield leads to a population size decrease. The effect of hydra is at lower values of the catch quota than the optimal harvest rate. At the same time, the consequence of the hydra effect may be a higher abundance of the age-sex group under optimal exploitation compared to the level observed in the absence of harvesting.

В работе рассматривается квадратичная дискретная модель популяционной динамики с запаздыванием под воздействием случайных возмущений. Анализ стохастических аттракторов модели проводится с помощью методов прямого численного моделирования и техники функций стохастической чувствительности. Показана деформация вероятностных распределений случайных состояний вокруг устойчивых равновесий и циклов при изменении параметров. Продемонстрировано явление индуцированных шумом переходов в зоне дискретных циклов.

We consider a time-delayed quadratic discrete model of population dynamics under the influence of random perturbations. Analysis of stochastic attractors of the model is performed using the methods of direct numerical simulation and the stochastic sensitivity function technique. A deformation of the probability distribution of random states around the stable equilibria and cycles is studied parametrically. The phenomenon of noise-induced transitions in the zone of discrete cycles is demonstrated.