All issues

Исследованы аналитически и численно структура и свойства локализованных двух- и трех-кинковых решений уравнения синус-Гордона, возбуждаемых в области притягивающей примеси. Рассмотрены случаи одиночной и двойной пространственно протяженной примеси.

We investigate analytically and numerically the structure and properties of localized two- and three-kink solutions of the sine-Gordon equation, which are excited in the region of the attracting impurity. We have considered cases of single and double spatially extended impurity.

Для одномерного нелокального уравнения Фишера–Колмогорова–Петровского–Пискунова построены асимптотические решения, позволяющие описывать квазистационарные структуры. Построены асимптотические решения динамической системы Эйнштейна–Эренфеста для двумерного уравнения Фишера–Колмогорова–Петровского–Пискунова. Эти решения описывают свойства двумерных структур, локализованных на одномерных многообразиях.

Asymptotic solutions are constructed for the 1D nonlocal Fisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov equation. Such solutions allow to describe the quasi-steady-state patterns. Similar asymptotic solutions of the dynamical Einstein–Ehrenfest system for the 2D Fisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov equation are found. The solutions describe properties of 2D patterns localized on 1D manifolds.

Рассматривается классическая для нелинейной динамики модель «брюсселятор», дополненная третьей переменной, играющей роль быстро диффундирующего ингибитора. Модель исследуется в одномерном случае в области параметров, где проявляются два типа диффузионной неустойчивости однородного стационарного состояния системы: волновая неустойчивость, приводящая к самопроизвольному формированию автоволн, и неустойчивость Тьюринга, приводящая к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур, или структур Тьюринга. Показано, что благодаря субкритическому характеру бифуркации Тьюринга взаимодействие двух неустойчивостей в данной системе приводит к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур еще до прохождения бифуркации Тьюринга. В ответ на различные случайные шумовые возмущения пространственно-однородного стационарного состояния в исследуемой параметрической области в окрестности точки двойной бифуркации в системе могут устанавливаться различные режимы: как чистые, состоящие только из стационарных или только автоволновых диссипативных структур, так и смешанные, при которых разные режимы проявляются в разных участках расчетного пространства. В рассматриваемой параметрической области система является мультистабильной и проявляет высокую чувствительность к начальным шумовым условиям, что приводит к размытию границ между качественно разными режимами. При этом даже в зоне доминирования смешанных режимов с преобладанием структур Тьюринга значительную вероятность имеет установление чистого автоволнового режима. В случае установившихся смешанных режимов достаточно сильное локальное возмущение в участке расчетного пространства, где проявляется автоволновой режим, может инициировать локальное формирование новых стационарных диссипативных структур. Локальное возмущение стационарного однородного состояния в исследуемой области параметрического пространства приводит к качественно схожей карте устоявшихся режимов, при этом зона доминирования чистых автоволновых режимов расширяется с увеличением амплитуды локального возмущения. В двумерном случае в системе не устанавливаются смешанные режимы. При эволюции системы в случае появления локальных структур Тьюринга под воздействием автоволнового режима со временем они заполняют все расчетное пространство.

A classical for nonlinear dynamics model, Brusselator, is considered, being augmented by addition of a third variable, which plays the role of a fast-diffusing inhibitor. The model is investigated in one-dimensional case in the parametric domain, where two types of diffusive instabilities of system’s homogeneous stationary state are manifested: wave instability, which leads to spontaneous formation of autowaves, and Turing instability, which leads to spontaneous formation of stationary dissipative structures, or Turing structures. It is shown that, due to the subcritical nature of Turing bifurcation, the interaction of two instabilities in this system results in spontaneous formation of stationary dissipative structures already before the passage of Turing bifurcation. In response to different perturbations of spatially uniform stationary state, different stable regimes are manifested in the vicinity of the double bifurcation point in the parametric region under study: both pure regimes, which consist of either stationary or autowave dissipative structures; and mixed regimes, in which different modes dominate in different areas of the computational space. In the considered region of the parametric space, the system is multistable and exhibits high sensitivity to initial noise conditions, which leads to blurring of the boundaries between qualitatively different regimes in the parametric region. At that, even in the area of dominance of mixed modes with prevalence of Turing structures, the establishment of a pure autowave regime has significant probability. In the case of stable mixed regimes, a sufficiently strong local perturbation in the area of the computational space, where autowave mode is manifested, can initiate local formation of new stationary dissipative structures. Local perturbation of the stationary homogeneous state in the parametric region under investidation leads to a qualitatively similar map of established modes, the zone of dominance of pure autowave regimes being expanded with the increase of local perturbation amplitude. In two-dimensional case, mixed regimes turn out to be only transient — upon the appearance of localized Turing structures under the influence of wave regime, they eventually occupy all available space.

В работе с помощью аналитических и численных методов рассматривается задача о структуре и динамике связанных локализованных нелинейных волн в модели синус-Гордона с тремя одинаковыми притягивающими протяженными примесями, которые моделируются пространственной неоднородностью периодического потенциала. Найдены два возможных типа связанных нелинейных локализованных волн — бризерного и солитонного. Проведен анализ влияния параметров системы и начальных условий на структуру локализованных волн, их амплитуду и частоту. Связанные колебания локализованных волн бризерного типа, как и для случая точечных примесей, представляет собой сумму трех гармонических колебаний: синфазного, синфазно-антифазного и антифазного типа. Частотный анализ локализованных на примесях волн, которые были получены в ходе численного эксперимента, выполнялся с помощью дискретного преобразования Фурье. Для анализа локализованных волн бризерного типа применялся численный метод конечных разностей. Для проведения качественно анализа полученных численных результатов задача решалась аналитически для случая малых амплитуд локализованных на примесях колебаний. Показано, что при определенных параметрах примеси (глубина, ширина) можно получить локализованные волны солитонного типа. Найдены области значений параметров системы, в которых существуют локализованные волны определенного типа, а также область перехода от бризерных к солитонным типам колебаний. Были определены значения глубины и ширины примеси, при которых наблюдается переход от бризерного к солитонному типу локализованных колебаний. Были получены и рассмотрены различные сценарии колебаний солитонного типа с отрицательными и положительными значениями амплитуд на всех трех примесях, а также и смешанные случаи. Показано, что в случае расстояния между примесями много меньше единицы отсутствует переходная область, в которой зарождающийся бризер после потери энергии на излучение переходит в солитон. Показано, что рассмотренная модель может быть использована, например, для описания динамики волн намагниченности в мультислойных магнетиках.

In this work, we use analytical and numerical methods to consider the problem of the structure and dynamics of coupled localized nonlinear waves in the sine-Gordon model with three identical attractive extended “impurities”, which are modeled by spatial inhomogeneity of the periodic potential. Two possible types of coupled nonlinear localized waves are found: breather and soliton. The influence of system parameters and initial conditions on the structure, amplitude, and frequency of localized waves was analyzed. Associated oscillations of localized waves of the breather type as in the case of point impurities, are the sum of three harmonic oscillations: in-phase, in-phase-antiphase and antiphase type. Frequency analysis of impurity-localized waves that were obtained during a numerical experiment was performed using discrete Fourier transform. To analyze localized breather-type waves, the numerical finite difference method was used. To carry out a qualitative analysis of the obtained numerical results, the problem was solved analytically for the case of small amplitudes of oscillations localized on impurities. It is shown that, for certain impurity parameters (depth and width), it is possible to obtain localized solitontype waves. The ranges of values of the system parameters in which localized waves of a certain type exist, as well as the region of transition from breather to soliton types of oscillations, have been found. The values of the depth and width of the impurity at which a transition from the breather to the soliton type of localized oscillations is observed were determined. Various scenarios of soliton-type oscillations with negative and positive amplitude values for all three impurities, as well as mixed cases, were obtained and considered. It is shown that in the case when the distance between impurities much less than one, there is no transition region where which the nascent breather, after losing energy through radiation, transforms into a soliton. It is shown that the considered model can be used, for example, to describe the dynamics of magnetization waves in multilayer magnets.

Численными методами исследовано формирование пространственных структур, описываемых скалярным уравнением Фишера–Колмогорова–Петровского–Пискунова с нелокальными конкурентными потерями и конвекцией, линейно зависящей от пространственных переменных. Показано, что при соответствующем выборе значений параметров уравнения, начальная функция, локализованная в окрестности точки, трансформируется в функцию, локализованную в окрестности кольца с симметрично расположенными на нем локальными максимумами. Радиус кольца и число максимумов зависят от конвекции.

Pattern formation described by the scalar Fisher–Kolmogorov–Petrovsky–Piscounov equation with nonlocal competition loses and convection linear on coordinates is considered numerically. Initial function localized around a point is shown to transform in a function localized around a ring with symmetrically sited local maxima. The ring radius and number of maxima depend on convection.

Для функционирования регуляторных областей ДНК решающее значение имеет не нуклеотидная последовательность (генетический текст), а их физико-химические и структурные свойства. Именно они обеспечивают кодирование ДНК-белковых взаимодействий, лежащих в основе различных процессов регуляции. Среди таких свойств SIDD (Stress-Induced Duplex Destabilization) — характеристика, описывающая склонность участка дуплекса ДНК к плавлению при заданном уровне суперспирализации. Ранее для данного параметра дуплекса показана роль в функционировании областей регуляции различного типа. В данной работе модель SIDD использована для получения профилей вероятности плавления последовательностей промоторов бактериофага T7. Данный геном характеризуется малым размером (примерно 40 тыс. пар нуклеотидов) и временной организацией экспрессии генов: на первом этапе инфекции ранняя область Т7-ДНК транскрибируется РНК-полимеразой бактерии-хозяина, на более поздних этапах жизненного цикла фагоспецифичная РНК-полимераза последовательно производит транскрипцию областей генов II класса и III класса. При этом механизмы дифференциального узнавания промоторов разных групп ферментом-полимеразой не могут быть основаны исключительно на их нуклеотидной последовательности, в частности в связи с тем, что она очень близка для большинства таких промоторов. В то же время полученные профили SIDD данных промоторов сильно различаются и могут быть разделены на характерные группы, соответствующие функциональным классам промоторов Т7-ДНК. Так, все промоторы ранней области находятся в области влияния одного максимально дестабилизированного участка дуплекса ДНК, соответствующего различным областям конкретных промоторов. Промоторы класса II лишены значительно дестабилизированных областей вблизи точки старта транскрипции. Напротив, промоторы III класса имеют характерные пики профилей вероятности плавления, в каждом случае локализованные в ближней downstream-области. Таким образом, установлены значительные различия профилей для промоторных областей при очень близкой нуклеотидной последовательности (промоторы II и III классов отличаются единичными заменами нуклеотидов), что подтверждает высокую чувствительность рассматриваемого свойства дуплекса к первичной структуре, а также необходимость рассмотрения широкого генетического контекста. Описанные различия профилей вероятности плавления на основе модели SIDD наряду с другими физическими свойствами могут определять дифференциальное узнавание промоторов разных классов РНК-полимеразами.

The functioning of DNA regulatory regions rely primarily on their physicochemical and structural properties but not on nucleotide sequences, i.e. ‘genetic text’. The formers are responsible for coding of DNA-protein interactions that govern various regulatory events. One of the characteristics is SIDD (Stress-Induced Duplex Destabilization) that quantify DNA duplex region propensity to melt under the imposed superhelical stress. The duplex property has been shown to participate in activity of various regulatory regions. Here we employ the SIDD model to calculate melting probability profiles for T7 bacteriophage promoter sequences. The genome is characterized by small size (approximately 40 thousand nucleotides) and temporal organization of expression: at the first stage of infection early T7 DNA region is transcribed by the host cell RNA polymerase, later on in life cycle phage-specific RNA polymerase performs transcription of class II and class III genes regions. Differential recognition of a particular group of promoters by the enzyme cannot be solely explained by their nucleotide sequences, because of, among other reasons, it is fairly similar among most the promoters. At the same time SIDD profiles obtained vary significantly and are clearly separated into groups corresponding to functional promoter classes of T7 DNA. For example, early promoters are affected by the same maximally destabilized DNA duplex region located at the varying region of a particular promoter. class II promoters lack substantially destabilized regions close to transcription start sites. Class III promoters, in contrast, demonstrate characteristic melting probability maxima located in the near-downstream region in all cases. Therefore, the apparent differences among the promoter groups with exceptional textual similarity (class II and class III differ by only few singular substitutions) were established. This confirms the major impact of DNA primary structure on the duplex parameter as well as a need for a broad genetic context consideration. The differences in melting probability profiles obtained using SIDD model alongside with other DNA physicochemical properties appears to be involved in differential promoter recognition by RNA polymerases.