All issues

В статье дается детальное описание численной методики моделирования турбулентного обтекания вращающихся винтов вертолета и расчета аэродинамических характеристик винта. В качестве базовой математической модели используется система осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса для вязкого сжимаемого газа, замкнутая моделью турбулентности Спаларта – Аллмараса. Итоговая модель формулируется в неинерциальной вращающейся системе координат, связанной с винтом. Для задания граничных условий на поверхности винта используются пристеночные функции.

Численное решение полученной системы дифференциальных уравнений проводится на гибридных неструктурированных сетках, включающих призматические слои вблизи поверхности обтекаемого тела. Численный метод строится на основе оригинальных вершинно-центрированных конечно-объемных EBR-схем. Особенностью этих схем является их повышенная точность, которая достигается за счет использования реберно-ориентированной реконструкции переменных на расширенных квазиодномерных шаблонах, и умеренная вычислительная стоимость, позволяющая проводить серийные расчеты. Для приближенного решения задачи о распаде разрыва используются методы Роу и Лакса – Фридрихса. Метод Роу корректируется в случае низкоскоростных течений. При моделировании разрывов или решений с большими градиентами используется квазиодномерная WENO-схема или локальное переключение на квазиодномерную TVD-реконструкцию. Интегрирование по времени проводится по неявной трехслойной схеме второго порядка аппроксимации с линеаризацией по Ньютону системы разностных уравнений. Для решения системы линейных уравнений используется стабилизированный метод сопряженных градиентов.

Численная методика реализована в составе исследовательского программного комплекса NOISEtte согласно двухуровневой MPI–OpenMP-модели, позволяющей с высокой эффективностью проводить расчеты на сетках, состоящих из сотен миллионов узлов, при одновременном задействовании сотен тысячп роцессорных ядер современных суперкомпьютеров.

На основе результатов численного моделирования вычисляются аэродинамические характеристики винта вертолета, а именно сила тяги, крутящий момент и их безразмерные коэффициенты.

Валидация разработанной методики проводится путем моделирования турбулентного обтекания двухлопастного винта Caradonna – Tung и четырехлопастного модельного винта КНИТУ-КАИ на режиме висения, рулевого винта в кольце, а также жесткого несущего винта в косом потоке. численные результаты сравниваются с имеющими экспериментальными данными.

The paper gives a detailed description of the developed methods for simulating the turbulent flow around a helicopter rotor and calculating its aerodynamic characteristics. The system of Reynolds-averaged Navier – Stokes equations for a viscous compressible gas closed by the Spalart –Allmaras turbulence model is used as the basic mathematical model. The model is formulated in a non-inertial rotating coordinate system associated with a rotor. To set the boundary conditions on the surface of the rotor, wall functions are used.

The numerical solution of the resulting system of differential equations is carried out on mixed-element unstructured grids including prismatic layers near the surface of a streamlined body.The numerical method is based on the original vertex-centered finite-volume EBR schemes. A feature of these schemes is their higher accuracy which is achieved through the use of edge-based reconstruction of variables on extended quasi-onedimensional stencils, and a moderate computational cost which allows for serial computations. The methods of Roe and Lax – Friedrichs are used as approximate Riemann solvers. The Roe method is corrected in the case of low Mach flows. When dealing with discontinuities or solutions with large gradients, a quasi-one-dimensional WENO scheme or local switching to a quasi-one-dimensional TVD-type reconstruction is used. The time integration is carried out according to the implicit three-layer second-order scheme with Newton linearization of the system of difference equations. To solve the system of linear equations, the stabilized conjugate gradient method is used.

The numerical methods are implemented as a part of the in-house code NOISEtte according to the two-level MPI–OpenMP parallel model, which allows high-performance computations on meshes consisting of hundreds of millions of nodes, while involving hundreds of thousands of CPU cores of modern supercomputers.

Based on the results of numerical simulation, the aerodynamic characteristics of the helicopter rotor are calculated, namely, trust, torque and their dimensionless coefficients.

Validation of the developed technique is carried out by simulating the turbulent flow around the Caradonna – Tung two-blade rotor and the KNRTU-KAI four-blade model rotor in hover mode mode, tail rotor in duct, and rigid main rotor in oblique flow. The numerical results are compared with the available experimental data.

В настоящее время основная исследовательская деятельность в области нанотехнологий направлена на создание, изучение и применение новых материалов и новых структур. Большое внимание в последнее время привлекает возможность управления магнитными свойствами с помощью сверхпроводящего тока, а также влияние магнитной динамики на вольт-амперные характеристики гибридных наноструктур типа «сверхпроводник/ферромагнетик» (S/F). В частности, к таким структурам относятся джозефсоновский S/F/S-переход или молекулярные наномагниты, связанные с джозефсоновскими переходами. Теоретические исследования динамики подобных структур неизменно приводят к моделям, расчет которых требует численного решения большого количества нелинейных уравнений. Численное моделирование гибридных наноструктур «сверхпроводник/магнетик» подразумевает расчет как магнитной динамики, так и динамики сверхпроводящей фазы, что многократно увеличивает их комплексность и масштабность, поэтому возникает задача решения сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений, что требует значительных временных и вычислительных ресурсов.

На сегодняшний день активно развиваются алгоритмы и фреймворки для моделирования динамики намагничивания в различных структурах. Однако функционал существующих пакетов не позволяет в полной мере реализовать нужную схему вычислений.

Целью настоящей работы является разработка единой вычислительной среды для моделирования гибридных наноструктур «сверхпроводник/магнетик», предоставляющей доступ к решателям и разработанным алгоритмам, позволяющей проводить исследования сверхпроводящих элементов в наноразмерных структурах с магнетиками и гибридных квантовых материалов. В работе представлены результаты использования разрабатываемой вычислительной среды по исследованию резонансных явлений в системе наномагнита, связанного с джозефсоновским переходом. Для исследования возможности переориентации намагниченности в зависимости от параметров модели численно решалась задача Коши для системы нелинейных уравнений. Непосредственно сама вычислительная среда разрабатывалась и развернута на базе гетерогенной вычислительной платформы HybriLIT. Проведенное в рамках вычислительной среды исследование показало эффективность применения развернутого стека технологий и перспективность его использования в дальнейшем для оценки физических параметров в гибридных наноструктурах «сверхпроводник/магнетик».

Now days the main research activity in the field of nanotechnology is aimed at the creation, study and application of new materials and new structures. Recently, much attention has been attracted by the possibility of controlling magnetic properties using a superconducting current, as well as the influence of magnetic dynamics on the current–voltage characteristics of hybrid superconductor/ferromagnet (S/F) nanostructures. In particular, such structures include the S/F/S Josephson junction or molecular nanomagnets coupled to the Josephson junctions. Theoretical studies of the dynamics of such structures need processes of a large number of coupled nonlinear equations. Numerical modeling of hybrid superconductor/magnet nanostructures implies the calculation of both magnetic dynamics and the dynamics of the superconducting phase, which strongly increases their complexity and scale, so it is advisable to use heterogeneous computing systems.

In the course of studying the physical properties of these objects, it becomes necessary to numerically solve complex systems of nonlinear differential equations, which requires significant time and computational resources.

The currently existing micromagnetic algorithms and frameworks are based on the finite difference or finite element method and are extremely useful for modeling the dynamics of magnetization on a wide time scale. However, the functionality of existing packages does not allow to fully implement the desired computation scheme.

The aim of the research is to develop a unified environment for modeling hybrid superconductor/magnet nanostructures, providing access to solvers and developed algorithms, and based on a heterogeneous computing paradigm that allows research of superconducting elements in nanoscale structures with magnets and hybrid quantum materials. In this paper, we investigate resonant phenomena in the nanomagnet system associated with the Josephson junction. Such a system has rich resonant physics. To study the possibility of magnetic reversal depending on the model parameters, it is necessary to solve numerically the Cauchy problem for a system of nonlinear equations. For numerical simulation of hybrid superconductor/magnet nanostructures, a computing environment based on the heterogeneous HybriLIT computing platform is implemented. During the calculations, all the calculation times obtained were averaged over three launches. The results obtained here are of great practical importance and provide the necessary information for evaluating the physical parameters in superconductor/magnet hybrid nanostructures.

В работе исследуется динамика конечномерной модели, описывающей взаимодействие трех популяций: жертвы $x(t)$, потребляющего ее хищника $y(t)$ и суперхищника $z(t)$, питающегося обоими видами. Математически задача записывается в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с правой частью $[x(1-x)-(y+z)g;\,\eta_1^{}yg-d_1^{}f-\mu_1^{}y;\,\eta_2^{}zg+d_2^{}f-\mu_2^{}z]$, где $\eta_j^{}$, $d_j^{}$, $\mu_j^{}$ ($j=1,\,2$) — положительные коэффициенты. Рассматриваемая модель относится к классу кoсимметричных динамических систем при функциональном отклике Лотки – Вольтерры $g=x$, $f=yz$ и дополнительных условиях на параметры: $\mu_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\mu_1^{}}{d_1^{}}\right)$, $\eta_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\eta_1^{}}{d_1^{}}\right)$. В этом случае формируется семейство равновесий в виде прямой в фазовом пространстве. Проанализирована устойчивость равновесий семейства и изолированных равновесий, построены карты существования стационарных решений и предельных циклов. Изучено разрушение семейства при нарушении условий косимметрии и использовании моделей Хoллинга $g(x)=\frac x{1+b_1^{}x}$ и Беддингтона–ДеАнгелиса $f(y,\,z)=\frac{yz}{1+b_2^{}y+b_3^{}z}$. Для этого применяется аппарат теории косимметрии В.И. Юдовича, включающий вычисление косимметрических дефектов и селективных функций. С использованием численного эксперимента проанализированы инвазивные сценарии: внедрение суперхищника в систему «хищник–жертва», выдавливание хищника или суперхищника.

The paper investigates the dynamics of a finite-dimensional model describing the interaction of three populations: prey $x(t)$, its consuming predator $y(t)$, and a superpredator $z(t)$ that feeds on both species. Mathematically, the problem is formulated as a system of nonlinear first-order differential equations with the following right-hand side: $[x(1-x)-(y+z)g;\,\eta_1^{}yg-d_1^{}f-\mu_1^{}y;\,\eta_2^{}zg+d_2^{}f-\mu_2^{}z]$, where $\eta_j^{}$, $d_j^{}$, $\mu_j^{}$ ($j=1,\,2$) are positive coefficients. The considered model belongs to the class of cosymmetric dynamical systems under the Lotka\,--\,Volterra functional response $g=x$, $f=yz$, and two parameter constraints: $\mu_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\mu_1^{}}{d_1^{}}\right)$, $\eta_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\eta_1^{}}{d_1^{}}\right)$. In this case, a family of equilibria is being of a straight line in phase space. We have analyzed the stability of the equilibria from the family and isolated equilibria. Maps of stationary solutions and limit cycles have been constructed. The breakdown of the family is studied by violating the cosymmetry conditions and using the Holling model $g(x)=\frac x{1+b_1^{}x}$ and the Beddington–DeAngelis model $f(y,\,z)=\frac{yz}{1+b_2^{}y+b_3^{}z}$. To achieve this, the apparatus of Yudovich's theory of cosymmetry is applied, including the computation of cosymmetric defects and selective functions. Through numerical experimentation, invasive scenarios have been analyzed, encompassing the introduction of a superpredator into the predator-prey system, the elimination of the predator, or the superpredator.

В настоящей работе исследованы гидродинамические механизмы активации плазменного звена системы свертывания крови при числах Рейнольдса в интервале от 10 до 500. Условия активации изучены в рамках модели, предполагающей, что проницаемость сосудистых стенок по отношению к первичным активаторам системы свертывания крови возрастает с увеличением касательного напряжения. Обнаружено несколько характерных сценариев развития процессов тромбообразования. Изучено влияние изменения топологии течения на активацию внутрисосудистого свертывания крови. Установлено, что пороговая активация плазменного звена системы гемостаза в стенозированных сосудах может иметь место не только при ослаблении, но и при интенсификации кровотока. В заключительной части работы обсуждены возможные медицинские приложения полученных результатов.

The mechanisms of hydrodynamical activation of blood coagulation system are investigated in stenosed vessels for a wide range of Reynolds number values (from 10 up to 500). It is assumed that the vessel wall permeability for procoagulant factors rapidly increases when wall shear stress exceeds specific threshold value. A number of patterns of blood coagulation processes development are described. The influence of blood flow topology changes on activation of blood coagulation is explored. It is established that not only blood flow decrease, but also its increase may promote activation of blood coagulation. It was found that dependence of thrombogenic danger of stenosis on vessel lumen blockage ratio is non-monotonic. The relevance of obtained theoretical results for clinical practice is discussed.

Разработана математическая модель роста опухоли в ткани с учетом ангиогенеза и антиангиогенной терапии. В модели учтены как конвективные потоки в ткани, так и собственная подвижность клеток опухоли. Считается, что клетка начинает мигрировать, если концентрация питательного вещества падает ниже критического уровня, и возвращается в состояние пролиферации в области с высокой концентрацией пищи. Злокачественные клетки, находящиеся в состоянии метаболического стресса, вырабатывают фактор роста эндотелия сосудов (VEGF), стимулируя опухолевый ангиогенез, что увеличивает приток питательных веществ. В работе моделируется антиангиогенный препарат, который необратимо связывается с VEGF, переводя его в неактивное состояние. Проведено численное исследование влияния концентрации и эффективности антиангиогенного препарата на скорость роста и структуру опухоли. Показано, что сама по себе противоопухолевая антиангиогенная терапия способна замедлить рост малоинвазивной опухоли, но не способна его полностью остановить.

A mathematical model of tumor growth in tissue taking into account angiogenesis and antiangiogenic therapy is developed. In the model the convective flows in tissue are considered as well as individual motility of tumor cells. It is considered that a cell starts to migrate if the nutrient concentration falls lower than the critical level and returns into proliferation in the region with high nutrient concentration. Malignant cells in the state of metabolic stress produce vascular endothelial growth factor (VEGF), stimulating tumor angiogenesis, which increases the nutrient supply. In this work an antiangiogenic drug which bounds irreversibly to VEGF, converting it to inactive form, is modeled. Numerical analysis of influence of antiangiogenic drug concentration and efficiency on tumor rate of growth and structure is performed. It is shown that antiangiogenic therapy can decrease the growth of low-invasive tumor, but is not able to stop it completely.

В статье моделируется развитие во времени многопартийной политической системы с учетом социальной напряженности. Предлагается система нелинейных дифференциальных уравнений относительно долей приверженцев партий и дополнительной скалярной переменной, характеризующей величину напряженности в обществе. Изменение доли каждой партии пропорционально текущему значению, умноженному на коэффициент, который состоит из притока беспартийных, перетоков членов из конкурирующих партий и убыли вследствие роста социальной напряженности. Напряженность прирастает пропорционально долям партий и снижается при их отсутствии. Число партий фиксировано, в модели отсутствуют механизмы объединения существующих или рождения новых партий.

Для исследования модели использован подход, основанный на выделении условий, при которых данная задача относится к классу косимметричных систем. Это позволяет проанализировать мультистабильность возможных динамических процессов и их разрушение при нарушении косимметрии. Существование косимметрии для системы дифференциальных уравнений обеспечивается наличием дополнительных связей на параметры, и при этом возможно возникновение непрерывных семейств стационарных и нестационарных решений. Для анализа сценариев нарушения косимметрии применяется подход на основе селективной функции. В случае с одной политической партией мультистабильности нет, каждому набору параметров соответствует только одно устойчивое решение. Для системы из двух партий показано, что возможны два семейства равновесий, а также семейство предельных циклов. Представлены результаты численных экспериментов, демонстрирующие разрушение семейств и реализацию различных сценариев, приводящих к стабилизации политической системы с сосуществованием обеих партий или к исчезновению одной из партий, когда часть населения перестает поддерживать одну из партий и становится безразличной.

Рассматриваемая модель может быть использована для прогнозирования межпартийной борьбы во время предвыборной кампании. В этом случае необходимо учитывать зависимость коэффициентов системы от времени.

We comsider a model of the dynamics a political system of several parties, accompanied and controlled by the growth of social tension. A system of nonlinear ordinary differential equations is proposed with respect to fractions and an additional scalar variable characterizing the magnitude of tension in society the change of each party is proportional to the current value multiplied by a coefficient that consists of an influx of novice, a flow from competing parties, and a loss due to the growth of social tension. The change in tension is made up of party contributions and own relaxation. The number of parties is fixed, there are no mechanisms in the model for combining existing or the birth of new parties.

To study of possible scenarios of the dynamic processes of the model we derive an approach based on the selection of conditions under which this problem belongs to the class of cosymmetric systems. For the case of two parties, it is shown that in the system under consideration may have two families of equilibria, as well as a family of limit cycles. The existence of cosymmetry for a system of differential equations is ensured by the presence of additional constraints on the parameters, and in this case, the emergence of continuous families of stationary and nonstationary solutions is possible. To analyze the scenarios of cosymmetry breaking, an approach based on the selective function is applied. In the case of one political party, there is no multistability, one stable solution corresponds to each set of parameters. For the case of two parties, it is shown that in the system under consideration may have two families of equilibria, as well as a family of limit cycles. The results of numerical experiments demonstrating the destruction of the families and the implementation of various scenarios leading to the stabilization of the political system with the coexistence of both parties or to the disappearance of one of the parties, when part of the population ceases to support one of the parties and becomes indifferent are presented.

This model can be used to predict the inter-party struggle during the election campaign. In this case necessary to take into account the dependence of the coefficients of the system on time.

Моделирование боевых и военных действий является важнейшей научной и практической задачей, направленной на предоставление командованию количественных оснований для принятия решений. Первые модели боя были разработаны в годы первой мировой войны (М. Осипов, F. Lanchester), а в настоящее время они получили широкое распространение в связи с массовым внедрением средств автоматизации. Вместе с тем в моделях боя и войны не в полной мере учитывается моральный потенциал участников конфликта, что побуждает и мотивирует дальнейшее развитие моделей боя и войны. Рассмотрена вероятностная модель боя, в которой параметр боевого превосходства определен через параметр морального (отношение процентов выдерживаемых потерь сторон) и параметр технологического превосходства. Для оценки последнего учитываются: опыт командования (способность организовать согласованные действия), разведывательные, огневые и маневренные возможности сторон и возможности оперативного (боевого) обеспечения. Разработана теоретико-игровая модель «наступление–оборона», учитывающая действия первых и вторых эшелонов (резервов) сторон. Целевой функцией наступающих в модели является произведение вероятности прорыва первым эшелоном одного из пунктов обороны на вероятность отражения вторым эшелоном контратаки резерва обороняющихся. Решена частная задача управления прорывом пунктов обороны и найдено оптимальное распределение боевых единиц между эшелонами. Доля войск, выделяемая сторонами во второй эшелон (резерв), растет с увеличением значения агрегированного параметра боевого превосходства наступающих и уменьшается с увеличением значения параметра боевого превосходства при отражении контратаки. При планировании боя (сражения, операции) и распределении своих войск между эшелонами важно знать не точное количество войск противника, а свои и его возможности, а также степень подготовленности обороны, что не противоречит опыту ведения боевых действий. В зависимости от условий обстановки целью наступления может являться разгром противника, скорейший захват важного района в глубине обороны противника, минимизация своих потерь и т. д. Для масштабирования модели «наступление–оборона» по целям найдены зависимости потерь и темпа наступления от начального соотношения боевых потенциалов сторон. Выполнен учет влияния общественных издержек на ход и исход войн. Дано теоретическое объяснение проигрыша в военной кампании со слабым в технологическом отношении противником и при неясной для общества цели войны. Для учета влияния психологических операций и информационных войн на моральный потенциал индивидов использована модель социально-информационного влияния.

Simulation of combat and military operations is the most important scientific and practical task aimed at providing the command of quantitative bases for decision-making. The first models of combat were developed during the First World War (M. Osipov, F. Lanchester), and now they are widely used in connection with the massive introduction of automation tools. At the same time, the models of combat and war do not fully take into account the moral potentials of the parties to the conflict, which motivates and motivates the further development of models of battle and war. A probabilistic model of combat is considered, in which the parameter of combat superiority is determined through the parameter of moral (the ratio of the percentages of the losses sustained by the parties) and the parameter of technological superiority. To assess the latter, the following is taken into account: command experience (ability to organize coordinated actions), reconnaissance, fire and maneuverability capabilities of the parties and operational (combat) support capabilities. A game-based offensive-defense model has been developed, taking into account the actions of the first and second echelons (reserves) of the parties. The target function of the attackers in the model is the product of the probability of a breakthrough by the first echelon of one of the defense points by the probability of the second echelon of the counterattack repelling the reserve of the defenders. Solved the private task of managing the breakthrough of defense points and found the optimal distribution of combat units between the trains. The share of troops allocated by the parties to the second echelon (reserve) increases with an increase in the value of the aggregate combat superiority parameter of those advancing and decreases with an increase in the value of the combat superiority parameter when repelling a counterattack. When planning a battle (battles, operations) and the distribution of its troops between echelons, it is important to know not the exact number of enemy troops, but their capabilities and capabilities, as well as the degree of preparedness of the defense, which does not contradict the experience of warfare. Depending on the conditions of the situation, the goal of an offensive may be to defeat the enemy, quickly capture an important area in the depth of the enemy’s defense, minimize their losses, etc. For scaling the offensive-defense model for targets, the dependencies of the losses and the onset rate on the initial ratio of the combat potentials of the parties were found. The influence of social costs on the course and outcome of wars is taken into account. A theoretical explanation is given of a loss in a military company with a technologically weak adversary and with a goal of war that is unclear to society. To account for the influence of psychological operations and information wars on the moral potential of individuals, a model of social and information influence was used.

Рассмотрены современные математические модели динамики системы «почва–растение», составляющими которых выступают: растение сельскохозяйственного назначения, микроорганизмы ризосферы (прикорневой зоны растений), элементы минерального питания растений их подвижной и неподвижной форм. На основании анализа принятых положений разработана модель, в которой учитываются взаимосвязи и определенный согласованный характер совместных изменений ее составляющих. В частности, динамика содержащихся в растениях элементов их минерального питания и динамика биомассы растений определяются текущим содержанием в ризосфере внесенных сюда удобрений и отмершими продуктами жизнедеятельности ризосферных элементов (отмершие корни растений, опавшие листья (опад) и т. д.). Полагаются пространственная неподвижность растений и пространственная подвижность микро- организмов, механизм которой определяется здесь диффузией. Предлагаются формальные соотношения влияния суммарного воздействия на динамику растений сорняков (они характеризуют отдельный вид растений) и вредителей (они характеризуют отдельный вид микроорганизмов), где учитываются взаимные переходы элементов минерального питания из подвижной их формы в неподвижную. Для системы, где каждая из составляющих представлена только одним видом (удобрение, ассоциация микроорганизмов и растения представлены только одним видом), выполнено аналитическое исследование. Для однолетних культур сельскохозяйственного назначения разработана адаптация модели распространения волны в системе «ресурс–потребитель» (волны Колмогорова–Петровского–Пискунова). Реализация модели выполнена на примере динамики роста яровой пшеницы Красноуфимская-100 на торфяной низинной почве, куда предварительно были внесены фосфорные и калийные удобрения. Цифровой материал представлен массивом экспериментальных распределений биомассы растений и элементов минерального питания. Специфика экспериментального материала обусловила переход к модели, которая является редукцией сформулированной общей модели. Ее составляющими выступают распределение биомассы растений и содержание в них элементов минерального питания. Оценка адекватности модельных и экспериментальных распределений показала хорошую степень их соответствия.

Modern mathematical models in the dynamics system “soil–plant” are considered. The components of this system are: agricultural plant, microorganisms of the rhizosphere (root zone of plants), the mineral nutrition elements of plants in their mobile and immobile forms. The model of submitted system based on the analysis of the adopted provisions was developed. The construction of system elements allows to display the coordinated dynamics of these elements among themselves. In particular, the dynamics of mineral nutrition elements in plants and the dynamics of their biomass are determined by the current contents in the rhizosphere of mineral fertilizers and organic origin substances (plant roots, leaves, etc.). The immobility of plants spatial distribution and the mobile spatial nature of microorganisms are assumed. This mechanism is determined by diffusion. Mutual relationships between weeds and pests are suggested. The dynamics of the mineral nutrition elements is determined by the peculiarity of sorption in the soil solution, environmental conditions, organic decomposition and fertilizer application. An analytical study for a system where each of the components is represented by only one species (fertilizer, the association of microorganisms and plants) was performed. An adaptation of the wave propagation model in the “resource–consumer” system (Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov waves) has been developed for annual agricultural crops. The developed model has been adapted for the growth of Krasnoufimskaya-100 spring wheat in a vessel on peat lowland soil, where nitrogen, phosphorus, and potassium fertilizers were added variably. Sample distributions are plants biomass and the content of mineral nutrition elements in them. The parametric identification of the model and its adequacy was performed. An assessment of the model adequacy showed a good agreement between the model and experimental data.

Радиофармацевтические препараты, меченные радиоизотопами йода, в настоящее время широко применяются в визуализирующих и невизуализирующих методах ядерной медицины. При оценке результатов радионуклидных исследований структурно-функционального состояния органов и тканей существенную роль приобретает параллельное моделирование кинетики радиофармпрепарата в организме. Сложность такого моделирования заключается в двух противоположных аспектах. С одной стороны, в чрезмерном упрощении анатомо-физиологических особенностей организма при разбиении его на компартменты, что может приводить к потере или искажению значимой для клинической диагностики информации, с другой — в излишнем учете всех возможных взаимосвязей функционирования органов и систем, что, наоборот, приведет к появлению избыточного количества абсолютно бесполезных для клинической интерпретации математических данных, либо модель становится вообще неразрешимой. В нашей работе вырабатывается единый подход к построению математических моделей кинетики радиофармпрепаратов с изотопами йода в организме человека при диагностических и терапевтических процедурах ядерной медицины. На основе данного подхода разработаны трех- и четырехкамерные фармакокинетические модели и созданы соответствующие им расчетные программы на языке программирования C⁺⁺ для обработки и оценки результатов радионуклидной диагностики и терапии. Предложены различные способы идентификации модельных параметров на основе количественных данных радионуклидных исследований функционального состояния жизненно важных органов. Приведены и проанализированы результаты фармакокинетического моделирования при радионуклидной диагностике печени, почек и щитовидной железы с помощью йодсодержащих радиофармпрепаратов. С использованием клинико-диагностических данных определены индивидуальные фармакокинетические параметры транспорта разных радиофармпрепаратов в организме (транспортные константы, периоды полувыведения, максимальная активность в органе и время ее достижения). Показано, что фармакокинетические характеристики для каждого пациента являются сугубо индивидуальными и не могут быть описаны усредненными кинетическими параметрами. В рамках трех фармакокинетических моделей получены и проанализированы зависимости «активность – время» для разных органов и тканей, в том числе для тканей, в которых активность радиофармпрепарата невозможно или затруднительно измерить клиническими методами. Также обсуждаются особенности и результаты моделирования и дозиметрического планирования радиойодтерапии щитовидной железы. Показано, что значения поглощенных радиационных доз очень чувствительны к кинетическим параметрам камерной модели — транспортным константам. Поэтому при индивидуальном дозиметрическом планировании радиойодтерапии следует уделять особое внимание получению точных количественных данных ультразвукового исследования и радиометрии щитовидной железы и на их основе идентификации параметров моделирования. Работа основана на принципах и методах фармакокинетики. Для численного решения систем дифференциальных уравнений фармакокинетических моделей мы использовали методы Рунге–Кутты и метод Розенброка. Для нахождения минимума функции нескольких переменных при идентификации параметров моделирования использовался метод Хука–Дживса.

Radiopharmaceuticals with iodine radioisotopes are now widely used in imaging and non-imaging methods of nuclear medicine. When evaluating the results of radionuclide studies of the structural and functional state of organs and tissues, parallel modeling of the kinetics of radiopharmaceuticals in the body plays an important role. The complexity of such modeling lies in two opposite aspects. On the one hand, excessive simplification of the anatomical and physiological characteristics of the organism when splitting it to the compartments that may result in the loss or distortion of important clinical diagnosis information, on the other – excessive, taking into account all possible interdependencies of the functioning of the organs and systems that, on the contrary, will lead to excess amount of absolutely useless for clinical interpretation of the data or the mathematical model becomes even more intractable. Our work develops a unified approach to the construction of mathematical models of the kinetics of radiopharmaceuticals with iodine isotopes in the human body during diagnostic and therapeutic procedures of nuclear medicine. Based on this approach, three- and four-compartment pharmacokinetic models were developed and corresponding calculation programs were created in the C⁺⁺ programming language for processing and evaluating the results of radionuclide diagnostics and therapy. Various methods for identifying model parameters based on quantitative data from radionuclide studies of the functional state of vital organs are proposed. The results of pharmacokinetic modeling for radionuclide diagnostics of the liver, kidney, and thyroid using iodine-containing radiopharmaceuticals are presented and analyzed. Using clinical and diagnostic data, individual pharmacokinetic parameters of transport of different radiopharmaceuticals in the body (transport constants, half-life periods, maximum activity in the organ and the time of its achievement) were determined. It is shown that the pharmacokinetic characteristics for each patient are strictly individual and cannot be described by averaged kinetic parameters. Within the framework of three pharmacokinetic models, “Activity–time” relationships were obtained and analyzed for different organs and tissues, including for tissues in which the activity of a radiopharmaceutical is impossible or difficult to measure by clinical methods. Also discussed are the features and the results of simulation and dosimetric planning of radioiodine therapy of the thyroid gland. It is shown that the values of absorbed radiation doses are very sensitive to the kinetic parameters of the compartment model. Therefore, special attention should be paid to obtaining accurate quantitative data from ultrasound and thyroid radiometry and identifying simulation parameters based on them. The work is based on the principles and methods of pharmacokinetics. For the numerical solution of systems of differential equations of the pharmacokinetic models we used Runge–Kutta methods and Rosenbrock method. The Hooke–Jeeves method was used to find the minimum of a function of several variables when identifying modeling parameters.

В работе приводится сравнительный анализ результатов, полученных при различных подходах к моделированию процесса артиллерийского выстрела. В этой связи дана постановка основной задачи внутренней баллистики и ее частного случая задачи Лагранжа в осредненных параметрах, где в рамках допущений термодинамического подхода впервые учтены распределения давления и скорости газа по заснарядному пространству для канала переменного сечения. Представлена также постановка задачи Лагранжа в рамках газодинамического подхода, учитывающего пространственное (одномерное и двумерное осесимметричное) изменение характеристик внутрибаллистического процесса. Для численного решения системы газодинамических уравнений Эйлера применяется метод контрольного объема. Параметры газа на границах контрольных объемов опреде- ляются с использованием автомодельного решения задачи о распаде произвольного разрыва. На базе метода Годунова предложена модификация схемы Ошера, позволяющая реализовать алгоритм численного расчета со вторым порядком точности по координате и времени. Проведено сравнение решений, полученных в рамках термодинамического и газодинамического подходов, при различных параметрах заряжания. Изучено влияние массы снаряда и уширения камеры на распределение внутрибаллистических параметров выстрела и динамику движения снаряда. Показано, что термодинамический подход, по сравнению с газодинамическим подходом, приводит к систематическому завышению расчетной дульной скорости снаряда во всем исследованном диапазоне изменения параметров, при этом различие по дульной скорости может достигать 35 %. В то же время расхождение результатов, полученных в рамках одномерной и двумерной газодинамических моделей выстрела в этом же диапазоне изменения параметров, составляет не более 1.3 %.

Дана пространственная газодинамическая постановка задачи о противодавлении, описывающая изменение давления перед ускоряющимся снарядом при его движении по каналу ствола. Показано, что учет формы передней части снаряда в рамках двумерной осесимметричной постановки задачи приводит к существенному различию полей давления за фронтом ударной волны по сравнению с решением в рамках одномерной постановки задачи, где форму передней части снаряда учесть невозможно. Сделан вывод, что это может существенно повлиять на результаты моделирования баллистики выстрела при высоких скоростях метания.

The paper provides a comparative analysis of the results obtained by various approaches to modeling the process of artillery shot. In this connection, the main problem of internal ballistics and its particular case of the Lagrange problem are formulated in averaged parameters, where, within the framework of the assumptions of the thermodynamic approach, the distribution of pressure and gas velocity over the projectile space for a channel of variable cross section is taken into account for the first time. The statement of the Lagrange problem is also presented in the framework of the gas-dynamic approach, taking into account the spatial (one-dimensional and two-dimensional axisymmetric) changes in the characteristics of the ballistic process. The control volume method is used to numerically solve the system of Euler gas-dynamic equations. Gas parameters at the boundaries of control volumes are determined using a selfsimilar solution to the Riemann problem. Based on the Godunov method, a modification of the Osher scheme is proposed, which allows to implement a numerical calculation algorithm with a second order of accuracy in coordinate and time. The solutions obtained in the framework of the thermodynamic and gas-dynamic approaches are compared for various loading parameters. The effect of projectile mass and chamber broadening on the distribution of the ballistic parameters of the shot and the dynamics of the projectile motion was studied. It is shown that the thermodynamic approach, in comparison with the gas-dynamic approach, leads to a systematic overestimation of the estimated muzzle velocity of the projectile in the entire range of parameters studied, while the difference in muzzle velocity can reach 35%. At the same time, the discrepancy between the results obtained in the framework of one-dimensional and two-dimensional gas-dynamic models of the shot in the same range of change in parameters is not more than 1.3%.

A spatial gas-dynamic formulation of the backpressure problem is given, which describes the change in pressure in front of an accelerating projectile as it moves along the barrel channel. It is shown that accounting the projectile’s front, considered in the two-dimensional axisymmetric formulation of the problem, leads to a significant difference in the pressure fields behind the front of the shock wave, compared with the solution in the framework of the onedimensional formulation of the problem, where the projectile’s front is not possible to account. It is concluded that this can significantly affect the results of modeling ballistics of a shot at high shooting velocities.