All issues

Сформулирована математическая модель эрозии берегового склона песчаного канала, происходящей под действием проходящей паводковой волны. Модель включает в себя уравнение движения квазиустановившегося гидродинамического потока в створе канала. Движение донной и береговой поверхности русла определяется из решения уравнения Экснера, которое замыкается оригинальной аналитической моделью движения влекомых наносов. Модель учитывает транзитные, гравитационные и напорные механизмы движения донного материала и не содержит в себе феноменологических параметров. Движение свободной поверхности гидродинамического потока определяется из решения дифференциальных уравнений баланса. Модель учитывает изменения средней по створу турбулентной вязкости при изменении створа канала.

На основе метода конечных элементов получен дискретный аналог сформулированной задачи и предложен алгоритм ее решения. Особенностью алгоритма является контроль влияния движения свободной поверхности потока и расхода потока на процесс определения турбулентной вязкости потока в процессе эрозии берегового склона. Проведены численные расчеты, демонстрирующие качественное и количественное влияние данных особенностей на процесс определения турбулентной вязкости потока и эрозию берегового склона русла.

Сравнение данных по береговым деформациям, полученных в результате численных расчетов, с известными лотковыми экспериментальными данными показали их согласование.

A mathematical model is formulated for the coastal slope erosion of sandy channel, which occurs under the action of a passing flood wave. The moving boundaries of the computational domain — the bottom surface and the free surface of the hydrodynamic flow — are determined from the solution of auxiliary differential equations. A change in the hydrodynamic flow section area for a given law of change in the flow rate requires a change in time of the turbulent viscosity averaged over the section. The bottom surface movement is determined from the Exner equation solution together with the equation of the bottom material avalanche movement. The Exner equation is closed by the original analytical model of traction loads movement. The model takes into account transit, gravitational and pressure mechanisms of bottom material movement and does not contain phenomenological parameters.

Based on the finite element method, a discrete analogue of the formulated problem is obtained and an algorithm for its solution is proposed. An algorithm feature is control of the free surface movement influence of the flow and the flow rate on the process of determining the flow turbulent viscosity. Numerical calculations have been carried out, demonstrating qualitative and quantitative influence of these features on the determining process of the flow turbulent viscosity and the channel bank slope erosion.

Data comparison on bank deformations obtained as a result of numerical calculations with known flume experimental data showed their agreement.

Изучаются вычислительные свойства параметрического класса конечно-объемных схем с настраиваемыми диссипативными свойствами с расщеплением по физическим процессам на лагранжев, эйлеров и заключительный этапы (гибридный метод крупных частиц). Метод обладает вторым порядком аппроксимации по пространству и времени на гладких решениях. Регуляризация численного решения на лагранжевом этапе осуществляется нелинейной коррекцией искусственной вязкости, величина которой, независимо от разрешения сетки, стремится к нулю вне зоны разрывови экстремумовв решении. На эйлеровом и заключительном этапе вначале реконструируются примитивные переменные (плотность, скорость и полная энергия) путем взвешенной ограничителем потоков аддитивной комбинации противопоточной и центральной аппроксимаций. Затем из них формируются численные дивергентные потоки. При этом выполняются дискретные аналоги законов сохранения.

Выполнен анализ диссипативных свойств метода с использованием известных ограничителей вязкости и потоков, а также их линейной комбинации. Разрешающая способность схемы и качество численных решений продемонстрированы на примерах двумерных тестов с обтеканием ступеньки потоком газа с числами Маха 3, 10 и 20, двойным маховским отражением сильной ударной волны и с импульсным сжатием газа. Изучено влияние схемной вязкости метода на численное воспроизведение неустойчивости на контактных поверхностях газов. Установлено, что уменьшение уровня диссипативных свойств схемы в задаче с импульсным сжатием газа приводит к разрушению симметричного решения и формированию хаотической неустойчивости на контактной поверхности.

Численные решения сопоставлены с результатами других авторов, полученных по схемам повышенного порядка аппроксимации: КАБАРЕ, HLLC (Harten Lax van Leer Contact), CFLFh (CFLF hybrid scheme), JT (centered scheme with limiter by Jiang and Tadmor), PPM (Piecewise Parabolic Method), WENO5 (weighted essentially non-oscillatory scheme), RKGD (Runge–Kutta Discontinuous Galerkin), с гибридной взвешенной нелинейной интерполяцией CCSSR-HW4 и CCSSR-HW6. К достоинствам гибридного метода крупных частиц относятся расширенные возможности решения задач гиперболического и смешанного типов, хорошее соотношение диссипативных и дисперсионных свойств, сочетание алгоритмической простоты и высокой разрешающей способности в задачах со сложной ударно-волновой структурой, развитием неустойчивости и вихреобразованием на контактных границах.

We study the computational properties of a parametric class of finite-volume schemes with customizable dissipative properties with splitting by physical processes into Lagrangian, Eulerian, and the final stages (the hybrid large-particle method). The method has a second-order approximation in space and time on smooth solutions. The regularization of a numerical solution at the Lagrangian stage is performed by nonlinear correction of artificial viscosity. Regardless of the grid resolution, the artificial viscosity value tends to zero outside the zone of discontinuities and extremes in the solution. At Eulerian and final stages, primitive variables (density, velocity, and total energy) are first reconstructed by an additive combination of upwind and central approximations weighted by a flux limiter. Then numerical divergent fluxes are formed from them. In this case, discrete analogs of conservation laws are performed.

The analysis of dissipative properties of the method using known viscosity and flow limiters, as well as their linear combination, is performed. The resolution of the scheme and the quality of numerical solutions are demonstrated by examples of two-dimensional benchmarks: a gas flow around the step with Mach numbers 3, 10 and 20, the double Mach reflection of a strong shock wave, and the implosion problem. The influence of the scheme viscosity of the method on the numerical reproduction of a gases interface instability is studied. It is found that a decrease of the dissipation level in the implosion problem leads to the symmetric solution destruction and formation of a chaotic instability on the contact surface.

Numerical solutions are compared with the results of other authors obtained using higher-order approximation schemes: CABARET, HLLC (Harten Lax van Leer Contact), CFLFh (CFLF hybrid scheme), JT (centered scheme with limiter by Jiang and Tadmor), PPM (Piecewise Parabolic Method), WENO5 (weighted essentially non-oscillatory scheme), RKGD (Runge –Kutta Discontinuous Galerkin), hybrid weighted nonlinear schemes CCSSR-HW4 and CCSSR-HW6. The advantages of the hybrid large-particle method include extended possibilities for solving hyperbolic and mixed types of problems, a good ratio of dissipative and dispersive properties, a combination of algorithmic simplicity and high resolution in problems with complex shock-wave structure, both instability and vortex formation at interfaces.

Дискретизация задач по методу гидродинамики сглаженных частиц (SPH) предполагает присутствие в решении нескольких констант — параметров дискретизации. Среди них особо следует отметить модельную скорость звука $c_0$, которая связывает мгновенную плотность в SPH-частице с возникающим давлением через замыкающее уравнение состояния.

В работе изложен подход к точному определению необходимого значения модельной скорости звука, имеющий в своей основе анализ изменения плотностей в SPH-частицах при их относительном смещении. Примером движения сплошной среды принята задача о плоском сдвиговом течении; объектом анализа является функция относительного уплотнения $\varepsilon_\rho$ в SPH-частице, определяемая формой ядра сглаживания. Идеальный плоскопараллельный относительный сдвиг частиц в области сглаживания определяет периодическое изменение их плотностей. Исследование функций $\varepsilon_\rho$, получаемых от использования различных ядер сглаживания в аппроксимации плотности с учетом такого сдвига, позволило установить пульсационный характер возникновения давлений в частицах. Кроме того, определен случай расположения соседей в области сглаживания, обеспечивающий максимум уплотнения в частице.

Сопоставление функций $\varepsilon_\rho$ с SPH-аппроксимацией уравнения движения позволило связать параметр дискретизации $c_0$ с формой ядра сглаживания и прочими параметрами дискретного аналога задачи, в том числе коэффициентом искусственной диссипации. В результате сформулировано уравнение, обеспечивающее нахождение необходимого и достаточного для решения значения модельной скорости звука. Для трех представителей ядер сглаживания приведены выражения корня $c_0$ такого уравнения, упрощенные из полиномов до числовых коэффициентов при параметрах рассматриваемой задачи.

The problem discrete statement by the smoothed particle hydrodynamics method (SPH) include a discretization constants parameters set. Of them particular note is the model sound speed $c_0$, which relates the SPH-particle instantaneous density to the resulting pressure through the equation of state.

The paper describes an approach to the exact determination of the model sound speed required value. It is on the analysis based, how SPH-particle density changes with their relative shift. An example of the continuous medium motion taken the plane shear flow problem; the analysis object is the relative compaction function $\varepsilon_\rho$ in the SPH-particle. For various smoothing kernels was research the functions of $\varepsilon_\rho$, that allowed the pulsating nature of the pressures occurrence in particles to establish. Also the neighbors uniform distribution in the smoothing domain was determined, at which shaping the maximum of compaction in the particle.

Through comparison the function $\varepsilon_\rho$ with the SPH-approximation of motion equation is defined associate the discretization parameter $c_0$ with the smoothing kernel shape and other problem parameters. As a result, an equation is formulated that the necessary and sufficient model sound speed value provides finding. For such equation the expressions of root $c_0$ are given for three different smoothing kernels, that simplified from polynomials to numerical coefficients for the plane shear flow problem parameters.

Представлена программа NINE (Newtonian Iteration for Nonlinear Equation) численного решения граничных задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на основе непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН) с использованием нумеровской конечно-разностной аппроксимации четвертого порядка относительно шага дискретизации по пространственной переменной. Обсуждаются алгоритмы вычисления ньютоновского итерационного параметра. Выполнены методические расчеты, демонстрирующие влияние выбора итерационного параметра на сходимость итерационного процесса. Представлены результаты проведенного с помощью программы NINE численного исследования положительных частицеподобных решений уравнения скалярного поля.

The computer code NINE (Newtonian Iteration for Nonlinear Equation) for numerical solution of the boundary problems for nonlinear differential equations on the basis of continuous analogue of the Newton method (CANM) is presented. Numerov’s finite-difference appproximation is applied to provide the fourth accuracy order with respect to the discretization stepsize. Algorithms of calculating the Newtonian iterative parameter are discussed. A convergence of iteration process in dependence on choice of the iteration parameter has been studied. Results of numerical investigation of the particle-like solutions of the scalar field equation are given.

Изучается геометрия сплошных сред с внутренними степенями свободы методом подвижного репера Картана. Выводятся условия неразрывности деформаций в форме уравнений структуры для многообразий. Предлагаются определяющие соотношения для жесткопластических сред с внутренними степенями свободы. Доказываются аналоги теорем о предельных нагрузках. Показано применение этих теорем для анализа поведения жесткопластических континуальных оболочек из материалов, обладающих памятью формы. Приведено вычисление предельных нагрузок для оболочек вращения при воздействии внешних сил и при восстановлении формы от нагрева.

This paper studies solids with internal degrees of freedom using the method of Cartan moving hedron. Strain compatibility conditions are derived in the form of structure equations for manifolds. Constitutive relations are reviewed and ultimate load theorems are proved for rigid plastic solids with internal degrees of freedom. It is demonstrated how the above theorems can be applied in behavior analysis of rigid plastic continual shells of shape memory materials. The ultimate loads are estimated for rotating shells under external forces and in case of shape recovery from heating.

В данной работе рассматриваются задачи выпуклой стохастической оптимизации, возникающие в анализе данных (минимизация функции риска), а также в математической статистике (минимизация функции правдоподобия). Такие задачи могут быть решены как онлайн-, так и офлайн-методами (метод Монте-Карло). При офлайн-подходе исходная задача заменяется эмпирической задачей — задачей минимизации эмпирического риска. В современном машинном обучении ключевым является следующий вопрос: какой размер выборки (количество слагаемых в функционале эмпирического риска) нужно взять, чтобы достаточно точное решение эмпирической задачи было решением исходной задачи с заданной точностью. Базируясь на недавних существенных продвижениях в машинном обучении и оптимизации для решения выпуклых стохастических задач на евклидовых шарах (или всем пространстве), мы рассматриваем случай произвольных шаров в $p$-нормах и исследуем, как влияет выбор параметра $p$ на оценки необходимого числа слагаемых в функции эмпирического риска.

В данной работе рассмотрены как выпуклые задачи оптимизации, так и седловые. Для сильно выпуклых задач были обобщены уже имеющиеся результаты об одинаковых размерах выборки в обоих подходах (онлайн и офлайн) на произвольные нормы. Более того, было показано, что условие сильной выпуклости может быть ослаблено: полученные результаты справедливы для функций, удовлетворяющих условию квадратичного роста. В случае когда данное условие не выполняется, предлагается использовать регуляризацию исходной задачи в произвольной норме. В отличие от выпуклых задач седловые задачи являются намного менее изученными. Для седловых задач размер выборки был получен при условии $\gamma$-роста седловой функции по разным группам переменных. Это условие при $\gamma = 1$ есть не что иное, как аналог условия острого минимума в выпуклых задач. В данной статье было показано, что размер выборки в случае острого минимума (седла) почти не зависит от желаемой точности решения исходной задачи.

In this paper, we consider convex stochastic optimization problems arising in machine learning applications (e. g., risk minimization) and mathematical statistics (e. g., maximum likelihood estimation). There are two main approaches to solve such kinds of problems, namely the Stochastic Approximation approach (online approach) and the Sample Average Approximation approach, also known as the Monte Carlo approach, (offline approach). In the offline approach, the problem is replaced by its empirical counterpart (the empirical risk minimization problem). The natural question is how to define the problem sample size, i. e., how many realizations should be sampled so that the quite accurate solution of the empirical problem be the solution of the original problem with the desired precision. This issue is one of the main issues in modern machine learning and optimization. In the last decade, a lot of significant advances were made in these areas to solve convex stochastic optimization problems on the Euclidean balls (or the whole space). In this work, we are based on these advances and study the case of arbitrary balls in the $p$-norms. We also explore the question of how the parameter $p$ affects the estimates of the required number of terms as a function of empirical risk.

In this paper, both convex and saddle point optimization problems are considered. For strongly convex problems, the existing results on the same sample sizes in both approaches (online and offline) were generalized to arbitrary norms. Moreover, it was shown that the strong convexity condition can be weakened: the obtained results are valid for functions satisfying the quadratic growth condition. In the case when this condition is not met, it is proposed to use the regularization of the original problem in an arbitrary norm. In contradistinction to convex problems, saddle point problems are much less studied. For saddle point problems, the sample size was obtained under the condition of $\gamma$-growth of the objective function. When $\gamma = 1$, this condition is the condition of sharp minimum in convex problems. In this article, it was shown that the sample size in the case of a sharp minimum is almost independent of the desired accuracy of the solution of the original problem.

Работа посвящена теоретическому изучению величины деструктивного влияния на нормальные ткани организма инфракрасным излучением, выходящим за пределы обрабатываемого патологического очага. Такая ситуация возможна при сверхдлительном воздействии прямого лазерного излучения на биоткани. Решением этой проблемы может служить равномерное распределение тепла внутри объема через опосредованное нагревание жидкости, что способствует минимальному повреждению перифокальных структур. Представлена нестационарная теплофизическая модель процесса распространения тепла в биотканях, позволяющая проводить исследования передачи энергии от внутреннего жидкого содержимого кисты Бейкера, нагреваемого инфракрасным лазерным излучением заданной удельной мощности, через определенную толщину ее стенки к окружающим биологическим тканям. Расчет пространственно-временного распределения температуры в стенке кисты и окружающей жировой ткани осуществляется конечно-разностным методом. Время эффективного воздействия температуры на всю толщину стенки кисты оценивалось достижением 55 °С на ее наружной поверхности. Безопасность процедуры обеспечивает длительность экспозиции данной величины не более 10 секунд.

В результате проведенных вычислений установлено, что имеются несколько режимов работы хирургического лазера, соответствующих всем требованиям безопасности при одновременной эффективности процедуры. Локальная односторонняя гипертермия синовиальной оболочки и последующая коагуляция всей толщины стенки за счет переноса тепла способствуют ликвидации полостного новообразования подколенной области. При ее толщине 3 мм удовлетворительным является режим нагрева, при котором время воздействия длится около 200 секунд, а удельная мощность лазерного излучения во внутренней среде жидкостного содержимого кисты Бейкера составляет примерно 1 Вт/г.

The work is devoted to the study of the theoretical value of destructive influence on normal tissues of an organism by infrared radiation that goes beyond the treated pathological focus. This situation is possible if the direct laser radiation on the tissues is extremely long-acting. The solution to this problem can be the uniform distribution of heat inside the volume through indirect heating of the liquid, which contributes to minimal damage to the perifocal structures. A non-stationary thermophysical model of the process of heat propagation in biological tissues is presented, allowing to carry out studies of energy transfer from internal liquid contents of Baker's cyst heated by infrared laser radiation of a given specific power through a certain thickness of its wall to surrounding biological tissues. Calculation of the spacetime temperature distribution in the cyst wall and surrounding fat tissue is carried out by the finite-difference method. The time of effective exposure to temperature on the entire thickness of the cyst wall was estimated to be 55 ° C on its outer surface. The safety procedure ensures the exposure duration of this value is not more than 10 seconds.

As a result of the calculations carried out, it is established that there are several operating modes of a surgical laser that meet all the safety requirements with a simultaneous effective procedure. Local one-sided hyperthermia of the synovial membrane and subsequent coagulation of the entire wall thickness due to heat transfer contributes to the elimination of the cavity neoplasm of the popliteal region. With a thickness of 3 mm, the heating mode is satisfactory, under which the exposure time lasts about 200 seconds, and the specific power of the laser radiation in the internal medium of the liquid contents of the Baker cyst is approximately 1.

Число работ, посвященных прогнозированию инфекционной заболеваемости, стремительно растет по мере появления статистики, позволяющей провести анализ. В настоящей статье представлен обзор основных решений, доступных сегодня для формирования как краткосрочных, так и долгосрочных проекций заболеваемости; указаны их ограничения и возможности практического применения. Рассмотрены традиционные методы анализа временных рядов — регрессионные и авторегрессионные модели; подходы, опирающиеся на машинное обучение — байесовские сети и искусственные нейронные сети; рассуждения на основе прецедентов; техники, базирующиеся на решении задачи фильтрации. Перечислены важнейшие направления разработки математических моделей распространения заболевания: классические аналитические модели, детерминированные и стохастические, а также современные имитационные модели, сетевые и агентные.

The number of papers addressing the forecasting of the infectious disease morbidity is rapidly growing due to accumulation of available statistical data. This article surveys the major approaches for the shortterm and the long-term morbidity forecasting. Their limitations and the practical application possibilities are pointed out. The paper presents the conventional time series analysis methods — regression and autoregressive models; machine learning-based approaches — Bayesian networks and artificial neural networks; case-based reasoning; filtration-based techniques. The most known mathematical models of infectious diseases are mentioned: classical equation-based models (deterministic and stochastic), modern simulation models (network and agent-based).

Биологическая структура рассматривается как открытая неравновесная система, свойства которой могут быть описаны на основе кинетических уравнений. Ставятся новые задачи с неравновесными граничными условиями на границе, причем неравновесное состояние (распределение) преобразуется постепенно в равновесное состояние вниз по течению. Область пространственной неоднородности имеет масштаб, зависящий от скорости переноса вещества в открытой системе и характерного времени метаболизма. В предлагаемом приближении внутренняя энергия движения молекул много меньше энергии поступательного движения; в других терминах: кинетическая энергия средней скорости крови существенно выше, чем энергия хаотического движения частиц в крови. Задача о релаксации в пространстве моделирует живую систему, поскольку сопоставляет области термодинамической неравновесности и неоднородности. Поток энтропии в изучаемой системе уменьшается вниз по потоку, что соответствует общим идеям Э. Шрёдингера о том, что живая система «питается» негэнтропией. Вводится величина, определяющая сложность биосистемы, — это разность между величинами неравновесной кинетической энтропии и равновесной энтропией в каждой пространственной точке, затем проинтегрированная по всему пространству. Решения задач о пространственной релаксации позволяют высказать суждение об оценке размера биосистем в целом как областей неравновесности. Результаты сравниваются с эмпирическими данными, в частности для млекопитающих (размеры животных тем больше, чем меньше удельная энергия метаболизма). Что воспроизводится в предлагаемой кинетической модели, поскольку размеры неравновесной области больше в той системе, где меньше скорость реакции, или в терминах кинетического подхода – чем больше время релаксации характерного взаимодействия между молекулами. Подход применяется для обсуждения характеристик и отдельного органа живой системы, а именно зеленого листа. Рассматриваются проблемы старения как деградации открытой неравновесной системы. Аналогия связана со структурой: для замкнутой системы происходит стремление к равновесию структуры для одних и тех же молекул, в открытой системе происходит переход к равновесию частиц, которые меняются из-за метаболизма. Соответственно, выделяются два существенно различных масштаба времени, отношение которых является приблизительно постоянным для различных видов животных. В предположении существования двух этих временных шкал кинетическое уравнение расщепляется на два уравнения, описывающих метаболическую (стационарную) и «деградационную» (нестационарную) части процесса.

The biological structure is considered as an open nonequilibrium system which properties can be described on the basis of kinetic equations. New problems with nonequilibrium boundary conditions are introduced. The nonequilibrium distribution tends gradually to an equilibrium state. The region of spatial inhomogeneity has a scale depending on the rate of mass transfer in the open system and the characteristic time of metabolism. In the proposed approximation, the internal energy of the motion of molecules is much less than the energy of translational motion. Or in other terms we can state that the kinetic energy of the average blood velocity is substantially higher than the energy of chaotic motion of the same particles. We state that the relaxation problem models a living system. The flow of entropy to the system decreases in downstream, this corresponds to Shrödinger’s general ideas that the living system “feeds on” negentropy. We introduce a quantity that determines the complexity of the biosystem, more precisely, this is the difference between the nonequilibrium kinetic entropy and the equilibrium entropy at each spatial point integrated over the entire spatial region. Solutions to the problems of spatial relaxation allow us to estimate the size of biosystems as regions of nonequilibrium. The results are compared with empirical data, in particular, for mammals we conclude that the larger the size of animals, the smaller the specific energy of metabolism. This feature is reproduced in our model since the span of the nonequilibrium region is larger in the system where the reaction rate is shorter, or in terms of the kinetic approach, the longer the relaxation time of the interaction between the molecules. The approach is also used for estimation of a part of a living system, namely a green leaf. The problems of aging as degradation of an open nonequilibrium system are considered. The analogy is related to the structure, namely, for a closed system, the equilibrium of the structure is attained for the same molecules while in the open system, a transition occurs to the equilibrium of different particles, which change due to metabolism. Two essentially different time scales are distinguished, the ratio of which is approximately constant for various animal species. Under the assumption of the existence of these two time scales the kinetic equation splits in two equations, describing the metabolic (stationary) and “degradative” (nonstationary) parts of the process.

Данная работа посвящена исследованию проблемы моделирования и анализа сложных колебательных режимов, как регулярных, так и хаотических, в системах взаимодействующих популяций в присутствии случайных возмущений. В качестве исходной концептуальной детерминированной модели рассматривается вольтерровская система трех дифференциальных уравнений, описывающая динамику популяций жертв двух конкурирующих видов и хищника. Данная модель учитывает следующие ключевые биологические факторы: естественный прирост жертв, их внутривидовую и межвидовую конкуренцию, вымирание хищников в отсутствие жертв, скорость выедания жертв хищником, прирост популяции хищника вследствие выедания жертв, интенсивность внутривидовой конкуренции в популяции хищника. В качестве бифуркационного параметра используется скорость роста второй популяции жертв. На некотором интервале изменения этого параметра система демонстрирует большое разнообразие динамических режимов: равновесных, колебательных и хаотических. Важной особенностью этой модели является мультистабильность. В данной работе мы фокусируемся на изучении параметрической зоны тристабильности, когда в системе сосуществуют устойчивое равновесие и два предельных цикла. Такая биритмичность в присутствии случайных возмущений порождает новые динамические режимы, не имеющие аналогов в детерминированном случае. Целью статьи является детальное изучение стохастических явлений, вызванных случайными флуктуациями скорости роста второй популяции жертв. В качестве математической модели таких флуктуаций мы рассматриваем белый гауссовский шум. Методами прямого численного моделирования решений соответствующей системы стохастических дифференциальных уравнений выявлены и описаны следующие феномены: однонаправленные стохастические переходы с одного цикла на другой; триггерный режим, вызванный переходами между циклами; индуцированный шумом переход с циклов на равновесие, отвечающее вымиранию популяции хищника и второй жертвы. В статье представлены результаты анализа этих явлений с помощью показателей Ляпунова, выявлены параметрические условия переходов от порядка к хаосу и от хаоса к порядку. Для аналитического исследования таких вызванных шумом многоэтапных переходов были применены техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных областей. В статье показано, как этот математический аппарат позволяет спрогнозировать интенсивность шума, приводящего к качественным трансформациям режимов стохастической популяционной динамики.

This work is devoted to the study of the problem of modeling and analyzing complex oscillatory modes, both regular and chaotic, in systems of interacting populations in the presence of random perturbations. As an initial conceptual deterministic model, a Volterra system of three differential equations is considered, which describes the dynamics of prey populations of two competing species and a predator. This model takes into account the following key biological factors: the natural increase in prey, their intraspecific and interspecific competition, the extinction of predators in the absence of prey, the rate of predation by predators, the growth of the predator population due to predation, and the intensity of intraspecific competition in the predator population. The growth rate of the second prey population is used as a bifurcation parameter. At a certain interval of variation of this parameter, the system demonstrates a wide variety of dynamic modes: equilibrium, oscillatory, and chaotic. An important feature of this model is multistability. In this paper, we focus on the study of the parametric zone of tristability, when a stable equilibrium and two limit cycles coexist in the system. Such birhythmicity in the presence of random perturbations generates new dynamic modes that have no analogues in the deterministic case. The aim of the paper is a detailed study of stochastic phenomena caused by random fluctuations in the growth rate of the second population of prey. As a mathematical model of such fluctuations, we consider white Gaussian noise. Using methods of direct numerical modeling of solutions of the corresponding system of stochastic differential equations, the following phenomena have been identified and described: unidirectional stochastic transitions from one cycle to another, trigger mode caused by transitions between cycles, noise-induced transitions from cycles to the equilibrium, corresponding to the extinction of the predator and the second prey population. The paper presents the results of the analysis of these phenomena using the Lyapunov exponents, and identifies the parametric conditions for transitions from order to chaos and from chaos to order. For the analytical study of such noise-induced multi-stage transitions, the technique of stochastic sensitivity functions and the method of confidence regions were applied. The paper shows how this mathematical apparatus allows predicting the intensity of noise, leading to qualitative transformations of the modes of stochastic population dynamics.