All issues

Изучение физиологических и патофизиологических процессов, связанных с системой кровообращения, является на сегодняшний день актуальной темой многих исследований. В данной работе рассматривается ряд подходов к математическому моделированию кровотока, основанных на пространственном осреднении и/или использующих стационарное приближение. Обсуждаются допущения и предположения, ограничивающие область применения моделей такого рода. Приводятся наиболее распространенные математические постановки задач и кратко описываются методы их численного решения. В первой части обсуждаются модели, основанные на полном пространственном осреднении и/или использующие стационарное приближение. Один из наиболее распространенных на сегодняшний день подходов состоит в проведении аналогий между течением вязкой несжимаемой жидкости в эластичных трубках и электрическим током в цепи. Такие модели используются не только сами по себе, но и как способ постановки граничных условий в моделях, учитывающих одномерную или трехмерную пространственную зависимость переменных. Динамические, полностью осредненные по пространству модели позволяют описывать динамику кровотока на достаточно больших временных интервалах, равных длительности десятков сердечных циклов и более. Далее рассмотрены стационарные модели основанные как на полностью осредненном, так и на двухмерном подходе. Такие модели могут быть использованы для моделирования кровотока в микроциркуляторном русле. Во второй части обсуждаются модели, основанные на одномерном осреднении параметров кровотока. Преимущество данного подхода также состоит в невысоких, по сравнению с трехмерным моделированием, требованиях к вычислительным ресурсам и возможности охвата всех достаточно крупных кровеносных сосудов в организме. Модели данного типа позволяют рассчитывать параметры кровотока в каждом сосуде сосудистой сети, включенной в модель. Структура и параметры такой сети могут быть заданы как на основе данных литературы, так и с помощью методов сегментации медицинских данных. Основными и весьма существенными предположениями при выводе одномерных уравнений из уравнений Навье – Стокса с помощью асимптотического анализа или их интегрирования по объему являются радиальная симметрия течения и постоянство формы профиля скорости в поперечном сечении. Существующие в настоящее время работы, посвященные валидации одномерных моделей, их сравнению между собой и с данными клинических исследований, позволяют говорить об успешности данного подхода и подтверждают возможность его использования в медицинской практике. Одномерные модели позволяют описывать такие динамические явления, как распространение пульсовой волны и звуки Короткова. В этом приближении могут быть учтены такие факторы, как действие на кровоток силы тяжести, действие на стенки сосудов силы сжатия мышц, регуляторные и ауторегуляторные эффекты.

The study of the physiological and pathophysiological processes in the cardiovascular system is one of the important contemporary issues, which is addressed in many works. In this work, several approaches to the mathematical modelling of the blood flow are considered. They are based on the spatial order reduction and/or use a steady-state approach. Attention is paid to the discussion of the assumptions and suggestions, which are limiting the scope of such models. Some typical mathematical formulations are considered together with the brief review of their numerical implementation. In the first part, we discuss the models, which are based on the full spatial order reduction and/or use a steady-state approach. One of the most popular approaches exploits the analogy between the flow of the viscous fluid in the elastic tubes and the current in the electrical circuit. Such models can be used as an individual tool. They also used for the formulation of the boundary conditions in the models using one dimensional (1D) and three dimensional (3D) spatial coordinates. The use of the dynamical compartment models allows describing haemodynamics over an extended period (by order of tens of cardiac cycles and more). Then, the steady-state models are considered. They may use either total spatial reduction or two dimensional (2D) spatial coordinates. This approach is used for simulation the blood flow in the region of microcirculation. In the second part, we discuss the models, which are based on the spatial order reduction to the 1D coordinate. The models of this type require relatively small computational power relative to the 3D models. Within the scope of this approach, it is also possible to include all large vessels of the organism. The 1D models allow simulation of the haemodynamic parameters in every vessel, which is included in the model network. The structure and the parameters of such a network can be set according to the literature data. It also exists methods of medical data segmentation. The 1D models may be derived from the 3D Navier – Stokes equations either by asymptotic analysis or by integrating them over a volume. The major assumptions are symmetric flow and constant shape of the velocity profile over a cross-section. These assumptions are somewhat restrictive and arguable. Some of the current works paying attention to the 1D model’s validation, to the comparing different 1D models and the comparing 1D models with clinical data. The obtained results reveal acceptable accuracy. It allows concluding, that the 1D approach can be used in medical applications. 1D models allow describing several dynamical processes, such as pulse wave propagation, Korotkov’s tones. Some physiological conditions may be included in the 1D models: gravity force, muscles contraction force, regulation and autoregulation.

Универсальные сценарии перехода к хаосу в динамических системах к настоящему моменту хорошо изучены. К типичным сценариям относятся каскад бифуркаций удвоения периода (сценарий Фейген-баума), разрушение тора малой размерности (сценарий Рюэля–Такенса) и переход через перемежаемость (сценарий Помо–Манневилля). В более сложных пространственно-распределенных динамических системах нарастающая с изменением параметра сложность поведения по времени тесно переплетается с формированием пространственных структур. Однако вопрос о том, могут ли в каком-то сценарии пространственная и временная оси полностью поменяться ролями, до сих пор остается открытым. В данной работе впервые предлагается математическая модель конвекции–реакции–диффузии, в рамках которой реализуется пространственный аналог перехода к хаосу через разрушение квазипериодического режима в рамках сценария Рюэля–Такенса. Исследуемая физическая система представляет собой два водных раствора кислоты (A) и основания (B), в начальный момент времени разделенных по пространству и помещенных в вертикальную ячейку Хеле–Шоу, находящуюся в статическом поле тяжести. При приведении растворов в контакт начинается фронтальная реакция нейтрализации второго порядка: A + B $\to$ C, которая сопровождается выделением соли (С). Процесс характеризуется сильной зависимостью коэффициентов диффузии реагентов от их концентрации, что приводит к возникновению двух локальных зон пониженной плотности, в которых независимо друг от друга возникают хемоконвективные движения жидкости. Слои, в которых развивается конвекция, все время остаются разделенными прослойкой неподвижной жидкости, но они могут влиять друг на друга посредством диффузии реагентов через прослойку. Формирующаяся хемо-конвективная структура представляет собой модулированную стоячую волну, постепенно разрушающуюся со временем, повторяя последовательность бифуркаций сценария разрушения двумерного тора. Показано, что в ходе эволюции системы пространственная ось, направленная вдоль фронта реакции, выполняет роль времени, а само время играет роль управляющего параметра.

In the last decades, universal scenarios of the transition to chaos in dynamic systems have been well studied. The scenario of the transition to chaos is defined as a sequence of bifurcations that occur in the system under the variation one of the governing parameters and lead to a qualitative change in dynamics, starting from the regular mode and ending with chaotic behavior. Typical scenarios include a cascade of period doubling bifurcations (Feigenbaum scenario), the breakup of a low-dimensional torus (Ruelle–Takens scenario), and the transition to chaos through the intermittency (Pomeau–Manneville scenario). In more complicated spatially distributed dynamic systems, the complexity of dynamic behavior growing with a parameter change is closely intertwined with the formation of spatial structures. However, the question of whether the spatial and temporal axes could completely exchange roles in some scenario still remains open. In this paper, for the first time, we propose a mathematical model of convection–diffusion–reaction, in which a spatial transition to chaos through the breakup of the quasi–periodic regime is realized in the framework of the Ruelle–Takens scenario. The physical system under consideration consists of two aqueous solutions of acid (A) and base (B), initially separated in space and placed in a vertically oriented Hele–Shaw cell subject to the gravity field. When the solutions are brought into contact, the frontal neutralization reaction of the second order A + B $\to$ C begins, which is accompanied by the production of salt (C). The process is characterized by a strong dependence of the diffusion coefficients of the reagents on their concentration, which leads to the appearance of two local zones of reduced density, in which chemoconvective fluid motions develop independently. Although the layers, in which convection develops, all the time remain separated by the interlayer of motionless fluid, they can influence each other via a diffusion of reagents through this interlayer. The emerging chemoconvective structure is the modulated standing wave that gradually breaks down over time, repeating the sequence of the bifurcation chain of the Ruelle–Takens scenario. We show that during the evolution of the system one of the spatial axes, directed along the reaction front, plays the role of time, and time itself starts to play the role of a control parameter.

В статье представлены результаты численного моделирования вихревого пространственного нестационарного движения среды, возникающего около боковой и донной поверхностей десантного модуля при его спуске в атмосфере Марса. Численное исследование проведено для высокоскоростного режима обтекания при различных углах атаки. Математическое моделирование осуществлено на основе модели Навье – Стокса и модели равновесных химических реакций для газового состава марсианской атмосферы. Результаты моделирования показали, что при рассматриваемых условиях движения спускаемого аппарата около его боковой и донной поверхностей реализуется нестационарное течение, имеющее ярко выраженный вихревой характер. Численные расчеты указывают на то, что в зависимости от угла атаки нестационарность и вихревой характер потока могут проявляться как на всей боковой и донной поверхностях аппарата, так и, частично, на их подветренной стороне. Для различных углов атаки приводятся картины вихревой структуры потока около поверхности спускаемого аппарата и в его ближнем следе, а также картины полей температуры и показателя адиабаты. Нестационарный характер обтекания подтверждается представленными временными зависимостями газодинамических параметров потока в различных точках поверхности аппарата. Проведенные параметрические расчеты позволили построить зависимости аэродинамических характеристик спускаемого аппарата от угла атаки. Математическое моделирование осуществляется на основе являющегося методом конечных объемов консервативного численного метода потоков, основанного на конечно-разностной записи законов сохранения аддитивных характеристик среды с использованием upwind-аппроксимаций потоковых переменных. Для моделирования возникающей при обтекании сложной вихревой структуры потока около спускаемого аппарата используются неравномерные вычислительные сетки, включающие до 30 миллионов конечных объемов с экспоненциальным сгущением к поверхности, что позволило выявить мелкомасштабные вихревые образования. Численные исследования проведены на базе разработанного комплекса программ, основанного на параллельных алгоритмах используемого численного метода и реализованного на современных многопроцессорных вычислительных системах. Приведенные в статье результаты численного моделирования получены при использовании до двух тысяч вычислительных ядер многопроцессорного комплекса.

The article presents the results of numerical modeling of the vortex spatial non-stationary motion of the medium arising near the lateral and bottom surfaces of the descent module during its movement in the atmosphere of Mars. The numerical study was performed for the high-speed streamline regime at various angles of attack. Mathematical modeling was carried out on the basis of the Navier – Stokes model and the model of equilibrium chemical reactions for the Martian atmosphere gas. The simulation results showed that under the considered conditions of the descent module motion, a non-stationary flow with a pronounced vortex character is realized near its lateral and bottom surfaces. Numerical calculations indicate that, depending on the angle of attack, the nonstationarity and vortex nature of the flow can manifest itself both on the entire lateral and bottom surfaces of the module, and, partially, on their leeward side. For various angles of attack, pictures of the vortex structure of the flow near the surface of the descent vehicle and in its near wake are presented, as well as pictures of the gas-dynamic parameters fields. The non-stationary nature of the flow is confirmed by the presented time dependences of the gas-dynamic parameters of the flow at various points on the module surface. The carried out parametric calculations made it possible to determine the dependence of the aerodynamic characteristics of the descent module on the angle of attack. Mathematical modeling is carried out on the basis of the conservative numerical method of fluxes, which is a finitevolume method based on a finite-difference writing of the conservation laws of additive characteristics of the medium using «upwind» approximations of stream variables. To simulate the complex vortex structure of the flow over descent module, the nonuniform computational grids are used, including up to 30 million finite volumes with exponential thickening to the surface, which made it possible to reveal small-scale vortex formations. Numerical investigations were carried out on the basis of the developed software package based on parallel algorithms of the used numerical method and implemented on modern multiprocessor computer systems. The results of numerical simulation presented in the article were obtained using up to two thousand computing cores of a multiprocessor complex.

В работе построены сопряженные задачи для явной и неявной параболической квазилинейной сеточной пространственно-одномерной краевой задачи: коэффициенты задачи зависят от решения в текущий и предыдущие моменты времени. Зависимость от предыстории осуществляется через вектор состояния, эволюция которого описывается дифференциальным уравнением. К подобным задачам сводятся многие модели диффузионного массопереноса. Решения исходной и сопряженной краевых задач дают возможность получить точное значение градиента некоторого функционала в пространстве параметров, от которых также зависят коэффициенты задачи. Предложены алгоритмы решения задач, в том числе с использованием высокопроизводительных вычислительных систем.

In the paper we construct the adjoint problem for the explicit and implicit parabolic quazi-linear grid boundary-value problems with one spatial variable; the coefficients of the problems depend on the solution at the same time and earlier times. Dependence on the history of the solution is via the state vector; its evolution is described by the differential equation. Many models of diffusion mass transport are reduced to such boundary-value problems. Having solutions to the direct and adjoint problems, one can obtain the exact value of the gradient of a functional in the space of parameters the problem also depends on. We present solving algorithms, including the parallel one.

Рассматривается классическая для нелинейной динамики модель «брюсселятор», дополненная третьей переменной, играющей роль быстро диффундирующего ингибитора. Модель исследуется в одномерном случае в области параметров, где проявляются два типа диффузионной неустойчивости однородного стационарного состояния системы: волновая неустойчивость, приводящая к самопроизвольному формированию автоволн, и неустойчивость Тьюринга, приводящая к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур, или структур Тьюринга. Показано, что благодаря субкритическому характеру бифуркации Тьюринга взаимодействие двух неустойчивостей в данной системе приводит к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур еще до прохождения бифуркации Тьюринга. В ответ на различные случайные шумовые возмущения пространственно-однородного стационарного состояния в исследуемой параметрической области в окрестности точки двойной бифуркации в системе могут устанавливаться различные режимы: как чистые, состоящие только из стационарных или только автоволновых диссипативных структур, так и смешанные, при которых разные режимы проявляются в разных участках расчетного пространства. В рассматриваемой параметрической области система является мультистабильной и проявляет высокую чувствительность к начальным шумовым условиям, что приводит к размытию границ между качественно разными режимами. При этом даже в зоне доминирования смешанных режимов с преобладанием структур Тьюринга значительную вероятность имеет установление чистого автоволнового режима. В случае установившихся смешанных режимов достаточно сильное локальное возмущение в участке расчетного пространства, где проявляется автоволновой режим, может инициировать локальное формирование новых стационарных диссипативных структур. Локальное возмущение стационарного однородного состояния в исследуемой области параметрического пространства приводит к качественно схожей карте устоявшихся режимов, при этом зона доминирования чистых автоволновых режимов расширяется с увеличением амплитуды локального возмущения. В двумерном случае в системе не устанавливаются смешанные режимы. При эволюции системы в случае появления локальных структур Тьюринга под воздействием автоволнового режима со временем они заполняют все расчетное пространство.

A classical for nonlinear dynamics model, Brusselator, is considered, being augmented by addition of a third variable, which plays the role of a fast-diffusing inhibitor. The model is investigated in one-dimensional case in the parametric domain, where two types of diffusive instabilities of system’s homogeneous stationary state are manifested: wave instability, which leads to spontaneous formation of autowaves, and Turing instability, which leads to spontaneous formation of stationary dissipative structures, or Turing structures. It is shown that, due to the subcritical nature of Turing bifurcation, the interaction of two instabilities in this system results in spontaneous formation of stationary dissipative structures already before the passage of Turing bifurcation. In response to different perturbations of spatially uniform stationary state, different stable regimes are manifested in the vicinity of the double bifurcation point in the parametric region under study: both pure regimes, which consist of either stationary or autowave dissipative structures; and mixed regimes, in which different modes dominate in different areas of the computational space. In the considered region of the parametric space, the system is multistable and exhibits high sensitivity to initial noise conditions, which leads to blurring of the boundaries between qualitatively different regimes in the parametric region. At that, even in the area of dominance of mixed modes with prevalence of Turing structures, the establishment of a pure autowave regime has significant probability. In the case of stable mixed regimes, a sufficiently strong local perturbation in the area of the computational space, where autowave mode is manifested, can initiate local formation of new stationary dissipative structures. Local perturbation of the stationary homogeneous state in the parametric region under investidation leads to a qualitatively similar map of established modes, the zone of dominance of pure autowave regimes being expanded with the increase of local perturbation amplitude. In two-dimensional case, mixed regimes turn out to be only transient — upon the appearance of localized Turing structures under the influence of wave regime, they eventually occupy all available space.

Целью работы является исследование конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая создана на основе Z-схемы. Это исследование состоит в численном решении нескольких двумерных дифференциальных уравнений, моделирующих перенос несжимаемой среды.

Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направлении предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы. По той же причине в продольном к магнитному полю направлении могут возникать достаточно высокие скорости тепло- и массопереноса.

Актуальной задачей при ионосферном моделировании является исследование плазменных неустойчивостей различных масштабов, которые возникают прежде всего в полярной и экваториальной областях. При этом среднемасштабные неоднородности, имеющие характерные размеры 1–50 км, создают условия для развития мелкомасштабных неустойчивостей. Последние приводят к явлению F-рассеяния, которое существенно влияет на точность работы спутниковых систем позиционирования, а также других космических и наземных радиоэлектронных систем.

Используемые для одновременного моделирования таких разномасштабных процессов разностные схемы должны иметь высокое разрешение. Кроме того, эти разностные схемы должны быть, с одной стороны, достаточно точными, а с другой стороны — монотонными. Причиной таких противоречивых требований является то, что неустойчивости усиливают погрешности разностных схем, особенно погрешности дисперсионного типа. Подобная раскачка погрешностей при численном решении обычно приводит к нефизическим результатам.

При численном решении трехмерных математических моделей ионосферной плазмы используется следующая схема расщепления по физическим процессам: первый шаг расщепления осуществляет продольный перенос, второй шаг расщепления осуществляет поперечный перенос. Исследуемая в работе конечно-разностная схема второго порядка точности приближенно решает уравнения поперечного пере- носа. Эта схема строится с помощью нелинейной процедуры монотонизации Z-схемы, которая является одной из схем второго порядка точности. При этой монотонизации используется нелинейная коррекция по так называемым «косым разностям». «Косые разности» содержат узлы расчетной сетки, относящиеся к разным слоям времени.

Исследования проводились для двух случаев. В первом случае компоненты вектора переноса были знакопостоянны, во втором — знакопеременны в области моделирования. Численно получены диссипативные и дисперсионные характеристики схемы для различных видов ограничивающих функций.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы.

1. Для разрывного начального профиля лучшие свойства показал ограничитель SuperBee.

2. Для непрерывного начального профиля при больших пространственных шагах лучше ограничитель SuperBee, а при малых шагах лучше ограничитель Koren.

3. Для гладкого начального профиля лучшие результаты показал ограничитель Koren.

4. Гладкий ограничитель F показал результаты, аналогичные Koren.

5. Ограничители разного типа оставляют дисперсионные ошибки, при этом зависимости дисперсионных ошибок от параметров схемы имеют большую вариабельность и сложным образом зависят от параметров этой схемы.

6. Во всех расчетах численно подтверждена монотонность рассматриваемой разностной схемы. Для одномерного уравнения численно подтверждено свойство неувеличения вариации для всех указанных функций-ограничителей.

7. Построенная разностная схема при шагах по времени, не превышающих шаг Куранта, является монотонной и показывает хорошие характеристики точности для решений разных типов. При превышении шага Куранта схема остается устойчивой, но становится непригодной для задач неустойчивости, поскольку условия монотонности перестают в этом случае выполняться.

The purpose of the paper is a research of a 2nd order finite difference scheme based on the Z-scheme. This research is the numerical solution of several two-dimensional differential equations simulated the incompressible medium convection.

One of real tasks for similar equations solution is the numerical simulating of strongly non-stationary midscale processes in the Earth ionosphere. Because convection processes in ionospheric plasma are controlled by magnetic field, the plasma incompressibility condition is supposed across the magnetic field. For the same reason, there can be rather high velocities of heat and mass convection along the magnetic field.

Ionospheric simulation relevant task is the research of plasma instability of various scales which started in polar and equatorial regions first of all. At the same time the mid-scale irregularities having characteristic sizes 1–50 km create conditions for development of the small-scale instabilities. The last lead to the F-spread phenomenon which significantly influences the accuracy of positioning satellite systems work and also other space and ground-based radio-electronic systems.

The difference schemes used for simultaneous simulating of such multi-scale processes must to have high resolution. Besides, these difference schemes must to be high resolution on the one hand and monotonic on the other hand. The fact that instabilities strengthen errors of difference schemes, especially they strengthen errors of dispersion type is the reason of such contradictory requirements. The similar swing of errors usually results to nonphysical results at the numerical solution.

At the numerical solution of three-dimensional mathematical models of ionospheric plasma are used the following scheme of splitting on physical processes: the first step of splitting carries out convection along, the second step of splitting carries out convection across. The 2nd order finite difference scheme investigated in the paper solves approximately convection across equations. This scheme is constructed by a monotonized nonlinear procedure on base of the Z-scheme which is one of 2nd order schemes. At this monotonized procedure a nonlinear correction with so-called “oblique differences” is used. “Oblique differences” contain the grid nodes relating to different layers of time.

The researches were conducted for two cases. In the simulating field components of the convection vector had: 1) the constant sign; 2) the variable sign. Dissipative and dispersive characteristics of the scheme for different types of the limiting functions are in number received.

The results of the numerical experiments allow to draw the following conclusions.

1. For the discontinuous initial profile the best properties were shown by the SuperBee limiter.

2. For the continuous initial profile with the big spatial steps the SuperBee limiter is better, and at the small steps the Koren limiter is better.

3. For the smooth initial profile the best results were shown by the Koren limiter.

4. The smooth F limiter showed the results similar to Koren limiter.

5. Limiters of different type leave dispersive errors, at the same time dependences of dispersive errors on the scheme parameters have big variability and depend on the scheme parameters difficulty.

6. The monotony of the considered differential scheme is in number confirmed in all calculations. The property of variation non-increase for all specified functions limiters is in number confirmed for the onedimensional equation.

7. The constructed differential scheme at the steps on time which are not exceeding the Courant's step is monotonous and shows good exactness characteristics for different types solutions. At excess of the Courant's step the scheme remains steady, but becomes unsuitable for instability problems as monotony conditions not satisfied in this case.

Дискретно-элементная модель, основанная на представлении ударника и преграды совокупностью плотно упакованных частиц, применена к задаче внедрения металлических шаров в массивные преграды. Для описания взаимодействия между частицами использовался двухпараметрический потенциал Леннарда–Джонса. Компьютерная реализация модели осуществлена с использованием распараллеливания вычислений на графических процессорах, что позволило добиться высокого пространственно-временного разрешения. На основе сравнения результатов компьютерного моделирования с экспериментальными данными идентифицирована зависимость энергии межчастичной связи от динамической твердости материалов. Показано, что использование данного подхода позволяет достаточно точно описать процесс внедрения ударника в преграду в диапазоне скоростей взаимодействия 500–2500 м/c.

А discrete element model is applied to the problem of a spherical projectile penetration into a massive obstacle. According to the model both indenter and obstacle are described by a set of densely packed particles. To model the interaction between the particles the two-parameter Lennard–Jones potential is used. Computer implementation of the model has been carried out using parallelism on GPUs, which resulted in high spatial — temporal resolution. Based on the comparison of the results of numerical simulation with experimental data the binding energy has been identified as a function of the dynamic hardness of materials. It is shown that the use of this approach allows to accurately describe the penetration process in the range of projectile velocities 500–2500 m/c.

В статье описывается метод моделирования хода сукцессии лесных экосистем до климаксовой стадии с помощью построения марковской цепи. Показаны возможности метода устанавливать закономерности ходов сукцессии в собственных временах формирования лесных экосистем. В отличие от традиционных методов моделирования сукцессии на основе смен типов растительности, за переходные стадии разрабатываемой модели приняты варианты сформированности вертикальной структуры лесных сообществ и их насыщенности позднесукцессионными видами. Длительность сукцессионных ходов из любого состояния устанавливается не в абсолютных временны́х единицах, а рассчитывается по средним числам шагов до попадания в климакс в единой временнóй шкале. Выявлено свойство восстанавливающейся растительности, определенное как признак стохастической детерминированности хода автогенной сукцессии. Приведены свидетельства того, что ход и темп лесной сукцессии стохастически детерминированы внутренними особенностями пространственной и популяционной организации сообществ.

This article describes a method to model the course of forest ecosystem succession to the climax state by means of a Markov chain. In contrast to traditional methods of forest succession modelling based on changes of vegetation types, several variants of the vertical structure of communities formed by late-successional tree species are taken as the transition states of the model. Durations of succession courses from any stage are not set in absolute time units, but calculated as the average number of steps before reaching the climax in a unified time scale. The regularities of succession courses are revealed in the proper time of forest ecosystems shaping. The evidences are obtained that internal features of the spatial and population structure do stochastically determine the course and the pace of forest succession. The property of developing vegetation of forest communities is defined as an attribute of stochastic determinism in the course of autogenous succession.

В работе изложены основные моменты приближения среднего поля в применении к многокомпонентным стохастическим реакционно-диффузионным системам.

Представлена изучаемая модель химической реакции — брюсселятор. Записаны кинетические уравнения реакции, учитывающие диффузию промежуточных компонент и флуктуации концентраций исходных веществ. Флуктуации моделируются как случайные гауссовы однородные и изотропные в пространстве поля, с нулевым средним и пространственной корреляционной функцией, имеющей нетривиальную структуру. В работе рассматриваются значения параметров модели, соответствующие пространственно неоднородному упорядоченному состоянию в детерминированном случае.

В работе получено одноточечное двумерное нелинейное самосогласованное уравнение Фоккера–Планка в интерпретации Стратоновича в приближении среднего поля для пространственно распределенного стохастического брюсселятора, которое описывает динамику плотности распределения вероятностей значений концентраций компонент рассматриваемой системы. Найдены значения интенсивности внешнего шума, соответствующие двум типам решений уравнения Фоккера–Планка: решению с времен- ной бимодальностью и решению с многократным чередованием одно- и бимодального видов плотности вероятностей. Проведено численное исследование динамики плотности распределения вероятностей и изучено поведение во времени дисперсий, математических ожиданий и наиболее вероятных значений концентраций компонент при различных значениях интенсивности шума и бифуркационного параметра в указанных областях параметров задачи.

Показано, что, начиная с некоторого значения интенсивности внешнего шума, внутри упорядоченной фазы зарождается беспорядок, существующий конечное время, причем чем больше шум, тем больше его время жизни. Чем дальше от точки бифуркации, тем меньше шум, который его порождает, и тем уже область значений интенсивности шума, при которых система эволюционирует к упорядоченному, но уже новому статистически стационарному состоянию. При некотором втором значении интенсивности шума возникает перемежаемость упорядоченной и разупорядоченной фаз. Увеличение интенсивности шума приводит к тому, что частота перемежаемости увеличивается.

Таким образом, показано, что сценарием шумоиндуцированного перехода «порядок–беспорядок» в изучаемой системе является перемежаемость упорядоченной и разупорядоченной фаз.

We now review the main points of mean-field approximation (MFA) in its application to multicomponent stochastic reaction-diffusion systems.

We present the chemical reaction model under study — brusselator. We write the kinetic equations of reaction supplementing them with terms that describe the diffusion of the intermediate components and the fluctuations of the concentrations of the initial products. We simulate the fluctuations as random Gaussian homogeneous and spatially isotropic fields with zero means and spatial correlation functions with a non-trivial structure. The model parameter values correspond to a spatially-inhomogeneous ordered state in the deterministic case.

In the MFA we derive single-site two-dimensional nonlinear self-consistent Fokker–Planck equation in the Stratonovich's interpretation for spatially extended stochastic brusselator, which describes the dynamics of probability distribution density of component concentration values of the system under consideration. We find the noise intensity values appropriate to two types of Fokker–Planck equation solutions: solution with transient bimodality and solution with the multiple alternation of unimodal and bimodal types of probability density. We study numerically the probability density dynamics and time behavior of variances, expectations, and most probable values of component concentrations at various noise intensity values and the bifurcation parameter in the specified region of the problem parameters.

Beginning from some value of external noise intensity inside the ordered phase disorder originates existing for a finite time, and the higher the noise level, the longer this disorder “embryo” lives. The farther away from the bifurcation point, the lower the noise that generates it and the narrower the range of noise intensity values at which the system evolves to the ordered, but already a new statistically steady state. At some second noise intensity value the intermittency of the ordered and disordered phases occurs. The increasing noise intensity leads to the fact that the order and disorder alternate increasingly.

Thus, the scenario of the noise induced order–disorder transition in the system under study consists in the intermittency of the ordered and disordered phases.

В последние десятилетия важное значение приобретает разработка методов повышения эффективности извлечения углеводородов в месторождениях с нетрадиционными запасами, содержащими в больших количествах газовый конденсат. Это делает актуальным развитие методов математического моделирования, реалистично описывающих процессы фильтрации газоконденсатной смеси в пористой среде.

В данной работе рассматривается математическая модель, описывающая динамику изменения давления, скорости и концентрации компонент двухкомпонентной двухфазовой смеси, поступающей в лабораторную модель пласта, заполненную пористым веществом с известными физико-химическими свойствами. Математическая модель описывается системой нелинейных пространственно-одномерных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями. Лабораторные эксперименты показывают, что в течение конечного времени система стабилизируется, что дает основание перейти к стационарной постановке задачи.

Численное решение сформулированной системы обыкновенных дифференциальных уравнений реализовано в среде Maple на основе метода Рунге–Кутты с автоматическим выбором шага. Показано, что полученные на этой основе физические параметры двухкомпонентной газоконденсатной смеси из метана и н-бутана, характеризующие моделируемую систему в режиме стабилизации, хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

Это подтверждает реалистичность выбранного подхода и обоснованность его дальнейшего развития и применения для компьютерного моделирования неравновесных физических процессов в газоконденсатных смесях в пористой среде с целью выработки в перспективе практических рекомендаций по увеличению извлекаемости углеводородного газоконденсата из природных месторождений. В работе представлена математическая постановка системы нелинейных уравнений в частных производных и соответствующей стационарной задачи, описан метод численного исследования, обсуждаются полученные численные результаты в сравнении с экспериментальными данными.

In the last decades, the development of methods for increasing the efficiency of hydrocarbon extraction in fields with unconventional reserves containing large amounts of gas condensate is of great importance. This makes important the development of methods of mathematical modeling that realistically describe physical processes in a gas-condensate mixture in a porous medium.

In the paper, a mathematical model which describes the dynamics of the pressure, velocity and concentration of the components of a two-component two-phase mixture entering a laboratory model of plast filled with a porous substance with known physicochemical properties is considered. The mathematical model is based on a system of nonlinear spatially one-dimensional partial differential equations with the corresponding initial and boundary conditions. Laboratory experiments show that during a finite time the system stabilizes, what gives a basis to proceed to the stationary formulation of the problem.

The numerical solution of the formulated system of ordinary differential equations is realized in the Maple environment on the basis of the Runge–Kutta procedure. It is shown that the physical parameters of the gascondensate mixture, which characterize the modeled system in the stabilization regime, obtained on this basis, are in good agreement with the available experimental data. This confirms the correctness of the chosen approach and the validity of its further application and development for computer modeling of physical processes in gas-condensate mixtures in a porous medium. The paper presents a mathematical formulation of the system of partial differential equations and of respective system stationary equations, describes the numerical approach, and discusses the numerical results obtained in comparison with experimental data.