All issues

Эпидемии серьезно дестабилизируют экономику, снижая производительность, ослабляя потребительскую активность и перегружая общественные ресурсы, что часто приводит к экономическим кризисам. Пандемия COVID-19 продемонстрировала ключевую роль нематериальных мер, таких как карантин, в сдерживании распространения инфекционных заболеваний. Данное исследование изучает, как развитие эпидемии и введение карантинных мер влияют на экономическое благополучие населения. С помощью компартментальных моделей на основе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) анализируется взаимосвязь между динамикой заболевания и экономическими последствиями, особенно фокусируясь на том, как различные строгости карантина воздействуют как на распространение болезни, так и на благосостояние населения. Результаты показывают, что эпидемии наносят значительный экономический ущерб, однако своевременные и строгие карантинные меры могут снизить нагрузку на систему здравоохранения, резко уменьшая пик заражений и замедляя развитие эпидемии. Тем не менее, стратегически продуманное ослабление карантина не менее важно для предотвращения повторных вспышек. Исследование выявляет ключевые эпидемиологические пороговые значения, такие как скорость передачи, уровень выздоровления и базовое репродуктивное число $(\mathfrak{R}_0)$, которые определяют эффективность карантина. Аналитически определяется оптимальная доля изолированных лиц, необходимая для минимизации общего числа заражений в условиях постоянного иммунитета. С экономической точки зрения, влияние карантина оценивается через динамику благосостояния населения: показано, что экономические последствия зависят от доли изолированных, но сохраняющих экономическую активность граждан. Чем выше эта доля, тем лучше сохраняется благосостояние даже при фиксированных эпидемиологических параметрах. Эти выводы предоставляют властям практические рекомендации для разработки сбалансированных карантинных стратегий, способных сдерживать распространение болезней и одновременно защищать экономическую стабильность в будущих кризисах.

Epidemics severely destabilize economies by reducing productivity, weakening consumer spending, and overwhelming public infrastructure, often culminating in economic recessions. The COVID-19 pandemic underscored the critical role of nonpharmaceutical interventions, such as lockdowns, in containing infectious disease transmission. This study investigates how the progression of epidemics and the implementation of lockdown policies shape the economic well-being of populations. By integrating compartmental ordinary differential equation (ODE) models, the research analyzes the interplay between epidemic dynamics and economic outcomes, particularly focusing on how varying lockdown intensities influence both disease spread and population wealth. Findings reveal that epidemics inflict significant economic damage, but timely and stringent lockdowns can mitigate healthcare system overload by sharply reducing infection peaks and delaying the epidemic’s trajectory. However, carefully timed lockdown relaxation is equally vital to prevent resurgent outbreaks. The study identifies key epidemiological thresholds—such as transmission rates, recovery rates, and the basic reproduction number $(\mathfrak{R}0)$ — that determine the effectiveness of lockdowns. Analytically, it pinpoints the optimal proportion of isolated individuals required to minimize total infections in scenarios where permanent immunity is assumed. Economically, the analysis quantifies lockdown impacts by tracking population wealth, demonstrating that economic outcomes depend heavily on the fraction of isolated individuals who remain economically productive. Higher proportions of productive individuals during lockdowns correlate with better wealth retention, even under fixed epidemic conditions. These insights equip policymakers with actionable frameworks to design balanced lockdown strategies that curb disease spread while safeguarding economic stability during future health crises.

Обнаружено, что вода, предварительно активированная векторным потенциалом, изменяет подвижность внесенных в нее инфузорий, скорость сбраживания сахара дрожжами и свою привлекательность для питья мышей. Показано также изменение некоторых физических параметров после активации воды: УФ-спектра поглощения и состояния примеси кремнезема в воде. Высказано предположение, что вода является первичной мишенью при воздействии слабых электромагнитных полей на биологические объекты.

It was found that water preliminary activated by a vector potential changes mobility of infusoria, rate of sugar fermentation in yeast cells and is more attractive for drinking for mice. Modifications of certain physical characteristics of water (UV absorbtions spectrum and state of a silica admixture) was also discovered. It was supposed that water is the primary target for weak electro-magnetic fields impact on biological objects.

В работе исследуется стохастическая динамика двумерной модели Хиндмарш–Розе в параметрической зоне сосуществования устойчивых равновесий и предельных циклов. Изучается явление индуцированных шумом переходов между аттракторами. Под воздействием случайных возмущений равновесные и периодические режимы объединяются в пачечные: система демонстрирует чередование малых колебаний около равновесия с осцилляциями больших амплитуд. Проводится анализ этого эффекта с помощью техники функций стохастической чувствительности и предлагается метод оценки критических значений интенсивности шума.

We study the stochastic dynamics of the two-dimensional Hindmarsh–Rose model in the parametrical zone of coexisting stable equilibria and limit cycles. The phenomenon of noise-induced transitions between the attractors is investigated. Under the random disturbances, equilibrium and periodic regimes combine in bursting regime: the system demonstrates an alternation of small fluctuations near the equilibrium with high amplitude oscillations. This effect is analysed using the stochastic sensitivity function technique and a method of estimation of critical values for noise intensity is proposed.

В настоящей работе представлены результаты кинетического моделирования индукции и репарации двунитевых разрывов ДНК, а также формирования скоплений (фокусов) фосфорилированного гистона H2AX ($\gamma$-H2AX) и белка Rad 51 в местах образования двунитевых разрывов, индуцированных воздействием редкоионизирующего излучения с различной мощностью и продолжительностью, в первичных фибробластах человека. Модель описывает основные механизмы репарации двунитевых разрывов: НГСК (негомологичное соединение концов) и ГР (гомологическая рекомбинация) и учитывает взаимодействия ряда белков (ДНК-ПКкс, ATM, Ku70/80, XRCC1, XRCC4, Rad51, ФРА и др.), участвующих в репарации двунитевых разрывов ДНК, на основе закона действующих масс и кинетики Михаэлиса-Ментен. Для тренировки и подтверждения статистической достоверности модели были использованы литературные данные по кинетике репарации двунитевых разрывов, а также данные по кинетике формирования и деградации фокусов белков репарации $\gamma$-H2AX и Rad51 в местах репарации двунитевых разрывов ДНК после облучения с различной мощностью дозы, полученные ранее нашим коллективом.

Here we demonstrate the results of kinetic modeilng of DNA double-strand breaks induction and repair and phosphorilated histone H2AX ($\gamma$-H2AX) and Rad51 foci formation in primary human fibroblasts exposed to low-LET ionizing radiation (IR). The model describes two major paths of DNA double-strand breaks repair: non-homologous end joining (NHEJ) and homologous recombination (HR) and considers interactions between DNA and several repair proteins (DNA-PKcs, ATM, Ku70/80, XRCC1, XRCC4, Rad51, RPA, etc.) using mass action equations and Michaelis–Menten kinetics. Experimental data on DNA rejoining kinetics and $\gamma$-H2AX and Rad51 foci formation in vicinity of double strand breaks in primary human fibroblasts exposed to low-LET IR with various dose rates and exposure times was utilized for training and statistical validation of the model.

В работе рассматривается модель «хищник – жертва» с учетом конкуренции жертв, хищников за отличные от жертвы ресурсы и их взаимодействия, описываемого трофической функцией Холлинга второго типа. Проводится анализ аттракторов модели в зависимости от коэффициента конкуренции хищников. В детерминированном случае данная модель демонстрирует сложное поведение, связанное с локальными (Андронова–Хопфа и седлоузловая) и глобальной (рождение цикла из петли сепаратрисы) бифуркациями. Важной особенностью этой модели является исчезновение устойчивого цикла вследствие седлоузловой бифуркации. В силу наличия внутривидовой конкуренции в обеих популяциях возникают параметрические зоны моно- и бистабильности. В зоне параметров бистабильности система имеет сосуществующие аттракторы: два равновесия или цикл и равновесие. Проводится исследование геометрического расположения аттракторов и сепаратрис, разделяющих их бассейны притяжения. Понимание взаимного расположения аттракторов и сепаратрис, в совокупности с чувствительностью аттракторов к случайным воздействиям, является важной составляющей в изучении стохастических явлений. В рассматриваемой модели сочетание нелинейности и случайных возмущений приводит к появлению новых феноменов, не имеющих аналогов в детерминированном случае, таких как индуцированные шумом переходы через сепаратрису, стохастическая возбудимость и генерация осцилляций смешанных мод. Для параметрического исследования этих феноменов используются аппарат функции стохастической чувствительности и метод доверительных областей, эффективность которых проверялась на широком круге моделей нелинейной динамики. В зонах бистабильности проводится исследование деформации равновесного или осцилляционного режимов под действием шума. Геометрическим критерием возникновения такого рода качественных изменений служит пересечение доверительных областей с сепаратрисой детерминированной модели. В зоне моностабильности изучаются феномены резкого изменения численности и вымирания одной или обеих популяций при малых изменениях внешних условий. С помощью аппарата доверительных областей решается задача оценки близости стохастической популяции к опасным границам, при достижении которых сосуществование популяций разрушается и наблюдается их вымирание.

We consider “predator – prey” model taking into account the competition of prey, predator for different from the prey resources, and their interaction described by the second type Holling trophic function. An analysis of the attractors is carried out depending on the coefficient of competition of predators. In the deterministic case, this model demonstrates the complex behavior associated with the local (Andronov –Hopf and saddlenode) and global (birth of a cycle from a separatrix loop) bifurcations. An important feature of this model is the disappearance of a stable cycle due to a saddle-node bifurcation. As a result of the presence of competition in both populations, parametric zones of mono- and bistability are observed. In parametric zones of bistability the system has either coexisting two equilibria or a cycle and equilibrium. Here, we investigate the geometrical arrangement of attractors and separatrices, which is the boundary of basins of attraction. Such a study is an important component in understanding of stochastic phenomena. In this model, the combination of the nonlinearity and random perturbations leads to the appearance of new phenomena with no analogues in the deterministic case, such as noise-induced transitions through the separatrix, stochastic excitability, and generation of mixed-mode oscillations. For the parametric study of these phenomena, we use the stochastic sensitivity function technique and the confidence domain method. In the bistability zones, we study the deformations of the equilibrium or oscillation regimes under stochastic perturbation. The geometric criterion for the occurrence of such qualitative changes is the intersection of confidence domains and the separatrix of the deterministic model. In the zone of monostability, we evolve the phenomena of explosive change in the size of population as well as extinction of one or both populations with minor changes in external conditions. With the help of the confidence domains method, we solve the problem of estimating the proximity of a stochastic population to dangerous boundaries, upon reaching which the coexistence of populations is destroyed and their extinction is observed.

В работе представлена модель типа «хищник–жертва», описывающая пространственно-временную динамику планктонного сообщества с учетом биогенных элементов. Система описывается уравнениями типа «реакция–диффузия–адвекция» в одномерной области, соответствующей вертикальному столбу воды в поверхностном слое. Адвективный член уравнения хищника описывает вертикальные перемещения зоопланктона в направлении градиента фитопланктона. Исследование посвящено определению условий возникновения пространственно-неоднородных структур, генерируемых системой под воздействием этих перемещений (таксиса). В предположении равных коэффициентов диффузии всех компонент модели анализируется неустойчивость системы в окрестности гомогенного равновесия к малым пространственно-неоднородным возмущениям.

В результате линейного анализа получены условия для возникновения неустойчивости Тьюринга и волновой неустойчивости. Определено, что соотношения между параметрами локальной кинетики системы определяют возможность потери устойчивости системой и тип неустойчивости. В качестве бифуркационного параметра в исследовании рассматривается скорость таксиса. Показано, что при малых значениях этого параметра система устойчива, а начиная с некоторого критического значения устойчивость может теряться, и система способна генерировать либо стационарные пространственно-неоднородные структуры, либо структуры, неоднородные и по времени, и по пространству. Полученные результаты согласуются с ранними исследованиями подобных двухкомпонентных моделей.

В работе получен интересный результат, указывающий, что бесконечное увеличение скорости таксиса не будет существенно менять вид этих структур. Выявлено, что существует предел величины волнового числа, соответствующего самой неустойчивой моде. Это значение и определяет вид пространственной структуры. В подтверждение полученных результатов в работе приведены варианты пространственно-временной динамики компонент модели в случае неустойчивости Тьюринга и волновой неустойчивости.

The paper deals with a prey-predator model, which describes the spatiotemporal dynamics of plankton community and the nutrients. The system is described by reaction-diffusion-advection equations in a onedimensional vertical column of water in the surface layer. Advective term of the predator equation represents the vertical movements of zooplankton with velocity, which is assumed to be proportional to the gradient of phytoplankton density. This study aimed to determine the conditions under which these movements (taxis) lead to the spatially heterogeneous structures generated by the system. Assuming diffusion coefficients of all model components to be equal the instability of the system in the vicinity of stationary homogeneous state with respect to small inhomogeneous perturbations is analyzed.

Necessary conditions for the flow-induced instability were obtained through linear stability analysis. Depending on the local kinetics parameters, increasing the taxis rate leads to Turing or wave instability. This fact is in good agreement with conditions for the emergence of spatial and spatiotemporal patterns in a minimal phytoplankton–zooplankton model after flow-induced instabilities derived by other authors. This mechanism of generating patchiness is more general than the Turing mechanism, which depends on strong conditions on the diffusion coefficients.

While the taxis exceeding a certain critical value, the wave number corresponding to the fastest growing mode remains unchanged. This value determines the type of spatial structure. In support of obtained results, the paper presents the spatiotemporal dynamics of the model components demonstrating Turing-type pattern and standing wave pattern.

В статье рассмотрена задача построения равновесий Нэша и Штакельберга при исследовании динамической системы контроля качества речных вод. Учитывается влияние субъектов управления двух уровней: одного ведущего и нескольких ведомых. В качестве ведущего (супервайзера) выступает природоохранный орган, а в роли ведомых (агентов) — промышленные предприятия. Основной целью супервайзера является поддержание допустимой концентрации загрязняющих веществ в речной воде. Добиться этого он может не единственным образом, поэтому, кроме того, супервайзер стремится к оптимизации своего целевого функционала. Супервайзер воздействует на агентов, назначая величину платы за сброс загрязнений в водоток. Плата за загрязнение от агента поступает в федеральный и местные бюджеты, затем распределяется на общих основаниях. Таким образом, плата увеличивает бюджет супервайзера, что и отражено в его целевом функционале. Причем плата за сброс загрязнений начисляется за количество и/или качество сброшенных загрязнений. К сожалению, для большинства систем контроля качества речных вод такая практика неэффективна из-за малого размера платы за сброс загрязнений. В статье и решается задача определения оптимального размера платы за сброс загрязнений, который позволяет поддерживать качество речной воды в заданном диапазоне.

Агенты преследуют только свои эгоистические цели, выражаемые их целевыми функционалами, и не обращают внимания на состояние речной системы. Управление агента можно рассматривать как часть стока, которую агент очищает, а управление супервайзера — как назначаемый размер платы за сброс оставшихся загрязнений в водоток.

Для описания изменения концентраций загрязняющих веществ в речной системе используется обыкновенное дифференциальное уравнение. Проблема поддержания заданного качества речной воды в рамках предложенной модели исследуется как с точки зрения агентов, так и с точки зрения супервайзера. В первом случае возникает дифференциальная игра в нормальной форме, в которой строится равновесие Нэша, во втором — иерархическая дифференциальная игра, разыгрываемая в соответствии с информационным регламентом игры Штакельберга. Указаны алгоритмы численного построения равновесий Нэша и Штакельберга для широкого класса входных функций. При построении равновесия Нэша возникает необходимость решения задач оптимального управления. Решение этих задач проводится в соответствии с принципом максимума Понтрягина. Строится функция Гамильтона, полученная система дифференциальных уравнений решается численно методом стрельбы и методом конечных разностей. Проведенные численные расчеты показывают, что низкий размер платы за единицу сброшенных в водоток загрязнений приводит к росту концентрации загрязняющих веществ в водотоке, а высокий — к банкротству предприятий. Это приводит к задаче нахождения оптимальной величины платы за сброс загрязнений, то есть к рассмотрению проблемы с точки зрения супервайзера. В этом случае возникает иерархическая дифференциальная игра супервайзера и агентов, в которой ищется равновесие Штакельберга. Возникает задача максимизации целевого функционала супервайзера с учетом управлений агентов, образующих равновесие Нэша. При нахождении оптимальных управлений супервайзера используется метод качественно репрезентативных сценариев, а для агентов — принцип максимума Понтрягина. Проведены численные эксперименты, найден коэффициент системной согласованности. Полученные численные результаты позволяют сделать вывод, что система контроля качества речных вод плохо системно согласована и для достижения стабильного развития системы необходимо иерархическое управление.

In this paper we consider mathematical model to control water quality. We study a system with two-level hierarchy: one environmental organization (supervisor) at the top level and a few industrial enterprises (agents) at the lower level. The main goal of the supervisor is to keep water pollution level below certain value, while enterprises pollute water, as a side effect of the manufacturing process. Supervisor achieves its goal by charging a penalty for enterprises. On the other hand, enterprises choose how much to purify their wastewater to maximize their income.The fee increases the budget of the supervisor. Moreover, effulent fees are charged for the quantity and/or quality of the discharged pollution. Unfortunately, in practice, such charges are ineffective due to the insufficient tax size. The article solves the problem of determining the optimal size of the charge for pollution discharge, which allows maintaining the quality of river water in the rear range.

We describe system members goals with target functionals, and describe water pollution level and enterprises state as system of ordinary differential equations. We consider the problem from both supervisor and enterprises sides. From agents’ point a normal-form game arises, where we search for Nash equilibrium and for the supervisor, we search for Stackelberg equilibrium. We propose numerical algorithms for finding both Nash and Stackelberg equilibrium. When we construct Nash equilibrium, we solve optimal control problem using Pontryagin’s maximum principle. We construct Hamilton’s function and solve corresponding system of partial differential equations with shooting method and finite difference method. Numerical calculations show that the low penalty for enterprises results in increasing pollution level, when relatively high penalty can result in enterprises bankruptcy. This leads to the problem of choosing optimal penalty, which requires considering problem from the supervisor point. In that case we use the method of qualitatively representative scenarios for supervisor and Pontryagin’s maximum principle for agents to find optimal control for the system. At last, we compute system consistency ratio and test algorithms for different data. The results show that a hierarchical control is required to provide system stability.

При заболеваниях человека в результате бактериального заражения для наблюдения за ходом болезни используются различные характеристики организма. В настоящее время одним из таких индикаторов принимается динамика концентраций цитокинов, вырабатываемых в основном клетками иммунной системы. В организме человека и многих видов животных присутствуют эти низкомолекулярные белки. Исследование цитокинов имеет важное значение для интерпретации нарушений функциональной состоятельности иммунной системы организма, оценки степени тяжести, мониторинга эффективности проводимой терапии, прогноза течения и исхода лечения. При заболевании возникает цитокиновый отклик организма, указывающий на характеристики течения болезни. Для исследования закономерностей такой индикации проведены эксперименты на лабораторных мышах. В работе анализируются экспериментальные данные о развитии пневмонии и лечении несколькими препаратами при бактериальном заражении мышей. В качестве препаратов использовались иммуномодулирующие препараты «Ронколейкин», «Лейкинферон» и «Тинростим». Данные представлены динамикой концентраций двух видов цитокинов в легочной ткани и крови животных. Многосторонний статистический и нестатистический анализ данных позволил выявить общие закономерности изменения концентраций цитокинов в организме и связать их со свойствами лечебных препаратов. Исследуемые цитокины «Интерлейкин-10» (ИЛ-10) и «Интерферон Гамма» (ИФН$\gamma$) у зараженных мышей отклоняются от нормального уровня интактных животных, указывая на развитие заболевания. Изменения концентраций цитокинов в группах лечимых мышей сравниваются с этими показателями в группе здоровых (не зараженных) мышей и группе зараженных нелеченных особей. Сравнение делается по группам особей, так как концентрации цитокинов индивидуальны и значительно отличаются у разных особей. В этих условиях только группы особей могут указать на закономерности процессов течения болезни. Эти группы мышей наблюдались в течение двух недель. Динамика концентраций цитокинов указывает на характеристики течения болезни и эффективность применяемых лечебных препаратов. Воздействие лечебного препарата на организмы отслеживается по расположению указанных групп особей в пространстве концентраций цитокинов. В этом пространстве используется расстояние Хаусдорфа между множествами векторов концентраций цитокинов у особей, основанное на евклидовом расстоянии между элементами этих множеств. Выяснено, что препараты «Ронколейкин» и «Лейкинферон» оказывают в целом сходное между собой и отличное от препарата «Тинростим» воздействие на течение болезни.

When person`s diseases is result of bacterial infection, various characteristics of the organism are used for observation the course of the disease. Currently, one of these indicators is dynamics of cytokine concentrations are produced, mainly by cells of the immune system. There are many types of these low molecular weight proteins in human body and many species of animals. The study of cytokines is important for the interpretation of functional disorders of the body's immune system, assessment of the severity, monitoring the effectiveness of therapy, predicting of the course and outcome of treatment. Cytokine response of the body indicating characteristics of course of disease. For research regularities of such indication, experiments were conducted on laboratory mice. Experimental data are analyzed on the development of pneumonia and treatment with several drugs for bacterial infection of mice. As drugs used immunomodulatory drugs “Roncoleukin”, “Leikinferon” and “Tinrostim”. The data are presented by two types cytokines` concentration in lung tissue and animal blood. Multy-sided statistical ana non statistical analysis of the data allowed us to find common patterns of changes in the “cytokine profile” of the body and to link them with the properties of therapeutic preparations. The studies cytokine “Interleukin-10” (IL-10) and “Interferon Gamma” (IFN$\gamma$) in infected mice deviate from the normal level of infact animals indicating the development of the disease. Changes in cytokine concentrations in groups of treated mice are compared with those in a group of healthy (not infected) mice and a group of infected untreated mice. The comparison is made for groups of individuals, since the concentrations of cytokines are individual and differ significantly in different individuals. Under these conditions, only groups of individuals can indicate the regularities of the processes of the course of the disease. These groups of mice were being observed for two weeks. The dynamics of cytokine concentrations indicates characteristics of the disease course and efficiency of used therapeutic drugs. The effect of a medicinal product on organisms is monitored by the location of these groups of individuals in the space of cytokine concentrations. The Hausdorff distance between the sets of vectors of cytokine concentrations of individuals is used in this space. This is based on the Euclidean distance between the elements of these sets. It was found that the drug “Roncoleukin” and “Leukinferon” have a generally similar and different from the drug “Tinrostim” effect on the course of the disease.

В рамках актуальной проблемы кометно-астероидной опасности численно исследуются физические процессы, вызывающие разрушение и фрагментацию метеорных тел в атмосфере Земли. На основе разработанной физико-математической модели, определяющей движение космических объектов естественного происхождения в атмосфере и их взаимодействия с ней, рассмотрено падение трех одних из самых крупных и по некоторым показателям необычных болидов в истории метеоритики: Тунгусского, Витимского и Челябинского. Их необычность заключается в отсутствии каких-либо материальных метеоритных останков и кратеров в районе предполагаемого места падения для двух первых тел и необнаружении, как предполагается, основного материнского тела для третьего тела (из-за слишком малого количества массы выпавших осколков по сравнению с оценочной массой). Изучено воздействие аэродинамических нагрузок и тепловых потоков на эти тела, приводящее к интенсивному поверхностному уносу массы и возможной фрагментации. Скорости изучаемых небесных тел, изменение их масс определяются из модернизированной системы уравнений теории метеорной физики. Важный фактор, который здесь учитывается, — это переменность параметра уноса массы метеорита под действием тепловых потоков (радиационных и конвективных) вдоль траектории полета. Процесс фрагментации болидов в настоящей работе рассматривается в рамках модели прогрессивного дробления на основе статистической теории прочности с учетом влияния масштабного фактора на предел прочности объектов. Выявлены явления и эффекты, возникающие при различных кинематических и физических параметрах каждого из этих тел. В частности, изменение баллистики их полета в более плотных слоях атмосферы, заключающееся в переходе от режима падения к режиму подъема. При этом возможна реализация следующих сценариев события: первый— возврат тела обратно в космическое пространство при его остаточной скорости, большей второй космической; второй — переход тела на орбиту спутника Земли при остаточной скорости, большей первой космической; третий — при меньших значениях остаточной скорости тела возвращение его через некоторое время к режиму падения и выпадение на значительном расстоянии от предполагаемого места падения. Именно реализация одного из этих трех сценариев события объясняет, например, отсутствие материальных следов, в том числе и кратеров в случае Тунгусского болида в окрестности вывала леса. Предположения о возможности таких сценариев события высказывались и ранее другими авторами, а в настоящей работе их реализация подтверждена результатами численных расчетов.

Within the framework of the actual problem of comet-asteroid danger, the physical processes causing the destruction and fragmentation of meteor bodies in the Earth’s atmosphere are numerically investigated. Based on the developed physicalmathematical models that determines the movements of space objects of natural origin in the atmosphere and their interaction with it, the fall of three, one of the largest and by some parameters unusual bolides in the history of meteoritics, are considered: Tunguska, Vitim and Chelyabinsk. Their singularity lies in the absence of any material meteorite remains and craters in the area of the alleged crash site for the first two bodies and the non-detection, as it is assumed, of the main mother body for the third body (due to the too small amount of mass of the fallen fragments compared to the estimated mass). The effect of aerodynamic loads and heat flows on these bodies are studied, which leads to intensive surface mass loss and possible mechanical destruction. The velocities of the studied celestial bodies and the change in their masses are determined from the modernized system of equations of the theory of meteoric physics. An important factor that is taken into account here is the variability of the meteorite mass entrainment parameter under the action of heat fluxes (radiation and convective) along the flight path. The process of fragmentation of meteoroids in this paper is considered within the framework of a progressive crushing model based on the statistical theory of strength, taking into account the influence of the scale factor on the ultimate strength of objects. The phenomena and effects arising at various kinematic and physical parameters of each of these bodies are revealed. In particular, the change in the ballistics of their flight in the denser layers of the atmosphere, consisting in the transition from the fall mode to the ascent mode. At the same time, the following scenarios of the event can be realized: 1) the return of the body back to outer space at its residual velocity greater than the second cosmic one; 2) the transition of the body to the orbit of the Earth satellite at a residual velocity greater than the first cosmic one; 3) at lower values of the residual velocity of the body, its return after some time to the fall mode and falling out at a considerable distance from the intended crash site. It is the implementation of one of these three scenarios of the event that explains, for example, the absence of material traces, including craters, in the case of the Tunguska bolide in the vicinity of the forest collapse. Assumptions about the possibility of such scenarios have been made earlier by other authors, and in this paper their implementation is confirmed by the results of numerical calculations.

В первом разделе работы предложено определение функции представления (восприятия) о показателях, являющихся компонентами субъективной картины мира индивидов. Используя основной психофизический закон в форме С. Стивенса и опираясь на гипотезы социализации, рациональности, индивидуального выбора, комплексности информационных воздействий, динамики представлений и восприятий, доступности, получены формальные зависимости, позволяющие вычислять функции представления (восприятия) для показателей вероятностного (известна функция распределения или субъективная вероятность) и интервального типов. Во втором и третьем разделах выполнена оценка параметров функции представления по данным опросов населения США, связанных с войной в Корее, во Вьетнаме и в Ираке.

In the first section of the paper a definition of presentation (perception) functions — components of individual’s subjective view of the world — are proposed. Using the basic psychophysical law formulated by S. Stevens, and relying on the hypotheses of socialization, rationality, individual choice, complexity of informational influences, dynamics of ideas and perceptions, and accessibility, formal dependence was derived allowing to calculate the function of presentation (perception) for probabilistic indicators (with known distribution function or subjective probability) and of interval type. In the second and third sections parameters of the presentation function according to surveys of the U.S. population related to the war in Korea, Vietnam, and Iraq are estimated.