All issues

Во второй части статьи, носящей более прикладной характер, завершается рассмотрение трех классических уравнений математической физики (Лапласа, диффузии и волнового) простейшими численными схемами в формулировке клеточных автоматов (КА). На нескольких примерах, относящихся к гексагональной сетке, показана специфика такого решения и подтверждаются выводы первой части, в частности о выполнении свойства консервативности и эффекте избыточной гексагональной симметрии (ИГС).

При решении задачи Неймана для колебаний круглой мембраны показана критичность требований к дискретизации условий для граничных КА-ячеек. Для квазиодномерной задачи «диффузия в полупространство» сравниваются КА-расчеты, проводимые по простой схеме и с использованием обобщенного блочно-поворотного механизма Марголуса. При решении смешанной задачи для классического случая колебания круглой мембраны с закрепленными концами показано, что одновременное применение метода Кранка–Николсон и учет членов второго порядка позволяет избежать ИГС-эффекта, наблюдаемого нами для более простой схемы. С точки зрения КА центральное место занимает уравнение диффузии, на пути решения которого на бесконечных временах находится решение краевой задачи для уравнения Лапласа, а путем введения вектор-переменной становится разрешимо волновое уравнение (по крайней мере скалярное).

На примере центрально-симметричной задачи Неймана продемонстрирован новый способ введения пространственных производных в postfix-процедуру КА, отражающую временные производные (основанием является уравнение непрерывности). Для случая центральной симметрии эмпирически найдено значение константы, связывающее эти производные. Показано, что препятствием к применению КА-методов для таких задач являются низкая скорость сходимости и точность, лимитируемая точностью дискретизации границ, а не формальной точностью метода (4-й порядок); наша рекомендация состоит в использовании техники multigrid. При решении квазиодномерного уравнения диффузии (двумерным КА) показано, что блочно-поворотный КА (по механизму Марголуса) более эффективен, чем простой КА.

The second part of paper is devoted to final study of three classic partial differential equations (Laplace, Diffusion and Wave) solution using simple numerical methods in terms of Cellular Automata. Specificity of this solution has been shown by different examples, which are related to the hexagonal grid. Also the next statements that are mentioned in the first part have been proved: the matter conservation law and the offensive effect of excessive hexagonal symmetry.

From the point of CA view diffusion equation is the most important. While solving of diffusion equation at the infinite time interval we can find solution of boundary value problem of Laplace equation and if we introduce vector-variable we will solve wave equation (at least, for scalar). The critical requirement for the sampling of the boundary conditions for CA-cells has been shown during the solving of problem of circular membrane vibrations with Neumann boundary conditions. CA-calculations using the simple scheme and Margolus rotary-block mechanism were compared for the quasione-dimensional problem “diffusion in the half-space”. During the solving of mixed task of circular membrane vibration with the fixed ends in a classical case it has been shown that the simultaneous application of the Crank–Nicholson method and taking into account of the second-order terms is allowed to avoid the effect of excessive hexagonal symmetry that was studied for a simple scheme.

By the example of the centrally symmetric Neumann problem a new method of spatial derivatives introducing into the postfix CA procedure, which is reflecting the time derivatives (on the base of the continuity equation) was demonstrated. The value of the constant that is related to these derivatives has been empirically found in the case of central symmetry. The low rate of convergence and accuracy that limited within the boundaries of the sample, in contrary to the formal precision of the method (4-th order), prevents the using of the CAmethods for such problems. We recommend using multigrid method. During the solving of the quasi-diffusion equations (two-dimensional CA) it was showing that the rotary-block mechanism of CA (Margolus mechanism) is more effective than simple CA.

Проведен анализ отечественных публикаций за 2013–2017 гг. включительно, посвященных клеточным автоматам (КА). Большая их часть связана с математическим моделированием. Наукометрическими графиками за 1990–2017 гг. доказана актуальность тематики. Обзор позволяет выделить персоналии и научные направления/школы в современной российской науке, выявить их оригинальность или вторичность по сравнению с мировым уровнем. За счет выбора национальной, а не мировой, базы публикаций обзор претендует на полноту (из 526 просмотренных ссылок научным значением обладают около 200).

В приложении к обзору даются первичные сведения о КА — игра «Жизнь», теорема о садах Эдема, элементарные КА (вместе с диаграммой де Брюина), блочные КА Марголуса, КА с альтернацией. Причем акцентируется внимание на трех важных для моделирования семантиках КА — традициях фон Неймана, Цузе и Цетлина, а также показывается родство с концепциями нейронных сетей и сетей Петри. Выделены условные 10 работ по КА, с которыми должен быть знаком любой специалист по КА. Некоторые важные работы 1990-х гг. и более поздние перечислены во введении.

Затем весь массив публикаций разбит на рубрики: «Модификации КА и другие сетевые модели» (29 %), «Математические свойства КА и связь с математикой» (5 %), «Аппаратные реализации» (3 %), «Программные реализации» (5 %), «Обработка данных, распознавание и криптография» (8 %), «Механика, физика и химия» (20 %), «Биология, экология и медицина» (15 %), «Экономика, урбанистика и социология» (15 %). В скобках указана доля тематики в массиве. Отмечается рост публикаций по КА в гуманитарной сфере, а также появление гибридных подходов, уводящих в сторону от классических КА.

The paper contains the analysis of the domestic publications issued in 2013–2017 years and devoted to cellular automata. The most of them concern on mathematical modeling. Scientometric schedules for 1990–2017 years have proved relevance of subject. The review allows to allocate the main personalities and the scientific directions/schools in modern Russian science, to reveal their originality or secondness in comparison with world science. Due to the authors choice of national publications basis instead of world, the paper claims the completeness and the fact is that about 200 items from the checked 526 references have an importance for science.

In the Annex to the review provides preliminary information about CA — the Game of Life, a theorem about gardens of Eden, elementary CAs (together with the diagram of de Brujin), block Margolus’s CAs, alternating CAs. Attention is paid to three important for modeling semantic traditions of von Neumann, Zuse and Zetlin, as well as to the relationship with the concepts of neural networks and Petri nets. It is allocated conditional 10 works, which should be familiar to any specialist in CA. Some important works of the 1990s and later are listed in the Introduction.

Then the crowd of publications is divided into categories: the modification of the CA and other network models (29 %), Mathematical properties of the CA and the connection with mathematics (5 %), Hardware implementation (3 %), Software implementation (5 %), Data Processing, recognition and Cryptography (8 %), Mechanics, physics and chemistry (20 %), Biology, ecology and medicine (15 %), Economics, urban studies and sociology (15 %). In parentheses the share of subjects in the array are indicated. There is an increase in publications on CA in the humanitarian sphere, as well as the emergence of hybrid approaches, leading away from the classic CA definition.

В работе описывается свободно распространяемая прикладная программа для исследований в области голоморфной динамики на основе вычислительных возможностей среды MATLAB. Программа позволяет строить не только одиночные комплекснозначные отображения, но и их коллективы как линейно связанные, на квадратной или гексагональной решетке. В первом случае строятся аналоги множества Жюлиа (в виде точек убегания с цветовой индикацией скорости убегания), Фату (с выделением хаотической динамики) и множества Мандельброта, порожденного одним из двух свободных параметров. Во втором случае рассматривается только динамика клеточного автомата с комплекснозначным состоянием ячеек и всеми коэффициентами в локальной функции перехода. Абстрактность объектно-ориентированного программирования позволяет объединить оба типа расчета в рамках одной программы, описывающей итеративную динамику одного объекта.

Для формы поля, начальных условий, шаблона окрестности и особенностей окрестности у граничных ячеек предусмотрены опции выбора. Вид отображения может быть задан регулярным для интерпретатора MATLAB выражением. В статье приводятся некоторые UML-диаграммы, краткое введение в пользовательский интерфейс и ряд примеров.

В качестве рабочих иллюстраций, содержащих новое научное знание, были рассмотрены следующие случаи:

1) дробно-линейное отображение вида $Az^{n} +B/z^{n} $, для которого случаи $n=2$, $4$, $n>1$, известны. На портрете множества Фату привлекают внимание характерные (для классического квадратичного отображения) фигурки <<пряничных человечков>>, показывающие короткопериодические режимы, находящиеся в море компоненты условно хаотической динамики;

2) у множества Мандельброта при нестандартном положении параметра в показателе степени $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ на эскизных расчетах обнаруживаются некие зубчатые структуры и облака точек, напоминающие пыль Кантора, не являющиеся букетами Кантора, характерными для экспоненциального отображения. В дальнейшем требуется детализация этих объектов со сложной топологией.

The paper describes a free software for research in the field of holomorphic dynamics based on the computational capabilities of the MATLAB environment. The software allows constructing not only single complex-valued mappings, but also their collectives as linearly connected, on a square or hexagonal lattice. In the first case, analogs of the Julia set (in the form of escaping points with color indication of the escape velocity), Fatou (with chaotic dynamics highlighting), and the Mandelbrot set generated by one of two free parameters are constructed. In the second case, only the dynamics of a cellular automaton with a complex-valued state of the cells and of all the coefficients in the local transition function is considered. The abstract nature of object-oriented programming makes it possible to combine both types of calculations within a single program that describes the iterated dynamics of one object.

The presented software provides a set of options for the field shape, initial conditions, neighborhood template, and boundary cells neighborhood features. The mapping display type can be specified by a regular expression for the MATLAB interpreter. This paper provides some UML diagrams, a short introduction to the user interface, and some examples.

The following cases are considered as example illustrations containing new scientific knowledge:

1) a linear fractional mapping in the form $Az^{n} +B/z^{n} $, for which the cases $n=2$, $4$, $n>1$, are known. In the portrait of the Fatou set, attention is drawn to the characteristic (for the classical quadratic mapping) figures of <>, showing short-period regimes, components of conventionally chaotic dynamics in the sea;

2) for the Mandelbrot set with a non-standard position of the parameter in the exponent $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ sketch calculations reveal some jagged structures and point clouds resembling Cantor's dust, which are not Cantor's bouquets that are characteristic for exponential mapping. Further detailing of these objects with complex topology is required.

В данной статье рассматриваются процессы теплопроводности, сопровождающиеся фазовыми переходами первого рода. При помощи клеточно-автоматного моделирования был исследован класс задач, имеющих широкое применение в практической деятельности. В работе приведены вычисления распределения температуры по глубине почвы в разные моменты времени для задачи промерзания влажного грунта. Другая задача — зонное выращивание — также смоделирована с помощью клеточных автоматов. Совпадение реальных и модельных параметров системы подтверждает целесообразность использования выбранного способа моделирования физических процессов.

The process of heat conduction, accompanied by the first order phase transitions is discussed in this article. Using cellular automates simulation was investigated class of problems that have broad application in practice. In this paper we calculate the temperature distribution in the depth of the soil at different times for a problem of freezing of moist soil. Another task — zone growing — has been modeled by cellular automates too. The coincidence of real and modeling parameters of the system confirms the feasibility of using the selected method of modeling of physical processes.

Статья носит методический характер и посвящена решению трех классических уравнений математической физики (Лапласа, диффузии и волнового) простейшими численными схемами в формулировке клеточных автоматов (КА). Особое внимание уделяется законам сохранения вещества и неприятному эффекту избыточной гексагональной симметрии (ИГС).

Делается вывод о том, что по сравнению с классическими конечно-разностными методами, хотя локальная функция перехода (ЛФП) КА терминологически эквивалентна шаблону вычислительной двухслоевой явной схемы, различие состоит в замене матричных (direct) методов (например, метода прогонки для трехдиагональной матрицы) итерационными. Из этого следуют более жесткие требования к дискретизации условий для граничных КА-ячеек.

Для гексагональной сетки и консервативных граничных условий записана корректная ЛФП для граничных ячеек, справедливая, по крайней мере, для границ прямоугольной и круговой формы. Предложена идея разделения ЛФП на internal, boundary и postfix. На примере этой задачи заново осмыслено значение числа Куранта–Леви как соотношения скорости сходимости КА к решению задачи, данному на фиксированный момент времени, и скорости изменения самого решения в динамике.

The paper has methodical character; it is devoted to three classic partial differential equations (Laplace, Diffusion and Wave) solution using simple numerical methods in terms of Cellular Automata. Special attention was payed to the matter conservation law and the offensive effect of excessive hexagonal symmetry.

It has been shown that in contrary to finite-difference approach, in spite of terminological equivalence of CA local transition function to the pattern of computing double layer explicit method, CA approach contains the replacement of matrix technique by iterative ones (for instance, sweep method for three diagonal matrixes). This suggests that discretization of boundary conditions for CA-cells needs more rigid conditions.

The correct local transition function (LTF) of the boundary cells, which is valid at least for the boundaries of the rectangular and circular shapes have been firstly proposed and empirically given for the hexagonal grid and the conservative boundary conditions. The idea of LTF separation into «internal», «boundary» and «postfix» have been proposed. By the example of this problem the value of the Courant-Levy constant was re-evaluated as the CA convergence speed ratio to the solution, which is given at a fixed time, and to the rate of the solution change over time.

Обзор содержит введение в модели клеточных автоматов. Описаны три автомата на плоскости: клеточный автомат Винера-Розенблюта, игра «Жизнь» и автомат Кохомото-Ооно для моделирования систем «реакция–диффузия». Построены обобщения клеточного автомата игры «Жизнь» на случай пространства произвольной размерности и автомата Кохомото-Ооно для случая трех пространственных измерений.

An introduction to the models of cellular automata is given. The three automata described on the plane are: Viner-Rosenbluth cellular automata, the game of Life and Kohomoto-Oono automata for modelling «reaction-diffusion» systems. There is built the generalization of cellular automata of the game of Life to arbitrary dimension of space and the generalization of Kohomoto-Oono automata in 3D.

В статье рассматривается решение задач теплопроводности с помощью метода непрерывных асинхронных клеточных автоматов. Продемонстрировано согласование распределения температуры в образце между клеточно-автоматной моделью и точным аналитическим решением уравнения теплопереноса в определенный момент времени, что говорит о целесообразном использовании данного метода моделирования. Получена зависимость между временем одного клеточно-автоматного взаимодействия и размерностью клеточно-автоматного поля.

The solution of problems of heat conductivity by means of a method of continuous asynchronous cellular automats is considered in the article. Coordination of distribution of temperature in a sample at a given time between cellular automat model and the exact analytical solution of the equation of heattransfer is shown that speaks about expedient use of this method of modelling. Dependence between time of one cellular automatic interaction and dimension of a cellular automatic field is received.

Одной из особенностей беспилотных автомобильных транспортных средств является их способность к организованному движению в форме кластеров: последовательности движущихся с единой скоростью транспортных средств. Влияние образования и движения этих кластеров на динамику транспортных потоков представляет большой интерес. В настоящей работе предложена качественная имитационная модель кластерного движения беспилотных транспортных средств в гетерогенной транспортной системе, состоящей из двух типов агентов (транспортных средств): управляемых человеком и беспилотных. В основу описания временной эволюции системы положены правила 184 и 240 для элементарных клеточных автоматов. Управляемые человеком транспортные средства перемещаются по правилу 184 с добавлением случайного торможения, вероятность которого зависит от расстояния до находящегося впереди транспортного средства. Для беспилотных транспортных средств используется комбинация правил, в том числе в зависимости от типа ближайших соседей, в некоторых случаях независимо от расстояния до них, что привносит в модель нелокальное взаимодействие. При этом учтено, что группа последовательно движущихся беспилотных транспортных средств может сформировать организованный кластер. Исследовано влияние соотношения типов транспортных средств в системе на характеристики транспортного потока при свободномд вижении на круговой однополосной и двухполосной дорогах, а также при наличии светофора. Результаты моделирования показали, что эффект образования кластеров имеет существенное влияние при свободномдвиж ении, а наличие светофора снижает положительный эффект приблизительно вдвое. Также исследовано движение кластеров из беспилотных автомобилей на двухполосных дорогах с возможностью перестроения. Показано, что учет при перестроении беспилотными транспортными средствами типов соседних транспортных средств (беспилотное или управляемое человеком) положительно влияет на характеристики транспортного потока.

The gradual incorporation of automated vehicles into the global transport networks leads to the need to develop tools to assess the impact of this process on various aspects of traffic. This implies a more organized movement of automated vehicles which can form uniformly moving platoons. The influence of the formation and movement of these platoons on the dynamics of traffic flow is of great interest. The currently most developed traffic flow models are based on the cellular automaton approach. They are mainly developed in the direction of increasing accuracy. This inevitably leads to the complication of models, which in their modern form have significantly moved away from the original philosophy of cellular automata, which implies simplicity and schematicity of models at the level of evolution rules, leading, however, to a complex organized behavior of the system. In the present paper, a simulation model of connected automated vehicles platoon dynamics in a heterogeneous transport system is proposed, consisting of two types of agents (vehicles): human-driven and automated. The description of the temporal evolution of the system is based on modified rules 184 and 240 for elementary cellular automata. Human-driven vehicles move according to rule 184 with the addition of accidental braking, the probability of which depends on the distance to the vehicle in front. For automated vehicles, a combination of rules is used depending on the type of nearest neighbors, regardless of the distance to them, which brings non-local interaction to the model. At the same time, it is considered that a group of sequentially moving connected automated vehicles can form an organized platoon. The influence of the ratio of types of vehicles in the system on the characteristics of the traffic flow during free movement on a circular one-lane and two-lane roads, as well as in the presence of a traffic light, is studied. The simulation results show that the effect of platoon formation is significant for a freeway traffic flow; the presence of a traffic light reduces the positive effect by about half. The movement of platoons of connected automated vehicles on two-lane roads with the possibility of lane changing was also studied. It is shown that considering the types of neighboring vehicles (automated or human-driven) when changing lanes for automated vehicles has a positive effect on the characteristics of the traffic flow.

Целью настоящей статьи является разработка модели для реалистичного описания смешанного потока автомобилей двух типов (легковые и грузовые автомобили) на многополосных магистралях с учетом не только различия в технических характеристиках транспортных средств (габариты, максимальная скорость), но также различия в стратегиях вождения. Статья включает обзор литературы, в том числе публикаций последних лет, подтверждающий актуальность моделирования неоднородных транспортных потоков.

Новая модель учитывает, что грузовики имеют более низкую (по сравнению с легковыми автомобилями) максимальную скорость и медленнее стартуют с места. Они менее маневренные, поэтому перестраиваться им сложнее. Кроме того, движение грузовиков может регламентироваться некоторыми ограничивающими правилами, например запретом движения по левым полосам.

Модель основана на теории клеточных автоматов, что позволяет всесторонне описывать особенности отдельных компонент потока. На каждом шаге по времени состояние ячеек автомата обновляется в два этапа: перестроение и движение вперед. Алгоритмы обоих подшагов отличаются для легковых и грузовых транспортных средств. Каждому автомобилю присваивается ряд параметров: вид транспортного средства, длина, максимальная скорость, стратегия при смене полосы, стратегия при движении по полосе.

Модель реализована в виде комплекса программ, позволяющего моделировать движение на различных участках улично-дорожной сети — перекрестках, участках с сужением и расширением дороги, въездах и съездах с автомагистрали. В рамках данной работы для тестирования модели выбраны участок дороги с переменным числом полос и прямой многополосный участок с виртуальным детектором. Результаты представлены в виде локальных диаграмм «скорость – плотность» и «поток – плотность», а также пространственно-временных диаграмм скорости.

Для апробации модели решается ряд задач с различным процентным составом легковых и грузовых транспортных средств, что позволяет продемонстрировать падение пропускной способности элементов улично-дорожной сети при увеличении доли грузовиков в потоке. Моделируется равномерное распределение грузовиков по полосам и движение грузовиков только по правой полосе. Иллюстрируется положительный эффект от введения ограничений на движение грузовиков по левым полосам на многополосной магистрали.

The objective of this article is to develop a model for a realistic description of a mixed flow of two types of vehicles (cars and trucks) on multi-lane highways, taking into account differences not only in the technical characteristics of vehicles (dimensions, maximum speed), but also differences in driving strategies. The article includes a literature review, including publications of recent years, confirming the relevance of modeling heterogeneous traffic flows.

The new model takes into account that trucks have a lower maximum speed compared to cars and are slower to start. They are less maneuverable, so it is more difficult for them to change lanes. In addition, the movement of trucks can be regulated by some restrictive rules, for example, a ban on driving in left lanes.

The model is based on the cellular automata theory, which allows for a comprehensive description of the features of individual flow components. At each time step, the state of the automaton cells is updated in two stages — changing lanes and moving forward. The algorithms of both substeps for cars and trucks differ. Each vehicle is assigned a number of parameters: vehicle type, length, maximum speed, lane change strategy, in-lane movement strategy.

The model is implemented as a software package that allows simulating traffic on various sections of the road network — intersections, sections with narrowing and widening of the road, entrances and exits from the highway. In this work, a road section with a varying number of lanes and a straight multi-lane section with a virtual detector were selected for testing the model. The results are presented in the form of local speed-density and flow-density diagrams, as well as spatiotemporal speed diagrams.

To test the model, a number of problems with different percentages of passenger cars and trucks are solved, which allows demonstrating a drop in the capacity of elements of the road network with an increase in the share of trucks in the flow. The cases of uniform distribution by lanes and the restriction to the right lane for trucks are simulated. The positive effect of introducing a ban on the movement of trucks in left lanes on a multi-lane highway is illustrated.

Представлена формализация моделей визуализации клеточных автоматов (КА), рассмотрена их классификация. Также описаны возможные подходы к генерации звукорядов. Приведены частные случаи вариантов визуализации для КА различной размерности. На примере простого 3D КА указаны особенности визуализации наноразмерных систем.

The general formalization of visualization models in cellular automata (CA) scope is presented, their classification is examined. It also describes possible approaches to the sound scales generation. We consider special cases of visualization manners for CA of various dimensions. By a simple 3D CA example the features of nanoscale systems imaging are indicated.