All issues

В статье рассматриваются локальная и двойная локальная оценка метода Монте-Карло при решении уравнения глобального освещения. Локальная оценка позволяет в диффузном приближении рассчитывать освещенность в произвольной точке, тогда как двойная локальная оценка позволяется вычислять непосредственно яркость в заданной точке по заданному направлению. В статье дается математическое обоснование локальных оценок и рассмотрены основные этапы реализации программного обеспечения. Также рассматривается представление трехмерных объектов в базисе сферических функций и возможность использования их в локальных оценках.

The article deals with the local and double local estimation of the Monte Carlo method for solving the equation of global illumination. The local estimation allows calculating the illumination at any point at the approximation of diffuse reflection, whereas the double local estimation allows calculating directly the luminance at a given point in a given direction. The article presents the mathematical basis of local estimations and the basic stages of the software implementation. The representation of three-dimensional objects in the basis of spherical functions and the possibility of using them in the local estimations are also considered.

В статье рассматривается одна из задач транспортного моделирования — поиск равновесного распределения транспортных потоков в сети. Для описания временных издержек и распределения потоков в сети, представляемой с помощью графа, используется классическая модель Бэкмана. При этом поведение агентов не является полностью рациональным, что описывается посредством введения марковской логит-динамики: в каждый момент времени водительвыбирает маршрут случайно согласно распределению Гиббса с учетом текущих временных затрат на ребрах графа. Таким образом, задача сводится к поиску стационарного распределения для данной динамики, которое является стохастическим равновесием Нэша – Вардропа в соответствующей популяционной игре загрузки транспортной сети. Так как данная игра является потенциальной, эта задача эквивалентна минимизации некоторого функционала от распределения потоков, причем стохастичностьпро является в появлении энтропийной регуляризации. Для полученной задачи оптимизации построена двойственная задача. Для ее решения применен универсальный прямо-двойственный градиентный метод. Его особенность заключается в адаптивной настройке на локальную гладкость задачи, что особенно важно при сложной структуре целевой функции и невозможности априорно оценитьг ладкость с приемлемой точностью. Такая ситуация имеет место в рассматриваемой задаче, так как свойства функции сильно зависят от транспортного графа, на который мы не накладываем сильных ограничений. В статье приводится описание алгоритма, в том числе подробно рассмотрено применение численного дифференцирования для вычисления значения и градиента целевой функции. В работе представлены теоретическая оценка времени работы алгоритма и результаты численных экспериментов на примере небольшого американского города.

We consider one of the problems of transport modelling — searching the equilibrium distribution of traffic flows in the network. We use the classic Beckman’s model to describe time costs and flow distribution in the network represented by directed graph. Meanwhile agents’ behavior is not completely rational, what is described by the introduction of Markov logit dynamics: any driver selects a route randomly according to the Gibbs’ distribution taking into account current time costs on the edges of the graph. Thus, the problem is reduced to searching of the stationary distribution for this dynamics which is a stochastic Nash – Wardrope equilibrium in the corresponding population congestion game in the transport network. Since the game is potential, this problem is equivalent to the problem of minimization of some functional over flows distribution. The stochasticity is reflected in the appearance of the entropy regularization, in contrast to non-stochastic case. The dual problem is constructed to obtain a solution of the optimization problem. The universal primal-dual gradient method is applied. A major specificity of this method lies in an adaptive adjustment to the local smoothness of the problem, what is most important in case of the complex structure of the objective function and an inability to obtain a prior smoothness bound with acceptable accuracy. Such a situation occurs in the considered problem since the properties of the function strongly depend on the transport graph, on which we do not impose strong restrictions. The article describes the algorithm including the numerical differentiation for calculation of the objective function value and gradient. In addition, the paper represents a theoretical estimate of time complexity of the algorithm and the results of numerical experiments conducted on a small American town.

Представлена математическая модель, описывающая необратимые процессы поляризации и деформирования поликристаллических сегнетоэлектриков во внешних электрических и механических полях большой интенсивности, вследствие чего изменяется внутренняя структура и меняются свойства материала. Необратимые явления моделируются в трехмерной постановке для случая одновременного воздействия электрического поля и механических напряжений. Объектом исследования является представительный объем, в котором исследуются остаточные явления в виде возникающих индуцированных и необратимых частей вектора поляризации и тензора деформации. Основной задачей моделирования является построение определяющих соотношений, связывающих между собой вектор поляризации и тензор деформации, с одной стороны, и вектор электрического поля и тензор механических напряжений, с другой стороны. Рассмотрен общий случай, когда направление электрического поля может не совпадать ни с одним из главных направлений тензора механических напряжений. Для обратимых составляющих определяющие соотношения построены в виде линейных тензорных уравнений, в которых упругие и диэлектрические модули зависят от остаточной деформации, а пьезоэлектрические модули - от остаточной поляризации. Определяющие соотношения для необратимых частей строятся в несколько этапов. Вначале построена вспомогательная модель идеального или безгистерезисного случая, когда все векторы спонтанной поляризации могут поворачиваться в поле внешних сил без взаимного влияния друг на друга. Предложен способ подсчета результирующих значений предельно возможных значений поляризации и деформации идеального случая в виде поверхностных интегралов по единичной сфере с плотностью распределения, полученной из статистического закона Больцмана. Далее сделаны оценки энергетических затрат, необходимых для слома механизмов закрепления доменов, и подсчитана работа внешних полей в реальном и идеальном случаях. На основании этого выведен энергетический баланс и получены определяющие соотношения для необратимых составляющих в виде уравнений в дифференциалах. Разработана схема численного решения этих уравнений для определения текущих значений необратимых искомых характеристик в заданных электрических и механических полях. Для циклических нагрузок построены диэлектрические, деформационные и пьезоэлектрические гистерезисные кривые.

Разработанная модель может быть имплантирована в конечно-элементный комплекс для расчета неоднородных остаточных полей поляризации и деформирования с последующим определением физических модулей неоднородно поляризованной керамики как локально анизотропного тела.

A mathematical model describing the irreversible processes of polarization and deformation of polycrystalline ferroelectrics in external electric and mechanical fields of high intensity is presented, as a result of which the internal structure changes and the properties of the material change. Irreversible phenomena are modeled in a three-dimensional setting for the case of simultaneous action of an electric field and mechanical stresses. The object of the research is a representative volume in which the residual phenomena in the form of the induced and irreversible parts of the polarization vector and the strain tensor are investigated. The main task of modeling is to construct constitutive relations connecting the polarization vector and strain tensor, on the one hand, and the electric field vector and mechanical stress tensor, on the other hand. A general case is considered when the direction of the electric field may not coincide with any of the main directions of the tensor of mechanical stresses. For reversible components, the constitutive relations are constructed in the form of linear tensor equations, in which the modules of elasticity and dielectric permeability depend on the residual strain, and the piezoelectric modules depend on the residual polarization. The constitutive relations for irreversible parts are constructed in several stages. First, an auxiliary model was constructed for the ideal or unhysteretic case, when all vectors of spontaneous polarization can rotate in the fields of external forces without mutual influence on each other. A numerical method is proposed for calculating the resulting values of the maximum possible polarization and deformation values of an ideal case in the form of surface integrals over the unit sphere with the distribution density obtained from the statistical Boltzmann law. After that the estimates of the energy costs required for breaking down the mechanisms holding the domain walls are made, and the work of external fields in real and ideal cases is calculated. On the basis of this, the energy balance was derived and the constitutive relations for irreversible components in the form of equations in differentials were obtained. A scheme for the numerical solution of these equations has been developed to determine the current values of the irreversible required characteristics in the given electrical and mechanical fields. For cyclic loads, dielectric, deformation and piezoelectric hysteresis curves are plotted.

The developed model can be implanted into a finite element complex for calculating inhomogeneous residual polarization and deformation fields with subsequent determination of the physical modules of inhomogeneously polarized ceramics as a locally anisotropic body.

Работа посвящена описанию авторских формальных постановок задачи кластеризации при заданном числе кластеров, алгоритмам их решения, а также результатам применения этого инструментария в медицине.

Решение сформулированных задач точными алгоритмами реализаций даже относительно невысоких размерностей до выполнения условий оптимальности невозможно за сколько-нибудь рациональное время по причине их принадлежности к классу NP.

В связи с этим нами предложен гибридный алгоритм, сочетающий преимущества точных методов на базе кластеризации в парных расстояниях на начальном этапе с быстродействием методов решения упрощенных задач разбиения по центрам кластеров на завершающем этапе. Для развития данного направления разработан последовательный гибридный алгоритм кластеризации с использованием случайного поиска в парадигме роевого интеллекта. В статье приведено его описание и представлены результаты расчетов прикладных задач кластеризации.

Для выяснения эффективности разработанного инструментария оптимальной кластеризации многомерных объектов по множеству разнородных показателей был выполнен ряд вычислительных экспериментов с использованием массивов данных, включающих социально-демографические, клинико-анамнестические, электроэнцефалографические и психометрические данные когнитивного статуса пациентов кардиологической клиники. Получено эксперимен- тальное доказательство эффективности применения алгоритмов локального поиска в парадигме роевого интеллекта в рамках гибридного алгоритма при решении задач оптимальной кластеризации. Результаты вычислений свидетельствуют о фактическом разрешении основной проблемы применения аппарата дискретной оптимизации — ограничения доступных размерностей реализаций задач. Нами показано, что эта проблема снимается при сохранении приемлемой близости результатов кластеризации к оптимальным.

Прикладное значение полученных результатов кластеризации обусловлено также тем, что разработанный инструментарий оптимальной кластеризации дополнен оценкой стабильности сформированных кластеров, что позволяет к известным факторам (наличие стеноза или старший возраст) дополнительно выделить тех пациентов, когнитивные ресурсы которых оказываются недостаточны, чтобы преодолеть влияние операционной анестезии, вследствие чего отмечается однонаправленный эффект послеоперационного ухудшения показателей сложной зрительно-моторной реакции, внимания и памяти. Этот эффект свидетельствует о возможности дифференцированно классифицировать пациентов с использованием предлагаемого инструментария.

The work is devoted to the description of the author’s formal statements of the clustering problem for a given number of clusters, algorithms for their solution, as well as the results of using this toolkit in medicine.

The solution of the formulated problems by exact algorithms of implementations of even relatively low dimensions before proving optimality is impossible in a finite time due to their belonging to the NP class.

In this regard, we have proposed a hybrid algorithm that combines the advantages of precise methods based on clustering in paired distances at the initial stage with the speed of methods for solving simplified problems of splitting by cluster centers at the final stage. In the development of this direction, a sequential hybrid clustering algorithm using random search in the paradigm of swarm intelligence has been developed. The article describes it and presents the results of calculations of applied clustering problems.

To determine the effectiveness of the developed tools for optimal clustering of multidimensional objects according to a variety of heterogeneous indicators, a number of computational experiments were performed using data sets including socio-demographic, clinical anamnestic, electroencephalographic and psychometric data on the cognitive status of patients of the cardiology clinic. An experimental proof of the effectiveness of using local search algorithms in the paradigm of swarm intelligence within the framework of a hybrid algorithm for solving optimal clustering problems has been obtained.

The results of the calculations indicate the actual resolution of the main problem of using the discrete optimization apparatus — limiting the available dimensions of task implementations. We have shown that this problem is eliminated while maintaining an acceptable proximity of the clustering results to the optimal ones. The applied significance of the obtained clustering results is also due to the fact that the developed optimal clustering toolkit is supplemented by an assessment of the stability of the formed clusters, which allows for known factors (the presence of stenosis or older age) to additionally identify those patients whose cognitive resources are insufficient to overcome the influence of surgical anesthesia, as a result of which there is a unidirectional effect of postoperative deterioration of complex visual-motor reaction, attention and memory. This effect indicates the possibility of differentiating the classification of patients using the proposed tools.

В данной статье исследуется эффективность применения технологии Retrieval-Augmented Generation (RAG) в сочетании с различными большими языковыми моделями (LLM) для поиска документов и получения информации в корпоративных информационных системах. Рассматриваются варианты использования LLM в корпоративных системах, архитектура RAG, характерные проблемы интеграции LLM в RAG-систему. Предлагается архитектура системы, включающая в себя векторный энкодер текстов и LLM. Энкодер используется для создания векторной базы данных, индексирующей библиотеку корпоративных документов. Запрос, передаваемый LLM, дополняется релевантным ему контекстом из библиотеки корпоративных документов, извлекаемым с использованием векторной базы данных и библиотеки FAISS. Большая языковая модель принимает запрос пользователя и формирует ответ на основе переданных в контексте запроса данных. Рассматриваются общая структура и алгоритм функционирования предлагаемого решения, реализующего архитектуру RAG. Обосновывается выбор LLM для исследования и проводится анализ результативности использования популярных LLM (ChatGPT, GigaChat, YandexGPT, Llama, Mistral, Qwen и др.) в качестве компонента для генерации ответов. На основе тестового набора вопросов методом экспертных оценок оцениваются точность, полнота, грамотность и лаконичность ответов, предоставляемых рассматриваемыми моделями. Анализируются характеристики отдельных моделей, полученные в результате исследования. Приводится информация о средней скорости отклика моделей. Отмечается существенное влияние объема доступной памяти графического адаптера на производительность локальных LLM. На основе интегрального показателя качества формируется общий рейтинг LLM. Полученные результаты подтверждают эффективность предложенной архитектуры RAG для поиска документов и получения информации в корпоративных информационных системах. Были определены возможные направления дальнейших исследований в этой области: дополнение контекста, передаваемого LLM, и переход к архитектуре на базе LLM-агентов. В заключении представлены рекомендации по выбору оптимальной конфигурации RAG и LLM для построения решений, обеспечивающих быстрый и точный доступ к информации в рамках корпоративных информационных систем.

This paper investigates the effectiveness of Retrieval-Augmented Generation (RAG) combined with various Large Language Models (LLMs) for document retrieval and information access in corporate information systems. We survey typical use-cases of LLMs in enterprise environments, outline the RAG architecture, and discuss the major challenges that arise when integrating LLMs into a RAG pipeline. A system architecture is proposed that couples a text-vector encoder with an LLM. The encoder builds a vector database that indexes a library of corporate documents. For every user query, relevant contextual fragments are retrieved from this library via the FAISS engine and appended to the prompt given to the LLM. The LLM then generates an answer grounded in the supplied context. The overall structure and workflow of the proposed RAG solution are described in detail. To justify the choice of the generative component, we benchmark a set of widely used LLMs — ChatGPT, GigaChat, YandexGPT, Llama, Mistral, Qwen, and others — when employed as the answer-generation module. Using an expert-annotated test set of queries, we evaluate the accuracy, completeness, linguistic quality, and conciseness of the responses. Model-specific characteristics and average response latencies are analysed; the study highlights the significant influence of available GPU memory on the throughput of local LLM deployments. An overall ranking of the models is derived from an aggregated quality metric. The results confirm that the proposed RAG architecture provides efficient document retrieval and information delivery in corporate environments. Future research directions include richer context augmentation techniques and a transition toward agent-based LLM architectures. The paper concludes with practical recommendations on selecting an optimal RAG–LLM configuration to ensure fast and precise access to enterprise knowledge assets.

В этой статье мы предлагаем новый метод первого порядка для композитных невыпуклых задач минимизации с простыми ограничениями и неточным оракулом. Целевая функция задается как сумма «сложной», возможно, невыпуклой части с неточным оракулом и «простой» выпуклой части. Мы обобщаем понятие неточного оракула для выпуклых функций на случай невыпуклых функций. Неформально говоря, неточность оракула означает, что для «сложной» части в любой точке можно приближенно вычислить значение функции и построить квадратичную функцию, которая приближенно ограничивает эту функцию сверху. Рассматривается два возможных типа ошибки: контролируемая, которая может быть сде- лана сколь угодно маленькой, например, за счет решения вспомогательной задачи, и неконтролируемая. Примерами такой неточности являются: гладкие невыпуклые функции с неточным и непрерывным по Гёльдеру градиентом, функции, заданные вспомогательной равномерно вогнутой задачей максимизации, которая может быть решена лишь приближенно. Для введенного класса задачм ы предлагаем метод типа проекции градиента / зеркального спуска, который позволяет использовать различные прокс-функции для задания неевклидовой проекции на допустимое множество и более гибкой адаптации к геометрии допустимого множества; адаптивно выбирает контролируемую ошибку оракула и ошибку неевклидового проектирования; допускает неточное проксимальное отображение с двумя типами ошибки: контролируемой и неконтролируемой. Мы доказываем скорость сходимости нашего метода в терминах нормы обобщенного градиентного отображения и показываем, что в случае неточного непрерывного по Гёльдеру градиента наш метод является универсальным по отношению к параметру и константе Гёльдера. Это означает, что методу не нужно знание этих параметров для работы. При этом полученная оценка сложности является равномерно наилучшей при всех параметрах Гёльдера. Наконец, в частном случае показано, что малое значение нормы обобщенного градиентного отображения в точке означает, что в этой точке приближенно выполняется необходимое условие локального минимума.

In this paper, we develop a new first-order method for composite nonconvex minimization problems with simple constraints and inexact oracle. The objective function is given as a sum of «hard», possibly nonconvex part, and «simple» convex part. Informally speaking, oracle inexactness means that, for the «hard» part, at any point we can approximately calculate the value of the function and construct a quadratic function, which approximately bounds this function from above. We give several examples of such inexactness: smooth nonconvex functions with inexact H¨older-continuous gradient, functions given by the auxiliary uniformly concave maximization problem, which can be solved only approximately. For the introduced class of problems, we propose a gradient-type method, which allows one to use a different proximal setup to adapt to the geometry of the feasible set, adaptively chooses controlled oracle error, allows for inexact proximal mapping. We provide a convergence rate for our method in terms of the norm of generalized gradient mapping and show that, in the case of an inexact Hölder-continuous gradient, our method is universal with respect to Hölder parameters of the problem. Finally, in a particular case, we show that the small value of the norm of generalized gradient mapping at a point means that a necessary condition of local minimum approximately holds at that point.

Миграция оказывает существенное влияние на формирование демографической структуры населения территорий, состояние региональных и локальных рынков труда. Быстрое изменение численности трудоспособного населения той или иной территории из-за миграционных процессов приводит к дисбалансу спроса и предложения на рынках труда, изменению демографической структуры населения. Миграция во многом является отражением социально-экономических процессов, происходящих в обществе. Поэтому становятся актуальными вопросы, связанные с изучением факторов миграции, направления, интенсивности и структуры миграционных потоков, прогнозированием их величины.

Для анализа, прогнозирования миграционных процессов и оценки их последствий часто используется математический инструментарий, позволяющий с нужной точностью моделировать миграционные процессы для различных территорий на основе имеющихся статистических данных. В последние годы как в России, так и в зарубежных странах появилось много научных работ, посвященных моделированию внутренних и внешних миграционных потоков с использованием математических методов. Следовательно, для формирования целостной картины основных тенденций и направлений исследований в этой области возникла необходимость в систематизации наиболее часто используемых методов и инструментов моделирования.

В представленном обзоре на основе анализа современных отечественных и зарубежных публикаций представлены основные подходы к моделированию миграции, основные составляющие методологии моделирования миграционных процессов — этапы, методы, модели и классификация моделей. Обзор содержит два раздела: методы моделирования миграционных процессов и модели миграции. В первом разделе приведено описание основных методов, используемых в процессе разработки моделей — эконометрических, клеточных автоматов, системно-динамических, вероятностных, балансовых, оптимизации и кластерного анализа. Во втором — выделены и описаны наиболее часто встречающиеся классы моделей — регрессионные, агент-ориентированные, имитационные, оптимизационные, веро- ятностные, балансовые, динамические и комбинированные. Рассмотрены особенности, преимущества и недостатки различных типов моделей миграционных процессов, проведен их сравнительный анализ и разработаны общие рекомендации по выбору математического инструментария для моделирования.

Migration has a significant impact on the shaping of the demographic structure of the territories population, the state of regional and local labour markets. As a rule, rapid change in the working-age population of any territory due to migration processes results in an imbalance in supply and demand on labour markets and a change in the demographic structure of the population. Migration is also to a large extent a reflection of socio-economic processes taking place in the society. Hence, the issues related to the study of migration factors, the direction, intensity and structure of migration flows, and the prediction of their magnitude are becoming topical issues these days.

Mathematical tools are often used to analyze, predict migration processes and assess their consequences, allowing for essentially accurate modelling of migration processes for different territories on the basis of the available statistical data. In recent years, quite a number of scientific papers on modelling internal and external migration flows using mathematical methods have appeared both in Russia and in foreign countries in recent years. Consequently, there has been a need to systematize the currently most commonly used methods and tools applied in migration modelling to form a coherent picture of the main trends and research directions in this field.

The presented review considers the main approaches to migration modelling and the main components of migration modelling methodology, i. e. stages, methods, models and model classification. Their comparative analysis was also conducted and general recommendations on the choice of mathematical tools for modelling were developed. The review contains two sections: migration modelling methods and migration models. The first section describes the main methods used in the model development process — econometric, cellular automata, system-dynamic, probabilistic, balance, optimization and cluster analysis. Based on the analysis of modern domestic and foreign publications on migration, the most common classes of models — regression, agent-based, simulation, optimization, probabilistic, balance, dynamic and combined — were identified and described. The features, advantages and disadvantages of different types of migration process models were considered.

В работе дается краткий обзор методов оценивания параметров случайных точечных процессов с локальным взаимодействием между точками. Показано, что общепринятый метод максимального псевдоправдоподобия является частным случаем методов оценивания, основанных на использовании вспомогательного марковского процесса, инвариантная мера которого является гиббсовским точечным полем с параметрами, подлежащими оцениванию. Предложено обобщение данного метода, приводящее к такому виду уравнений для получения оценок неизвестных параметров, который не может быть получен с помощью универсального метода Такача–Фикселя. Компьютерные эксперименты показывают, что новый метод позволяет получать оценки, качество которых выше, чем качество оценок широко используемого метода максимального правдоподобия.

The paper gives an overview of methods for estimating the parameters of random point fields with local interaction between points. It is shown that the conventional method of the maximum pseudo-likelihood is a special case of the family of estimation methods based on the use of the auxiliary Markov process, invariant measure of which is the Gibbs point field with parameters to be estimated. A generalization of this method, resulting in estimating equation that can not be obtained by the the universal Takacs–Fiksel method, is proposed. It is shown by computer simulations that the new method enables to obtain estimates which have better quality than those by a widely used method of the maximum pseudolikelihood.

Статья посвящена исследованию социально-экономических последствий от вирусных эпидемий в условиях неоднородности экономического развития территориальных систем. Актуальность исследования обусловлена необходимостью поиска оперативных механизмов государственного управления и стабилизации неблагоприятной эпидемио-логической ситуации с учетом пространственной неоднородности распространения COVID-19, сопровождающейся концентрацией инфекции в крупных мегаполисах и на территориях с высокой экономической активностью.

Целью работы является разработка комплексного подхода к исследованию пространственной неоднородности распространения коронавирусной инфекции с точки зрения экономических последствий пандемии в регионах России. В работе особое внимание уделяется моделированию последствий ухудшающейся эпидемиологической ситуации на динамике экономического развития региональных систем, определению полюсов роста распространения коронавирусной инфекции, пространственных кластеров и зон их влияния с оценкой межтерриториальных взаимосвязей. Особенностью разработанного подхода является пространственная кластеризация региональных систем по уровню заболеваемости COVID-19, проведенная с использованием глобального и локальных индексов пространственной автокорреляции, различных матриц пространственных весов и матрицы взаимовлияния Л.Анселина на основе статистической информации Росстата. В результате проведенного исследования были выявлены пространственный кластер, отличающийся высоким уровнем инфицирования COVID-19 с сильной зоной влияния и устойчивыми межрегиональными взаимосвязями с окружающими регионами, а также сформировавшиеся полюса роста, которые являются потенциальными полюсами дальнейшего распространения коронавирусной инфекции. Проведенный в работе регрессионный анализ с использованием панельных данных позволил сформировать модель для сценарного прогнозирования последствий от распространения коронавирусной инфекции и принятия управленческих решений органами государственной власти.

В работе выявлено, что увеличение числа заболевших коронавирусной инфекцией влияет на сокращение среднесписочной численности работников, снижение средней начисленной заработной платы. Предложенный подход к моделированию последствий COVID-19 может быть расширен за счет использования полученных результатов исследования при проектировании агент-ориентированной моделей, которые позволят оценить средне- и долгосрочные социально-экономические последствия пандемии с точки зрения особенностей поведения различных групп населения. Проведение компьютерных экспериментов позволит воспроизвести социально-демографическая структуру населения и оценить различные ограничительные меры в регионах России и сформировать пространственные приоритеты поддержки населения и бизнеса в условиях пандемии. На основе предлагаемого методологического подхода может быть разработана агент-ориентированная модель в виде программного комплекса, предназначенного для системы поддержки принятия решений оперативным штабам, центрам мониторинга эпидемиологической ситуации, органам государственного управления на федеральном и региональном уровнях.

The article deals with the development of a methodological approach to forecasting and modeling the socioeconomic consequences of viral epidemics in conditions of heterogeneous economic development of territorial systems. The relevance of the research stems from the need for rapid mechanisms of public management and stabilization of adverse epidemiological situation, taking into account the spatial heterogeneity of the spread of COVID-19, accompanied by a concentration of infection in large metropolitan areas and territories with high economic activity. The aim of the work is to substantiate a methodology to assess the spatial heterogeneity of the spread of coronavirus infection, find poles of its growth, emerging spatial clusters and zones of their influence with the assessment of inter-territorial relationships, as well as simulate the effects of worsening epidemiological situation on the dynamics of economic development of regional systems. The peculiarity of the developed approach is the spatial clustering of regional systems by the level of COVID-19 incidence, conducted using global and local spatial autocorrelation indices, various spatial weight matrices, and L.Anselin mutual influence matrix based on the statistical information of the Russian Federal State Statistics Service. The study revealed a spatial cluster characterized by high levels of infection with COVID-19 with a strong zone of influence and stable interregional relationships with surrounding regions, as well as formed growth poles which are potential poles of further spread of coronavirus infection. Regression analysis using panel data not only confirmed the impact of COVID-19 incidence on the average number of employees in enterprises, the level of average monthly nominal wages, but also allowed to form a model for scenario prediction of the consequences of the spread of coronavirus infection. The results of this study can be used to form mechanisms to contain the coronavirus infection and stabilize socio-economic at macroeconomic and regional level and restore the economy of territorial systems, depending on the depth of the spread of infection and the level of economic damage caused.

В работе рассматривается модель «хищник – жертва» с учетом конкуренции жертв, хищников за отличные от жертвы ресурсы и их взаимодействия, описываемого трофической функцией Холлинга второго типа. Проводится анализ аттракторов модели в зависимости от коэффициента конкуренции хищников. В детерминированном случае данная модель демонстрирует сложное поведение, связанное с локальными (Андронова–Хопфа и седлоузловая) и глобальной (рождение цикла из петли сепаратрисы) бифуркациями. Важной особенностью этой модели является исчезновение устойчивого цикла вследствие седлоузловой бифуркации. В силу наличия внутривидовой конкуренции в обеих популяциях возникают параметрические зоны моно- и бистабильности. В зоне параметров бистабильности система имеет сосуществующие аттракторы: два равновесия или цикл и равновесие. Проводится исследование геометрического расположения аттракторов и сепаратрис, разделяющих их бассейны притяжения. Понимание взаимного расположения аттракторов и сепаратрис, в совокупности с чувствительностью аттракторов к случайным воздействиям, является важной составляющей в изучении стохастических явлений. В рассматриваемой модели сочетание нелинейности и случайных возмущений приводит к появлению новых феноменов, не имеющих аналогов в детерминированном случае, таких как индуцированные шумом переходы через сепаратрису, стохастическая возбудимость и генерация осцилляций смешанных мод. Для параметрического исследования этих феноменов используются аппарат функции стохастической чувствительности и метод доверительных областей, эффективность которых проверялась на широком круге моделей нелинейной динамики. В зонах бистабильности проводится исследование деформации равновесного или осцилляционного режимов под действием шума. Геометрическим критерием возникновения такого рода качественных изменений служит пересечение доверительных областей с сепаратрисой детерминированной модели. В зоне моностабильности изучаются феномены резкого изменения численности и вымирания одной или обеих популяций при малых изменениях внешних условий. С помощью аппарата доверительных областей решается задача оценки близости стохастической популяции к опасным границам, при достижении которых сосуществование популяций разрушается и наблюдается их вымирание.

We consider “predator – prey” model taking into account the competition of prey, predator for different from the prey resources, and their interaction described by the second type Holling trophic function. An analysis of the attractors is carried out depending on the coefficient of competition of predators. In the deterministic case, this model demonstrates the complex behavior associated with the local (Andronov –Hopf and saddlenode) and global (birth of a cycle from a separatrix loop) bifurcations. An important feature of this model is the disappearance of a stable cycle due to a saddle-node bifurcation. As a result of the presence of competition in both populations, parametric zones of mono- and bistability are observed. In parametric zones of bistability the system has either coexisting two equilibria or a cycle and equilibrium. Here, we investigate the geometrical arrangement of attractors and separatrices, which is the boundary of basins of attraction. Such a study is an important component in understanding of stochastic phenomena. In this model, the combination of the nonlinearity and random perturbations leads to the appearance of new phenomena with no analogues in the deterministic case, such as noise-induced transitions through the separatrix, stochastic excitability, and generation of mixed-mode oscillations. For the parametric study of these phenomena, we use the stochastic sensitivity function technique and the confidence domain method. In the bistability zones, we study the deformations of the equilibrium or oscillation regimes under stochastic perturbation. The geometric criterion for the occurrence of such qualitative changes is the intersection of confidence domains and the separatrix of the deterministic model. In the zone of monostability, we evolve the phenomena of explosive change in the size of population as well as extinction of one or both populations with minor changes in external conditions. With the help of the confidence domains method, we solve the problem of estimating the proximity of a stochastic population to dangerous boundaries, upon reaching which the coexistence of populations is destroyed and their extinction is observed.