All issues

Целью работы является исследование конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая создана на основе Z-схемы. Это исследование состоит в численном решении нескольких двумерных дифференциальных уравнений, моделирующих перенос несжимаемой среды.

Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направлении предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы. По той же причине в продольном к магнитному полю направлении могут возникать достаточно высокие скорости тепло- и массопереноса.

Актуальной задачей при ионосферном моделировании является исследование плазменных неустойчивостей различных масштабов, которые возникают прежде всего в полярной и экваториальной областях. При этом среднемасштабные неоднородности, имеющие характерные размеры 1–50 км, создают условия для развития мелкомасштабных неустойчивостей. Последние приводят к явлению F-рассеяния, которое существенно влияет на точность работы спутниковых систем позиционирования, а также других космических и наземных радиоэлектронных систем.

Используемые для одновременного моделирования таких разномасштабных процессов разностные схемы должны иметь высокое разрешение. Кроме того, эти разностные схемы должны быть, с одной стороны, достаточно точными, а с другой стороны — монотонными. Причиной таких противоречивых требований является то, что неустойчивости усиливают погрешности разностных схем, особенно погрешности дисперсионного типа. Подобная раскачка погрешностей при численном решении обычно приводит к нефизическим результатам.

При численном решении трехмерных математических моделей ионосферной плазмы используется следующая схема расщепления по физическим процессам: первый шаг расщепления осуществляет продольный перенос, второй шаг расщепления осуществляет поперечный перенос. Исследуемая в работе конечно-разностная схема второго порядка точности приближенно решает уравнения поперечного пере- носа. Эта схема строится с помощью нелинейной процедуры монотонизации Z-схемы, которая является одной из схем второго порядка точности. При этой монотонизации используется нелинейная коррекция по так называемым «косым разностям». «Косые разности» содержат узлы расчетной сетки, относящиеся к разным слоям времени.

Исследования проводились для двух случаев. В первом случае компоненты вектора переноса были знакопостоянны, во втором — знакопеременны в области моделирования. Численно получены диссипативные и дисперсионные характеристики схемы для различных видов ограничивающих функций.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы.

1. Для разрывного начального профиля лучшие свойства показал ограничитель SuperBee.

2. Для непрерывного начального профиля при больших пространственных шагах лучше ограничитель SuperBee, а при малых шагах лучше ограничитель Koren.

3. Для гладкого начального профиля лучшие результаты показал ограничитель Koren.

4. Гладкий ограничитель F показал результаты, аналогичные Koren.

5. Ограничители разного типа оставляют дисперсионные ошибки, при этом зависимости дисперсионных ошибок от параметров схемы имеют большую вариабельность и сложным образом зависят от параметров этой схемы.

6. Во всех расчетах численно подтверждена монотонность рассматриваемой разностной схемы. Для одномерного уравнения численно подтверждено свойство неувеличения вариации для всех указанных функций-ограничителей.

7. Построенная разностная схема при шагах по времени, не превышающих шаг Куранта, является монотонной и показывает хорошие характеристики точности для решений разных типов. При превышении шага Куранта схема остается устойчивой, но становится непригодной для задач неустойчивости, поскольку условия монотонности перестают в этом случае выполняться.

The purpose of the paper is a research of a 2nd order finite difference scheme based on the Z-scheme. This research is the numerical solution of several two-dimensional differential equations simulated the incompressible medium convection.

One of real tasks for similar equations solution is the numerical simulating of strongly non-stationary midscale processes in the Earth ionosphere. Because convection processes in ionospheric plasma are controlled by magnetic field, the plasma incompressibility condition is supposed across the magnetic field. For the same reason, there can be rather high velocities of heat and mass convection along the magnetic field.

Ionospheric simulation relevant task is the research of plasma instability of various scales which started in polar and equatorial regions first of all. At the same time the mid-scale irregularities having characteristic sizes 1–50 km create conditions for development of the small-scale instabilities. The last lead to the F-spread phenomenon which significantly influences the accuracy of positioning satellite systems work and also other space and ground-based radio-electronic systems.

The difference schemes used for simultaneous simulating of such multi-scale processes must to have high resolution. Besides, these difference schemes must to be high resolution on the one hand and monotonic on the other hand. The fact that instabilities strengthen errors of difference schemes, especially they strengthen errors of dispersion type is the reason of such contradictory requirements. The similar swing of errors usually results to nonphysical results at the numerical solution.

At the numerical solution of three-dimensional mathematical models of ionospheric plasma are used the following scheme of splitting on physical processes: the first step of splitting carries out convection along, the second step of splitting carries out convection across. The 2nd order finite difference scheme investigated in the paper solves approximately convection across equations. This scheme is constructed by a monotonized nonlinear procedure on base of the Z-scheme which is one of 2nd order schemes. At this monotonized procedure a nonlinear correction with so-called “oblique differences” is used. “Oblique differences” contain the grid nodes relating to different layers of time.

The researches were conducted for two cases. In the simulating field components of the convection vector had: 1) the constant sign; 2) the variable sign. Dissipative and dispersive characteristics of the scheme for different types of the limiting functions are in number received.

The results of the numerical experiments allow to draw the following conclusions.

1. For the discontinuous initial profile the best properties were shown by the SuperBee limiter.

2. For the continuous initial profile with the big spatial steps the SuperBee limiter is better, and at the small steps the Koren limiter is better.

3. For the smooth initial profile the best results were shown by the Koren limiter.

4. The smooth F limiter showed the results similar to Koren limiter.

5. Limiters of different type leave dispersive errors, at the same time dependences of dispersive errors on the scheme parameters have big variability and depend on the scheme parameters difficulty.

6. The monotony of the considered differential scheme is in number confirmed in all calculations. The property of variation non-increase for all specified functions limiters is in number confirmed for the onedimensional equation.

7. The constructed differential scheme at the steps on time which are not exceeding the Courant's step is monotonous and shows good exactness characteristics for different types solutions. At excess of the Courant's step the scheme remains steady, but becomes unsuitable for instability problems as monotony conditions not satisfied in this case.

Рассматривается нелинейная колебательная система, описываемая обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, в которой в явном виде выделяются члены, линейно зависящие от координат, скоростей и ускорений; нелинейные члены записываются в виде неявных функций от этих переменных. Для численного решения начальной задачи, описываемой такой системой дифференциальных уравнений, используется одношаговый метод Галёркина. На шаге интегрирования неизвестные функции представляются в виде суммы линейных функций, удовлетворяющих начальным условиям, и нескольких заданных корректирующих функций в виде полиномов второй и выше степеней с неизвестными коэффициентами. Дифференциальные уравнения на шаге удовлетворяются приближенно по методу Галёркина на системе корректирующих функций. Получаются алгебраические уравнения с нелинейными членами, которые на каждом шаге решаются методом итераций. Из решения в конце каждого шага определяются начальные условия на следующем шаге.

Корректирующие функции берутся одинаковыми для всех шагов. В общем случае для расчетов на больших интервалах времени используются 4 или 5 корректирующих функций: в первом наборе — базовые степенные функции от 2-й до 4-й или 5-й степеней; во втором наборе — образованные из базовых функций ортогональные степенные полиномы; в третьем наборе — образованные из базовых функций специальные линейно независимые многочлены с конечными условиями, упрощающими «стыковку» решений на следующих шагах.

На двух примерах расчета нелинейных колебаний систем с одной и с двумя степенями свободы выполнены численные исследования точности численного решения начальных задач на различных интервалах времени по методу Галёркина с использованием указанных наборов степенных корректирующих функций. Выполнены сравнения результатов, полученных по методу Галёркина и по методам Адамса и Рунге – Кутты четвертого порядка. Показано, что методом Галёркина можно получить достоверные результатына значительно больших интервалах времени, чем по методам Адамса и Рунге – Кутты.

A nonlinear oscillatory system described by ordinary differential equations with variable coefficients is considered, in which terms that are linearly dependent on coordinates, velocities and accelerations are explicitly distinguished; nonlinear terms are written as implicit functions of these variables. For the numerical solution of the initial problem described by such a system of differential equations, the one-step Galerkin method is used. At the integration step, unknown functions are represented as a sum of linear functions satisfying the initial conditions and several given correction functions in the form of polynomials of the second and higher degrees with unknown coefficients. The differential equations at the step are satisfied approximately by the Galerkin method on a system of corrective functions. Algebraic equations with nonlinear terms are obtained, which are solved by iteration at each step. From the solution at the end of each step, the initial conditions for the next step are determined.

The corrective functions are taken the same for all steps. In general, 4 or 5 correction functions are used for calculations over long time intervals: in the first set — basic power functions from the 2nd to the 4th or 5th degrees; in the second set — orthogonal power polynomials formed from basic functions; in the third set — special linear-independent polynomials with finite conditions that simplify the “docking” of solutions in the following steps.

Using two examples of calculating nonlinear oscillations of systems with one and two degrees of freedom, numerical studies of the accuracy of the numerical solution of initial problems at various time intervals using the Galerkin method using the specified sets of power-law correction functions are performed. The results obtained by the Galerkin method and the Adams and Runge –Kutta methods of the fourth order are compared. It is shown that the Galerkin method can obtain reliable results at significantly longer time intervals than the Adams and Runge – Kutta methods.

В последние десятилетия важное значение приобретает разработка методов повышения эффективности извлечения углеводородов в месторождениях с нетрадиционными запасами, содержащими в больших количествах газовый конденсат. Это делает актуальным развитие методов математического моделирования, реалистично описывающих процессы фильтрации газоконденсатной смеси в пористой среде.

В данной работе рассматривается математическая модель, описывающая динамику изменения давления, скорости и концентрации компонент двухкомпонентной двухфазовой смеси, поступающей в лабораторную модель пласта, заполненную пористым веществом с известными физико-химическими свойствами. Математическая модель описывается системой нелинейных пространственно-одномерных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями. Лабораторные эксперименты показывают, что в течение конечного времени система стабилизируется, что дает основание перейти к стационарной постановке задачи.

Численное решение сформулированной системы обыкновенных дифференциальных уравнений реализовано в среде Maple на основе метода Рунге–Кутты с автоматическим выбором шага. Показано, что полученные на этой основе физические параметры двухкомпонентной газоконденсатной смеси из метана и н-бутана, характеризующие моделируемую систему в режиме стабилизации, хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

Это подтверждает реалистичность выбранного подхода и обоснованность его дальнейшего развития и применения для компьютерного моделирования неравновесных физических процессов в газоконденсатных смесях в пористой среде с целью выработки в перспективе практических рекомендаций по увеличению извлекаемости углеводородного газоконденсата из природных месторождений. В работе представлена математическая постановка системы нелинейных уравнений в частных производных и соответствующей стационарной задачи, описан метод численного исследования, обсуждаются полученные численные результаты в сравнении с экспериментальными данными.

In the last decades, the development of methods for increasing the efficiency of hydrocarbon extraction in fields with unconventional reserves containing large amounts of gas condensate is of great importance. This makes important the development of methods of mathematical modeling that realistically describe physical processes in a gas-condensate mixture in a porous medium.

In the paper, a mathematical model which describes the dynamics of the pressure, velocity and concentration of the components of a two-component two-phase mixture entering a laboratory model of plast filled with a porous substance with known physicochemical properties is considered. The mathematical model is based on a system of nonlinear spatially one-dimensional partial differential equations with the corresponding initial and boundary conditions. Laboratory experiments show that during a finite time the system stabilizes, what gives a basis to proceed to the stationary formulation of the problem.

The numerical solution of the formulated system of ordinary differential equations is realized in the Maple environment on the basis of the Runge–Kutta procedure. It is shown that the physical parameters of the gascondensate mixture, which characterize the modeled system in the stabilization regime, obtained on this basis, are in good agreement with the available experimental data. This confirms the correctness of the chosen approach and the validity of its further application and development for computer modeling of physical processes in gas-condensate mixtures in a porous medium. The paper presents a mathematical formulation of the system of partial differential equations and of respective system stationary equations, describes the numerical approach, and discusses the numerical results obtained in comparison with experimental data.

В статье представлены математические и численные модели взаимосвязанных термо- и гидродинамических процессов эксплуатационного режима разработки единого нефтедобывающего комплекса при гидрогелевом заводнении неоднородного нефтяного пласта, вскрытого системой произвольно расположенных нагнетательных скважин и добывающих скважин, оснащенных погружными многоступенчатыми электроцентробежными насосами. Особенностью нашего подхода является моделирование работы специального наземного оборудования (станции управления погружными насосами и штуцерной камеры на устье добывающих скважин), предназначенного для регулирования режимов работы как всего комплекса в целом, так и его отдельных элементов.

Полная дифференциальная модель включает в себя уравнения, описывающие нестационарную двухфазную пятикомпонентную фильтрацию в пласте, квазистационарные процессы тепло- и массопереноса в трубах скважин и рабочих каналах погружных насосов. Специальные нелинейные граничные условия моделируют, соответственно, влияние диаметра дросселя на расход и давление на устье каждой добывающей скважины, а также частоты электрического тока на эксплуатационные характеристики погружного насосного узла. Разработка нефтяных месторождений также регулируется посредством изменения забойного давления каждой нагнетательной скважины, концентраций закачиваемых в нее гелеобразующих компонентов, их общих объемов и продолжительности закачки. Задача решается численно с использованием консервативных разностных схем, построенных на основе метода конечных разностей. Разработанные итерационные алгоритмы ориентированы на использование современных параллельных вычислительных технологий. Численная модель реализована в программном комплексе, который можно рассматривать как «интеллектуальную систему скважин» для виртуального управления разработкой нефтяных месторождений.

The paper provides the mathematical and numerical models of the interrelated thermo- and hydrodynamic processes in the operational mode of development the unified oil-producing complex during the hydrogel flooding of the non-uniform oil reservoir exploited with a system of arbitrarily located injecting wells and producing wells equipped with submersible multistage electrical centrifugal pumps. A special feature of our approach is the modeling of the special ground-based equipment operation (control stations of submersible pumps, drossel devices on the head of producing wells), designed to regulate the operation modes of both the whole complex and its individual elements.

The complete differential model includes equations governing non-stationary two-phase five-component filtration in the reservoir, quasi-stationary heat and mass transfer in the wells and working channels of pumps. Special non-linear boundary conditions and dependencies simulate, respectively, the influence of the drossel diameter on the flow rate and pressure at the wellhead of each producing well and the frequency electric current on the performance characteristics of the submersible pump unit. Oil field development is also regulated by the change in bottom-hole pressure of each injection well, concentration of the gel-forming components pumping into the reservoir, their total volume and duration of injection. The problem is solved numerically using conservative difference schemes constructed on the base of the finite difference method, and developed iterative algorithms oriented on the parallel computing technologies. Numerical model is implemented in a software package which can be considered as the «Intellectual System of Wells» for the virtual control the oil field development.

Распространение устойчивых когерентных образований электромагнитного поля в нелинейных средах с меняющимися в пространстве параметрами может быть описано в рамках итераций нелинейных интегральных преобразований. Показано что для ряда актуальных геометрий задач нелинейной оптики численное моделирование путем сведения к динамическим системам с дискретным временем и непрерывными пространственными переменными, основанное на итерациях локальных нелинейных отображений Фейгенбаума и Икеды, а также нелокальных диффузионно-дисперсионных линейных интегральных преобразований, эквивалентно в довольно широком диапазоне параметров дифференциальным уравнениям в частных производных типа Гинзбурга–Ландау. Такие нелокальные отображения, представляющие собой при численной реализации произведения матричных операторов, оказываются устойчивыми численно-разностными схемами, обеспечивают быструю сходимость и адекватную аппроксимацию решений. Реалистичность данного подхода позволяет учитывать влияние шумов на нелинейную динамику путем наложения на расчетный массив чисел при каждой итерации пространственного шума, задаваемого в виде многомодового случайного процесса, и производить отбор устойчивых волновых конфигураций. Нелинейные волновые образования, описываемые данным методом, включают оптические фазовые сингулярности, пространственные солитоны и турбулентные состояния с быстрым затуханием корреляций. Определенный интерес представляют полученные данным численным методом периодические конфигурации электромагнитного поля, возникающие в результате фазовой синхронизации, такие как оптические решетки и самоорганизованные вихревые кластеры.

The propagation of stable coherent entities of an electromagnetic field in nonlinear media with parameters varying in space can be described in the framework of iterations of nonlinear integral transformations. It is shown that for a set of geometries relevant to typical problems of nonlinear optics, numerical modeling by reducing to dynamical systems with discrete time and continuous spatial variables to iterates of local nonlinear Feigenbaum and Ikeda mappings and nonlocal diffusion-dispersion linear integral transforms is equivalent to partial differential equations of the Ginzburg–Landau type in a fairly wide range of parameters. Such nonlocal mappings, which are the products of matrix operators in the numerical implementation, turn out to be stable numerical- difference schemes, provide fast convergence and an adequate approximation of solutions. The realism of this approach allows one to take into account the effect of noise on nonlinear dynamics by superimposing a spatial noise specified in the form of a multimode random process at each iteration and selecting the stable wave configurations. The nonlinear wave formations described by this method include optical phase singularities, spatial solitons, and turbulent states with fast decay of correlations. The particular interest is in the periodic configurations of the electromagnetic field obtained by this numerical method that arise as a result of phase synchronization, such as optical lattices and self-organized vortex clusters.

В работе развивается предложенный ранее метод компьютерной аналогии (МКА), основанный на формализации операций цифрового компьютера. Обсуждается место предлагаемого подхода среди известных методов. Подчеркивается, что целью является получение именно аналитических представлений решений, хотя пока в ряде случаев приходится ограничиться полуаналитическими аппроксимациями. Подробно изучается способ построения решений для уравнения Ван дер Поля (сводящегося к нелинейной системе дифференциальных уравнений), для систем Лоренца, Мариока – Шимицу и Рёсслера. Для трех последних нелинейных систем рассматриваются параметры, при которых решения демонстрируют черты детерминистического хаоса. Строятся полуаналитические решения, основанные на представлении решения в виде отрезка сходящегося степенного ряда по шагу независимой переменной при использовании аппроксимирующих разностных схем. Для предотвращения переполнения применяется формализованная операция переноса разрядов. Для перехода на следующий шаг по независимой переменной используется сходящаяся к решению разностная схема, называемая руководящей. Таким образом, получаемая аппроксимация суммой всего с несколькими членами обеспечивает приближение к решению с любой точностью в соответствии с точностью руководящей разностной схемы. Старшие разряды в получаемом приближении обнаруживают вероятностные свойства, которые удается моделировать известными распределениями, что приводит к получению аналитических и полуаналитических аппроксимаций. В работе представлены линейные приближения, являющиеся основой для полных приближений решений и дающие важные качественные, а также некоторые количественные свойства решений. Описываются аппроксимации различного порядка, в том числе и не гарантирующие сходимости к точному решению, но упрощающие анализ определенных свойств решения нелинейных уравнений и систем. В частности, для уравнения Ван дер Поля показывается, что соответствующая ему система уравнений имеет циклическое решение, а также оценивается его масштаб. С помощью модификаций МКА (с некоторыми чертами метода Монте-Карло), в которых удается свернуть рекуррентные последовательности, построены полные решения в простых ситуациях. Упоминается перспективный подход, позволяющий представлять решение с помощью ветвящихся цепных дробей.

This study develops a previously proposed Method of Computer Analogy (MCA) based on formalization of digital computer operations. The paper discusses the position of the proposed approach among other well-known methods. It is emphasized that the primary objective is to derive analytical solutions, although in some cases they have to resort to semianalytical approximations. The paper focuses on constructing solutions for systems which, for certain parameter values, demonstrate the deterministic chaos behavior, namely Lorenz, Marioka – Shimitsu and R¨ossler systems. The paper also considers obtaining solution for Van der Pol equation (reduced to a nonlinear system). The aim of the study is to construct semi-analytical solutions represented as a segment of a power series in a step size of approximating difference scheme. To prevent overflow, authors formalize rank transfer operation. The authors apply a convergent difference scheme, referred to as the “guiding” scheme, to advance to the next step of the independent variable. The resulting approximation by a sum with only a few terms provides an approximation to the solution with any accuracy in accordance with the accuracy of the governing difference scheme. The senior digits in the resulting approximation exhibit probabilistic properties that can be modeled by known distributions, thereby enabling the derivation of analytical and semi-analytical approximations. The paper presents linear approximations that are the base for a complete approximations of solutions and provide important qualitative as well as some quantitative properties of solutions of considered systems. This work describes approximations of various orders, including those that do not guarantee convergence to the exact solution, but simplify the analysis of certain properties of nonlinear equations and systems. In particular, for the Van der Pol equation, authors demonstrate that its corresponding system has a cyclic solution and provide an estimate of its scale. A modification of the MCA that has features of the Monte Carlo method makes it possible to remove recurrent sequences and construct complete solutions in simple situations. The authors mention a promising approach for representing the solution using branched continued fractions.

Разработан метод и комплекс программ для численного моделирования процесса формирования поляронных состояний в конденсированных средах. Проведено численное исследование этого процесса для водной среды при воздействии лазерного облучения в ультрафиолетовом диапазоне. Показано, что в рамках предложенного подхода удается численно воспроизвести экспериментальные данные по формированию гидратированных электронов. Представлена схема численного решения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамическую модельпо лярона. Программная реализация выполнена с использованием технологии параллельного программирования MPI. Обсуждаются численные результаты в сравнении с экспериментальными данными и теоретическими оценками.

A method and a complex of computer programs are developed for the numerical simulation of the polaron states excitation process in condensed media. A numerical study of the polaron states formation in water under the action of the ultraviolet range laser irradiation is carried out. Our approach allows to reproduce the experimental data of the hydrated electrons formation. A numerical scheme is presented for the solution of the respective system of nonlinear partial differential equations. Parallel implementation is based on the MPI technique. The numerical results are given in comparison with the experimental data and theoretical estimations.

Задачи потери устойчивости тонких упругих оболочек снова стали актуальными, так как в последние годы обнаружено несоответствие между стандартами многих стран по определению нагрузок, вызывающих потерю несущей способности пологих оболочек, и результатами экспериментов по испытаниям тонкостенных авиационных конструкций, изготовленных из высокопрочных сплавов. Основное противоречие состоит в том, что предельные внутренние напряжения, при которых наблюдается потеря устойчивости (хлопок) оболочек, оказываются меньше тех, которые предсказывает принятая теория расчета, отраженная в стандартах США и Европы. Действующие нормативные акты основаны на статической теории пологих оболочек, предложенной в 1930-е годы: в рамках нелинейной теории упругости для тонкостенных структур выделяются устойчивые решения, значительно отличающиеся от форм равновесия, присущих небольшим начальным нагрузкам. Минимальная величина нагрузки, при которой существует альтернативная форма равновесия (низшая критическая нагрузка), принималась в качестве предельно допустимой. В 1970-е годы было установлено, что такой подход оказывается неприемлемым при сложных загружениях. Подобные случаи ранее не встречались на практике, сейчас они появились на более тонких изделиях, эксплуатируемых в сложных условиях. Поэтому необходим пересмотр исходных теоретических положений по оценке несущей способности. Основой теории могут служить недавние математические результаты, установившие асимптотическую близость расчетов по двум схемам: трехмерной динамической теории упругости и динамической теории пологих выпуклых оболочек. В предлагаемой работе вначале формулируется динамическая теория пологих оболочек, которая затем сводится к одному разрешающему интегро-дифференциальному уравнению (после построения специальной функции Грина). Показано, что полученное нелинейное уравнение допускает разделение переменных, имеет множество периодических по времени решений, которые удовлетворяют уравнению Дуффинга «с мягкой пружиной». Это уравнение хорошо изучено, его численный анализ позволяет находить амплитуду и период колебаний в зависимости от свойств функции Грина. Если вызвать колебания оболочки с помощью пробной гармонической по времени нагрузки, то можно измерить перемещения точек поверхности в момент максимальной амплитуды. Предлагается экспериментальная установка, в которой генерируются резонансные колебания пробной нагрузкой, направленной по нормали к поверхности. Экспериментальные измерения перемещений оболочки, а также амплитуды и периода колебаний дают возможность рассчитать коэффициент запаса несущей способности конструкции неразрушающим методом в условиях эксплуатации.

Buckling problems of thin elastic shells have become relevant again because of the discrepancies between the standards in many countries on how to estimate loads causing buckling of shallow shells and the results of the experiments on thinwalled aviation structures made of high-strength alloys. The main contradiction is as follows: the ultimate internal stresses at shell buckling (collapsing) turn out to be lower than the ones predicted by the adopted design theory used in the USA and European standards. The current regulations are based on the static theory of shallow shells that was put forward in the 1930s: within the nonlinear theory of elasticity for thin-walled structures there are stable solutions that significantly differ from the forms of equilibrium typical to small initial loads. The minimum load (the lowest critical load) when there is an alternative form of equilibrium was used as a maximum permissible one. In the 1970s it was recognized that this approach is unacceptable for complex loadings. Such cases were not practically relevant in the past while now they occur with thinner structures used under complex conditions. Therefore, the initial theory on bearing capacity assessments needs to be revised. The recent mathematical results that proved asymptotic proximity of the estimates based on two analyses (the three-dimensional dynamic theory of elasticity and the dynamic theory of shallow convex shells) could be used as a theory basis. This paper starts with the setting of the dynamic theory of shallow shells that comes down to one resolving integrodifferential equation (once the special Green function is constructed). It is shown that the obtained nonlinear equation allows for separation of variables and has numerous time-period solutions that meet the Duffing equation with “a soft spring”. This equation has been thoroughly studied; its numerical analysis enables finding an amplitude and an oscillation period depending on the properties of the Green function. If the shell is oscillated with the trial time-harmonic load, the movement of the surface points could be measured at the maximum amplitude. The study proposes an experimental set-up where resonance oscillations are generated with the trial load normal to the surface. The experimental measurements of the shell movements, the amplitude and the oscillation period make it possible to estimate the safety factor of the structure bearing capacity with non-destructive methods under operating conditions.

Представлена программа NINE (Newtonian Iteration for Nonlinear Equation) численного решения граничных задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на основе непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН) с использованием нумеровской конечно-разностной аппроксимации четвертого порядка относительно шага дискретизации по пространственной переменной. Обсуждаются алгоритмы вычисления ньютоновского итерационного параметра. Выполнены методические расчеты, демонстрирующие влияние выбора итерационного параметра на сходимость итерационного процесса. Представлены результаты проведенного с помощью программы NINE численного исследования положительных частицеподобных решений уравнения скалярного поля.

The computer code NINE (Newtonian Iteration for Nonlinear Equation) for numerical solution of the boundary problems for nonlinear differential equations on the basis of continuous analogue of the Newton method (CANM) is presented. Numerov’s finite-difference appproximation is applied to provide the fourth accuracy order with respect to the discretization stepsize. Algorithms of calculating the Newtonian iterative parameter are discussed. A convergence of iteration process in dependence on choice of the iteration parameter has been studied. Results of numerical investigation of the particle-like solutions of the scalar field equation are given.

Разные варианты моделей переключающегося режима воспроизводства описывают совокупность взаимодействующих друг с другом макроэкономических производственных подсистем, каждой из которых соответствует свое домашнее хозяйство. Эти подсистемы различаются между собой по возрасту используемого ими основного капитала, поскольку они по очереди останавливают производство продукции для его обновления собственными силами (для ремонта оборудования и для привнесения инноваций, увеличивающих эффективность производства). Это принципиально отличает данный тип моделей от моделей, описывающих режим совместного воспроизводства, при котором обновление основного капитала и производство продукта происходят одновременно. Модели переключающегося режима воспроизводства позволяют наглядно описать механизмы таких явлений, как денежные кругообороты и амортизация, а также описывать различные виды монетарной политики, позволяют по-новому интерпретировать механизмы экономического роста. В отличие от многих других макроэкономических моделей модели этого класса, в которых конкурирующие между собой подсистемы поочередно приобретают преимущество над остальными за счет обновления, принципиально не равновесны. Изначально они были описаны в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений со скачкообразно меняющимися коэффициентами. В численных расчетах, проводившихся для этих систем, в зависимости от значений параметров и начальных условий была выявлена как регулярная, так и нерегулярная динамика. В данной работе показано, что простейшие варианты этой модели без использования дополнительных приближений могут быть представлены в дискретной форме (в виде нелинейных отображений) при различных вариантах (непрерывных и дискретных) финансовых потоков между подсистемами (интерпретируемых как зарплаты и субсидии). Эта форма представления более удобна для получения строгих аналитических результатов, а также для проведения более экономных и точных численных расчетов. В частности, ее использование позволило определить начальные условия, соответствующие скоординированному, устойчивому экономическому росту без систематического отставания в производительности одних подсистем от других.

Different versions of the shifting mode of reproduction models describe set of the macroeconomic production subsystems interacting with each other, to each of which there corresponds the household. These subsystems differ among themselves on age of the fixed capital used by them as they alternately stop production for its updating by own forces (for repair of the equipment and for introduction of the innovations increasing production efficiency). It essentially distinguishes this type of models from the models describing the mode of joint reproduction in case of which updating of fixed capital and production of a product happen simultaneously. Models of the shifting mode of reproduction allow to describe mechanisms of such phenomena as cash circulations and amortization, and also to describe different types of monetary policy, allow to interpret mechanisms of economic growth in a new way. Unlike many other macroeconomic models, model of this class in which the subsystems competing among themselves serially get an advantage in comparison with the others because of updating, essentially not equilibrium. They were originally described as a systems of ordinary differential equations with abruptly varying coefficients. In the numerical calculations which were carried out for these systems depending on parameter values and initial conditions both regular, and not regular dynamics was revealed. This paper shows that the simplest versions of this model without the use of additional approximations can be represented in a discrete form (in the form of non-linear mappings) with different variants (continuous and discrete) financial flows between subsystems (interpreted as wages and subsidies). This form of representation is more convenient for receipt of analytical results as well as for a more economical and accurate numerical calculations. In particular, its use allowed to determine the entry conditions corresponding to coordinated and sustained economic growth without systematic lagging in production of a product of one subsystems from others.