All issues

В работе предложена математическая модель аэроупругих колебаний стенки узкого канала, имеющей нелинейно-упругий подвес и взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкого газа. В рамках данной модели определены и исследованы аэроупругий отклик стенки канала и соответствующий ему фазовый сдвиг. Сформулированная авторами модель позволяет одновременно исследовать влияние на колебания стенки нелинейной жесткости ее упругого подвеса, сжимаемости и диссипативных свойств газа, а также инерции его движения в канале под действием пульсирующего перепада давления. Модель разработана на базе постановки и решения плоской начально-краевой задачи математической физики, включающей систему уравнений динамики баротропного вязкого газа, уравнения динамики жесткой стенки как одномассового нелинейного осциллятора. Используя метод возмущений, проведен асимптотический анализ задачи с последующим решением уравнений динамики тонкого слоя вязкого газа методом итерации. В результате определен закон распределения давления газа в канале и исходная задача аэроупругости сведена к исследованию обобщенного уравнения Дуффинга. Его решение осуществлено методом гармонического баланса, что позволило определить аэроупругий и фазовый отклики стенки канала в виде неявных функций. Проведено численное исследование данных откликов для оценки влияния инерции движения газа и его сжимаемости, а также сравнение полученных результатов с частными случаями ползущего движения вязкого газа и несжимаемой вязкой жидкости. Результаты проведенного исследования показали важность одновременного учета сжимаемости и инерции движения вязкого газа при моделировании аэроупругих колебаний стенки рассматриваемого канала.

The mathematical model for aeroelastic oscillations of a narrow channel wall with a nonlinear-elastic suspension and interacting with a pulsating viscous gas layer is proposed. Within the framework of this model, the aeroelastic response of the channel wall and its phase response were determined and investigated. The authors simultaneously studied the influence of the nonlinear stiffness elastic suspension of the wall, compressibility and dissipative properties of gas, as well as the inertia of its motion on the wall oscillations. The model was elaborated based on the formulation and solution of the initial boundary-value plane problem of mathematical physics. The problem governing equations include the equations of dynamics for barotropic viscous gas, equation of dynamics for the rigid wall as the spring-mass nonlinear oscillator. Using the perturbation method, the asymptotic analysis of the problem was carried out. The solution of the equations of dynamics for the thin layer of viscous gas was obtained by the iteration method. As a result, the law of gas pressure distribution in the channel was determined and the initial problem of aeroelasticity was reduced to the study of the generalized Duffing equation. Its solution was realized by the harmonic balance method, which allowed us to determine the aeroelastic and phase responses of the channel wall in the form of implicit functions. The numerical study of these responses was carried out to evaluate the influence for inertia of gas motion and its compressibility, as well as a comparison of the results obtained with the special cases of creeping motion of viscous gas and incompressible viscous fluid. The results of this study have shown the importance of simultaneous consideration of compressibility and inertia of viscous gas motion when modeling aeroelastic oscillations of the considered channel wall.

В работе изучаются возможности прогнозирования потери устойчивости тонких цилиндрических оболочек неразрушающими методами на стадии эксплуатации. Исследуются пологие оболочки, изготовленные из высокопрочных материалов. Для таких конструктивных решений характерны перемещения поверхностей, превосходящие толщины элементов. В рассматриваемых оболочках могут генерироваться релаксационные колебания значительной амплитуды даже при сравнительно невысоком уровне внутренних напряжений. Произведено упрощенное механико-математическое моделирование задачи о колебаниях цилиндрической оболочки, сводящее проблему к обыкновенному дифференциальному уравнению. При создании модели существенно использованы исследования многих авторов по изучению геометрии поверхности, образующейся после потери устойчивости. Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение колеблющейся оболочки совпадает с хорошо изученным уравнением Дуффинга. Важно, что для тонких оболочек в уравнении Дуффинга появляется малый параметр перед второй производной по времени. Последнее обстоятельство дает возможность провести детальный анализ выведенного уравнения и описать релаксационные колебания — физическое явление, присущее только тонким высокопрочным оболочкам.

Показано, что гармонические колебания оболочки вокруг положения равновесия и устойчивые релаксационные колебания определяются точкой бифуркации решений уравнения Дуффинга. Эта точка является первой в схеме Фейгенбаума по преобразованию устойчивых периодических движений в динамический хаос. Произведены вычисления амплитуды и периода релаксационных колебаний в зависимости от физических свойств и уровня внутренних напряжений в оболочке. Рассмотрены два случая нагружения: сжатие вдоль образующих и внешнее давление.

Отмечено, что если внешние силы изменяются в течение времени по гармоническому закону, то периодическое колебание оболочки (нелинейный резонанс) состоит из отрезков медленного и скачкообразного движений. Этот факт, наряду со знанием амплитуды и частоты колеблющейся оболочки, позволяет предложить экспериментальную установку для прогноза потери устойчивости оболочки неразрушающим методом. В качестве критерия безопасности принято следующее требование: максимальные комбинации нагрузок не должны вызывать перемещения, превышающие заданные пределы. Получена формула, оценивающая запас устойчивости (коэффициент безопасности) конструкции по результатам экспериментальных измерений.

The paper reviews possibilities to predict buckling of thin cylindrical shells with non-destructive techniques during operation. It studies shallow shells made of high strength materials. Such structures are known for surface displacements exceeding the thickness of the elements. In the explored shells relaxation oscillations of significant amplitude can be generated even under relatively low internal stresses. The problem of the cylindrical shell oscillation is mechanically and mathematically modeled in a simplified form by conversion into an ordinary differential equation. To create the model, the researches of many authors were used who studied the geometry of the surface formed after buckling (postbuckling behavior). The nonlinear ordinary differential equation for the oscillating shell matches the well-known Duffing equation. It is important that there is a small parameter before the second time derivative in the Duffing equation. The latter circumstance enables making a detailed analysis of the obtained equation and describing the physical phenomena — relaxation oscillations — that are unique to thin high-strength shells.

It is shown that harmonic oscillations of the shell around the equilibrium position and stable relaxation oscillations are defined by the bifurcation point of the solutions to the Duffing equation. This is the first point in the Feigenbaum sequence to convert the stable periodic motions into dynamic chaos. The amplitude and the period of relaxation oscillations are calculated based on the physical properties and the level of internal stresses within the shell. Two cases of loading are reviewed: compression along generating elements and external pressure.

It is highlighted that if external forces vary in time according to the harmonic law, the periodic oscillation of the shell (nonlinear resonance) is a combination of slow and stick-slip movements. Since the amplitude and the frequency of the oscillations are known, this fact enables proposing an experimental facility for prediction of the shell buckling with non-destructive techniques. The following requirement is set as a safety factor: maximum load combinations must not cause displacements exceeding specified limits. Based on the results of the experimental measurements a formula is obtained to estimate safety against buckling (safety factor) of the structure.