All issues

В работе рассматривается вопрос о возможности создания материала, который имеет коэффициенты ослабления и рассеяния рентгеновского излучения близкие или совпадающие с этими же коэффициентами для другого, заранее заданного материала. Проведена компьютерная обработка данных о значении этих коэффициентов для большого набора различных веществ, изучена их зависимость от энергии излучения. Сделан вывод о возможности успешного решения поставленной задачи во многих случаях, а так же указаны основные трудности, которые могут при этом возникнуть. Приведены результаты расчетов, выполненных для ряда конкретных веществ.

The problem of formation of a material, which has the coefficients of attenuations and scattering close or coinciding with the same coefficients for some other predetermined material was considered. A computer processing of values of these coefficients for a big set of various materials has been carried out and their dependence on radiation energy value was studied. The conclusion was drawn about probability of successful solution of the problem in many cases and difficulties, which may occur were pointed out. A set of computer calculations carried out for some specific materials is provided.

Численное решение системы уравнений высокотемпературной радиационной газовой динамики (ВРГД) является вычислительно трудоемкой задачей, так как взаимодействие излучения с веществом нелинейно и нелокально. Коэффициенты поглощения излучения зависят от температуры, а поле температур определяется как газодинамическими процессами, так и переносом излучения. Обычно для решения системы ВРГД используется метод расщепления по физическим процессам, выделяется блок решения уравнения переноса совместно с уравнением баланса энергии вещества при известных давлениях и температурах. Построенные ранее разностные схемы, используемые для решения этого блока, обладают порядками сходимости не выше второго. Так как даже на современном уровне развития вычислительной техники имеются ограничения по памяти, то для решения сложных технических задач приходится применять не слишком подробные сетки. Это повышает требования к порядку аппроксимации разностных схем. В данной работе впервые реализованы бикомпактные схемы высокого порядка аппроксимации для алгоритма совместного решения уравнения переноса излучения и уравнения баланса энергии. Предложенный метод может быть применен для решения широкого круга практических задач, так как обладает высокой точностью и подходит для решения задач с разрывами коэффициентов. Нелинейность задачи и использование неявной схемы приводит к итерационному процессу, который может медленно сходиться. В данной работе используется мультипликативный HOLO-алгоритм — метод квазидиффузии В.Я. Гольдина. Ключевая идея HOLO-алгоритмов состоит в совместном решении уравнений высокого порядка (high order, HO) и низкого порядка (low order, LO). Уравнением высокого порядка (HO) является уравнение переноса излучения, которое решается в многогрупповом приближении, далее уравнение осредняется по угловой переменной и получается система уравнений квазидиффузии в многогрупповом приближении (LO₁). Следующим этапом является осреднение по энергии, при этом получается эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии (LO₂), которая решается совместно с уравнением энергии. Решения, получаемые на каждом этапе HOLO-алгоритма, оказываются тесно связанными, что в итоге приводит к ускорению сходимости итерационного процесса. Для каждого из этапов HOLO-алгоритма предложены разностные схемы, построенные методом прямых в рамках одной ячейки и обладающие четвертым порядком аппроксимации по пространству и третьим порядком по времени. Схемы для уравнения переноса были разработаны Б.В. Роговым и его коллегами, схемы для уравнений LO₁ и LO₂ разработаны авторами. Предложен аналитический тест, на котором демонстрируются заявленные порядки сходимости. Рассматриваются различные варианты постановки граничных условий и исследовано их влияние на порядок сходимости по времени и пространству.

The numerical solving of the system of high-temperature radiative gas dynamics (HTRGD) equations is a computationally laborious task, since the interaction of radiation with matter is nonlinear and non-local. The radiation absorption coefficients depend on temperature, and the temperature field is determined by both gas-dynamic processes and radiation transport. The method of splitting into physical processes is usually used to solve the HTRGD system, one of the blocks consists of a joint solving of the radiative transport equation and the energy balance equation of matter under known pressure and temperature fields. Usually difference schemes with orders of convergence no higher than the second are used to solve this block. Due to computer memory limitations it is necessary to use not too detailed grids to solve complex technical problems. This increases the requirements for the order of approximation of difference schemes. In this work, bicompact schemes of a high order of approximation for the algorithm for the joint solution of the radiative transport equation and the energy balance equation are implemented for the first time. The proposed method can be applied to solve a wide range of practical problems, as it has high accuracy and it is suitable for solving problems with coefficient discontinuities. The non-linearity of the problem and the use of an implicit scheme lead to an iterative process that may slowly converge. In this paper, we use a multiplicative HOLO algorithm named the quasi-diffusion method by V.Ya.Goldin. The key idea of HOLO algorithms is the joint solving of high order (HO) and low order (LO) equations. The high-order equation (HO) is the radiative transport equation solved in the energy multigroup approximation, the system of quasi-diffusion equations in the multigroup approximation (LO₁) is obtained by averaging HO equations over the angular variable. The next step is averaging over energy, resulting in an effective one-group system of quasi-diffusion equations (LO₂), which is solved jointly with the energy equation. The solutions obtained at each stage of the HOLO algorithm are closely related that ultimately leads to an acceleration of the convergence of the iterative process. Difference schemes constructed by the method of lines within one cell are proposed for each of the stages of the HOLO algorithm. The schemes have the fourth order of approximation in space and the third order of approximation in time. Schemes for the transport equation were developed by B.V. Rogov and his colleagues, the schemes for the LO₁ and LO₂ equations were developed by the authors. An analytical test is constructed to demonstrate the declared orders of convergence. Various options for setting boundary conditions are considered and their influence on the order of convergence in time and space is studied.

Рассматриваются задачи радиационно-кондуктивного теплообмена в рассеивающем слое, заключающиеся в нахождении температурного профиля и улучшении теплоотдачи от границ слоя. Для их решения применяется итерационный рекурсивный алгоритм, основанный на методе Монте-Карло. Анализируются различные подходы параллелизации предложенного алгоритма.

The problems of radiative-conductive heat transfer in the scattering layer are considered. They consist in finding the temperature profile and improving the heat transfer from boundaries. For their solution the Monte Carlo method is used. The different approaches of parallelization of proposed algorithm are analyzed.

В работе проанализированы некоторые проблемы разработки численных методов решения задач с линейным кинетическим уравнением переноса больцмановского типа. Перечислены существующие приложения такого рода уравнения. Основное внимание уделяется задачам переноса излучения в плоском слое, имеющим важное значение для экспериментальной исследовательской практики. Даны основные определения и приведены традиционные ограничения, применяемые в задачах переноса излучения. Рассмотрены некоторые особенности постановки задач радиационного переноса для плоских слоев нерегулярных гетерогенных композиционных материалов, частично прозрачных для электромагнитного излучения. Указаны основные подходы к численному и численно-аналитическому решению линейного кинетического уравнения переноса.

Рассмотрены некоторые варианты наиболее простых сеточных численных методов установления для решения кинетических задач переноса в плоском слое среды с сильным ослаблением. Проанализированы проблемы одно- и двухшаговых вариантов таких итерационных методов, для некоторых из них исследованы и установлены причины отсутствия устойчивости и сходимости.

Показано, что в явном консервативном одношаговом методе для слоя однородной поглощающей, но не излучающей и не рассеивающей среды в спектре гармонических решений всегда существуют неустойчивые моды. Они возникают в области излучения, распространяющегося почти параллельно границам слоя, а их неустойчивость усиливается с ростом эффектов ослабления среды и обусловлена наличием в уравнении переноса малого коэффициента перед пространственной производной. Для ограничения нежелательного влияния этой компоненты рассмотрены различные варианты расщепления уравнения на два и три дробных шага. Показано, что наиболее предпочтительными являются варианты с явной организацией дробных шагов, для которых представлено доказательство устойчивости и сходимости, основанное на теореме Лакса об эквивалентности. Доказано, что правильное выстраивание последовательности дробных шагов в явных схемах численного решения линейных нестационарных кинетических задач переноса способно обеспечивать их дополнительную стабилизацию, причем важную роль стабилизирующего инструмента может играть интеграл рассеяния. Так, при решении кинетических задач переноса в средах с высоким альбедо рассеяния наиболее простым и эффективным оказался явный сеточный метод установления с расщеплением итераций на три дробных шага по физическим процессам. Метод реализован в виде кода на языке Matlab, который в процессе получения численного решения осуществляет контроль его качества.

Представлены наиболее существенные результаты моделирования, подтвердившие, что трехшаговый метод предъявляет сравнительно умеренные требования по ресурсам, точности численного интегрирования и обеспечивает условную сходимость итераций. Его математическая корректность подтверждена поведением невязок уравнения, прямым контролем сходимости численных решений, физическая — обеспечением для эргодических систем свойством сходимости к инвариантному стационарному состоянию, не зависящему от начальных условий. Перечислены некоторые обнаруженные и возможные ограничения метода.

Работа будет полезной специалистам в области математического моделирования, численных методов, кинетической теории, комбинированного тепло- и массообмена, занимающимся вопросами интерпретации экспериментальных данных, аспирантам и студентам старших курсов, специализирующимся в указанных направлениях.

This paper analyzes some issues in developing numerical methods for solving problems with a Boltzmann-type linear kinetic transport equation. Existing applications of this type of equation are listed. The focus is on the problem of radiative transfer in a flat layer, which are important for experimental research practice. Key definitions and traditional limitations applied to radiative transfer problems are presented. Some features of formulating radiative transfer problems for flat layers of irregular heterogeneous composite materials that are partially transparent to electromagnetic radiation are considered. The main approaches to the numerical and numerical-analytical solution of the linear kinetic transport equation are outlined.

Some variants of the simplest grid numerical methods for solving of nonstationary kinetic problems of transport a flat layer of a medium with strong attenuation are considered. Problems with one- and two-step variants of these iterative methods are analyzed, for some of them the causes of instability and convergence absence in some of them are investigated and established. It is shown that in the explicit conservative one-step method for a layer of a homogeneous absorbing, but neither radiating nor scattering, medium, unstable modes always exist in the spectrum of harmonic solutions. These modes arise in the region of radiation propagating almost parallel to the layer boundaries, and their instability increases with increasing attenuation effects and is caused by the presence of a small coefficient before the spatial derivative in the transport equation. To limit the undesirable influence of this component, various variants of splitting the equation into two and three fractional steps are considered.

It is shown that the most preferable options are those with explicitly organized fractional steps, for which a proof of their stability and convergence, that based on the Lax’s equivalence theorem is presented. It is demonstrated that the correct building of the fractional step sequence in explicit schemes for numerical solving of the nonstationary linear kinetic transport problems can provide additional stabilization, with the scattering integral plays an important role in stabilizing them. So, when solving kinetic transport problems in media with high scattering albedo, the explicit grid method of settling with splitting the iterations into three fractional steps, that were based on physical processes proved to be the simplest and most effective. The method is implemented as Matlab code, which performs quality control during the generation of the numerical solution process. The most significant modeling results are presented, confirming that the three-step method imposes relatively moderate requirements on resources and numerical integration accuracy, and ensures conditional convergence of iterations. Its mathematical correctness is confirmed by the behavior of the equation residuals and direct control of the convergence of numerical solutions. Its physical correctness is confirmed by ensuring, for ergodic systems, the property of convergence to an invariant steady state independent of the initial conditions. Some discovered and possible limitations of the method are listed.

The work will be useful to specialists in the field of mathematical modeling, numerical methods, kinetic theory, combined heat and mass transfer, dealing with issues of interpretation of experimental data, graduate students and senior students specializing in the indicated areas.