All issues

В работе описывается свободно распространяемая прикладная программа для исследований в области голоморфной динамики на основе вычислительных возможностей среды MATLAB. Программа позволяет строить не только одиночные комплекснозначные отображения, но и их коллективы как линейно связанные, на квадратной или гексагональной решетке. В первом случае строятся аналоги множества Жюлиа (в виде точек убегания с цветовой индикацией скорости убегания), Фату (с выделением хаотической динамики) и множества Мандельброта, порожденного одним из двух свободных параметров. Во втором случае рассматривается только динамика клеточного автомата с комплекснозначным состоянием ячеек и всеми коэффициентами в локальной функции перехода. Абстрактность объектно-ориентированного программирования позволяет объединить оба типа расчета в рамках одной программы, описывающей итеративную динамику одного объекта.

Для формы поля, начальных условий, шаблона окрестности и особенностей окрестности у граничных ячеек предусмотрены опции выбора. Вид отображения может быть задан регулярным для интерпретатора MATLAB выражением. В статье приводятся некоторые UML-диаграммы, краткое введение в пользовательский интерфейс и ряд примеров.

В качестве рабочих иллюстраций, содержащих новое научное знание, были рассмотрены следующие случаи:

1) дробно-линейное отображение вида $Az^{n} +B/z^{n} $, для которого случаи $n=2$, $4$, $n>1$, известны. На портрете множества Фату привлекают внимание характерные (для классического квадратичного отображения) фигурки <<пряничных человечков>>, показывающие короткопериодические режимы, находящиеся в море компоненты условно хаотической динамики;

2) у множества Мандельброта при нестандартном положении параметра в показателе степени $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ на эскизных расчетах обнаруживаются некие зубчатые структуры и облака точек, напоминающие пыль Кантора, не являющиеся букетами Кантора, характерными для экспоненциального отображения. В дальнейшем требуется детализация этих объектов со сложной топологией.

The paper describes a free software for research in the field of holomorphic dynamics based on the computational capabilities of the MATLAB environment. The software allows constructing not only single complex-valued mappings, but also their collectives as linearly connected, on a square or hexagonal lattice. In the first case, analogs of the Julia set (in the form of escaping points with color indication of the escape velocity), Fatou (with chaotic dynamics highlighting), and the Mandelbrot set generated by one of two free parameters are constructed. In the second case, only the dynamics of a cellular automaton with a complex-valued state of the cells and of all the coefficients in the local transition function is considered. The abstract nature of object-oriented programming makes it possible to combine both types of calculations within a single program that describes the iterated dynamics of one object.

The presented software provides a set of options for the field shape, initial conditions, neighborhood template, and boundary cells neighborhood features. The mapping display type can be specified by a regular expression for the MATLAB interpreter. This paper provides some UML diagrams, a short introduction to the user interface, and some examples.

The following cases are considered as example illustrations containing new scientific knowledge:

1) a linear fractional mapping in the form $Az^{n} +B/z^{n} $, for which the cases $n=2$, $4$, $n>1$, are known. In the portrait of the Fatou set, attention is drawn to the characteristic (for the classical quadratic mapping) figures of <>, showing short-period regimes, components of conventionally chaotic dynamics in the sea;

2) for the Mandelbrot set with a non-standard position of the parameter in the exponent $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ sketch calculations reveal some jagged structures and point clouds resembling Cantor's dust, which are not Cantor's bouquets that are characteristic for exponential mapping. Further detailing of these objects with complex topology is required.

В предлагаемой статье приводятся результаты аналитического и компьютерного исследования коллективных динамических свойств цепочки автоколебательных систем (условно — осцилляторов). Предполагается, что связи отдельных элементов цепочки являются невзаимными, однонаправленными. Точнее, предполагается, что каждый элемент цепочки находится под воздействием предыдущего, в то время как обратная реакция отсутствует (физически несущественна). В этом состоит главная особенность цепочки. Данную систему можно интерпретировать как активную дискретную среду с однонаправленным переносом, в частности переносом вещества. Подобные цепочки могут являться математическими моделями реальных систем с решеточной структурой, имеющих место в самых различных областях естествознания и техники: в физике, химии, биологии, радиотехнике, экономике и др. Также они могут быть моделями технологических и вычислительных процессов. В качестве элементов решетки выбраны нелинейные автоколебательные системы (условно — осцилляторы) с широким спектром потенциально возможных индивидуальных автоколебаний: от периодических до хаотических. Это позволяет исследовать различные динамические режимы цепочки от регулярных до хаотических, меняя параметры элементов и не меняя природу самих элементов. Совместное применение качественных методов теории динамических систем и качественно-численных методов позволяет получить обозримую картину всевозможных динамических режимов цепочки. Исследуются условия существования и устойчивости пространственно однородных динамических режимов (детерминированных и хаотических) цепочки. Аналитические результаты иллюстрированы численным экспериментом. Исследуются динамические режимы цепочки при возмущениях параметров на ее границе. Показывается возможность управления динамическими режимами цепочки путем включения необходимого возмущения на границе. Рассматриваются различные случаи динамики цепочек, составленных из неоднородных (различных по своим параметрам) элементов. Аналитически и численно исследуется глобальная (всех осцилляторов цепочки) хаотическая синхронизация.

This article presents the results of an analytical and computer study of the collective dynamic properties of a chain of self-oscillating systems (conditionally — oscillators). It is assumed that the couplings of individual elements of the chain are non-reciprocal, unidirectional. More precisely, it is assumed that each element of the chain is under the influence of the previous one, while the reverse reaction is absent (physically insignificant). This is the main feature of the chain. This system can be interpreted as an active discrete medium with unidirectional transfer, in particular, the transfer of a matter. Such chains can represent mathematical models of real systems having a lattice structure that occur in various fields of natural science and technology: physics, chemistry, biology, radio engineering, economics, etc. They can also represent models of technological and computational processes. Nonlinear self-oscillating systems (conditionally, oscillators) with a wide “spectrum” of potentially possible individual self-oscillations, from periodic to chaotic, were chosen as the “elements” of the lattice. This allows one to explore various dynamic modes of the chain from regular to chaotic, changing the parameters of the elements and not changing the nature of the elements themselves. The joint application of qualitative methods of the theory of dynamical systems and qualitative-numerical methods allows one to obtain a clear picture of all possible dynamic regimes of the chain. The conditions for the existence and stability of spatially-homogeneous dynamic regimes (deterministic and chaotic) of the chain are studied. The analytical results are illustrated by a numerical experiment. The dynamical regimes of the chain are studied under perturbations of parameters at its boundary. The possibility of controlling the dynamic regimes of the chain by turning on the necessary perturbation at the boundary is shown. Various cases of the dynamics of chains comprised of inhomogeneous (different in their parameters) elements are considered. The global chaotic synchronization (of all oscillators in the chain) is studied analytically and numerically.