All issues

В работе развивается предложенный ранее метод компьютерной аналогии (МКА), основанный на формализации операций цифрового компьютера. Обсуждается место предлагаемого подхода среди известных методов. Подчеркивается, что целью является получение именно аналитических представлений решений, хотя пока в ряде случаев приходится ограничиться полуаналитическими аппроксимациями. Подробно изучается способ построения решений для уравнения Ван дер Поля (сводящегося к нелинейной системе дифференциальных уравнений), для систем Лоренца, Мариока – Шимицу и Рёсслера. Для трех последних нелинейных систем рассматриваются параметры, при которых решения демонстрируют черты детерминистического хаоса. Строятся полуаналитические решения, основанные на представлении решения в виде отрезка сходящегося степенного ряда по шагу независимой переменной при использовании аппроксимирующих разностных схем. Для предотвращения переполнения применяется формализованная операция переноса разрядов. Для перехода на следующий шаг по независимой переменной используется сходящаяся к решению разностная схема, называемая руководящей. Таким образом, получаемая аппроксимация суммой всего с несколькими членами обеспечивает приближение к решению с любой точностью в соответствии с точностью руководящей разностной схемы. Старшие разряды в получаемом приближении обнаруживают вероятностные свойства, которые удается моделировать известными распределениями, что приводит к получению аналитических и полуаналитических аппроксимаций. В работе представлены линейные приближения, являющиеся основой для полных приближений решений и дающие важные качественные, а также некоторые количественные свойства решений. Описываются аппроксимации различного порядка, в том числе и не гарантирующие сходимости к точному решению, но упрощающие анализ определенных свойств решения нелинейных уравнений и систем. В частности, для уравнения Ван дер Поля показывается, что соответствующая ему система уравнений имеет циклическое решение, а также оценивается его масштаб. С помощью модификаций МКА (с некоторыми чертами метода Монте-Карло), в которых удается свернуть рекуррентные последовательности, построены полные решения в простых ситуациях. Упоминается перспективный подход, позволяющий представлять решение с помощью ветвящихся цепных дробей.

This study develops a previously proposed Method of Computer Analogy (MCA) based on formalization of digital computer operations. The paper discusses the position of the proposed approach among other well-known methods. It is emphasized that the primary objective is to derive analytical solutions, although in some cases they have to resort to semianalytical approximations. The paper focuses on constructing solutions for systems which, for certain parameter values, demonstrate the deterministic chaos behavior, namely Lorenz, Marioka – Shimitsu and R¨ossler systems. The paper also considers obtaining solution for Van der Pol equation (reduced to a nonlinear system). The aim of the study is to construct semi-analytical solutions represented as a segment of a power series in a step size of approximating difference scheme. To prevent overflow, authors formalize rank transfer operation. The authors apply a convergent difference scheme, referred to as the “guiding” scheme, to advance to the next step of the independent variable. The resulting approximation by a sum with only a few terms provides an approximation to the solution with any accuracy in accordance with the accuracy of the governing difference scheme. The senior digits in the resulting approximation exhibit probabilistic properties that can be modeled by known distributions, thereby enabling the derivation of analytical and semi-analytical approximations. The paper presents linear approximations that are the base for a complete approximations of solutions and provide important qualitative as well as some quantitative properties of solutions of considered systems. This work describes approximations of various orders, including those that do not guarantee convergence to the exact solution, but simplify the analysis of certain properties of nonlinear equations and systems. In particular, for the Van der Pol equation, authors demonstrate that its corresponding system has a cyclic solution and provide an estimate of its scale. A modification of the MCA that has features of the Monte Carlo method makes it possible to remove recurrent sequences and construct complete solutions in simple situations. The authors mention a promising approach for representing the solution using branched continued fractions.

Методами численного моделирования проведено исследование процессов взаимодействия осциллирующего солитона (бризера) с 180-градусной доменной стенкой нееловского типа в рамках (2 + 1)-мерной суперсимметричной О(3) нелинейной сигма-модели. Целью настоящей работы является исследование нелинейной эволюции и устойчивости системы взаимодействующих локализованных динамических и топологических решений. Для построения моделей взаимодействия были использованы стационарные бризерные решения и решения в виде доменных стенок, полученные в рамках двумерного уравнения синус-Гордона добавлением специально подобранных возмущений вектору А3-поля в изотопическом пространстве блоховской сферы. При отсутствии внешнего магнитного поля нелинейные сигма-модели обладают формальной лоренц-инвариантностью, которая позволяет построить, в частности, движущиеся решения и провести полный анализ экспериментальных данных нелинейной динамики системы взаимодействующих солитонов. В настоящей работе на основе полученных движущихся локализованных решений построены модели налетающих и лобовых столкновений бризеров с доменной стенкой, где, в зависимости от динамических параметров системы, наблюдаются процессы столкновения и отражения солитонов друг от друга, дальнодействующие взаимодействия, а также распад осциллирующего солитона на линейные волны возмущений. В отличие от бризерного решения, обладающего динамикой внутренней степени свободы, интеграл энергии топологически устойчивого солитона во всех проведенных экспериментах сохраняется с высокой точностью. Для каждого типа взаимодействия определен интервал значений скорости движения сталкивающихся динамических и топологических солитонов в зависимости от частоты вращения вектора А3-поля в изотопическом пространстве. Численные модели построены на основе методов теории конечных разностных схем, использованием свойств стереографической проекции, с учетом теоретико-групповых особенностей конструкций класса O(N) нелинейных сигма-моделей теории поля. По периметру двумерной области моделирования установлены специально разработанные граничные условия, которые поглощают линейные волны возмущений, излучаемые взаимодействующими солитонными полями. Таким образом, осуществлено моделирование процессов взаимодействия локализованных решений в бесконечном двумерном фазовом пространстве. Разработан программный модуль, позволяющий провести комплексный анализ эволюции взаимодействующих решений нелинейных сигма-моделей теории поля, с учетом ее групповых особенностей в двумерном псевдоевклидовом пространстве. Проведен анализ изоспиновой динамики, а также плотности и интеграла энергии системы взаимодействующих динамических и топологических солитонов.

By numerical simulation methods the interaction processes of oscillating soliton (breather) with a 180-degree Neel domain wall in the framework of a (2 + 1)-dimensional supersymmetric O(3) nonlinear sigma model is studied. The purpose of this paper is to investigate nonlinear evolution and stability of a system of interacting localized dynamic and topological solutions. To construct the interaction models, were used a stationary breather and domain wall solutions, where obtained in the framework of the two-dimensional sine-Gordon equation by adding specially selected perturbations to the A3-field vector in the isotopic space of the Bloch sphere. In the absence of an external magnetic field, nonlinear sigma models have formal Lorentz invariance, which allows constructing, in particular, moving solutions and analyses the experimental data of the nonlinear dynamics of an interacting solitons system. In this paper, based on the obtained moving localized solutions, models for incident and head-on collisions of breathers with a domain wall are constructed, where, depending on the dynamic parameters of the system, are observed the collisions and reflections of solitons from each other, a long-range interactions and also the decay of an oscillating soliton into linear perturbation waves. In contrast to the breather solution that has the dynamics of the internal degree of freedom, the energy integral of a topologically stable soliton in the all experiments the preserved with high accuracy. For each type of interaction, the range of values of the velocity of the colliding dynamic and topological solitons is determined as a function of the rotation frequency of the A3-field vector in the isotopic space. Numerical models are constructed on the basis of methods of the theory of finite difference schemes, using the properties of stereographic projection, taking into account the group-theoretical features of constructions of the O(N) class of nonlinear sigma models of field theory. On the perimeter of the two-dimensional modeling area, specially developed boundary conditions are established that absorb linear perturbation waves radiated by interacting soliton fields. Thus, the simulation of the interaction processes of localized solutions in an infinite two-dimensional phase space is carried out. A software module has been developed that allows to carry out a complex analysis of the evolution of interacting solutions of nonlinear sigma models of field theory, taking into account it’s group properties in a two-dimensional pseudo-Euclidean space. The analysis of isospin dynamics, as well the energy density and energy integral of a system of interacting dynamic and topological solitons is carried out.

Для трехосной стабилизации космического аппарата (КА) в орбитальной системе координат, в том числе в непрямом положении равновесия, применяется электродинамический метод управления, основанный на одновременном использовании двух управляющих моментов, оказывающих влияние на динамику вращательного движения космического аппарата в магнитном поле Земли (МПЗ), а именно лоренцева момента и момента магнитного взаимодействия. Предполагается, что КА, оснащенный электрическим зарядом с управляемым вектором статического момента заряда первого порядка и управляемым собственным магнитным моментом, движется по кеплеровой круговой околоземной орбите произвольного наклонения. Ранее было показано, что объединение двух систем управления — магнитной и лоренцевой — в единую электродинамическую систему управления (ЭДСУ) позволяет успешно решать различные задачи управления угловым движением КА. В отличие от многих известных исследований, выполненных для той или иной приближенной модели МПЗ, в данной работе не накладывается ограничений на точность аппроксимации МПЗ. Ранее выполненные исследования показали ограниченность возможностей ЭДСУ для КА, движущихся по орбитам, близким по наклонению к полярным, в силу наличия в этом случае таких точек на траектории КА, в которых возможно совпадение линий действия вектора геомагнитной индукции и вектора скорости КА относительно МПЗ. Поэтому в данной работе ставится и решается задача преодоления отмеченных трудностей. Предложена модификация ЭДСУ, основанная, во-первых, на оптимизации управления угловым движением КА и, во-вторых, на ограничении максимальной величины модуля вектора центра заряда относительно центра масс КА, который необходимо создавать в процессе управления. Рекомендован способ выбора параметров для модифицированной ЭДСУ. Приведенные результаты численных экспериментов для КА, находящихся на полярной и приполярных орбитах, не только демонстрируют работоспособность предложенной модификации ЭДСУ, но и свидетельствуют о возможности технической реализации модифицированного электродинамического метода трехосной стабилизации КА.

For the three-axis stabilization of the spacecraft in the orbital coordinate system, including in the indirect equilibrium position, an electrodynamic control method is used based on the simultaneous use of two control torques that affect the dynamics of the spacecraft’s rotational motion in the Earth’s magnetic field (EMF), namely, the Lorentz torque and the torque of magnetic interaction. It is assumed that the spacecraft, equipped with an electric charge with a controlled vector of static moment of charge of the first order and a controlled intrinsic magnetic moment, moves in a Keplerian circular Earth orbit of arbitrary inclination. It was previously shown that combining two control systems, magnetic and Lorentz control, into a single electrodynamic control system (EDCS) makes it possible to successfully solve various problems of controlling the angular motion of spacecraft. Unlike many well-known studies performed for one or another approximate EMF model, this work does not impose restrictions on the accuracy of the EMF approximation. Previous studies have shown the limited capabilities of the EDCS for spacecraft moving in orbits close to the polar ones, due to the presence in this case of such points on the spacecraft trajectory in which it is possible for the lines of action of the geomagnetic induction vector and the spacecraft velocity vector relative to the EMF. Therefore, in this paper, the problem of overcoming these difficulties is posed and solved. A modification of the EDCS is proposed, based, firstly, on optimizing the control of the angular motion of the spacecraft and, secondly, on limiting the maximum value of the modulus of the vector of the center of charge relative to the center of mass of the spacecraft, which must be created during control. A method for selecting parameters for a modified EMF is recommended. The presented results of numerical experiments for spacecraft located in polar and circumpolar orbits not only demonstrate the operability of the proposed modification of the EDCS, but also indicate the possibility of technical implementation of the modified electrodynamic method of three-axis spacecraft stabilization.