All issues

Рассматривается технология создания паттернов из слов (понятий) естественного языка по текстовым данным в модели «мешок слов». Паттерны применяются для снижения размерности исходного пространства в описании документов и поиска семантически связанных слов по темам. Процесс снижения размерности реализуется через формирование по паттернам латентных признаков. Исследуется многообразие структур отношений документов для разбиения их на темы в латентном пространстве.

Считается, что заданное множество документов (объектов) разделено на два непересекающихся класса, для анализа которых необходимо использовать общий словарь. Принадлежность слов к общему словарю изначально неизвестна. Объекты классов рассматриваются в ситуации оппозиции друг к другу. Количественные параметры оппозиционности определяются через значения устойчивости каждого признака и обобщенные оценки объектов по непересекающимся наборам признаков.

Для вычисления устойчивости используются разбиения значений признаков на непересекающиеся интервалы, оптимальные границы которых определяются по специальному критерию. Максимум устойчивости достигается при условии, что в границах каждого интервала содержатся значения одного из двух классов.

Состав признаков в наборах (паттернах из слов) формируется из упорядоченной по значениям устойчивости последовательности. Процесс формирования паттернов и латентных признаков на их основе реализуется по правилам иерархической агломеративной группировки.

Набор латентных признаков используется для кластерного анализа документов по метрическим алгоритмам группировки. В процессе анализа применяется коэффициент контентной аутентичности на основе данных о принадлежности документов к классам. Коэффициент является численной характеристикой доминирования представителей классов в группах.

Для разбиения документов на темы предложено использовать объединение групп по отношению их центров. В качестве закономерностей по каждой теме рассматривается упорядоченная по частоте встречаемости последовательность слов из общего словаря.

Приводятся результаты вычислительного эксперимента на коллекциях авторефератов научных диссертаций. Сформированы последовательности слов из общего словаря по четырем темам.

The technology of creating patterns from natural language words (concepts) based on text data in the bag of words model is considered. Patterns are used to reduce the dimension of the original space in the description of documents and search for semantically related words by topic. The process of dimensionality reduction is implemented through the formation of patterns of latent features. The variety of structures of document relations is investigated in order to divide them into themes in the latent space.

It is considered that a given set of documents (objects) is divided into two non-overlapping classes, for the analysis of which it is necessary to use a common dictionary. The belonging of words to a common vocabulary is initially unknown. Class objects are considered as opposition to each other. Quantitative parameters of oppositionality are determined through the values of the stability of each feature and generalized assessments of objects according to non-overlapping sets of features.

To calculate the stability, the feature values are divided into non-intersecting intervals, the optimal boundaries of which are determined by a special criterion. The maximum stability is achieved under the condition that the boundaries of each interval contain values of one of the two classes.

The composition of features in sets (patterns of words) is formed from a sequence ordered by stability values. The process of formation of patterns and latent features based on them is implemented according to the rules of hierarchical agglomerative grouping.

A set of latent features is used for cluster analysis of documents using metric grouping algorithms. The analysis applies the coefficient of content authenticity based on the data on the belonging of documents to classes. The coefficient is a numerical characteristic of the dominance of class representatives in groups.

To divide documents into topics, it is proposed to use the union of groups in relation to their centers. As patterns for each topic, a sequence of words ordered by frequency of occurrence from a common dictionary is considered.

The results of a computational experiment on collections of abstracts of scientific dissertations are presented. Sequences of words from the general dictionary on 4 topics are formed.

На основе гамильтониана Холстейна промоделирована динамика заряда, привнесенного в молекулярную цепочку сайтов, при разной температуре. При расчете температура цепочки задается начальными данными — случайными гауссовыми распределениями скоростей и смещений сайтов. Рассмотрены разные варианты начального распределенияз арядовой плотности. Расчеты показывают, что система на больших расчетных временах переходит к колебаниям около нового равновесного состояния. Для одинаковых начальных скоростей и смещений средняя кинетическая энергия (и, соответственно, температура $T$) цепочки меняется в зависимости от начального распределения зарядовой плотности: убывает при внесении в цепочку полярона или увеличивается, если в начальный момент электронная часть энергии максимальна.

Проведено сравнение с результатами, полученными ранее в модели с термостатом Ланжевена. В обоих случаях существование полярона определяется тепловой энергией всей цепочки. По результатам моделирования, переход от режима полярона к делокализованному состоянию происходит в одинаковой области значений тепловой энергии цепочки $N$ сайтов ~ $NT$ для обоих вариантов термостата, с дополнительной корректировкой: для гамильтоновой системы температура не соответствует начально заданной, а определяется на больших расчетных временах из средней кинетической энергии цепочки.

В поляронной области применение разных способов имитации температуры приводит к ряду существенных различий в динамике системы. В области делокализованного состояния заряда, для больших температур, результаты, усредненные по набору траекторий в системе со случайной силой, и результаты, усредненные по времени для гамильтоновой системы, близки, что не противоречит гипотезе эргодичности. С практической точки зрения для больших температур T ≈ 300 K при моделировании переноса заряда в однородных цепочках можно использовать любой вариант задания термостата.

Based on the Holstein Hamiltonian, the dynamics of the charge introduced into the molecular chain of sites was modeled at different temperatures. In the calculation, the temperature of the chain is set by the initial data ¡ª random Gaussian distributions of velocities and site displacements. Various options for the initial charge density distribution are considered. Long-term calculations show that the system moves to fluctuations near a new equilibrium state. For the same initial velocities and displacements, the average kinetic energy, and, accordingly, the temperature of the T chain, varies depending on the initial distribution of the charge density: it decreases when a polaron is introduced into the chain, or increases if at the initial moment the electronic part of the energy is maximum. A comparison is made with the results obtained previously in the model with a Langevin thermostat. In both cases, the existence of a polaron is determined by the thermal energy of the entire chain.

According to the simulation results, the transition from the polaron mode to the delocalized state occurs in the same range of thermal energy values of a chain of $N$ sites ~ $NT$ for both thermostat options, with an additional adjustment: for the Hamiltonian system the temperature does not correspond to the initially set one, but is determined after long-term calculations from the average kinetic energy of the chain.

In the polaron region, the use of different methods for simulating temperature leads to a number of significant differences in the dynamics of the system. In the region of the delocalized state of charge, for high temperatures, the results averaged over a set of trajectories in a system with a random force and the results averaged over time for a Hamiltonian system are close, which does not contradict the ergodic hypothesis. From a practical point of view, for large temperatures T ≈ 300 K, when simulating charge transfer in homogeneous chains, any of these options for setting the thermostat can be used.

Работа посвящена анализу медико-биологических данных, получаемых с помощью локомоторных тренировок и тестирований космонавтов, проводимых как на Земле, так и во время полета. Данные эксперименты можно описать как движение космонавта по беговой дорожке согласно прописанному регламенту в различных скоростных режимах, во время которых не только записывается скорость, но и собирается ряд показателей, включающих частоту сердечных сокращений, величину давления на опору и пр. С целью анализа динамики состояния космонавта на протяжении длительного времени, для независимой оценки целевых показателей необходимо проводить качественную сегментацию режимов его движения. Особую актуальность данная задача приобретает при разработке автономной системы жизнеобеспечения космонавтов, которая будет действовать без сопровождения персонала с Земли. При сегментации целевых данных сложность заключается в наличии различных аномалий, включая отход испытуемого от заранее прописанного регламента, переходы между режимами движения произвольного вида и длительности, аппаратные сбои и пр. Статья включает в себя подробный обзор ряда современных ретроспективных (оффлайн) непараметрических методов поиска многократных разладок во временном ряде, где под разладкой понимается резкое изменение свойств наблюдаемого ряда, происходящее в неизвестный заранее момент времени. Особое внимание уделено алгоритмам и статистическим показателям, которые определяют степень однородности данных, а также способам поиска точек разладки. В данной работе рассматриваются подходы, основанные на методах динамического программирования и скользящего окна. Вторая часть статьи посвящена численному моделированию представленных методов на характерных примерах экспериментальных данных, включающих как простые, так и сложные скоростные профили движения. Проведенный анализ позволил выделить методы, которые в дальнейшем будут проанализированы на полном корпусе данных. Предпочтение отдается методам, обеспечивающим близость разметки к заданному эталону, потенциально позволяющим детектировать обе границы переходных процессов, а также обладающим робастностью относительно внутренних параметров.

This paper is dedicated to the analysis of medical and biological data obtained through locomotor training and testing of astronauts conducted both on Earth and during spaceflight. These experiments can be described as the astronaut’s movement on a treadmill according to a predefined regimen in various speed modes. During these modes, not only the speed is recorded but also a range of parameters, including heart rate, ground reaction force, and others, are collected. In order to analyze the dynamics of the astronaut’s condition over an extended period, it is necessary to perform a qualitative segmentation of their movement modes to independently assess the target metrics. This task becomes particularly relevant in the development of an autonomous life support system for astronauts that operates without direct supervision from Earth. The segmentation of target data is complicated by the presence of various anomalies, such as deviations from the predefined regimen, arbitrary and varying duration of mode transitions, hardware failures, and other factors. The paper includes a detailed review of several contemporary retrospective (offline) nonparametric methods for detecting multiple changepoints, which refer to sudden changes in the properties of the observed time series occurring at unknown moments. Special attention is given to algorithms and statistical measures that determine the homogeneity of the data and methods for detecting change points. The paper considers approaches based on dynamic programming and sliding window methods. The second part of the paper focuses on the numerical modeling of these methods using characteristic examples of experimental data, including both “simple” and “complex” speed profiles of movement. The analysis conducted allowed us to identify the preferred methods, which will be further evaluated on the complete dataset. Preference is given to methods that ensure the closeness of the markup to a reference one, potentially allow the detection of both boundaries of transient processes, as well as are robust relative to internal parameters.

Коллективное поведение может выступать в роли механизма терморегуляции и играть ключевую роль при выживании группы организмов. Такие явления в среде животных, как правило, являются предметом изучения биологии, так как внезапные переходы к коллективному поведению трудно дифференцировать от психологической и социальной адаптации животных в группе. Тем не менее в работе указывается важный пример, когда стая животных демонстрирует фазовые переходы, сходные с явлением классической тепловой конвекции в жидкостях и газах. Этот вопрос может быть изучен также экспериментально в рамках синтетических систем, состоящих из самодвижущихся роботов, которые действуют по определенному заданному алгоритму. Обобщая оба эти случая, мы рассматриваем задачу о фазовых переходах в плотной группе взаимодействующих самодвижущихся агентов. Врамк ах микроскопической теории мы предлагаем математическую модель явления, в которой агенты представлены в виде тел, взаимодействующих друг с другом в соответствии с эффективным потенциалом особого вида, выражающим стремление агентов двигаться в направлении градиента общего теплового поля. Показано, что управляющим параметром задачи является численность группы. Дискретная модель с индивидуальной динамикой агентов воспроизводит большинство явлений, наблюдаемых как в естественных стаях животных, демонстрирующих коллективную терморегуляцию, так и в синтетических сложных системах, состоящих из роботов. Наблюдается фазовый переход 1-го рода со сменой агрегатного состояния в среде агентов, который заключается в самосборке первоначальной слабоструктурированной массы агентов в плотные квазикристаллические структуры. Кроме того, показано, что с увеличением численности скопления наблюдается фазовый переход 2-го рода в форме тепловой конвекции, который включает внезапное ожижение группы и переход к вихревому движению. Последнее обеспечивает более эффективное расходование энергии в случае синтетической системы взаимодействующих роботов и коллективное выживание всех особей в случае природных стай животных. С ростом численности группы происходят вторичные бифуркации, вихревая структура толпы агентов усложняется.

Collective behavior can serve as a mechanism of thermoregulation and play a key role in the joint survival of a group of organisms. In higher animals, such phenomena are usually the subject of study of biology since sudden transitions to collective behavior are difficult to differentiate from the psychological and social adaptation of animals. However, in this paper, we indicate several important examples when a flock of higher animals demonstrates phase transitions similar to known phenomena in liquids and gases. This issue can also be studied experimentally within the framework of synthetic systems consisting of self-propelled robots that act according to a certain given algorithm. Generalizing both of these cases, we consider the problem of phase transitions in a dense group of interacting selfpropelled agents. Within the framework of microscopic theory, we propose a mathematical model of the phenomenon, in which agents are represented as bodies interacting with each other in accordance with an effective potential of a special type, expressing the desire of agents to move in the direction of the gradient of the joint thermal field. We show that the number of agents in the group, the group power, is the control parameter of the problem. A discrete model with individual dynamics of agents reproduces most of the phenomena observed both in natural flocks of higher animals engaged in collective thermoregulation and in synthetic complex systems. A first-order phase transition is observed, which symbolizes a change in the aggregate state in a group of agents. One observes the self-assembly of the initial weakly structured mass of agents into dense quasi-crystalline structures. We demonstrate also that, with an increase in the group power, a second-order phase transition in the form of thermal convection can occur. It manifests in a sudden liquefaction of the group and a transition to vortex motion, which ensures more efficient energy consumption in the case of a synthetic system of interacting robots and the collective survival of all individuals in the case of natural animal flocks.With an increase in the group power, secondary bifurcations occur, the vortex structure in agent medium becomes more complicated.

С использование теории малых упругих деформаций и апробированного численного метода, строится математическая модель разрушения ледяного покрова ледокольным устройством новой конструкция.

Mathematical model of a new icebreaker device is worked out using the theory of small elastic deformations and numerically approved.

Классическая математическая модель выращивания грибов Чантера–Торнли модифицирована и реализована в среде имитационного моделирования AnyLogic с одновременным использованием элементов системной динамики, дискретно-событийного и агентного подхода. Проведено численное исследование построенной модели и решена оптимизационная задача нахождения возраста срезания плодовых тел, обеспечивающего максимальный интегральный урожай грибов по всем «волнам» плодообразования.

Classical Chanter–Thornley model of mushroom growth has been modified and implemented in AnyLogic simulation environment by means of system dynamics, discrete-event and agent-based approaches. A numerical case study of the model is presented and the problem of optimum age at harvest, providing the maximum integral yield for all fruiting “waves” is solved.

В работе излагаются подходы к математическому моделированию механизмов, лежащих в основе широко используемых в биологии и медицине методов корреляционной адаптометрии. Построение базируется на конструкциях, лежащих в основе описания структурированных биологических систем. Предполагается, что плотность распределения численности биологической популяции удовлетворяет уравнению Колмогорова–Фоккера–Планка. С использованием данной методики оценивается эффективность лечения больных с ожирением. Все пациенты, в зависимости от степени ожирения и характера сопутствующей патологии, были разделены на три группы. Показано уменьшение веса корреляционного графа, вычисленного на измеренных у пациентов показателях для трех групп пациентов, что характеризует эффективность проведенного лечения для всех исследуемых групп. Данная методика также была использована для оценки напряженности тренировочных нагрузок у гребцов академической гребли трех возрастных групп. Было показано, что с наибольшим напряжением работали спортсмены молодежной группы. Также с использованием методики корреляционной адаптометрии оценивается эффективность лечения заместительной гормональной терапии (ЗГТ) у женщин. Все пациентки, в зависимости от назначенного препарата, были разделены на четыре группы. При стандартном анализе динамики средних величин показателей было показано, что в ходе всего лечения наблюдалась нормализация средних показателей для всех групп пациенток. Однако с использованием методики корреляционной адаптометрии было получено, что в течение первых шести месяцев вес корреляционного графа снижался, а в течение вторых шести месяцев этот вес повышался для всех исследуемых групп. Это свидетельствует о чрезмерной продолжительности годового курса ЗГТ и целесообразности перехода к полугодовому курсу.

The paper outlines the approaches to mathematical modeling correlation adaptometry techniques widely used in biology and medicine. The analysis is based on models employed in descriptions of structured biological systems. It is assumed that the distribution density of the biological population numbers satisfies the equation of Kolmogorov-Fokker-Planck. Using this technique evaluated the effectiveness of treatment of patients with obesity. All patients depending on the obesity degree and the comorbidity nature were divided into three groups. Shows a decrease in weight of the correlation graph computed from the measured in the patients of the indicators that characterizes the effectiveness of the treatment for all studied groups. This technique was also used to assess the intensity of the training loads in academic rowing three age groups. It was shown that with the highest voltage worked with athletes for youth group. Also, using the technique of correlation adaptometry evaluated the effectiveness of the treatment of hormone replacement therapy in women. All the patients depending on the assigned drug were divided into four groups. In the standard analysis of the dynamics of mean values of indicators, it was shown that in the course of the treatment were observed normalization of the averages for all groups of patients. However, using the technique of correlation adaptometry it was found that during the first six months the weight of the correlation graph was decreasing and during the second six months the weight increased for all study groups. This indicates the excessive length of the annual course of hormone replacement therapy and the practicality of transition to a semiannual rate.

Моделирование борьбы с террористическими, пиратскими и разбойными актами на море является актуальной научной задачей в силу распространенности силовых актов и недостаточного количества работ по данной проблематике. Действия пиратов и террористов разнообразны. С использованием судна-базы они могут нападать на суда на удалении до 450–500 миль от побережья. Выбрав цель, они ее преследуют и с применением оружия идут на абордаж. Действия по освобождению судна, захваченного пиратами или террористами, включают: блокирование судна, прогноз мест возможного нахождения пи- ратов на судне, проникновение (с борта на борт, по воздуху или из-под воды) и зачистка помещений судна. Анализ специальной литературы по действиям пиратов и террористов показал, что силовой акт (и действия по его нейтрализации) состоит из двух этапов: во-первых, это блокирование судна, заключающееся в принуждении к его остановке, и, во-вторых, нейтрализация команды (группы террористов, пиратов), включая проникновение на судно (корабль) и его зачистку. Этапам цикла поставлены в соответствие показатели — вероятность блокирования и вероятность нейтрализации. Переменными модели силового акта являются количество судов (кораблей, катеров) у нападающих и обороняющихся, а также численность группы захвата нападающих и экипажа судна — жертвы атаки. Параметры модели (показатели корабельного и боевого превосходства) оценены методом максимального правдоподобия с использованием международной базы по инцидентам на море. Значения названных параметров равны 7.6–8.5. Столь высокие значения параметров превосходства отражают возможности сторон по действиям в силовых актах. Предложен и статистически обоснован аналитический метод расчета параметров превосходства. В модели учитываются следующие показатели: возможности сторон по обнаружению противника, скоростные и маневренные характеристики судов, высота судна и характеристики средств абордажа, характеристики оружия и средств защиты и др. С использованием модели Г. Беккера и теории дискретного выбора оценена вероятность отказа от силового акта. Значимость полученных моделей для борьбы с силовыми актами в морском пространстве заключается в возможности количественного обоснования мер по защите судна от пиратских и террористических атак и мер сдерживания, направленных на предотвращение атак (наличие на борту судна вооруженной охраны, помощь военных кораблей и вертолетов).

Modeling the fight against terrorist, pirate and robbery acts at sea is an urgent scientific task due to the prevalence of force acts and the insufficient number of works on this issue. The actions of pirates and terrorists are diverse. Using a base ship, they can attack ships up to 450–500 miles from the coast. Having chosen the target, they pursue it and use the weapons to board the ship. Actions to free a ship captured by pirates or terrorists include: blocking the ship, predicting where pirates might be on the ship, penetrating (from board to board, by air or from under water) and cleaning up the ship’s premises. An analysis of the special literature on the actions of pirates and terrorists showed that the act of force (and actions to neutralize it) consists of two stages: firstly, blocking the vessel, which consists in forcing it to stop, and secondly, neutralizing the team (terrorist groups, pirates), including penetration of a ship (ship) and its cleaning. The stages of the cycle are matched by indicators — the probability of blocking and the probability of neutralization. The variables of the act of force model are the number of ships (ships, boats) of the attackers and defenders, as well as the strength of the capture group of the attackers and the crew of the ship - the victim of the attack. Model parameters (indicators of naval and combat superiority) were estimated using the maximum likelihood method using an international database of incidents at sea. The values of these parameters are 7.6–8.5. Such high values of superiority parameters reflect the parties' ability to act in force acts. An analytical method for calculating excellence parameters is proposed and statistically substantiated. The following indicators are taken into account in the model: the ability of the parties to detect the enemy, the speed and maneuverability characteristics of the vessels, the height of the vessel and the characteristics of the boarding equipment, the characteristics of weapons and protective equipment, etc. Using the Becker model and the theory of discrete choice, the probability of failure of the force act is estimated. The significance of the obtained models for combating acts of force in the sea space lies in the possibility of quantitative substantiation of measures to protect the ship from pirate and terrorist attacks and deterrence measures aimed at preventing attacks (the presence of armed guards on board the ship, assistance from warships and helicopters).

Современные системы транспортировки электроэнергии представляют собой сложные инженерные системы. В состав таких систем входят как точечные объекты (производители электроэнергии, потребители, трансформаторные подстанции), так и распределенные (линии электропередач). При создании математических моделей такие сооружения представляются в виде графов с различными типами узлов. Для исследования динамических эффектов в таких системах приходится решать численно систему дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа.

В работе использован подход, аналогичный уже примененным ранее при моделировании подобных задач. Использован вариант метода расщепления. Авторами предложен свой способ расщепления. В отличие от большинства известных работ расщепление проводится не по физическим процессам (перенос без диссипации, отдельно диссипативные процессы), а на перенос со стоковыми членами и «обменную» часть. Такое расщепление делает возможным построение гибридных схем для инвариантов Римана, обладающих высоким порядком аппроксимации и минимальной диссипативной погрешностью. Для однофазной ЛЭП приведен пример построения такой гибридной разностной схемы. Предложенная разностная схема строится на основе анализа свойств схем в пространстве неопределенных коэффициентов.

Приведены примеры расчетов модельной задачи с использованием предложенного расщепления и построенной разностной схемы. На примере численных расчетов показано, что разностная схема позволяет численно воспроизводить возникающие области больших градиентов. Показано, что разностная схема позволяет обнаружить резонансы в подобных системах.

Modern power transportation systems are the complex engineering systems. Such systems include both point facilities (power producers, consumers, transformer substations, etc.) and the distributed elements (f.e. power lines). Such structures are presented in the form of the graphs with different types of nodes under creating the mathematical models. It is necessary to solve the system of partial differential equations of the hyperbolic type to study the dynamic effects in such systems.

An approach similar to one already applied in modeling similar problems earlier used in the work. New variant of the splitting method was used proposed by the authors. Unlike most known works, the splitting is not carried out according to physical processes (energy transport without dissipation, separately dissipative processes). We used splitting to the transport equations with the drain and the exchange between Reimann’s invariants. This splitting makes possible to construct the hybrid schemes for Riemann invariants with a high order of approximation and minimal dissipation error. An example of constructing such a hybrid differential scheme is described for a single-phase power line. The difference scheme proposed is based on the analysis of the properties of the schemes in the space of insufficient coefficients.

Examples of the model problem numerical solutions using the proposed splitting and the difference scheme are given. The results of the numerical calculations shows that the difference scheme allows to reproduce the arising regions of large gradients. It is shown that the difference schemes also allow detecting resonances in such the systems.

В статье проведен анализ эмпирических данных по долгосрочной демографической и экономической динамике стран мира за период с начала XIX века по настоящее время. В качестве показателей, характеризующих долгосрочную демографическую и экономическую динамику стран мира, были выбраны данные по численности населения и ВВП ряда стран мира за период 1500–2016 годов. Страны выбирались таким образом, чтобы в их число вошли представители с различным уровнем развития (развитые и развивающиеся страны), а также страны из различных регионов мира (Северная Америка, Южная Америка, Европа, Азия, Африка). Для моделирования и обработки данных использована специально разработанная математическая модель. Представленная модель является автономной системой дифференциальных уравнений, которая описывает процессы социально-экономической модернизации, в том числе процесс перехода от аграрного общества к индустриальному и постиндустриальному. В модель заложена идея о том, что процесс модернизации начинается с возникновения в традиционном обществе инновационного сектора, развивающегося на основе новых технологий. Население из традиционного сектора постепенно перемещается в инновационный сектор. Модернизация завершается, когда большая часть населения переходит в инновационный сектор.

При работе с моделью использовались статистические методы обработки данных, методы Big Data, включая иерархическую кластеризацию. С помощью разработанного алгоритма на базе метода случайного спуска были идентифицированы параметры модели и проведена ее верификация на основе эмпирических рядов, а также проведено тестирование модели с использованием статистических данных, отражающих изменения, наблюдаемые в развитых и развивающихся странах в период происходящей в течение последних столетий модернизации. Тестирование модели продемонстрировало ее высокое качество — отклонения расчетных кривых от статистических данных, как правило, небольшие и происходят в периоды войн и экономических кризисов. Проведенный анализ статистических данных по долгосрочной демографической и экономической динамике стран мира позволил определить общие закономерности и формализовать их в виде математической модели. Модель будет использоваться с целью прогноза демографической и экономической динамики в различных странах мира.

The article analyzes empirical data on the long-term demographic and economic dynamics of the countries of the world for the period from the beginning of the 19th century to the present. Population and GDP of a number of countries of the world for the period 1500–2016 were selected as indicators characterizing the long-term demographic and economic dynamics of the countries of the world. Countries were chosen in such a way that they included representatives with different levels of development (developed and developing countries), as well as countries from different regions of the world (North America, South America, Europe, Asia, Africa). A specially developed mathematical model was used for modeling and data processing. The presented model is an autonomous system of differential equations that describes the processes of socio-economic modernization, including the process of transition from an agrarian society to an industrial and post-industrial one. The model contains the idea that the process of modernization begins with the emergence of an innovative sector in a traditional society, developing on the basis of new technologies. The population is gradually moving from the traditional sector to the innovation sector. Modernization is completed when most of the population moves to the innovation sector.

Statistical methods of data processing and Big Data methods, including hierarchical clustering were used. Using the developed algorithm based on the random descent method, the parameters of the model were identified and verified on the basis of empirical series, and the model was tested using statistical data reflecting the changes observed in developed and developing countries during the period of modernization taking place over the past centuries. Testing the model has demonstrated its high quality — the deviations of the calculated curves from statistical data are usually small and occur during periods of wars and economic crises. Thus, the analysis of statistical data on the long-term demographic and economic dynamics of the countries of the world made it possible to determine general patterns and formalize them in the form of a mathematical model. The model will be used to forecast demographic and economic dynamics in different countries of the world.