All issues

Представлен итерационный алгоритм, который численно решает нелинейные одномерные несингулярные интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерры второго рода типа Урысона. Показано, что метод последовательных приближений Пикара может быть использован при численном решении такого типа уравнений. Сходимость числовой схемы гарантируется теоремами о неподвижной точке. При этом квадратурный алгоритм основан на явной форме встроенного правила Рунге–Кутты пятого порядка с адаптивным контролем размера шага. Возможность контроля локальных ошибок квадратур позволяет создавать очень точные автоматические числовые схемы и значительно уменьшить основной недостаток итераций Пикара, а именно чрезвычайно большое количество вычислений с увеличением глубины рекурсии. Наш алгоритм организован так, что по сравнению с большинством подходов нелинейность интегральных уравнений не вызывает каких-либо дополнительных вычислительных трудностей, его очень просто применять и реализовывать в программе. Наш алгоритм демонстрирует практически важные черты универсальности. Во-первых, следует подчеркнуть, что метод столь же прост в применении к нелинейным, как и к линейным уравнениям типа Фредгольма и Вольтерры. Во-вторых, алгоритм снабжен правилами останова, по которым вычисления могут в значительной степени контролироваться автоматически. Представлен компактный C++-код описанного алгоритма. Реализация нашей программы является самодостаточной: она не требует никаких предварительных вычислений, никаких внешних функций и библиотек и не требует дополнительной памяти. Приведены числовые примеры, показывающие применимость, эффективность, надежность и точность предложенного подхода.

We present the iterative algorithm that solves numerically both Urysohn type Fredholm and Volterra nonlinear one-dimensional nonsingular integral equations of the second kind to a specified, modest user-defined accuracy. The algorithm is based on descending recursive sequence of quadratures. Convergence of numerical scheme is guaranteed by fixed-point theorems. Picard’s method of integrating successive approximations is of great importance for the existence theory of integral equations but surprisingly very little appears on numerical algorithms for its direct implementation in the literature. We show that successive approximations method can be readily employed in numerical solution of integral equations. By that the quadrature algorithm is thoroughly designed. It is based on the explicit form of fifth-order embedded Runge–Kutta rule with adaptive step-size self-control. Since local error estimates may be cheaply obtained, continuous monitoring of the quadrature makes it possible to create very accurate automatic numerical schemes and to reduce considerably the main drawback of Picard iterations namely the extremely large amount of computations with increasing recursion depth. Our algorithm is organized so that as compared to most approaches the nonlinearity of integral equations does not induce any additional computational difficulties, it is very simple to apply and to make a program realization. Our algorithm exhibits some features of universality. First, it should be stressed that the method is as easy to apply to nonlinear as to linear equations of both Fredholm and Volterra kind. Second, the algorithm is equipped by stopping rules by which the calculations may to considerable extent be controlled automatically. A compact C++-code of described algorithm is presented. Our program realization is self-consistent: it demands no preliminary calculations, no external libraries and no additional memory is needed. Numerical examples are provided to show applicability, efficiency, robustness and accuracy of our approach.

Работа посвящена использованию бикомпактных схем для численного решения эволюционных уравнений гиперболического типа. Основным преимуществом схем этого класса является сочетание двух положительных свойств: пространственной аппроксимации высокого четного порядка на шаблоне, всегда занимающем одну ячейку сетки, и спектрального разрешения, лучшего по сравнению с классическими компактными конечно-разностными схемами того же порядка пространственной аппроксимации. Рассматривается одна особенность бикомпактных схем — жесткая привязка их пространственной аппроксимации к декартовым сеткам (с ячейками-параллелепипедами в трехмерном случае). Она делает затруднительным применение бикомпактных схем к решению задач в сложных расчетных областях в рамках подхода неструктурированных сеток. Предлагается решать эту проблему путем применения известных методов аппроксимации границ сложной формы и соответствующих им краевых условий на декартовых сетках. Обобщение бикомпактных схем на задачи в геометрически сложных областях проводится на примере задач газовой динамики и уравнений Эйлера. В качестве конкретного метода, позволяющего учесть на декартовых сетках влияние твердых границ произвольной формы на течение газа, выбирается метод свободной границы. Приводится краткое описание этого метода, выписываются его уравнения. Для них строятся бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространству с локально-одномерным расщеплением. Компенсационный поток метода свободной границы дискретизируется со вторым порядком точности. Для интегрирования по времени в получаемых схемах применяются неявный метод Эйлера и $L$-устойчивый жестко-точный трехстадийный однократно диагонально-неявный метод Рунге–Кутты третьего порядка точности. Разработанные бикомпактные схемы тестируются на трех двумерных задачах: о стационарном сверхзвуковом обтекании с числом Маха, равным трем, одного круглого цилиндра и группы изт рех круглых цилиндров, а также о нестационарном взаимодействии плоской ударной волны и круглого цилиндра в канале с плоскопараллельными стенками. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами других работ: твердые тела физически корректно влияют на поток газа, давление в контрольных точках на поверхностях тел рассчитывается с точностью, в целом отвечающей выбранному разрешению сетки и уровню численной диссипации.

This work is dedicated to application of bicompact schemes to numerical solution of evolutionary hyperbolic equations. The main advantage of this class of schemes lies in combination of two beneficial properties: the first one is spatial approximation of high even order on a stencil that always occupies only one mesh cell; the second one is spectral resolution which is better in comparison to classic compact finite-difference schemes of the same order of spatial approximation. One feature of bicompact schemes is considered: their spatial approximation is rigidly tied to Cartesian meshes (with parallelepiped-shaped cells in three-dimensional case). This feature makes rather challenging any application of bicompact schemes to problems with complex computational domains as treated in the framework of unstructured meshes. This problem is proposed to be solved using well-known methods for treating complex-shaped boundaries and their corresponding boundary conditions on Cartesian meshes. The generalization of bicompact schemes on problems in geometrically complex domains is made in case of gas dynamics problems and Euler equations. The free boundary method is chosen as a particular tool to introduce the influence of arbitrary-shaped solid boundaries on gas flows on Cartesian meshes. A brief description of this method is given, its governing equations are written down. Bicompact schemes of fourth order of approximation in space with locally one-dimensional splitting are constructed for equations of the free boundary method. Its compensation flux is discretized with second order of accuracy. Time stepping in the obtained schemes is done with the implicit Euler method and the third order accurate $L$-stable stiffly accurate three-stage singly diagonally implicit Runge–Kutta method. The designed bicompact schemes are tested on three two-dimensional problems: stationary supersonic flows with Mach number three past one circular cylinder and past three circular cylinders; the non-stationary interaction of planar shock wave with a circular cylinder in a channel with planar parallel walls. The obtained results are in a good agreement with other works: influence of solid bodies on gas flows is physically correct, pressure in control points on solid surfaces is calculated with the accuracy appropriate to the chosen mesh resolution and level of numerical dissipation.

Работа посвящена исследованию возможности повышения эффективности решения задач внешней аэродинамики. Изучаются методические аспекты применения локально-адаптивных неструктурированных расчетных сеток и пристеночных функций для численного моделирования турбулентных течений около летательных аппаратов. Интегрируются осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье–Стокса, которые замыкаются стандартной моделью турбулентности $k–\varepsilon$. Рассматривается обтекание крылового профиля RAE 2822 турбулентным дозвуковым потоком вязкого сжимаемого газа. Расчеты проводятся в программном ВГД-комплексе FlowVision. Анализируется эффективность применения технологии сглаживания диффузионных потоков и формулы Брэдшоу для турбулентной вязкости в качестве мер, повышающих точность решения аэродинамических задач на локально-адаптивных сетках. Результаты исследования показывают, что использование технологии сглаживания диффузионных потоков приводит к существенному уменьшению расхождений в величине коэффициента лобового сопротивления между результатами расчетов и экспериментальными данными. Кроме того, обеспечивается регуляризация распределения коэффициента поверхностного трения на криволинейной поверхности профиля. Эти результаты позволяют сделать вывод о том, что данная технология является эффективным способом повышения точности расчетов на локально-адаптивных сетках. Формула Брэдшоу для динамического коэффициента турбулентной вязкости традиционно используется в модели SST $k–\omega$. В настоящей работе исследуется возможность ее применения в стандартной $k–\varepsilon$-модели турбулентности. Результаты расчетов показывают, что, с одной стороны, данная формула обеспечивает хорошее согласование суммарных аэродинамических характеристик и распределения коэффициента давления по поверхности профиля с экспериментом. Помимо этого, она значительно повышает точность моделирования течения в пограничном слое и в следе. С другой стороны, использование формулы Брэдшоу при моделировании обтекания профиля RAE 2822 приводит к занижению коэффициента поверхностного трения. Поэтому в работе делается вывод о том, что практическое применение формулы Брэдшоу требует ее предварительной валидации и калибровки на надежных экспериментальных данных для рассматриваемого класса задач. Результаты работы в целом показывают, что при использовании рассмотренных технологий численное решение задач внешнего обтекания на локально-адаптивных сетках с применением пристеночных функций обеспечивает точность, приемлемую для оперативной оценки аэродинамических характеристик, а ПК FlowVision является эффективным инструментом решения задач предварительного аэродинамического проектирования, концептуального проектирования и оптимизации аэродинамических форм.

The work is dedicated to investigation of possibility to increase the efficiency of solving external aerodynamic problems. Methodical questions of using locally-adaptive grids and wall functions for numerical simulation of turbulent flows past flying vehicles are studied. Reynolds-averaged Navier–Stokes equations are integrated. The equations are closed by standard $k–\varepsilon$ turbulence model. Subsonic turbulent flow of perfect compressible viscous gas past airfoil RAE 2822 is considered. Calculations are performed in CFD software FlowVision. The efficiency of using the technology of smoothing diffusion fluxes and the Bradshaw formula for turbulent viscosity is analyzed. These techniques are regarded as means of increasing the accuracy of solving aerodynamic problems on locally-adaptive grids. The obtained results show that using the technology of smoothing diffusion fluxes essentially decreases the discrepancy between computed and experimental values of the drag coefficient. In addition, the distribution of the skin friction coefficient over the curvilinear surface of the airfoil becomes more regular. These results indicate that the given technology is an effective way to increase the accuracy of calculations on locally-adaptive grids. The Bradshaw formula for the dynamic coefficient of turbulent viscosity is traditionally used in the SST $k–\omega$ turbulence model. The possibility to implement it in the standard $k–\varepsilon$ turbulence model is investigated in the present article. The calculations show that this formula provides good agreement of integral aerodynamic characteristics and the distribution of the pressure coefficient over the airfoil surface with experimental data. Besides that, it essentially augments the accuracy of simulation of the flow in the boundary layer and in the wake. On the other hand, using the Bradshaw formula in the simulation of the air flow past airfoil RAE 2822 leads to under-prediction of the skin friction coefficient. For this reason, the conclusion is made that practical use of the Bradshaw formula requires its preliminary validation and calibration on reliable experimental data available for the considered flows. The results of the work as a whole show that using the technologies discussed in numerical solution of external aerodynamic problems on locally-adaptive grids together with wall functions provides the computational accuracy acceptable for quick assessment of the aerodynamic characteristics of a flying vehicle. So, one can deduce that the FlowVision software is an effective tool for preliminary design studies, for conceptual design, and for aerodynamic shape optimization.

Представлена гиперболическая модель вязкого теплопроводного газа, в которой для гиперболизации уравнений использован подход Максвелла–Каттанео, обеспечивающий распространение волн с конечными скоростями. В модифицированной модели вместо оригинальных законов Стокса и Фурье использовались их релаксационные аналоги и показано, что при стремлении времен релаксации $\tau_\sigma^{}$ и $\tau_w^{}$ к нулю гиперболизированные уравнения приводятся к классической системе Навье–Стокса негиперболического типа с бесконечными скоростями перемещения вязких и тепловых волн. Отмечено, что рассматриваемая в работе гиперболизированная система уравнений движения вязкого теплопроводного газа инвариантна не только по отношению к преобразованиям Галилея, но и к повороту, поскольку при дифференцировании по времени компонентов тензора вязких напряжений использована производная Яуманна. Для интегрирования уравнений модели применены гибридный метод Годунова (ГМГ) и многомерный узловой метод характеристик. ГМГ предназначен для интегрирования гиперболических систем, в которых имеются как уравнения, записанные в дивергентном виде, так и уравнения, не приводящиеся к таковому (оригинальный метод Годунова применяется только для систем уравнений, представленных в дивергентной форме). При вычислении потоковых переменных на гранях смежных ячеек использован линеаризованный римановский решатель. Для дивергентных уравнений применена конечно-объемная, а для недивергентных — конечноразностная аппроксимация. Для расчета ряда задач в работе также использовался неконсервативный многомерный узловой метод характеристик, который базируется на расщеплении исходной системы уравнений на ряд одномерных подсистем, для решения которых использован одномерный узловой метод характеристик. С помощью описанных численных методов решен ряд модельных одномерных задач о распаде произвольного разрыва, а также рассчитано двумерное течение вязкого газа при взаимодействии ударного скачка с прямоугольной ступенькой, непроницаемой для газа.

A hyperbolic model of a viscous heat-conducting gas is presented, in which the Maxwell – Cattaneo approach is used to hyperbolize the equations, which provides finite wave propagation velocities. In the modified model, instead of the original Stokes and Fourier laws, their relaxation analogues were used and it is shown that when the relaxation times $\tau_\sigma^{}$ и $\tau_w^{}$ tend to The hyperbolized equations are reduced to zero to the classical Navier – Stokes system of non-hyperbolic type with infinite velocities of viscous and heat waves. It is noted that the hyperbolized system of equations of motion of a viscous heat-conducting gas considered in this paper is invariant not only with respect to the Galilean transformations, but also with respect to rotation, since the Yaumann derivative is used when differentiating the components of the viscous stress tensor in time. To integrate the equations of the model, the hybrid Godunov method (HGM) and the multidimensional nodal method of characteristics were used. The HGM is intended for the integration of hyperbolic systems in which there are equations written both in divergent form and not resulting in such (the original Godunov method is used only for systems of equations presented in divergent form). A linearized solver’s Riemann is used to calculate flow variables on the faces of adjacent cells. For divergent equations, a finitevolume approximation is applied, and for non-divergent equations, a finite-difference approximation is applied. To calculate a number of problems, we also used a non-conservative multidimensional nodal method of characteristics, which is based on splitting the original system of equations into a number of one-dimensional subsystems, for solving which a one-dimensional nodal method of characteristics was used. Using the described numerical methods, a number of one-dimensional problems on the decay of an arbitrary rupture are solved, and a two-dimensional flow of a viscous gas is calculated when a shock jump interacts with a rectangular step that is impermeable to gas.

Представлен усовершенствованный метод парных сравнений, в котором посредством табличных форм систематизированы правила логических выводов при сравнении технических систем и формулы проверочных значений. Для этого сформулированы рациональные правила логических выводов при парном сравнении систем. С целью проверки результатов оценки на непротиворечивость введены понятия количества баллов, набранных одной системой, и коэффициента качества систем, а также разработаны формулы расчетов. Для целей практического использования данного метода при разработке программ для ЭВМ предлагаются формализованные варианты взаимосвязанных таблиц: таблица обработки и систематизации экспертной информации, таблица возможных логических выводов по результатам сравнения заданного количества технических систем и таблица проверочных значений при использовании метода парных сравнений при оценке качества определенного количества технических систем. Таблицы позволяют более рационально организовать процедуры обработки информации и в значительной степени исклю- чить влияние ошибок при вводе данных на результаты оценки качества технических систем. Основной положительный эффект от внедрения усовершенствованного метода парных сравнений состоит в существенном сокращении времени и ресурсов на организацию работы с экспертами, обработку экспертной информации, а также на подготовку и проведение дистанционного опроса экспертов по сети Интернет или локальной вычислительной сети предприятия (организации) за счет рационального использования исходных данных о качестве оцениваемых систем. Предлагаемый усовершенствованный метод реали- зован в программах для ЭВМ, предназначенных для оценки эффективности и устойчивости больших технических систем.

The article describes an improved paired comparison method, which systematizes in tables the rules of logical conclusions and formulas of checking indices for comparison of technical systems. To achieve this goal, the authors formulate rational rules of logical conclusions in making a paired comparison of the systems. In addition, for the purpose of consistency check of the results of the assessment, the authors introduce parameters such as «the number of scores gained by one system» and «systems’ quality index»; moreover, they design corresponding calculation formulas. For the purposes of practical application of this method to design computer programs, the authors propose to use formalized variants of interconnected tables: a table for processing and systematization of expert information, a table of possible logical conclusions based on the results of comparison of a set number of technical systems and a table of check values in the paired comparison method used in quality assessment of a definite number of technical systems. These tables allow one to organize procedures of the information processing in a more rational way and to predominantly exclude the influence of mistakes on the results of quality assessment of technical systems at the stage of data input. The main positive effect from the implementation of the paired comparison method is observed in a considerable reduction of time and resources needed to organize experts work, process expert information, and to prepare and conduct distant interviews with experts (on the Internet or a local computer network of an organization). This effect is achieved by a rational use of input data of the quality of the systems to be assessed. The proposed method is applied to computer programs used in assessing the effectiveness and stability of large technical systems.

Работа посвящена численному моделированию двухфазных течений, а именно расчету сверхзвукового обтекания затупленного тела потоком вязкого газа с примесью относительно крупных частиц, масса которых позволяет после отражения от поверхности выйти за пределы ударного слоя, двигаясь по инерции навстречу набегающему потоку. Натурные и вычислительные эксперименты показывают, что движение высокоинерционных частиц существенным образом изменяет структуру течения газа в ударном слое, а формирующиеся при этом направленные на тело импактные струи вызывают увеличение давления газа вблизи участков поверхности и кратный рост конвективного теплового потока.

Построена математическая модель обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа с твердыми частицами. Решение системы нестационарных уравнений Навье–Стокса в консервативных переменных осуществляется бессеточным методом, в основе которого лежит аппроксимация частных пространственных производных газодинамических величин и содержащих их функций методом наименьших квадратов на множестве распределенных в области расчета узлов. Расчет невязких потоков выполняется методом HLLC в сочетании с MUSCL-реконструкцией третьего порядка, вязких потоков — схемой второго порядка. МНК-аппроксимация частных производных параметров газа по направлению также применяется для реализации краевых условий Неймана на выходной границе области расчета, а также поверхностях обтекаемых тел, которые считаются изотермическими твердыми стенками.

Каждое движущееся тело окружено облаком расчетных узлов, принадлежащих его домену и перемещающихся вместе с ним в пространстве. Реализовано два подхода к моделированию перемещения объектов с учетом обратного влияния на течение газа: метод скользящих облаков фиксированной формы и эволюции единого облака узлов, представляющего собой объединение узлов разных доменов. Проведенные численные эксперименты подтвердили применимость предложенных методов к решению целевых задач моделирования движения крупных частиц в сверхзвуковом потоке.

Выполнена программная реализация представленных алгоритмов на основе технологии параллельных гетерогенных вычислений OpenCL. Представлены результаты моделирования движения крупной частицы вдоль оси симметрии сферы навстречу набегающему потоку с числом Маха $\mathrm{M}=6$.

The work is devoted to numerical modeling of two-phase flows, namely, the calculation of supersonic flow around a blunt body by a viscous gas flow with an admixture of large high inertia particles. The system of unsteady Navier – Stokes equations is numerically solved by the meshless method. It uses the cloud of points in space to represent the fields of gas parameters. The spatial derivatives of gas parameters and functions are approximated by the least square method to calculate convective and viscous fluxes in the Navier – Stokes system of equations. The convective fluxes are calculated by the HLLC method. The third-order MUSCL reconstruction scheme is used to achieve high order accuracy. The viscous fluxes are calculated by the second order approximation scheme. The streamlined body surface is represented by a model of an isothermal wall. It implements the conditions for the zero velocity and zero pressure gradient, which is also modeled using the least squares method.

Every moving body is surrounded by its own cloud of points belongs to body’s domain and moving along with it in space. The explicit three-sage Runge–Kutta method is used to solve numerically the system of gas dynamics equations in the main coordinate system and local coordinate systems of each particle.

Two methods for the moving objects modeling with reverse impact on the gas flow have been implemented. The first one uses stationary point clouds with fixed neighbors within the same domain. When regions overlap, some nodes of one domain, for example, the boundary nodes of the particle domain, are excluded from the calculation and filled with the values of gas parameters from the nearest nodes of another domain using the least squares approximation of gradients. The internal nodes of the particle domain are used to reconstruct the gas parameters in the overlapped nodes of the main domain. The second method also uses the exclusion of nodes in overlapping areas, but in this case the nodes of another domain take the place of the excluded neighbors to build a single connected cloud of nodes. At the same time, some of the nodes are moving, and some are stationary. Nodes membership to different domains and their relative speed are taken into account when calculating fluxes.

The results of modeling the motion of a particle in a stationary gas and the flow around a stationary particle by an incoming flow at the same relative velocity show good agreement for both presented methods.

Рассматривается конечномерная оптимизационная задача, постановка которой, помимо искомых переменных, содержит параметры. Ее решение есть зависимость оптимальных значений переменных от параметров. В общем случае такие зависимости не являются функциями, поскольку могут быть неоднозначными, а в функциональном случае — быть недифференцируемыми. Кроме того, область их существования может оказаться уже области определения функций в условии задачи. Эти свойства затрудняют решение как исходной задачи, так и задач, в постановку которых входят данные зависимости. Для преодоления этих затруднений обычно применяются методы типа недифференцируемой оптимизации.

В статье предлагается альтернативный подход, позволяющий получать решения параметрических задач в форме, лишенной указанных свойств. Показывается, что такие представления могут исследоваться стандартными алгоритмами, основанными на формуле Тейлора. Данная форма есть функция, гладко аппроксимирующая решение исходной задачи. При этом величина погрешности аппроксимации регулируется специальным параметром. Предлагаемые аппроксимации строятся с помощью специальных функций, устанавливающих обратные связи между переменными и множителями Лагранжа. Приводится краткое описание этого метода для линейных задач с последующим обобщением на нелинейный случай.

Построение аппроксимации сводится к отысканию седловой точки модифицированной функции Лагранжа исходной задачи. Показывается, что необходимые условия существования такой седловой точки подобны условиям теоремы Каруша – Куна – Таккера, но не содержат в явном виде ограничений типа неравенств и условий дополняющей нежесткости. Эти необходимые условия аппроксимацию определяют неявным образом. Поэтому для вычисления ее дифференциальных характеристик используется теорема о неявных функциях. Эта же теорема применяется для уменьшения погрешности аппроксимации.

Особенности практической реализации метода функций обратных связей, включая оценки скорости сходимости к точному решению, демонстрируются для нескольких конкретных классов параметрических оптимизационных задач. Конкретно: рассматриваются задачи поиска глобального экстремума функций многих переменных и задачи на кратный экстремум (максимин-минимакс). Также рассмотрены оптимизационные задачи, возникающие при использовании многокритериальных математических моделей. Для каждого из этих классов приводятся демонстрационные примеры.

We consider a finite-dimensional optimization problem, the formulation of which in addition to the required variables contains parameters. The solution to this problem is a dependence of optimal values of variables on parameters. In general, these dependencies are not functions because they can have ambiguous meanings and in the functional case be nondifferentiable. In addition, their domain of definition may be narrower than the domains of definition of functions in the condition of the original problem. All these properties make it difficult to solve both the original parametric problem and other tasks, the statement of which includes these dependencies. To overcome these difficulties, usually methods such as non-differentiable optimization are used.

This article proposes an alternative approach that makes it possible to obtain solutions to parametric problems in a form devoid of the specified properties. It is shown that such representations can be explored using standard algorithms, based on the Taylor formula. This form is a function smoothly approximating the solution of the original problem for any parameter values, specified in its statement. In this case, the value of the approximation error is controlled by a special parameter. Construction of proposed approximations is performed using special functions that establish feedback (within optimality conditions for the original problem) between variables and Lagrange multipliers. This method is described for linear problems with subsequent generalization to the nonlinear case.

From a computational point of view the construction of the approximation consists in finding the saddle point of the modified Lagrange function of the original problem. Moreover, this modification is performed in a special way using feedback functions. It is shown that the necessary conditions for the existence of such a saddle point are similar to the conditions of the Karush – Kuhn – Tucker theorem, but do not contain constraints such as inequalities and conditions of complementary slackness. Necessary conditions for the existence of a saddle point determine this approximation implicitly. Therefore, to calculate its differential characteristics, the implicit function theorem is used. The same theorem is used to reduce the approximation error to an acceptable level.

Features of the practical implementation feedback function method, including estimates of the rate of convergence to the exact solution are demonstrated for several specific classes of parametric optimization problems. Specifically, tasks searching for the global extremum of functions of many variables and the problem of multiple extremum (maximin-minimax) are considered. Optimization problems that arise when using multicriteria mathematical models are also considered. For each of these classes, there are demo examples.

Многие нелинейные системы с управлением неособенным преобразованием переменных {состояние-управление} приводятся к каноническому виду Бруновского. В каноническом виде решаются различные вопросы теории управления, затем обратной заменой переменных осуществляется возврат к исходным переменным. В работе на основе этой идеологии изучаются преобразования симметрии пространства {время-состояние-управление}.

Many nonlinear control systems by nonsingular transformation variable {condition-control} happen to canonical Brunovsky form. The different questions dare in canonical form to theories of control, then inverse change variable is realized return to source variable. In work on base this ideology are studied transformations to symmetries space {time-condition-control}.

Решается двойственная задача интегральной геометрии: по заданному оператору усреднения определить класс функций, на котором возможно обращение этого оператора. Эти классы определяются неоднозначно. Дается полное описание таких классов в форме минимальной дополнительной информации, которую надо знать о функции. Исследуется возможность их конструктивного описания, и в случае конечной системы усреднения даются формулы обращения.

The dual task of integral geometry – to define for a given averaging operator the function class where inversion of that operator is possible – is solved. Those classes are defined ambiguously. Full description of those classes is given in the form of minimal complimentary information necessary to know about the function. The possible to give a constructive description of the class is researched and in the case of a finite averaging system the inversion formulas are given.

Рассмотрены особенности формирования поля температуры уходящих газов на выходе из малоэмиссионных камер сгорания (МЭКС) газотурбинных двигателей (ГТД). Показаны основные проблемы, связанные с их доводкой. Представлены результаты численных исследований влияния степени выгорания топлива по длине МЭКС на температурную неравномерность уходящих газов. Проведена оптимизация конструкции смесителя ввода воздуха на разбавление по количеству, форме и местоположению отверстий. Представлена методика разработки смесителя для камер сгорания подобного типа.

It is discussed peculiarities of forming gas temperature fields in gas turbine engine low emission combustors. It is shown the influence of burn-up rate on combustor outlet temperature and proposed recommendation for design the dilution system for the combustor.