All issues

Работа посвящена вопросам приближения периодических функций высокой гладкости средними арифметическими суммами Фурье. Наиболее естественным и простым примером линейного процесса аппроксимации непрерывных периодических функций действительной переменной является приближение элементами последовательностей частичных сумм ряда Фурье. Известно, что последовательности частичных сумм ряда Фурье не являются равномерно сходящимися на всем пространстве C 2$\pi$-периодических непрерывных функций. Значительное число работ данного направления посвящено изучению аппроксимативных свойств методов приближения, которые для заданной функции $f$ образуются с помощью преобразований частичных сумм ее ряда Фурье и позволяют построить последовательности тригонометрических полиномов, которые равномерно сходятся для каждой функции $f \in C$. На протяжении последних десятилетий широко изучаются суммы Валле Пуссена и их частные случаи суммы Фейера. Одним из наиболее важных направлений в этой области является изучение асимптотического поведения верхних граней уклонений средних арифметических сумм Фурье по различным классам периодических функций. Методы исследования интегральных представлений уклонений тригонометрических полиномов, которые порождаются линейными методами суммирования рядов Фурье, возникли и получили свое развитие в работах С.М. Никольского, С.Б. Стечкина, Н.П. Корнейчука, В.К. Дзядыка и их учеников.

Целью работы является систематизация известных результатов, касающихся приближения классов периодических функций высокой гладкости средними арифметическими суммами Фурье, и представление новых фактов, полученных для их частных случаев. Изучены аппроксимативные свойства тригонометрических полиномов, порождаемых повторным применением метода суммирования Валле Пуссена, на классах периодических функций, которые можно регулярно продолжить в фиксированную полосу комплексной плоскости. Получены асимптотические формулы для верхних граней уклонений в равномерной метрике $r$-повторных сумм Валле Пуссена на классах аналитических периодических функций. Указаны условия, при которых повторные суммы Валле Пуссена обеспечивают лучший порядок приближения, чем обычные.

The paper deals with the problems of approximation of periodic functions of high smoothness by arithmetic means of Fourier sums. The simplest and natural example of a linear process of approximation of continuous periodic functions of a real variable is the approximation of these functions by partial sums of the Fourier series. However, the sequences of partial Fourier sums are not uniformly convergent over the entire class of continuous $2\pi$-periodic functions. In connection with this, a significant number of papers is devoted to the study of the approximative properties of other approximation methods, which are generated by certain transformations of the partial sums of Fourier series and allow us to construct sequences of trigonometrical polynomials that would be uniformly convergent for each function $f \in C$. In particular, over the past decades, de la Vallee Poussin sums and Fejer sums have been widely studied. One of the most important directions in this field is the study of the asymptotic behavior of upper bounds of deviations of arithmetic means of Fourier sums on different classes of periodic functions. Methods of investigation of integral representations of deviations of polynomials on the classes of periodic differentiable functions of real variable originated and received its development through the works of S.M. Nikol’sky, S.B. Stechkin, N.P. Korneichuk, V.K. Dzadyk, etc.

The aim of the work systematizes known results related to the approximation of classes of periodic functions of high smoothness by arithmetic means of Fourier sums, and presents new facts obtained for particular cases. In the paper is studied the approximative properties of $r$-repeated de la Vallee Poussin sums on the classes of periodic functions that can be regularly extended into the fixed strip of the complex plane. We obtain asymptotic formulas for upper bounds of the deviations of repeated de la Vallee Poussin sums taken over classes of periodic analytic functions. In certain cases, these formulas give a solution of the corresponding Kolmogorov–Nikolsky problem. We indicate conditions under which the repeated de la Vallee Poussin sums guarantee a better order of approximation than ordinary de la Vallee Poussin sums.

В данной работе рассматривается возможность применения концепции $(\delta, L)$-модели функции для оптимизационных задач, в которых посредством решения прямой задачи имеется необходимость восстанавливать решение двойственной задачи. Концепция $(\delta, L)$-модели основана на концепции $(\delta, L)$-оракула, предложенной Деволдером–Глинером–Нестеровым, при этом данные авторы предложили фукнционалы в оптимизационных задачах аппроксимировать сверху выпуклой параболой с некоторым аддитивным шумом $\delta$; таким образом, им удалось получить квадратичные верхние оценки с шумом даже для негладких функционалов. Концепция $(\delta, L)$-модели продолжает эту идею за счет того, что аппроксимация сверху делается не выпуклой параболой, а некоторым более сложным выпуклым функционалом. Возможность восстанавливать решение двойственной задачи хорошо зарекомендовала себя, так как во многих случаях в прямой задаче можно значительно быстрее находить решение, чем в двойственной. Отметим, что прямо-двойственные методы хорошо изучены, но при этом, как правило, каждый метод предлагается под конкретный класс задач. Наша же цель — предложить метод, который бы включал в себя сразу различные методы. Это реализуется за счет использования концепции $(\delta, L)$-модели и адаптивной структуры наших методов. Таким образом, нам удалось получить прямо-двойственный адаптивный градиентный метод и быстрый градиентный метод с $(\delta, L)$-моделью и доказать оценки сходимости для них, причем для некоторых классов задач данные оценки являются оптимальными. Основная идея заключается в том, что нахождение двойственных решений происходит относительно оптимизационной задачи, которая аппроксимируют прямую с помощью концепции $(\delta, L)$-модели и имеет более простую структуру, поэтому находить двойственное решение у нее проще. Стоит отметить, что это происходит на каждом шаге работы оптимизационного метода; таким образом, реализуется принцип «разделяй и властвуй».

In this work we consider a possibility to use the conception of $(\delta, L)$-model of a function for optimization tasks, whereby solving a primal problem there is a necessity to recover a solution of a dual problem. The conception of $(\delta, L)$-model is based on the conception of $(\delta, L)$-oracle which was proposed by Devolder–Glineur–Nesterov, herewith the authors proposed approximate a function with an upper bound using a convex quadratic function with some additive noise $\delta$. They managed to get convex quadratic upper bounds with noise even for nonsmooth functions. The conception of $(\delta, L)$-model continues this idea by using instead of a convex quadratic function a more complex convex function in an upper bound. Possibility to recover the solution of a dual problem gives great benefits in different problems, for instance, in some cases, it is faster to find a solution in a primal problem than in a dual problem. Note that primal-dual methods are well studied, but usually each class of optimization problems has its own primal-dual method. Our goal is to develop a method which can find solutions in different classes of optimization problems. This is realized through the use of the conception of $(\delta, L)$-model and adaptive structure of our methods. Thereby, we developed primal-dual adaptive gradient method and fast gradient method with $(\delta, L)$-model and proved convergence rates of the methods, moreover, for some classes of optimization problems the rates are optimal. The main idea is the following: we find a dual solution to an approximation of a primal problem using the conception of $(\delta, L)$-model. It is much easier to find a solution to an approximated problem, however, we have to do it in each step of our method, thereby the principle of “divide and conquer” is realized.

Работа посвящена численному решению задачи о движении тепловой волны для вырождающегося нелинейного уравнения второго порядка параболического типа с источником. Нелинейность уравнения обусловлена степенной зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры. Рассматривается задача для случая двух пространственных переменных при краевом условии, задающем закон движения фронта тепловой волны. Предложен новый алгоритм решения на основе разложения по радиальным базисным функциям и метода граничных элементов. Решение строится по шагам по времени с разностной аппроксимацией по времени. На каждом шаге решается краевая задача для уравнения Пуассона, соответствующего исходному уравнению для фиксированного момента времени. Решение такой задачи строится итерационно в виде суммы частного решения, удовлетворяющего неоднородному уравнению, и решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющего граничным условиям. Однородное уравнение решается методом граничных элементов, частное решение ищется методом коллокаций с помощью разложения неоднородности по радиальным базисным функциям. Вычислительный алгоритм оптимизирован за счет распараллеливания вычислений. Алгоритм реализован в виде программы, написанной на языке программирования С++. Организация параллельных вычислений построена с использованием открытого стандарта OpenCL, что позволило запускать одну и ту же программу, выполняющую параллельные вычисления, как на центральных многоядерных процессорах, так и на графических процессорах. Для оценки эффективности предложенного метода решения и корректности разработанной вычислительной технологии были решены тестовые примеры. Результаты расчетов сравнивались как с известными точными решениями, так и с данными, полученными авторами ранее в других работах. Проведена оценка точности решений и времени проведения расчетов. Проведен анализ эффективности использования различных систем радиальных базисных функций для решения задач рассматриваемого типа. Определена наиболее подходящая система функций. Проведенный комплексный вычислительный эксперимент показал более высокую точность расчетов по предложенному новому алгоритму по сравнению с разработанным ранее.

The paper presents a numerical solution to the heat wave motion problem for a degenerate second-order nonlinear parabolic equation with a source term. The nonlinearity is conditioned by the power dependence of the heat conduction coefficient on temperature. The problem for the case of two spatial variables is considered with the boundary condition specifying the heat wave motion law. A new solution algorithm based on an expansion in radial basis functions and the boundary element method is proposed. The solution is constructed stepwise in time with finite difference time approximation. At each time step, a boundary value problem for the Poisson equation corresponding to the original equation at a fixed time is solved. The solution to this problem is constructed iteratively as the sum of a particular solution to the nonhomogeneous equation and a solution to the corresponding homogeneous equation satisfying the boundary conditions. The homogeneous equation is solved by the boundary element method. The particular solution is sought by the collocation method using inhomogeneity expansion in radial basis functions. The calculation algorithm is optimized by parallelizing the computations. The algorithm is implemented as a program written in the C++ language. The parallel computations are organized by using the OpenCL standard, and this allows one to run the same parallel code either on multi-core CPUs or on graphic CPUs. Test cases are solved to evaluate the effectiveness of the proposed solution method and the correctness of the developed computational technique. The calculation results are compared with known exact solutions, as well as with the results we obtained earlier. The accuracy of the solutions and the calculation time are estimated. The effectiveness of using various systems of radial basis functions to solve the problems under study is analyzed. The most suitable system of functions is selected. The implemented complex computational experiment shows higher calculation accuracy of the proposed new algorithm than that of the previously developed one.

Представлен алгоритм моделирования ансамбля траекторий нестационарных временных рядов. Построена численная схема аппроксимации выборочной плотности функции распределения в задаче с закрепленными концами, когда начальное распределение за заданное количество шагов переходит в определенное конечное распределение, так, что на каждом шаге выполняется полугрупповое свойство решения уравнения Лиувилля. Модель позволяет численно построить эволюционирующие плотности функций распределения при случайном переключении состояний системы, порождающей исходный временной ряд.

Основная проблема, рассматриваемая в работе, связана с тем, что при численной реализации левосторонней разностной производной по времени решение становится неустойчивым, но именно такой подход отвечает моделированию эволюции. При выборе неявных устойчивых схем с «заходом в будущее» используется итерационный процесс, который на каждом своем шаге не отвечает полугрупповому свойству. Если же моделируется некоторый реальный процесс, в котором предположительно имеет место целеполагание, то желательно использовать схемы, которые порождают модель переходного процесса. Такая модель используется в дальнейшем для того, чтобы построить предиктор разладки, который позволит определить, в какое именно состояние переходит изучаемый процесс до того, как он действительно в него перешел. Описываемая в статье модель может использоваться как инструментарий моделирования реальных нестационарных временных рядов.

Схема моделирования состоит в следующем. Из заданного временного ряда отбираются фрагменты, отвечающие определенным состояниям, например трендам с заданными углами наклона и дисперсиями. Из этих фрагментов составляются эталонные распределения состояний. Затем определяются эмпирические распределения длительностей пребывания системы в указанных состояниях и длительности времени перехода из состояния в состояние. В соответствии с этими эмпирическими распределениями строится вероятностная модель разладки и моделируются соответствующие траектории временного ряда.

This paper presents algorithm for modeling set of trajectories of non-stationary time series, based on a numerical scheme for approximating the sample density of the distribution function in a problem with fixed ends, when the initial distribution for a given number of steps transforms into a certain final distribution, so that at each step the semigroup property of solving the Liouville equation is satisfied. The model makes it possible to numerically construct evolving densities of distribution functions during random switching of states of the system generating the original time series.

The main problem is related to the fact that with the numerical implementation of the left-hand differential derivative in time, the solution becomes unstable, but such approach corresponds to the modeling of evolution. An integrative approach is used while choosing implicit stable schemes with “going into the future”, this does not match the semigroup property at each step. If, on the other hand, some real process is being modeled, in which goal-setting presumably takes place, then it is desirable to use schemes that generate a model of the transition process. Such model is used in the future in order to build a predictor of the disorder, which will allow you to determine exactly what state the process under study is going into, before the process really went into it. The model described in the article can be used as a tool for modeling real non-stationary time series.

Steps of the modeling scheme are described further. Fragments corresponding to certain states are selected from a given time series, for example, trends with specified slope angles and variances. Reference distributions of states are compiled from these fragments. Then the empirical distributions of the duration of the system’s stay in the specified states and the duration of the transition time from state to state are determined. In accordance with these empirical distributions, a probabilistic model of the disorder is constructed and the corresponding trajectories of the time series are modeled.

В последнее время для описания различных математических моделей физических процессов широко используется дробно-дифференциальное исчисление. В связи с этим большое внимание уделяется уравнениям в частных производных дробного порядка, которые являются обобщением уравнений в частных производных целого порядка.

Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе называют уравнения, содержащие значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции. В настоящее время широко используются численные методы для решения нагруженных уравнений в частных производных целого и дробного порядка, поскольку аналитические методы решения сложны в реализации. Достаточно эффективным методом численного решения такого рода задач является метод конечных разностей, или метод сеток.

Исследована начально-краевая задача в прямоугольнике $\overline{D}=\{(x,\,t)\colon 0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T\}$ для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с композицией дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова и с граничными условиями первого и третьего рода. С помощью метода энергетических неравенств получена априорная оценка в дифференциальной и в разностной форме. Полученные неравенства означают единственность решения и непрерывную зависимость решения от входных данных задачи. Получен разностный аналог для композиции дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова порядка $(2-\beta )$ и построена разностная схема, аппроксимирующая исходную задачу с порядком $O\left(\tau +h^{2-\beta } \right)$. Доказана сходимость решения разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Recently, to describe various mathematical models of physical processes, fractional differential calculus has been widely used. In this regard, much attention is paid to partial differential equations of fractional order, which are a generalization of partial differential equations of integer order. In this case, various settings are possible.

Loaded differential equations in the literature are called equations containing values of a solution or its derivatives on manifolds of lower dimension than the dimension of the definitional domain of the desired function. Currently, numerical methods for solving loaded partial differential equations of integer and fractional orders are widely used, since analytical solving methods for solving are impossible. A fairly effective method for solving this kind of problem is the finite difference method, or the grid method.

We studied the initial-boundary value problem in the rectangle $\overline{D}=\{(x,\,t)\colon 0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T\}$ for the loaded differential heat equation with composition fractional derivative of Riemann – Liouville and Caputo – Gerasimov and with boundary conditions of the first and third kind. We have gotten an a priori assessment in differential and difference interpretations. The obtained inequalities mean the uniqueness of the solution and the continuous dependence of the solution on the input data of the problem. A difference analogue of the composition fractional derivative of Riemann – Liouville and Caputo –Gerasimov order $(2-\beta )$ is obtained and a difference scheme is constructed that approximates the original problem with the order $O\left(\tau +h^{2-\beta } \right)$. The convergence of the approximate solution to the exact one is proven at a rate equal to the order of approximation of the difference scheme.

Как правило, данные конфокальной и многофотонной лазерной сканирующей микроскопии страдают от низкого уровня полезного сигнала и высокого вклада дробового шума, связанного со стохастическим характером испускания фотонов флуорофором. Это осложняет задачу подавления шума и выделения полезного сигнала в таких данных. В настоящее время популярны нейросетевые алгоритмы улучшения изображений, однако они часто представляют собой «черный ящик» и требуют длительного обучения на конкретных наборах данных. В работе предлагается алгоритм подавления шума для данных динамической флуоресцентной микроскопии, опирающийся на наличие пространственно-временных локальных корреляций в полезном сигнале и на отсутствие пространственных корреляций в шумовой компоненте. Сингулярное разложение матриц (SVD), производящее спектральное разложение матрицы ковариации, — распространенный способ низкоранговой аппроксимации двумерных массивов, концентрирующий скоррелированный сигнал в нескольких первых компонентах разложения. Однако данные динамической микроскопии представляют собой трехмерные массивы или тензоры большей размерности, поэтому использование тензорных разложений потенциально может улучшить результат подавления шума по сравнению с обычным SVD. В основе алгоритма — двухэтапное применение усеченного сингулярного разложения высшего порядка (HOSVD) с введением порога для коэффициентов и последующим обратным преобразованием, сначала для локальных трехмерных окон в пространстве TXY (3D-HOSVD), а затем для пространственно объединенных групп трехмерных окон (4D-HOSVD). Для валидации алгоритма используются синтетические данные кальциевой сигнализации в астроцитах, в которых концентрация кальция транслируется в сигнал флуоресценции, значения которого в каждом кадре и каждом пикселе затем служат математическим ожиданием и дисперсией для сэмплирования случайной величины из непрерывного аналога пуассоновского распределения. Проведен анализ чувствительности алгоритма от параметров понижения ранга вдоль размерности временных компонент и группового ранга, длины локального окна и порога коэффициентов разложения. Несмотря на наличие мультипликативного шума, предлагаемый алгоритм демонстрирует значительное улучшение анализируемого сигнала, увеличивая соотношение «сигнал/шум» (PSNR) более чем на 20 дБ. Данный метод не опирается на предположения относительно разреженности или гладкости сигнала и может быть использован в качестве одного из этапов обработки данных динамической флуоресцентной микроскопии для самых различных типов данных.

Fluorescent imaging data are currently widely used in neuroscience and other fields. Genetically encoded sensors, based on fluorescent proteins, provide a wide inventory enabling scientiests to image virtually any process in a living cell and extracellular environment. However, especially due to the need for fast scanning, miniaturization, etc, the imaging data can be severly corrupred with multiplicative heteroscedactic noise, reflecting stochastic nature of photon emission and photomultiplier detectors. Deep learning architectures demonstrate outstanding performance in image segmentation and denoising, however they can require large clean datasets for training, and the actual data transformation is not evident from the network architecture and weight composition. On the other hand, some classical data transforms can provide for similar performance in combination with more clear insight in why and how it works. Here we propose an algorithm for denoising fluorescent dynamical imaging data, which is based on multilinear higher-order singular value decomposition (HOSVD) with optional truncation in rank along each axis and thresholding of the tensor of decomposition coefficients. In parallel, we propose a convenient paradigm for validation of the algorithm performance, based on simulated flurescent data, resulting from biophysical modeling of calcium dynamics in spatially resolved realistic 3D astrocyte templates. This paradigm is convenient in that it allows to vary noise level and its resemblance of the Gaussian noise and that it provides ground truth fluorescent signal that can be used to validate denoising algorithms. The proposed denoising method employs truncated HOSVD twice: first, narrow 3D patches, spanning the whole recording, are processed (local 3D-HOSVD stage), second, 4D groups of 3D patches are collaboratively processed (non-local, 4D-HOSVD stage). The effect of the first pass is twofold: first, a significant part of noise is removed at this stage, second, noise distribution is transformed to be more Gaussian-like due to linear combination of multiple samples in the singular vectors. The effect of the second stage is to further improve SNR. We perform parameter tuning of the second stage to find optimal parameter combination for denoising.

Настоящая работа посвящена периодическим и непериодическим полулокальным сглаживающим сплайнам или S-сплайнам класса C^p, состоящим из полиномов степени n.
Первые p + 1 коэффициентов каждого полинома задаются значениями предыдущего полинома и его p первых производных в точке склейки, остальные n − p коэффициентов при старших производных полинома определяются методом наименьших квадратов. Эти условия дополняются или начальными условиями (непериодический случай), или условием периодичности сплайн-функции на отрезке определения. В работе выписана система линейных уравнений, определяющих коэффициенты полиномов, составляющих сплайн. Матрица системы имеет блочный вид. Доказаны теоремы существования и единственности. Показано, что сходимость сплайнов к исходной функции зависит от величин собственных значений матрицы устойчивости. Приведены примеры устойчивых S-сплайнов.

Semilocal smoothing splines or S-splines from class C ^p are considered. These splines consist of polynomials of a degree n, first p + 1 coefficients of each polynomial are determined by values of the previous polynomial and p its derivatives at the point of splice, coefficients at higher terms of the polynomial are determined by the least squares method. These conditions are supplemented by the periodicity condition for the spline function on the whole segment of definition or by initial conditions. Uniqueness and existence theorems are proved. Stability and convergence conditions for these splines are established.

Исследуются методы решения задачи фокусной аппроксимации — приближения по точечно заданной гладкой замкнутой эмпирической кривой многофокусными лемнискатами. Анализируются критерии и сходимость разработанных методов приближения, как в вещественной, так и в комплексной интерпретации. Доказывается топологическая эквивалентность используемых критериев.

Methods of the solution of a problem of focal approximation — approach on point-by-point given smooth closed empirical curve by multifocal lemniscates are investigated. Criteria and convergence of the developed approached methods with use of the description, both in real, and in complex variables are analyzed. Topological equivalence of the used criteria is proved.

В работе рассматривается вопрос о возможности создания материала, который имеет коэффициенты ослабления и рассеяния рентгеновского излучения близкие или совпадающие с этими же коэффициентами для другого, заранее заданного материала. Проведена компьютерная обработка данных о значении этих коэффициентов для большого набора различных веществ, изучена их зависимость от энергии излучения. Сделан вывод о возможности успешного решения поставленной задачи во многих случаях, а так же указаны основные трудности, которые могут при этом возникнуть. Приведены результаты расчетов, выполненных для ряда конкретных веществ.

The problem of formation of a material, which has the coefficients of attenuations and scattering close or coinciding with the same coefficients for some other predetermined material was considered. A computer processing of values of these coefficients for a big set of various materials has been carried out and their dependence on radiation energy value was studied. The conclusion was drawn about probability of successful solution of the problem in many cases and difficulties, which may occur were pointed out. A set of computer calculations carried out for some specific materials is provided.

При моделировании методами классической молекулярной динамики поведения системы частиц используются уравнения движения в ньютоновской и гамильтоновой формулировке. При использовании уравнений Ньютона для получения координат и скоростей частиц системы, состоящей из $N$ частиц, требуется на каждом временном шаге в трехмерном случае решить $3N$ обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Традиционно для решения уравнений движения молекулярной динамики в ньютоновской формулировке используются численные схемы метода Верле. Для сохранения устойчивости численных схем Верле на достаточно больших интервалах времени приходится уменьшать шаг интегрирования. Это приводит к существенному увеличению объема вычислений. В большинстве современных пакетов программ молекулярной динамики для численного интегрирования уравнений движения используют схемы метода Верле с контролем сохранения гамильтониана (энергии системы) по времени. Для уменьшения времени вычислений при молекулярно-динамических расчетах можно использовать два дополняющих друг друга подхода. Первый основан на совершенствовании и программной оптимизации существующих пакетов программ молекулярной динамики с использованием векторизации, распараллеливания, спецпроцессоров. Второй подход основан на разработке эффективных методов численного интегрирования уравнений движения. В работе предложена процедура построения явных, неявных и симметричных симплектических численных схем с заданной точностью аппроксимации относительно шага интегрирования для решения уравнений движения молекулярной динамики в гамильтоновой форме. В основе подхода для построения предложенной в работе процедуры лежат следующие положения: гамильтонова формулировка уравнений движения, использование разложения точного решения в ряд Тейлора, использование для вывода численных схем аппарата производящих функций для сохранения геометрических свойств точного решения. Численные эксперименты показали, что полученная в работе симметричная симплектическая схема третьего порядка точности сохраняет в приближенном решении основные свойства точного решения, является более устойчивой по шагу аппроксимации и более точно сохраняет гамильтониан системы на большом интервале интегрирования, чем численные схемы метода Верле второго порядка.

Equations of motion in Newtonian and Hamiltonian forms are used for classical molecular dynamics simulation of particle system time evolution. When Newton equations of motion are used for finding of particle coordinates and velocities in $N$-particle system it takes to solve $3N$ ordinary differential equations of second order at every time step. Traditionally numerical schemes of Verlet method are used for solving Newtonian equations of motion of molecular dynamics. A step of integration is necessary to decrease for Verlet numerical schemes steadiness conservation on sufficiently large time intervals. It leads to a significant increase of the volume of calculations. Numerical schemes of Verlet method with Hamiltonian conservation control (the energy of the system) at every time moment are used in the most software packages of molecular dynamics for numerical integration of equations of motion. It can be used two complement each other approaches to decrease of computational time in molecular dynamics calculations. The first of these approaches is based on enhancement and software optimization of existing software packages of molecular dynamics by using of vectorization, parallelization and special processor construction. The second one is based on the elaboration of efficient methods for numerical integration for equations of motion. A procedure for constructing of explicit, implicit and symmetric symplectic numerical schemes with given approximation accuracy in relation to integration step for solving of molecular dynamic equations of motion in Hamiltonian form is proposed in this work. The approach for construction of proposed in this work procedure is based on the following points: Hamiltonian formulation of equations of motion; usage of Taylor expansion of exact solution; usage of generating functions, for geometrical properties of exact solution conservation, in derivation of numerical schemes. Numerical experiments show that obtained in this work symmetric symplectic third-order accuracy scheme conserves basic properties of the exact solution in the approximate solution. It is more stable for approximation step and conserves Hamiltonian of the system with more accuracy at a large integration interval then second order Verlet numerical schemes.