All issues

В работе исследуются полиномиальные решения уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил и уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. В математической постановке каждая из указанных задач описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых содержат пятнадцать постоянных параметров, характеризующих распределение масс гиростата, потенциальные и непотенциальные силы, действующие на гиростат. Рассмотрены полиномиальные решения двух классов: Стеклова–Ковалевского–Горячева и Докшевича. Структура инвариантных соотношений для полиномиальных решений показывает, что, как правило, к указанным выше пятнадцати параметрам добавляется еще не менее двадцати пяти параметров задачи. При решении такой многопараметрической задачи в статье наряду с аналитическими методами применяются численные методы, основанные на вычислительных математических пакетах. Исследование условий существования полиномиальных решений проведено в два этапа. На первом этапе выполнена оценка максимальных степеней рассмотренных полиномов и получена нелинейная алгебраическая система на параметры дифференциальных уравнений и полиномиальных решений. На втором этапе с помощью компьютерных вычислений исследованы условия разрешимости полученных систем и изучены условия действительности построенных решений.

Для уравнений Кирхгофа–Пуассона построены два новых полиномиальных решения. Первое решение характеризуется следующим свойством: квадраты проекций угловой скорости на небарецентрические оси являются многочленами пятой степени от компоненты вектора угловой скорости на барецентрическую ось, которая выражается в виде гиперэллиптической функции времени. Второе решение характеризуется тем, что первая компонента угловой скорости является многочленом второго порядка, вторая компонента—многочленом третьего порядка, квадрат третьей компоненты—многочленом шестого порядка по вспомогательной переменной, которая является обращением эллиптического интеграла Лежандра.

Третье решение построено для уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Для него структура такова: первая и вторая компоненты вектора угловой скорости—многочлены второй степени, квадрат третьей компоненты—многочлен четвертой степени по вспомогательной переменной, которая находится обращением эллиптического интеграла Лежандра.

Все построенные решения не имеют аналогов в динамике твердого тела с неподвижной точкой.

We study polynomial solutions of gyrostat motion equations under potential and gyroscopic forces applied and of gyrostat motion equations in magnetic field taking into account Barnett–London effect. Mathematically, either of the above mentioned problems is described by a system of non-linear ordinary differential equations whose right hand sides contain fifteen constant parameters. These parameters characterize the gyrostat mass distribution, as well as potential and non-potential forces acting on gyrostat. We consider polynomial solutions of Steklov–Kovalevski–Gorjachev and Doshkevich classes. The structure of invariant relations for polynomial solutions shows that, as a rule, on top of the fifteen parameters mentioned one should add no less than twenty five problem parameters. In the process of solving such a multi-parametric problem in this paper we (in addition to analytic approach) apply numeric methods based on CAS. We break our studies of polynomial solutions existence into two steps. During the first step, we estimate maximal degrees of polynomials considered and obtain a non-linear algebraic system for parameters of differential equations and polynomial solutions. In the second step (using the above CAS software) we study the solvability conditions of the system obtained and investigate the conditions of the constructed solutions to be real.

We construct two new polynomial solutions for Kirchhoff–Poisson. The first one is described by the following property: the projection squares of angular velocity on the non-baracentric axes are the fifth degree polynomials of the angular velocity vector component of the baracentric axis that is represented via hypereliptic function of time. The second solution is characterized by the following: the first component of velocity conditions is a second degree polynomial, the second component is a polynomial of the third degree, and the square of the third component is the sixth degree polynomial of the auxiliary variable that is an inversion of the elliptic Legendre integral.

The third new partial solution we construct for gyrostat motion equations in the magnetic field with Barnett–London effect. Its structure is the following: the first and the second components of the angular velocity vector are the second degree polynomials, and the square of the third component is a fourth degree polynomial of the auxiliary variable which is found via inversion of the elliptic Legendre integral of the third kind.

All the solutions constructed in this paper are new and do not have analogues in the fixed point dynamics of a rigid body.

Для задачи двух тел вычисляется 12-параметрическая группа симметрий, преобразования которой переводят очевидное решение — равномерные движения тел по круговым орбитам с общим неподвижным центром — в движения с произвольными начальными данными.

For the two-body problem computed 12-parameter group symmetry transformations which translate the obvious solution — uniform motion of bodies in circular orbits with a common fixed center — a motion with arbitrary initial data.

Алгоритм решения сопряженной аэродинамической и баллистической задач, разработанный на основе метода моделирования с помощью системы сеток, дополнен расчетным механизмом, позволяющим учитывать перемещение и вращение тел относительно центров масс. Для заданной конфигурации тел решается задача обтекания методом установления, после этого состояние системы перерассчитывается через малый промежуток времени. Итерационным способом оказывается возможным проследить динамику системы на больших интервалах времени. Алгоритм реализован для исследования полета системы тел с учетом их относительного положения и вращения. Выполнено тестирование алгоритма на задаче обтекания тела сегментально-конической формы. Показано хорошее согласование результатов с экспериментальными исследованиями. Алгоритм применен для расчета задачи о сверхзвуковом полете вращающегося тела. Для тел прямоугольной формы, имитирующих удлиненные осколки метеорного тела, показано, что для удлиненных тел аэродинамически более устойчивым положением является полет с большей по площади стороной поперек направления полета. Это приводит фактически к полету тел с максимально возможным аэродинамическим сопротивлением из-за максимальной площади миделя. Алгоритм применен для расчета задачи о разлете двух одинаковых тел прямоугольной формы с учетом их вращения. Вращение приводит к тому, что тела разлетаются не только под действием расталкивающей аэродинамической силы, но и дополнительной боковой силы из-за приобретения угла атаки. Скорость разлета двух осколков метеорного тела удлиненной формы при учете вращения увеличивается до трех раз по сравнению с вариантом, когда предполагается, что тела не вращаются. Исследование проведено в целях оценки влияния различных факторов на скорость разлета осколков метеорного тела после разрушения для построения возможных траекторий выпавших на землю метеоритов. Разработанный алгоритм решения сопряженной аэродинамической и баллистической задач с учетом относительного перемещения и вращения тел может быть использован для решения технических задач, например для исследования динамики разделения ступеней летательного аппарата.

An algorithm for solving the conjugation of aerodynamic and ballistic problems, which is based on the method of modeling with the help of a grid system, has been complemented by a numerical mechanism that allows to take into account the relative movement and rotation of bodies relative to their centers of mass. For a given configuration of the bodies a problem of flow is solved by relaxation method. After that the state of the system is recalculated after a short amount of time. With the use of iteration it is possible to trace the dynamics of the system over a large period of time. The algorithm is implemented for research of flight of systems of bodies taking into account their relative position and rotation. The algorithm was tested on the problem of flow around a body with segmental-conical form. A good correlation of the results with experimental studies was shown. The algorithm is used to calculate the problem of the supersonic fight of a rotating body. For bodies of rectangular shape, imitating elongated fragments of a meteoroid, it is shown that for elongated bodies the aerodynamically more stable position is flight with a larger area across the direction of flight. This de facto leads to flight of bodies with the greatest possible aerodynamic resistance due to the maximum midship area. The algorithm is used to calculate the flight apart of two identical bodies of a rectangular shape, taking into account their rotation. Rotation leads to the fact that the bodies fly apart not only under the action of the pushing aerodynamic force but also the additional lateral force due to the acquisition of the angle of attack. The velocity of flight apart of two fragments with elongated shape of a meteoric body increases to three times with the account of rotation in comparison with the case, when it is assumed that the bodies do not rotate. The study was carried out in order to evaluate the influence of various factors on the velocity of fragmentation of the meteoric body after destruction in order to construct possible trajectories of fallen on earth meteorites. A developed algorithm for solving the conjugation of aerodynamic and ballistic problems, taking into account the relative movement and rotation of the bodies, can be used to solve technical problems, for example, to study the dynamics of separation of aircraft stages.

Работа посвящена использованию бикомпактных схем для численного решения эволюционных уравнений гиперболического типа. Основным преимуществом схем этого класса является сочетание двух положительных свойств: пространственной аппроксимации высокого четного порядка на шаблоне, всегда занимающем одну ячейку сетки, и спектрального разрешения, лучшего по сравнению с классическими компактными конечно-разностными схемами того же порядка пространственной аппроксимации. Рассматривается одна особенность бикомпактных схем — жесткая привязка их пространственной аппроксимации к декартовым сеткам (с ячейками-параллелепипедами в трехмерном случае). Она делает затруднительным применение бикомпактных схем к решению задач в сложных расчетных областях в рамках подхода неструктурированных сеток. Предлагается решать эту проблему путем применения известных методов аппроксимации границ сложной формы и соответствующих им краевых условий на декартовых сетках. Обобщение бикомпактных схем на задачи в геометрически сложных областях проводится на примере задач газовой динамики и уравнений Эйлера. В качестве конкретного метода, позволяющего учесть на декартовых сетках влияние твердых границ произвольной формы на течение газа, выбирается метод свободной границы. Приводится краткое описание этого метода, выписываются его уравнения. Для них строятся бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространству с локально-одномерным расщеплением. Компенсационный поток метода свободной границы дискретизируется со вторым порядком точности. Для интегрирования по времени в получаемых схемах применяются неявный метод Эйлера и $L$-устойчивый жестко-точный трехстадийный однократно диагонально-неявный метод Рунге–Кутты третьего порядка точности. Разработанные бикомпактные схемы тестируются на трех двумерных задачах: о стационарном сверхзвуковом обтекании с числом Маха, равным трем, одного круглого цилиндра и группы изт рех круглых цилиндров, а также о нестационарном взаимодействии плоской ударной волны и круглого цилиндра в канале с плоскопараллельными стенками. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами других работ: твердые тела физически корректно влияют на поток газа, давление в контрольных точках на поверхностях тел рассчитывается с точностью, в целом отвечающей выбранному разрешению сетки и уровню численной диссипации.

This work is dedicated to application of bicompact schemes to numerical solution of evolutionary hyperbolic equations. The main advantage of this class of schemes lies in combination of two beneficial properties: the first one is spatial approximation of high even order on a stencil that always occupies only one mesh cell; the second one is spectral resolution which is better in comparison to classic compact finite-difference schemes of the same order of spatial approximation. One feature of bicompact schemes is considered: their spatial approximation is rigidly tied to Cartesian meshes (with parallelepiped-shaped cells in three-dimensional case). This feature makes rather challenging any application of bicompact schemes to problems with complex computational domains as treated in the framework of unstructured meshes. This problem is proposed to be solved using well-known methods for treating complex-shaped boundaries and their corresponding boundary conditions on Cartesian meshes. The generalization of bicompact schemes on problems in geometrically complex domains is made in case of gas dynamics problems and Euler equations. The free boundary method is chosen as a particular tool to introduce the influence of arbitrary-shaped solid boundaries on gas flows on Cartesian meshes. A brief description of this method is given, its governing equations are written down. Bicompact schemes of fourth order of approximation in space with locally one-dimensional splitting are constructed for equations of the free boundary method. Its compensation flux is discretized with second order of accuracy. Time stepping in the obtained schemes is done with the implicit Euler method and the third order accurate $L$-stable stiffly accurate three-stage singly diagonally implicit Runge–Kutta method. The designed bicompact schemes are tested on three two-dimensional problems: stationary supersonic flows with Mach number three past one circular cylinder and past three circular cylinders; the non-stationary interaction of planar shock wave with a circular cylinder in a channel with planar parallel walls. The obtained results are in a good agreement with other works: influence of solid bodies on gas flows is physically correct, pressure in control points on solid surfaces is calculated with the accuracy appropriate to the chosen mesh resolution and level of numerical dissipation.