All issues

Для моделирования гравитационной конвекции жидкости, насыщающей пористую среду, развивается компактная конечно-разностная схема. На основе закона Дарси с учетом анизотропии свойств проницаемости и теплопроводности рассматривается задача для прямоугольной области в переменных «функция тока» и «температура». На границах заданы условия непроницаемости и линейный по высоте профиль температуры. При определенных соотношениях между коэффициентами обратной проницаемости и теплопроводности данная система является косимметричной, при потере устойчивости механического равновесия от него ответвляется однопараметрическое семейство стационарных конвективных режимов. Разработана численная схема с конечно-разностной аппроксимацией четвертого порядка точности по пространственным координатам и с использованием метода Рунге – Кутты. Доказано, что построенная на девятиточечном шаблоне численная схема сохраняет свойство косимметрии исходной системы. Представлены результаты численного решения спектральной задачи по определению критических чисел Рэлея, отвечающих возникновению конвективных движений. Проведено сравнение с расчетами методом второго порядка точности и на основе комбинированной разностной схемы, обеспечивающей четвертый порядок аппроксимации по вертикальной координате. Показано, что с большой точностью критические числа являются двукратными при коэффициентах, обеспечивающих свойство косимметрии. Приведены результаты вычисления конвективных режимов и спектров устойчивости стационарных решений. Дана оценка эффективности предложенной компактной схемы.

A compact finite difference scheme has been developed for modeling convection in a porous medium saturated with a fluid. We consider the problem for a rectangular domain with anisotropic permeability and thermal conductivity properties in terms of stream function and temperature deviation, taking into account Darcy's law. Boundary conditions of impenetrability and a linear distribution of temperature are set. This model is cosymmetric when certain conditions are imposed on the permeability and thermal conductivities. One parametric family of stationary convection regimes arises when mechanical equilibrium loses stability. A numerical method with a fourth-order finite difference approximation for spatial variables and a Runge – Kutta integrator for time has been developed. It has been proved that this scheme preserves cosymmetry. Numerical results for evaluating the critical Rayleigh number have been presented. We compare them with results obtained using a second-order finite-difference method. We show that critical Rayleigh numbers are repeated twice with very high accuracy, which proves cosymmetry preservation. Numerical evaluation of convective regimes and spectral properties are presented. The efficiency of the developed compact finite difference scheme on a nine-point stencil is assessed.

Рассматривается математическая модель, описывающая конкуренцию за неоднородный ресурс двух близкородственных видов на одномерном ареале. Распространение популяций определяется диффузией и направленной миграцией, а рост подчиняется логистическому закону. Исследуются решения соответствующей начально-краевой задачи для нелинейных уравнений параболического типа с переменными коэффициентами (функция ресурса, параметры роста, диффузии и миграции). Для анализа формирования популяционных структур применяется подход на основе теории косимметричных динамических систем В. И. Юдовича. Аналитически получены условия на параметры системы, при выполнении которых у системы имеется нетривиальная косимметрия. В численном эксперименте подтверждено возникновение непрерывного семейства стационарных решений при выполнении условий существования косимметрии. Расчетная схема основана на конечно-разностной дискретизации по пространственной переменной с использованием интегро-интерполяционного метода и интегрировании по времени методом Рунге–Кутты. Далее численно исследовано влияние параметров диффузии и миграции на пространственно-временные сценарии развития популяций. В окрестности многообразия, соответствующего косимметрии задачи, рассчитаны нейтральные кривые диффузионных параметров, отвечающих границам устойчивости решений с одной популяцией. Для ряда значений параметров миграции и функций ресурса с одним и двумя максимумами построены карты областей параметров, которые соответствуют различным сценариям сосуществования и вытеснения видов. В частности, найдены области параметров, при которых выживание того или иного вида определяется условиями начального размещения. Отмечено, что реализуемая при этом динамика может быть нетривиальна: после начального снижения плотностей обоих видов наблюдается последующий рост одной популяции и убывание другой. Проведенный анализ показал, что области диффузионных параметров, отвечающих различным сценариям формирования популяционных структур, группируются вблизи линий, соответствующих косимметрии рассматриваемой математической модели. Полученные карты позволяют объяснить медленную динамику системы близостью к косимметричному случаю и дать трактовку эффекта выживания популяции за счет изменения диффузионной мобильности при исчерпании ресурса.

We consider a mathematical model describing the competition for a heterogeneous resource of two populations on a one-dimensional area. Distribution of populations is governed by diffusion and directed migration, species growth obeys to the logistic law. We study the corresponding problem of nonlinear parabolic equations with variable coefficients (function of a resource, parameters of growth, diffusion and migration). Approach on the theory the cosymmetric dynamic systems of V. Yudovich is applied to the analysis of population patterns. Conditions on parameters for which the problem under investigation has nontrivial cosymmetry are analytically derived. Numerical experiment is used to find an emergence of continuous family of steady states when cosymmetry takes place. The numerical scheme is based on the finite-difference discretization in space using the balance method and integration on time by Runge-Kutta method. Impact of diffusive and migration parameters on scenarios of distribution of populations is studied. In the vicinity of the line, corresponding to cosymmetry, neutral curves for diffusive parameters are calculated. We present the mappings with areas of diffusive parameters which correspond to scenarios of coexistence and extinction of species. For a number of migration parameters and resource functions with one and two maxima the analysis of possible scenarios is carried out. Particularly, we found the areas of parameters for which the survival of each specie is determined by initial conditions. It should be noted that dynamics may be nontrivial: after starting decrease in densities of both species the growth of only one population takes place whenever another specie decreases. The analysis has shown that areas of the diffusive parameters corresponding to various scenarios of population patterns are grouped near the cosymmetry lines. The derived mappings allow to explain, in particular, effect of a survival of population due to increasing of diffusive mobility in case of starvation.

В предположении анизотропии свойств жидкости и среды моделируется возникновение гравитационной конвекции в пористом прямоугольнике, насыщенном теплопроводной жидкостью с примесью и подогреваемом снизу. Рассматривается плоская задача на основе уравнений Дарси – Буссинеска для бинарной жидкости с учетом эффекта Соре. Устанавливаются условия, при которых система уравнений относительно функции тока, отклонений температуры и концентрации от равновесного состояния является косимметричной и возможно ответвление от механического равновесия непрерывного семейства стационарных движений.

Показано, что в условиях существования косимметрии имеются подобласти параметров, для которых критические значения температурного и концентрационного чисел Рэлея находятся по явным формулам. Для случая монотонной неустойчивости механического равновесия выведены формулы критических чисел Рэлея и приведены результаты подтверждающих вычислений.

Развита конечно-разностная дискретизация задачи второго порядка точности по пространственным переменным, сохраняющая косимметричность исследуемой системы. С помощью разработанной численной схемы проведен анализ устойчивости механического равновесия при различных комбинациях управляющих параметров.

На плоскости температурного и концентрационного чисел Рэлея представлены нейтральные кривые устойчивости механического равновесия и рассчитаны участки колебательной неустойчивости. Установлена зависимость от параметров термодиффузии концентрационного числа Рэлея, при котором колебательная неустойчивость предшествует монотонной. В общей ситуации, когда не выполняются условия косимметрии, выведенные формулы критических чисел Рэлея могут быть использованы для оценки порогов возникновения конвекции.

We study an appearance of gravitational convection in a porous medium saturated by the double-diffusive fluid. The rectangle heated from below is considered with anisotropy of media properties. We analyze Darcy – Boussinesq equations for a binary fluid with Soret effect.

Resulting system for the stream function, the deviation of temperature and concentration is cosymmetric under some additional conditions for the parameters of the problem. It means that the quiescent state (mechanical equilibrium) loses its stability and a continuous family of stationary regimes branches off. We derive explicit formulas for the critical values of the Rayleigh numbers both for temperature and concentration under these conditions of the cosymmetry. It allows to analyze monotonic instability of mechanical equilibrium, the results of corresponding computations are presented.

A finite-difference discretization of a second-order accuracy is developed with preserving of the cosymmetry of the underlying system. The derived numerical scheme is applied to analyze the stability of mechanical equilibrium.

The appearance of stationary and nonstationary convective regimes is studied. The neutral stability curves for the mechanical equilibrium are presented. The map for the plane of the Rayleigh numbers (temperature and concentration) are displayed. The impact of the parameters of thermal diffusion on the Rayleigh concentration number is established, at which the oscillating instability precedes the monotonic instability. In the general situation, when the conditions of cosymmetry are not satisfied, the derived formulas of the critical Rayleigh numbers can be used to estimate the thresholds for the convection onset.

Проводится исследование вольтерровской модели, описывающей конкуренцию трех видов. Соответствующая система дифференциальных уравнений первого порядка с квадратичной правой частью после замены переменных сводится к системе с восемью параметрами. Два из них характеризуют скорости роста популяций, для первого вида этот параметр принят равным единице. Остальные шесть коэффициентов задают матрицу взаимодействий видов. Ранее при аналитическом исследовании так называемых симметричной модели [May, Leonard, 1975] и асимметричной модели [Chi, Wu, Hsu, 1998] с коэффициентами роста, равными единице, были установлены соотношения на коэффициенты взаимодействия, при которых система имеет однопараметрическое семейство предельных циклов. В данной работе проведено численно-аналитическое исследование полной системы на основе косимметричного подхода, позволившего определить соотношения на параметры, которым отвечают семейства равновесий. Получены различные варианты однопараметрических семейств и показано, что они могут состоять как из устойчивых, так и из неустойчивых равновесий. В случае матрицы взаимодействий с единичными коэффициентами найдены мультикосимметрия системы и двухпараметрическое семейство равновесий, существующее при любых коэффициентах роста. Для различных коэффициентов взаимодействия найдены значения параметров роста, при которых реализуются периодические режимы. Их принадлежность семейству предельных циклов подтверждена расчетом мультипликаторов. В широком диапазоне значений, нарушающих соотношения, при которых обеспечивается существование циклов, получается типичное при разрушении косимметрии медленное колебательное установление. Приведены примеры, когда фиксированному значению одного параметра роста отвечают два значения другого параметра, так что существуют разные семейства периодических режимов. Таким образом, установлена вариативность сценариев развития трехвидовой системы.

The study of the Volterra model describing the competition of three types is carried out. The corresponding system of first-order differential equations with a quadratic right-hand side, after a change of variables, reduces to a system with eight parameters. Two of them characterize the growth rates of populations; for the first species, this parameter is taken equal to one. The remaining six coefficients define the species interaction matrix. Previously, in the analytical study of the so-called symmetric model [May, Leonard, 1975] and the asymmetric model [Chi, Wu, Hsu, 1998] with growth factors equal to unity, relations were established for the interaction coefficients, under which the system has a one-parameter family of limit cycles. In this paper, we carried out a numerical-analytical study of the complete system based on a cosymmetric approach, which made it possible to determine the ratios for the parameters that correspond to families of equilibria. Various variants of oneparameter families are obtained and it is shown that they can consist of both stable and unstable equilibria. In the case of an interaction matrix with unit coefficients, a multicosymmetry of the system and a two-parameter family of equilibria are found that exist for any growth coefficients. For various interaction coefficients, the values of growth parameters are found at which periodic regimes are realized. Their belonging to the family of limit cycles is confirmed by the calculation of multipliers. In a wide range of values that violate the relationships under which the existence of cycles is ensured, a slow oscillatory establishment, typical of the destruction of cosymmetry, is obtained. Examples are given where a fixed value of one growth parameter corresponds to two values of another parameter, so that there are different families of periodic regimes. Thus, the variability of scenarios for the development of a three-species system has been established.

Рассматривается пространственно-временная модель тритрофической системы, описывающая взаимодействие жертвы, хищника и суперхищника в среде с неоднородным распределением ресурса. Учитываются всеядность суперхищника (Intraguild Predation, IGP), диффузия и направленная миграция (таксис), который моделируется с помощью логарифмической функции от ресурса и плотности жертвы. Основное внимание уделено анализу мультистабильности системы и роли косимметрии в формировании континуальных семейств стационарных решений. С использованием численно-аналитического подхода изучаются пространственно-однородные и неоднородные стационарные решения. Установлено, что при выполнении дополнительных соотношений между параметрами, характеризующими локальное взаимодействие хищников, и коэффициентами диффузии система обладает косимметрией, что приводит к возникновению семейства устойчивых стационарных решений, пропорциональных функции ресурса. Показано, что косимметрия не зависит от функции ресурса в случае неоднородной среды. Проведено исследование устойчивости стационарных распределений с помощью спектрального метода. Нарушение условий косимметрии приводит к разрушению семейства и появлению изолированных стационарных состояний, а также к длительным переходным процессам, отражающим память системы об исчезнувшем семействе. В зависимости от начальных условий и параметров в системе реализуются переходы к режимам с одним хищником (выживание хищника или суперхищника) или к сосуществованию хищников. Численные эксперименты на основе метода прямых (разностная схема по пространственной переменной и метод Рунге – Кутты для интегрирования по времени) подтверждают мультистабильность системы и иллюстрируют исчезновение семейства решений при разрушении косимметрии.

We consider a spatiotemporal model of a tritrophic system describing the interaction between prey, predator, and superpredator in an environment with nonuniform resource distribution. The model incorporates superpredator omnivory (Intraguild Predation, IGP), diffusion, and directed migration (taxis), the latter modeled using a logarithmic function of resource availability and prey density. The primary focus is on analyzing the multistability of the system and the role of cosymmetry in the formation of continuous families of steady-state solutions. Using a numerical-analytical approach, we study both spatially homogeneous and inhomogeneous steady-state solutions. It is established that under additional relations between the parameters governing local predator interactions and diffusion coefficients, the system exhibits cosymmetry, leading to the emergence of a family of stable steady-state solutions proportional to the resource function. We demonstrate that the cosymmetry is independent of the resource function in the case of a heterogeneous environment. The stability of stationary distributions is investigated using spectral methods. Violation of the cosymmetry conditions results in the breakdown of the solution family and the emergence of isolated equilibria, as well as prolonged transient dynamics reflecting the system’s “memory” of the vanished states. Depending on initial conditions and parameters, the system exhibits transitions to single-predator regimes (survival of either the predator or superpredator) or predator coexistence. Numerical experiments based on the method of lines, which involves finite difference discretization in space and Runge –Kutta integration in time, confirm the system’s multistability and illustrate the disappearance of solution families when cosymmetry is broken.