All issues

В данной работе рассматриваются задачи выпуклой стохастической оптимизации, возникающие в анализе данных (минимизация функции риска), а также в математической статистике (минимизация функции правдоподобия). Такие задачи могут быть решены как онлайн-, так и офлайн-методами (метод Монте-Карло). При офлайн-подходе исходная задача заменяется эмпирической задачей — задачей минимизации эмпирического риска. В современном машинном обучении ключевым является следующий вопрос: какой размер выборки (количество слагаемых в функционале эмпирического риска) нужно взять, чтобы достаточно точное решение эмпирической задачи было решением исходной задачи с заданной точностью. Базируясь на недавних существенных продвижениях в машинном обучении и оптимизации для решения выпуклых стохастических задач на евклидовых шарах (или всем пространстве), мы рассматриваем случай произвольных шаров в $p$-нормах и исследуем, как влияет выбор параметра $p$ на оценки необходимого числа слагаемых в функции эмпирического риска.

В данной работе рассмотрены как выпуклые задачи оптимизации, так и седловые. Для сильно выпуклых задач были обобщены уже имеющиеся результаты об одинаковых размерах выборки в обоих подходах (онлайн и офлайн) на произвольные нормы. Более того, было показано, что условие сильной выпуклости может быть ослаблено: полученные результаты справедливы для функций, удовлетворяющих условию квадратичного роста. В случае когда данное условие не выполняется, предлагается использовать регуляризацию исходной задачи в произвольной норме. В отличие от выпуклых задач седловые задачи являются намного менее изученными. Для седловых задач размер выборки был получен при условии $\gamma$-роста седловой функции по разным группам переменных. Это условие при $\gamma = 1$ есть не что иное, как аналог условия острого минимума в выпуклых задач. В данной статье было показано, что размер выборки в случае острого минимума (седла) почти не зависит от желаемой точности решения исходной задачи.

In this paper, we consider convex stochastic optimization problems arising in machine learning applications (e. g., risk minimization) and mathematical statistics (e. g., maximum likelihood estimation). There are two main approaches to solve such kinds of problems, namely the Stochastic Approximation approach (online approach) and the Sample Average Approximation approach, also known as the Monte Carlo approach, (offline approach). In the offline approach, the problem is replaced by its empirical counterpart (the empirical risk minimization problem). The natural question is how to define the problem sample size, i. e., how many realizations should be sampled so that the quite accurate solution of the empirical problem be the solution of the original problem with the desired precision. This issue is one of the main issues in modern machine learning and optimization. In the last decade, a lot of significant advances were made in these areas to solve convex stochastic optimization problems on the Euclidean balls (or the whole space). In this work, we are based on these advances and study the case of arbitrary balls in the $p$-norms. We also explore the question of how the parameter $p$ affects the estimates of the required number of terms as a function of empirical risk.

In this paper, both convex and saddle point optimization problems are considered. For strongly convex problems, the existing results on the same sample sizes in both approaches (online and offline) were generalized to arbitrary norms. Moreover, it was shown that the strong convexity condition can be weakened: the obtained results are valid for functions satisfying the quadratic growth condition. In the case when this condition is not met, it is proposed to use the regularization of the original problem in an arbitrary norm. In contradistinction to convex problems, saddle point problems are much less studied. For saddle point problems, the sample size was obtained under the condition of $\gamma$-growth of the objective function. When $\gamma = 1$, this condition is the condition of sharp minimum in convex problems. In this article, it was shown that the sample size in the case of a sharp minimum is almost independent of the desired accuracy of the solution of the original problem.

Работа посвящена теоретическому изучению величины деструктивного влияния на нормальные ткани организма инфракрасным излучением, выходящим за пределы обрабатываемого патологического очага. Такая ситуация возможна при сверхдлительном воздействии прямого лазерного излучения на биоткани. Решением этой проблемы может служить равномерное распределение тепла внутри объема через опосредованное нагревание жидкости, что способствует минимальному повреждению перифокальных структур. Представлена нестационарная теплофизическая модель процесса распространения тепла в биотканях, позволяющая проводить исследования передачи энергии от внутреннего жидкого содержимого кисты Бейкера, нагреваемого инфракрасным лазерным излучением заданной удельной мощности, через определенную толщину ее стенки к окружающим биологическим тканям. Расчет пространственно-временного распределения температуры в стенке кисты и окружающей жировой ткани осуществляется конечно-разностным методом. Время эффективного воздействия температуры на всю толщину стенки кисты оценивалось достижением 55 °С на ее наружной поверхности. Безопасность процедуры обеспечивает длительность экспозиции данной величины не более 10 секунд.

В результате проведенных вычислений установлено, что имеются несколько режимов работы хирургического лазера, соответствующих всем требованиям безопасности при одновременной эффективности процедуры. Локальная односторонняя гипертермия синовиальной оболочки и последующая коагуляция всей толщины стенки за счет переноса тепла способствуют ликвидации полостного новообразования подколенной области. При ее толщине 3 мм удовлетворительным является режим нагрева, при котором время воздействия длится около 200 секунд, а удельная мощность лазерного излучения во внутренней среде жидкостного содержимого кисты Бейкера составляет примерно 1 Вт/г.

The work is devoted to the study of the theoretical value of destructive influence on normal tissues of an organism by infrared radiation that goes beyond the treated pathological focus. This situation is possible if the direct laser radiation on the tissues is extremely long-acting. The solution to this problem can be the uniform distribution of heat inside the volume through indirect heating of the liquid, which contributes to minimal damage to the perifocal structures. A non-stationary thermophysical model of the process of heat propagation in biological tissues is presented, allowing to carry out studies of energy transfer from internal liquid contents of Baker's cyst heated by infrared laser radiation of a given specific power through a certain thickness of its wall to surrounding biological tissues. Calculation of the spacetime temperature distribution in the cyst wall and surrounding fat tissue is carried out by the finite-difference method. The time of effective exposure to temperature on the entire thickness of the cyst wall was estimated to be 55 ° C on its outer surface. The safety procedure ensures the exposure duration of this value is not more than 10 seconds.

As a result of the calculations carried out, it is established that there are several operating modes of a surgical laser that meet all the safety requirements with a simultaneous effective procedure. Local one-sided hyperthermia of the synovial membrane and subsequent coagulation of the entire wall thickness due to heat transfer contributes to the elimination of the cavity neoplasm of the popliteal region. With a thickness of 3 mm, the heating mode is satisfactory, under which the exposure time lasts about 200 seconds, and the specific power of the laser radiation in the internal medium of the liquid contents of the Baker cyst is approximately 1.

Моделирование русловых процессов при исследовании береговых деформаций русла требует вычисления параметров гидродинамического потока, учитывающих существование вторичных поперечных течений, формирующихся на закруглении русла. Трехмерное моделирование таких процессов на текущий момент возможно только для небольших модельных каналов, для реальных речных потоков необходимы модели пониженной размерности. При этом редукция задачи от трехмерной модели движения речного потока к двумерной модели потока в плоскости створа канала предполагает, что рассматриваемый гидродинамический поток является квазистационарным, и для него выполнены гипотезы об асимптотическом поведении потока по потоковой координате створа. С учетом данных ограничений в работе сформулирована математическая модель задачи о движении стационарного турбулентного спокойного речного потока в створе канала. Задача сформулирована в смешанной постановке скорости — «вихрь – функция тока». В качестве дополнительных условий для редукции задачи требуется задание граничных условий на свободной поверхности потока для поля скорости, определяемого в нормальном и касательном направлении к оси створа. Предполагается, что значения данных скоростей должны быть определены из решения вспомогательных задач или получены из данных натурных или экспериментальных измерений.

Для решения сформулированной задачи используется метод конечных элементов в формулировке Петрова – Галёркина. Получен дискретный аналог задачи и предложен алгоритм ее решения. Выполненные численные исследования показали в целом хорошую согласованность полученных решений при их сравнении с известными экспериментальными данными.

Полученные погрешности авторы связывают с необходимостью более точного определения циркуляционного поля скоростей в створе потока путем подбора и калибровки более подходящей модели вычисления турбулентной вязкости и граничных условий на свободной границе створа.

Modeling of channel processes in the study of coastal channel deformations requires the calculation of hydrodynamic flow parameters that take into account the existence of secondary transverse currents formed at channel curvature. Three-dimensional modeling of such processes is currently possible only for small model channels; for real river flows, reduced-dimensional models are needed. At the same time, the reduction of the problem from a three-dimensional model of the river flow movement to a two-dimensional flow model in the cross-section assumes that the hydrodynamic flow under consideration is quasi-stationary and the hypotheses about the asymptotic behavior of the flow along the flow coordinate of the cross-section are fulfilled for it. Taking into account these restrictions, a mathematical model of the problem of the a stationary turbulent calm river flow movement in a channel cross-section is formulated. The problem is formulated in a mixed formulation of velocity — “vortex – stream function”. As additional conditions for problem reducing, it is necessary to specify boundary conditions on the flow free surface for the velocity field, determined in the normal and tangential direction to the cross-section axis. It is assumed that the values of these velocities should be determined from the solution of auxiliary problems or obtained from field or experimental measurement data.

To solve the formulated problem, the finite element method in the Petrov – Galerkin formulation is used. Discrete analogue of the problem is obtained and an algorithm for solving it is proposed. Numerical studies have shown that, in general, the results obtained are in good agreement with known experimental data. The authors associate the obtained errors with the need to more accurately determine the circulation velocities field at crosssection of the flow by selecting and calibrating a more appropriate model for calculating turbulent viscosity and boundary conditions at the free boundary of the cross-section.

Число работ, посвященных прогнозированию инфекционной заболеваемости, стремительно растет по мере появления статистики, позволяющей провести анализ. В настоящей статье представлен обзор основных решений, доступных сегодня для формирования как краткосрочных, так и долгосрочных проекций заболеваемости; указаны их ограничения и возможности практического применения. Рассмотрены традиционные методы анализа временных рядов — регрессионные и авторегрессионные модели; подходы, опирающиеся на машинное обучение — байесовские сети и искусственные нейронные сети; рассуждения на основе прецедентов; техники, базирующиеся на решении задачи фильтрации. Перечислены важнейшие направления разработки математических моделей распространения заболевания: классические аналитические модели, детерминированные и стохастические, а также современные имитационные модели, сетевые и агентные.

The number of papers addressing the forecasting of the infectious disease morbidity is rapidly growing due to accumulation of available statistical data. This article surveys the major approaches for the shortterm and the long-term morbidity forecasting. Their limitations and the practical application possibilities are pointed out. The paper presents the conventional time series analysis methods — regression and autoregressive models; machine learning-based approaches — Bayesian networks and artificial neural networks; case-based reasoning; filtration-based techniques. The most known mathematical models of infectious diseases are mentioned: classical equation-based models (deterministic and stochastic), modern simulation models (network and agent-based).

Биологическая структура рассматривается как открытая неравновесная система, свойства которой могут быть описаны на основе кинетических уравнений. Ставятся новые задачи с неравновесными граничными условиями на границе, причем неравновесное состояние (распределение) преобразуется постепенно в равновесное состояние вниз по течению. Область пространственной неоднородности имеет масштаб, зависящий от скорости переноса вещества в открытой системе и характерного времени метаболизма. В предлагаемом приближении внутренняя энергия движения молекул много меньше энергии поступательного движения; в других терминах: кинетическая энергия средней скорости крови существенно выше, чем энергия хаотического движения частиц в крови. Задача о релаксации в пространстве моделирует живую систему, поскольку сопоставляет области термодинамической неравновесности и неоднородности. Поток энтропии в изучаемой системе уменьшается вниз по потоку, что соответствует общим идеям Э. Шрёдингера о том, что живая система «питается» негэнтропией. Вводится величина, определяющая сложность биосистемы, — это разность между величинами неравновесной кинетической энтропии и равновесной энтропией в каждой пространственной точке, затем проинтегрированная по всему пространству. Решения задач о пространственной релаксации позволяют высказать суждение об оценке размера биосистем в целом как областей неравновесности. Результаты сравниваются с эмпирическими данными, в частности для млекопитающих (размеры животных тем больше, чем меньше удельная энергия метаболизма). Что воспроизводится в предлагаемой кинетической модели, поскольку размеры неравновесной области больше в той системе, где меньше скорость реакции, или в терминах кинетического подхода – чем больше время релаксации характерного взаимодействия между молекулами. Подход применяется для обсуждения характеристик и отдельного органа живой системы, а именно зеленого листа. Рассматриваются проблемы старения как деградации открытой неравновесной системы. Аналогия связана со структурой: для замкнутой системы происходит стремление к равновесию структуры для одних и тех же молекул, в открытой системе происходит переход к равновесию частиц, которые меняются из-за метаболизма. Соответственно, выделяются два существенно различных масштаба времени, отношение которых является приблизительно постоянным для различных видов животных. В предположении существования двух этих временных шкал кинетическое уравнение расщепляется на два уравнения, описывающих метаболическую (стационарную) и «деградационную» (нестационарную) части процесса.

The biological structure is considered as an open nonequilibrium system which properties can be described on the basis of kinetic equations. New problems with nonequilibrium boundary conditions are introduced. The nonequilibrium distribution tends gradually to an equilibrium state. The region of spatial inhomogeneity has a scale depending on the rate of mass transfer in the open system and the characteristic time of metabolism. In the proposed approximation, the internal energy of the motion of molecules is much less than the energy of translational motion. Or in other terms we can state that the kinetic energy of the average blood velocity is substantially higher than the energy of chaotic motion of the same particles. We state that the relaxation problem models a living system. The flow of entropy to the system decreases in downstream, this corresponds to Shrödinger’s general ideas that the living system “feeds on” negentropy. We introduce a quantity that determines the complexity of the biosystem, more precisely, this is the difference between the nonequilibrium kinetic entropy and the equilibrium entropy at each spatial point integrated over the entire spatial region. Solutions to the problems of spatial relaxation allow us to estimate the size of biosystems as regions of nonequilibrium. The results are compared with empirical data, in particular, for mammals we conclude that the larger the size of animals, the smaller the specific energy of metabolism. This feature is reproduced in our model since the span of the nonequilibrium region is larger in the system where the reaction rate is shorter, or in terms of the kinetic approach, the longer the relaxation time of the interaction between the molecules. The approach is also used for estimation of a part of a living system, namely a green leaf. The problems of aging as degradation of an open nonequilibrium system are considered. The analogy is related to the structure, namely, for a closed system, the equilibrium of the structure is attained for the same molecules while in the open system, a transition occurs to the equilibrium of different particles, which change due to metabolism. Two essentially different time scales are distinguished, the ratio of which is approximately constant for various animal species. Under the assumption of the existence of these two time scales the kinetic equation splits in two equations, describing the metabolic (stationary) and “degradative” (nonstationary) parts of the process.

Данная работа посвящена исследованию проблемы моделирования и анализа сложных колебательных режимов, как регулярных, так и хаотических, в системах взаимодействующих популяций в присутствии случайных возмущений. В качестве исходной концептуальной детерминированной модели рассматривается вольтерровская система трех дифференциальных уравнений, описывающая динамику популяций жертв двух конкурирующих видов и хищника. Данная модель учитывает следующие ключевые биологические факторы: естественный прирост жертв, их внутривидовую и межвидовую конкуренцию, вымирание хищников в отсутствие жертв, скорость выедания жертв хищником, прирост популяции хищника вследствие выедания жертв, интенсивность внутривидовой конкуренции в популяции хищника. В качестве бифуркационного параметра используется скорость роста второй популяции жертв. На некотором интервале изменения этого параметра система демонстрирует большое разнообразие динамических режимов: равновесных, колебательных и хаотических. Важной особенностью этой модели является мультистабильность. В данной работе мы фокусируемся на изучении параметрической зоны тристабильности, когда в системе сосуществуют устойчивое равновесие и два предельных цикла. Такая биритмичность в присутствии случайных возмущений порождает новые динамические режимы, не имеющие аналогов в детерминированном случае. Целью статьи является детальное изучение стохастических явлений, вызванных случайными флуктуациями скорости роста второй популяции жертв. В качестве математической модели таких флуктуаций мы рассматриваем белый гауссовский шум. Методами прямого численного моделирования решений соответствующей системы стохастических дифференциальных уравнений выявлены и описаны следующие феномены: однонаправленные стохастические переходы с одного цикла на другой; триггерный режим, вызванный переходами между циклами; индуцированный шумом переход с циклов на равновесие, отвечающее вымиранию популяции хищника и второй жертвы. В статье представлены результаты анализа этих явлений с помощью показателей Ляпунова, выявлены параметрические условия переходов от порядка к хаосу и от хаоса к порядку. Для аналитического исследования таких вызванных шумом многоэтапных переходов были применены техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных областей. В статье показано, как этот математический аппарат позволяет спрогнозировать интенсивность шума, приводящего к качественным трансформациям режимов стохастической популяционной динамики.

This work is devoted to the study of the problem of modeling and analyzing complex oscillatory modes, both regular and chaotic, in systems of interacting populations in the presence of random perturbations. As an initial conceptual deterministic model, a Volterra system of three differential equations is considered, which describes the dynamics of prey populations of two competing species and a predator. This model takes into account the following key biological factors: the natural increase in prey, their intraspecific and interspecific competition, the extinction of predators in the absence of prey, the rate of predation by predators, the growth of the predator population due to predation, and the intensity of intraspecific competition in the predator population. The growth rate of the second prey population is used as a bifurcation parameter. At a certain interval of variation of this parameter, the system demonstrates a wide variety of dynamic modes: equilibrium, oscillatory, and chaotic. An important feature of this model is multistability. In this paper, we focus on the study of the parametric zone of tristability, when a stable equilibrium and two limit cycles coexist in the system. Such birhythmicity in the presence of random perturbations generates new dynamic modes that have no analogues in the deterministic case. The aim of the paper is a detailed study of stochastic phenomena caused by random fluctuations in the growth rate of the second population of prey. As a mathematical model of such fluctuations, we consider white Gaussian noise. Using methods of direct numerical modeling of solutions of the corresponding system of stochastic differential equations, the following phenomena have been identified and described: unidirectional stochastic transitions from one cycle to another, trigger mode caused by transitions between cycles, noise-induced transitions from cycles to the equilibrium, corresponding to the extinction of the predator and the second prey population. The paper presents the results of the analysis of these phenomena using the Lyapunov exponents, and identifies the parametric conditions for transitions from order to chaos and from chaos to order. For the analytical study of such noise-induced multi-stage transitions, the technique of stochastic sensitivity functions and the method of confidence regions were applied. The paper shows how this mathematical apparatus allows predicting the intensity of noise, leading to qualitative transformations of the modes of stochastic population dynamics.

В работе рассмотрено два варианта понятия острого минимума для задач математического программирования с квазивыпуклой целевой функцией и ограничениями-неравенствами. Исследована задача описания варианта простого субградиентного метода с переключениями по продуктивным и непродуктивным шагам, для которого бы на классе задач с липшицевыми функциями можно было гарантировать сходимость со скоростью геометрической прогрессии ко множеству точных решений или его окрестности. При этом важно, чтобы для реализации метода не было необходимости знать параметр острого минимума, который обычно сложно оценить на практике. В качестве решения проблемы авторы предлагают использовать процедуру регулировки шага, аналогичную предложенной ранее Б. Т. Поляком. Однако при этом более остро по сравнению с классом задач без ограничений встает проблема знания точного значения минимума целевой функции. В работе описываются условия на погрешность этой информации, которые позволяют сохранить сходимость со скоростью геометрической прогрессии в окрестность множества точек минимума задачи. Рассмотрено два аналога понятия острого минимума для задач с ограничениями-неравенствами. В первом случае возникает проблема приближения к точному решению лишь до заранее выбранного уровня точности, при этом рассматривается случай, когда минимальное значение целевой функции неизвестно, вместо этого дано некоторое его приближение. Описаны условия на неточность минимума целевой функции, при которой все еще сохраняется сходимость к окрестности искомого множества точек со скоростью геометрической прогрессии. Второй рассматриваемый вариант острого минимума не зависит от желаемой точности задачи. Для него предложен несколько иной способ проверки продуктивности шага, позволяющий в случае точной информации гарантировать сходимость метода к точному решению со скоростью геометрической прогрессии. Доказаны оценки сходимости в условиях слабой выпуклости ограничений и некоторых ограничениях на выбор начальной точки, а также сформулирован результат-следствие для выпуклого случая, когда необходимость дополнительного предположения о выборе начальной точки пропадает. Для обоих подходов доказано убывание расстояния от текущей точки до множества решений с ростом количества итераций. Это, в частности, позволяет ограничить требования используемых свойств функций (липшицевость, острый минимум) лишь для ограниченного множества. Выполнены вычислительные эксперименты, в том числе для задачи проектирования механических конструкций.

In this paper, we consider two variants of the concept of sharp minimum for mathematical programming problems with quasiconvex objective function and inequality constraints. It investigated the problem of describing a variant of a simple subgradient method with switching along productive and non-productive steps, for which, on a class of problems with Lipschitz functions, it would be possible to guarantee convergence with the rate of geometric progression to the set of exact solutions or its vicinity. It is important that to implement the proposed method there is no need to know the sharp minimum parameter, which is usually difficult to estimate in practice. To overcome this problem, the authors propose to use a step adjustment procedure similar to that previously proposed by B. T. Polyak. However, in this case, in comparison with the class of problems without constraints, it arises the problem of knowing the exact minimal value of the objective function. The paper describes the conditions for the inexactness of this information, which make it possible to preserve convergence with the rate of geometric progression in the vicinity of the set of minimum points of the problem. Two analogs of the concept of a sharp minimum for problems with inequality constraints are considered. In the first one, the problem of approximation to the exact solution arises only to a pre-selected level of accuracy, for this, it is considered the case when the minimal value of the objective function is unknown; instead, it is given some approximation of this value. We describe conditions on the inexact minimal value of the objective function, under which convergence to the vicinity of the desired set of points with a rate of geometric progression is still preserved. The second considered variant of the sharp minimum does not depend on the desired accuracy of the problem. For this, we propose a slightly different way of checking whether the step is productive, which allows us to guarantee the convergence of the method to the exact solution with the rate of geometric progression in the case of exact information. Convergence estimates are proved under conditions of weak convexity of the constraints and some restrictions on the choice of the initial point, and a corollary is formulated for the convex case when the need for an additional assumption on the choice of the initial point disappears. For both approaches, it has been proven that the distance from the current point to the set of solutions decreases with increasing number of iterations. This, in particular, makes it possible to limit the requirements for the properties of the used functions (Lipschitz-continuous, sharp minimum) only for a bounded set. Some computational experiments are performed, including for the truss topology design problem.

В теоретико-игровой постановке рассмотрена модель борьбы с коррупцией при распределении ресурсов. Система распределения ресурсов включает в свой состав одного принципала (субъект управления верхнего уровня), одного или нескольких супервайзеров (субъектов среднего уровня) и нескольких агентов (субъекты нижнего уровня). Отношения между субъектами разных уровней строятся на основе иерархии: субъект верхнего уровня воздействует (управляет) на субъектов среднего уровня, а те, в свою очередь, на субъектов нижнего уровня. Предполагается, что коррупции подвержен средний уровень управления. Агенты предлагают супервайзеру взятки, в обмен на которые он предоставляет им дополнительные доли ресурса. Предположим также, что принципал не подвержен коррупции и является бескорыстным, не преследующим частных целей. Исследование модели проведено с точки зрения как супервайзера, так и агентов. C точки зрения агентов, возникает некооперативная игра, в которой находится равновесие Нэша. При этом задачи оптимального управления для частного вида входных функций решаются аналитически с помощью принципа максимума Понтрягина. C точки зрения супервайзера, возникает игра, которая ведется в соответствии с регламентом игры Гермейера Г_2t. Указан алгоритм построения равновесия. Стратегия наказания находится аналитически. Стратегия поощрения в случае входных функций общего вида находится численно. Строится дискретный аналог непрерывной модели. Предполагается, что все субъекты управления могут изменять свои стратегии поведения в одни и те же моменты времени конечное число раз. В результате от задачи максимизации своего целевого функционала супервайзер переходит к задаче максимизации целевой функции многих переменных. Для нахождения ее наибольшего значения используется метод качественно репрезентативных сценариев. Идея этого метода состоит в том, что из множества потенциально возможных сценариев управления выбираются только сценарии, позволяющие представить качественно различные пути развития системы. В результате мощность этого множества не слишком велика и удается осуществить полный перебор качественно репрезентативных сценариев и найти стратегию поощрения агентов. После ее нахождения супервайзер предлагает агентам механизм управления с обратной связью по управлению, состоящий в наказании агентов при отклонении от выбранной супервайзером стратегии и поощрении в противном случае.

A dynamic game theoretic model of struggle against corruption in resource allocation is considered. It is supposed that the system of resource allocation includes one principal, one or several supervisors, and several agents. The relations between them are hierarchical: the principal influences to the supervisors, and they in turn exert influence on the agents. It is assumed that the supervisor can be corrupted. The agents propose bribes to the supervisor who in exchange allocates additional resources to them. It is also supposed that the principal is not corrupted and does not have her own purposes. The model is investigated from the point of view of the supervisor and the agents. From the point of view of agents a non-cooperative game arises with a set of Nash equilibria as a solution. The set is found analytically on the base of Pontryagin maximum principle for the specific class of model functions. From the point of view of the supervisor a hierarchical Germeyer game of the type Г_2t is built, and the respective algorithm of its solution is proposed. The punishment strategy is found analytically, and the reward strategy is built numerically on the base of a discrete analogue of the initial continuous- time model. It is supposed that all agents can change their strategies in the same time instants only a finite number of times. Thus, the supervisor can maximize his objective function of many variables instead of maximization of the objective functional. A method of qualitatively representative scenarios is used for the solution. The idea of this method consists in that it is possible to choose a very small number of scenarios among all potential ones that represent all qualitatively different trajectories of the system dynamics. These scenarios differ in principle while all other scenarios yield no essentially new results. Then a complete enumeration of the qualitatively representative scenarios becomes possible. After that, the supervisor reports to the agents the rewardpunishment control mechanism.

В работе рассмотрено приложение методов кинетической теории к задачам гемодинамики. Для моделирования выбраны решеточные уравнения Больцмана. Данные модели описывают дискретизированную по пространственной и временной координате динамику движения частиц на одномерной решетке. Хорошо известно, что в пределе малых длин свободного пробега решеточные уравнения Больцмана описывают уравнения гидродинамики. Если течение достаточно медленное (мало число Маха), то данные уравнения гидродинамики переходят в уравнения Навье – Стокса для сжимаемого газа. Если в получающихся гидродинамических уравнениях переменные, отвечающие плотности и скорости звука, считать площадью поперечного сечения сосуда и скоростью распространения пульсовой волны давления, то выводятся хорошо известные в биомеханике нелинейные уравнения распространения несжимаемой вязкой жидкости (крови) в эластичном сосуде для частного случая постоянной пульсовой скорости.

В общем случае скорость распространения пульсовой волны зависит от площади просвета сосуда. Следует отметить интересную аналогию: уравнение состояния решеточного газа в новых переменных становится законом, связывающим давление и площадь поперечного сечения сосуда. Таким образом, в общем случае требуется модифицировать уравнение состояния для решеточного уравнения Больцмана. Данная процедура хорошо известна в теории неидеального газа и многофазных течений и эквивалентна введению в уравнения виртуальной силы. Получающиеся уравнения могут использоваться для моделирования любых законов, связывающих скорость пульсовой волны и площадь просвета сосуда.

В качестве тестовых задач рассмотрено распространение уединенной нелинейной пульсовой волны в сосуде с упругими свойствами, описываемыми законом Лапласа. Во второй задаче рассмотрено распространение пульсовых волн для бифуркации сосудов. Показано, что результаты расчетов хорошо совпадают с данными из предыдущих исследований.

In the present paper the application of the kinetic methods to the blood flow problems in elastic vessels is studied. The Lattice Boltzmann (LB) kinetic equation is applied. This model describes the discretized in space and time dynamics of particles traveling in a one-dimensional Cartesian lattice. At the limit of the small times between collisions LB models describe hydrodynamic equations which are equivalent to the Navier – Stokes for compressible if the considered flow is slow (small Mach number). If one formally changes in the resulting hydrodynamic equations the variables corresponding to density and sound wave velocity by luminal area and pulse wave velocity then a well-known 1D equations for the blood flow motion in elastic vessels are obtained for a particular case of constant pulse wave speed.

In reality the pulse wave velocity is a function of luminal area. Here an interesting analogy is observed: the equation of state (which defines sound wave velocity) becomes pressure-area relation. Thus, a generalization of the equation of state is needed. This procedure popular in the modeling of non-ideal gas and is performed using an introduction of a virtual force. This allows to model arbitrary pressure-area dependence in the resulting hemodynamic equations.

Two test case problems are considered. In the first problem a propagation of a sole nonlinear pulse wave is studied in the case of the Laplace pressure-area response. In the second problem the pulse wave dynamics is considered for a vessel bifurcation. The results show good precision in comparison with the data from literature.

При обследовании методом однофотонной эмиссионной компьютерной томографии (ОФЭКТ) пациентам с заболеваниями костной системы вводится радиофармпрепарат (РФП), который специфическим образом накапливается в патологических очагах. Количественные оценки накопления РФП в очагах важны для определения стадии заболевания, прогнозирования его течения и разработки персонализированных терапевтических стратегий. Исследования точности количественных оценок обычно проводятся на основе клинических испытаний in vitro с использованием стандартизированного вещественного фантома NEMA IEC с шестью сферами, имитирующими патологические очаги разных размеров. Однако возможности проведения таких многопараметрических экспериментальных измерений ограничены из-за высокойстоимости и лучевой нагрузки на исследователей. В данной работе развит альтернативный подход на основе имитационного компьютерного моделирования in silico с использованием цифрового двойника фантома NEMA IEC. Компьютерные эксперименты могут проводиться без ограничений с разными сценариями. По аналогии с клиническими испытаниями в численном моделировании оценивался коэффициент восстановления (RC_max), равный отношению максимального значения полученного решения в очаге к его точной величине. Условия моделирования были ориентированы на параметры клинических обследований методом ОФЭКТ/КТ с ^99mTc пациентов с заболеваниями и поражениями костной системы. Впервые выполнены исследования зависимости RC_max от величины отношения «очаг/фон» и влияния постфильтрации решения. В численных экспериментах были получены краевые артефакты на изображениях очагов, аналогичные тем, которые наблюдались при измерениях на реальном фантоме NEMA IEC и в клинической практике при обследовании пациентов. Краевые артефакты приводят к нестабильности поведения решения в итерационном процессе и к ошибкам в оценке накопления РФП в очагах. Показано, что постфильтрация снижает влияние этих артефактов, обеспечивая стабильное решение. Однако при этом существенно занижаются оценки решения в небольших очагах, поэтому предложено учитывать полученные в данной работе поправочные коэффициенты при количественной оценке активности в очагах диаметром менее 20 мм.

In single-photon emission computed tomography (SPECT), patients with bone disorders receive a radiopharmaceutical (RP) that accumulates selectively in pathological lesions. Accurate quantification of RP uptake plays a critical role in disease staging, prognosis, and the development of personalized treatment strategies. Traditionally, the accuracy of quantitative assessment is evaluated through in vitro clinical trials using the standardized physical NEMA IEC phantom, which contains six spheres simulating lesions of various sizes. However, such experiments are limited by high costs and radiation exposure to researchers. This study proposes an alternative in silico approach based on numerical simulation using a digital twin of the NEMA IEC phantom. The computational framework allows for extensive testing under varying conditions without physical constraints. Analogous to clinical protocols, we calculated the recovery coefficient (RC_max), defined as the ratio of the maximum activity in a lesion to its known true value. The simulation settings were tailored to clinical SPECT/CT protocols involving ^99mTc for patients with bone-related diseases. For the first time, we systematically analyzed the impact of lesion-to-background ratios and post-reconstruction filtering on RC_max values. Numerical experiments revealed the presence of edge artifacts in reconstructed lesion images, consistent with those observed in both real NEMA IEC phantom studies and patient scans. These artifacts introduce instability into the iterative reconstruction process and lead to errors in activity quantification. Our results demonstrate that post-filtering helps suppress edge artifacts and stabilizes the solution. However, it also significantly underestimates activity in small lesions. To address this issue, we introduce post-reconstruction correction factors derived from our simulations to improve the accuracy of quantification in lesions smaller than 20 mm in diameter.