All issues

Исследованы свойства нелинейных волн в математической модели «хищник-жертва» с таксисом. Нами показано, что для таких систем с положительным и отрицательным таксисом существует большая параметрическая область, для которой характерно квазисолитонное взаимодействие волн: сталкивающиеся волны проходят/отражаются друг сквозь друга, а также отражаются от непроницаемых границ. В численных экспериментах мы также демонстрируем новое волновое явление — полусолитонное вазимодействие: при столкновении двух волн одна аннигилирует, а другая продолжает распространение. Мы показали, что этот эффект зависит от «возраста» или, эквивалентно, «ширины» сталкивающихся волн.

We have studied properties of non-linear waves in a mathematical model of a predator – prey system with taxis. We demonstrate that, for systems with negative and positive taxis there typically exists a large region in the parameter space, where the waves demonstrate quasi-soliton interaction; colliding waves can penetrate through each other, and waves can also reflect from impermeable boundaries. In this paper, we use numerical simulations to demonstrate also a new wave phenomenon — a half-soliton interaction of waves, when of two colliding waves, one annihilates and the other continues to propagate. We show that this effect depends on the «ages» or, equivalently, «widths» of the colliding waves.

Многочисленные современные исследования подтверждают, что нейроны, астроциты и кровеносные сосуды функционируют как единая динамическая система. В связи с этим в последние годы возникла и набирает все большую популярность концепция целостной нейроглиоваскулярной единицы (НГВЕ), включающей в себя данные компоненты. Согласно концепции нормальное функционирование мозга связано с широким комплексом взаимодействий между элементами НГВЕ, нарушение связей между которыми может служить причиной возникновения различных нейропатологий. Понимание процессов, протекающих внутри одной НГВЕ, а также организации связей между различными единицами является необходимым условием для успешной диагностики и терапии нейропатологий.

В работе построена модель НГВЕ, которая впервые объединяет детальное описание функционирования сетей синаптически связанных возбуждающих и тормозных нейронов (с учетом баланса возбуждения/торможения), динамику внеклеточной среды (калий, глутамат, ГАМК) и астроцитарную активность, модулируемую норадреналином, с последующей регуляцией локального кровотока.

Ключевой концептуальной особенностью модели является интеграция разномасштабных процессов — от ионной динамики на уровне отдельного нейрона Ходжкина – Хаксли до диффузии веществ в масштабе сети из 100 НГВЕ — в единую систему связанных нелинейных дифференциальных уравнений. Это позволило исследовать коллективную динамику ансамбля и выявить новые режимы его функционирования.

В результате численных экспериментов установлено, что динамика внеклеточного калия и положительная обратная связь играют определяющую роль в формировании устойчивых пространственных структур возбуждения. Показано, что при локальной стимуляции активность ограничена за счет диффузионного оттока калия, в то время как надкритическое возбуждение инициирует самоподдерживающиеся автоволновые режимы, стабилизация которых приводит к формированию пространственных паттернов, морфологически схожих со структурами Тьюринга. Такие структуры, характеризующиеся чередованием зон высокой и низкой активности, не зависят от конкретных начальных условий, но чувствительны к вариациям параметров, что указывает на функционирование системы в режиме динамической неустойчивости (хаоса), согласующемся с концепцией самоорганизованной критичности мозга в физиологической норме. Модель успешно воспроизводит экспериментально наблюдаемые явления, включая бёрстинг и чувствительность к внеклеточному калию. Полученные результаты открывают новые перспективы для анализа патофизиологических механизмов работы мозга.

Numerous contemporary studies confirm that neurons, astrocytes and blood vessels function as a unified dynamic system. Consequently, the concept of the integrated neurogliovascular unit (NGVU), encompassing these components, has emerged and gained significant traction in recent years. According to this framework, normal brain function relies on a broad complex of interactions between NGVU elements, while the disruption of these links may underlie various neuropathologies. Understanding the processes within a single NGVU, as well as the organization of connections between multiple units, is a prerequisite for successful diagnosis and therapy of neurological disorders.

In this work, we developed an NGVU model that, for the first time, integrates a detailed description of synaptically coupled excitatory and inhibitory neuronal networks (accounting for the E/I balance), extracellular environment dynamics (potassium, glutamate, GABA), and norepinephrine-modulated astrocytic activity, with subsequent regulation of local blood flow.

A key conceptual feature of the model is the integration of multiscale processes — ranging from ion dynamics at the level of individual Hodgkin – Huxley neurons to substance diffusion across a network of 100 NGVUs — into a single system of coupled nonlinear differential equations. This approach enabled the investigation of the ensemble’s collective dynamics and the identification of novel functional regimes.

Numerical experiments established that extracellular potassium dynamics and positive feedback play a decisive role in the formation of stable spatial excitation structures. It is shown that under local stimulation, activity remains confined due to potassium diffusion outflow; however, supercritical excitation initiates self-sustaining autowave regimes. The stabilization of these regimes leads to the formation of spatial patterns morphologically similar to Turing structures. These patterns, characterized by alternating zones of high and low activity, are independent of specific initial conditions but sensitive to parameter variations. This suggests that the system operates in a dynamic instability (chaos) regime, which is consistent with the concept of self-organized criticality of the brain under physiological conditions. The model successfully reproduces experimentally observed phenomena, including bursting and sensitivity to extracellular potassium. The results provide new perspectives for analyzing the pathophysiological mechanisms of brain function.

Рассматривается возможность численного 3D-моделирования образования тромбов.

Известные детальные математические модели формирования тромбов включают в себя большое число уравнений. Для совмещения таких подробных математических моделей с гидродинамическими кодами для моделирования роста тромбов в кровотоке необходимы значительные вычислительные ресурсы. Разумной альтернативой представляется использование редуцированных математических моделей. В настоящей работе описаны две математические модели, основанные на редуцированной математической модели производства тромбина.

Первая модель описывает рост тромбоцитарного тромба в крупном сосуде (артерии). Течения в артериях существенно нестационарные, для артерий характерны пульсовые волны. Скорость течения крови в них велика по сравнению с венозным деревом. Редуцированная модель производства тромбина и тромбообразования в артериях относительно проста. Показано, что процессы производства тромбина хорошо описываются приближением нулевого порядка.

Для вен характерны более низкие скорости, меньшие градиенты и, как следствие, меньшие значения напряжений сдвига. Для моделирования производства тромбина в венах необходимо решать более сложную систему уравнений, учитывающую все нелинейные слагаемые в правых частях.

Моделирование проводится в индустриальном программном комплексе (ПК) FlowVision.

Проведенные тестовые расчеты показали адекватность редуцированных моделей производства тромбина и тромбообразования. В частности, расчеты демонстрируют формирование зоны возвратного течения за тромбом. За счет формирования такой зоны происходит медленный рост тромба в направлении вниз по потоку. В наветренной части тромба концентрация активных тромбоцитов мала, соответственно, рост тромба в направлении вверх по потоку незначителен.

При учете изменения течения в процессе сердечного цикла рост тромба происходит гораздо медленнее, чем при задании осредненных (по сердечному циклу) условий. Тромбин и активированные тромбоциты, наработанные во время диастолы, быстро уносятся потоком крови во время систолы. Заметный эффект оказывает учет неньютоновской реологии крови.

The possibility of numerical 3D simulation of thrombi formation is considered.

The developed up to now detailed mathematical models describing formation of thrombi and clots include a great number of equations. Being implemented in a CFD code, the detailed mathematical models require essential computer resources for simulation of the thrombi growth in a blood flow. A reasonable alternative way is using reduced mathematical models. Two models based on the reduced mathematical model for the thrombin generation are described in the given paper.

The first model describes growth of a thrombus in a great vessel (artery). The artery flows are essentially unsteady. They are characterized by pulse waves. The blood velocity here is high compared to that in the vein tree. The reduced model for the thrombin generation and the thrombus growth in an artery is relatively simple. The processes accompanying the thrombin generation in arteries are well described by the zero-order approximation.

A vein flow is characterized lower velocity value, lower gradients, and lower shear stresses. In order to simulate the thrombin generation in veins, a more complex system of equations has to be solved. The model must allow for all the non-linear terms in the right-hand sides of the equations.

The simulation is carried out in the industrial software FlowVision.

The performed numerical investigations have shown the suitability of the reduced models for simulation of thrombin generation and thrombus growth. The calculations demonstrate formation of the recirculation zone behind a thrombus. The concentration of thrombin and the mass fraction of activated platelets are maximum here. Formation of such a zone causes slow growth of the thrombus downstream. At the upwind part of the thrombus, the concentration of activated platelets is low, and the upstream thrombus growth is negligible.

When the blood flow variation during a hart cycle is taken into account, the thrombus growth proceeds substantially slower compared to the results obtained under the assumption of constant (averaged over a hard cycle) conditions. Thrombin and activated platelets produced during diastole are quickly carried away by the blood flow during systole. Account of non-Newtonian rheology of blood noticeably affects the results.

В статье решается актуальная научно-практическая задача математического моделирования и прогнозирования процессов диффузии инноваций и технологических замещений на рынках с ограниченной емкостью. Целью работы является преодоление структурных ограничений классических феноменологических подходов, таких как модели Басса, Гомперца и Мэнсфилда, связанных с жестко фиксированной асимметрией S-образных кривых и отсутствием явного микроэкономического обоснования динамики систем. В основу исследования положен междисциплинарный подход, основанный на переносе экологической концепции рационирования ограниченных ресурсов (модель Ардити–Гинзбурга–Контуа) в теорию операционного менеджмента посредством использования клиринговой функции Кармаркара и производственной функции Леонтьева–Либиха. Автором аналитически выведен альтернативный закон диффузии технологических инноваций, представленный в виде неявной зависимости времени от кумулятивного объема продаж или общего числа потребителей. Для идентификации неизвестных параметров модели по эмпирическим данным применен численный метод инвертирования неявной функции на основе нелинейной оптимизации наименьших квадратов, обеспечивающий высокую вычислительную стабильность алгоритма. Проведена сравнительная эмпирическая верификация предложенного закона в сопоставлении с классическими мировыми аналогами на двух контрастных макроэкономических кейсах: динамике кумулятивных продаж потребительской электроники Apple iPod (сорок девять квартальных точек) и развитии рынка подписок на мобильный интернет в Германии (восемнадцать годовых точек). Оценка качества аппроксимации осуществлялась по критерию остаточной суммы квадратов и коэффициенту детерминации. Показано математическое преимущество авторской модели, продемонстрировавшей наименьшую ошибку невязки на макроэкономических данных высокотехнологичных рынков за счет гибкого параметра асимметрии, адаптирующегося под стартовый лаг-период рынка. Научная новизна работы заключается в фундаментальном обосновании макроэкономической S-кривой через баланс уравнений системы «потребитель–ресурс». Разработанный математический аппарат может быть непосредственно использован аналитическими агентствами, регуляторами сектора информационно-коммуникационных технологий и менеджментом компаний для среднесрочного планирования емкости рынков и прогнозирования точек перегиба, соответствующих пикам темпов технологического замещения.

The author presents a new macroeconomic model designed to analyze and forecast technology diffusion processes in markets characterized by bounded capacity. The study addresses the major limitations of classical phenomenological models, such as the Bass and Gompertz frameworks, which suffer from a rigidly fixed trajectory asymmetry and lack explicit microeconomic foundations. To overcome these constraints, we employ an interdisciplinary approach that transfers the ecological concept of limited resource rationing from the Arditi–Ginzburg–Contois model into operations management theory. This framework integrates the Karmarkar clearing function with the Leontief–Liebig production function to establish a rigorous dynamic balance. By applying this integration, the author analytically derives an alternative technological innovation diffusion law that expresses time as an explicit function of the cumulative market volume. To identify parameters from empirical data, the study develops a robust numerical grid inversion algorithm that utilizes vector linear interpolation within the MATLAB computing environment. This approach avoids iterative root-finding errors and ensures high computational stability for the non-linear least squares optimization procedure. We test the empirical validity of the developed diffusion law using two distinct historical macroeconomic cases: the quarterly cumulative sales of the Apple iPod and the annual subscription data for the mobile broadband market in Germany. The resulting statistical metrics demonstrate that the proposed model provides superior approximation quality and mathematical advantages on high-tech market data due to its highly flexible asymmetry parameter. The fundamental scientific novelty of this research lies in the theoretical justification of the macroeconomic S-curve through the internal balance equations of an open chemostat-type system operating under a competitive vacuum. The proposed mathematical apparatus offers a practical tool for corporate management and regulatory agencies to plan market capacity and accurately forecast peak technological substitution rates.