All issues

Исследованы аналитически и численно структура и свойства локализованных двух- и трех-кинковых решений уравнения синус-Гордона, возбуждаемых в области притягивающей примеси. Рассмотрены случаи одиночной и двойной пространственно протяженной примеси.

We investigate analytically and numerically the structure and properties of localized two- and three-kink solutions of the sine-Gordon equation, which are excited in the region of the attracting impurity. We have considered cases of single and double spatially extended impurity.

В данной работе рассматривается взаимодействие кинка уравнения $\varphi^4$ с двумя протяженными одинаковыми примесями. Протяженная примесь описывается с помощью функции прямоугольного вида. Анализируется случай притягивающей примеси. С помощью аналитических методов рассматривается случай малых амплитуд локализованных волн, когда возможно провести линеаризацию уравнений движения. Для численного решения использовался метод прямых для уравнений в частных производных. Для нахождения частот колебаний, локализованных на примесях волн, используется дискретное преобразование Фурье. Кинк запускался в направлении примесей с разными начальными скоростями. Изменялось также расстояние между двумя примесями. Показано, что при взаимодействии кинка с примесями на них возбуждаются долгоживущие локализованные волны бризерного типа. Исследована их структура и связанная динамика. Определено, как, изменяя параметры примесей и расстояние между ними, можно управлять типом и динамическими параметрами связанных колебаний, локализованных на примесях волн. Найдены возможные решения в виде синфазных, антифазных колебаний, в виде биений. Колебания локализованных волн происходят с излучением волн малой амплитуды. Спектр этих излучений состоит из двух частот. Первая приближенно равна $\sqrt{2}$, что соответствует величине частоты для хвоста воблингбризера уравнения $\varphi^4$. Вторая приближенно равна удвоенной частоте колебаний примесных мод. Найдено (как аналитически, так и численно) наличие двух возможных частот для связанных локализованных колебаний. Показано, что частоты сильно зависят от расстояния между примесями. С увеличением расстояния между примесями частоты сливаются в одну — частоту, полученную для случая одиночной примеси. Найденные численно и аналитически зависимости частот от расстояния между примесями хорошо совпадают для больших расстояний, когда взаимодействие между примесями слабое, и начинают заметно отличаться при малых расстояниях, когда взаимодействие между примесями сильное. Аналитическое значение величин полученных частот всегда больше численных. Показано, что зависимость амплитуды локализованных волн от начальной скорости кинка имеет несколько минимумов и максимумов.

In this paper, we consider the interaction of a kink of the $\varphi^4$ equation with two identical extended impurities. An extended impurity is described using a rectangular function. The case of an attractive impurity is analyzed. Using analytical methods, we consider the case of small amplitudes of localized waves, when it is possible to linearize the equations of motion. For the numerical solution, the method of lines for partial differential equations was used. To find the oscillation frequencies of waves localized on impurities, the discrete Fourier transform is used. The kink was launched in the direction of the impurities with different initial velocities. The distance between the two impurities was also varied. It is shown that when a kink interacts with impurities, long-lived localized breather-type waves are excited on them. Their structure and coupled dynamics are investigated. It is determined how, by changing the parameters of the impurities and the distance between them, it is possible to control the type and dynamic parameters of the coupled oscillations of the waves localized on the impurities. Possible solutions in the form of in-phase, antiphase oscillations, in the form of beats are found. The oscillations of localized waves occur with the emission of small-amplitude waves. The spectrum of these emissions consists of two frequencies. The first is approximately equal to $\sqrt{2}$, which corresponds to the frequency value for the wobbling breather tail of the $\varphi^4$ equation. The second is approximately equal to the doubled frequency of impurity mode oscillations. The presence of two possible frequencies for coupled localized oscillations is found both analytically and numerically. It is shown that the frequencies strongly depend on the distance between impurities. With increasing distance between impurities, the frequencies merge into one — frequency obtained for the case of a single impurity. The dependences of the frequencies on the distance between impurities found numerically and analytically coincide well for large distances, when the interaction between impurities is weak, and begin to differ noticeably at small distances, when the interaction between impurities is strong. The analytical value of the obtained frequencies is always greater than the numerical ones. It is shown that the dependence of the amplitude of localized waves on the initial kink velocity has several minima and maxima.