All issues

Статья посвящена построению и исследованию усредненной математической модели окислительной регенерации алюмокобальтмолибденового катализатора гидрокрекинга. Окислительная регенерация является эффективным средством восстановления активности катализатора при покрытии его гранул коксовыми отложениями.

Математическая модель указанного процесса представляет собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую включены кинетические уравнения для концентраций реагентов и уравнения для учета изменения температуры зерна катализатора и реакционной смеси в результате протекания неизотермических реакций и теплообмена между газом и слоем катализатора. Вследствие гетерогенности процесса окислительной регенерации часть уравнений отличается от стандартных кинетических и построена на основе эмпирических данных. В статье рассмотрена схема химического взаимодействия в процессе регенерации, на основе которой составлены уравнения материального баланса. В ней отражены непосредственное взаимодействие кокса и кислорода с учетом степени покрытия гранулы кокса углерод-водородным и углерод-кислородным комплексами, выделение монооксида и диоксида углерода в процессе горения, а также освобождение кислорода и водорода внутри зерна катализатора. При построении модели учитывается изменение радиуса, а следовательно, и площади поверхности коксовых гранул. Адекватность разработанной усредненной модели подтверждена анализом динамики концентраций веществ и температуры.

В статье приведен численный эксперимент для математической модели окислительной регенерации алюмокобальтмолибденового катализатора гидрокрекинга. Эксперимент проведен с использованием метода Кутты–Мерсона. Этот метод относится к методам семейства Рунге–Кутты, но разработан для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты вычислительного эксперимента визуализированы.

В работе приведена динамика концентраций веществ, участвующих в процессе окислительной регенерации. На основании соответствия полученных результатов физико-химическим законам сделан вывод об адекватности построенной математической модели. Проанализирован разогрев зерна катализатора и выделение монооксида углерода при изменении радиуса зерна для различных степеней начальной закоксованности. Дано описание полученных результатов.

В заключении отмечены основные результаты, приведены примеры задач, для решения которых может быть применена разработанная математическая модель.

The article is devoted to the construction and investigation of an averaged mathematical model of an aluminum-cobalt-molybdenum hydrocracking catalyst oxidative regeneration. The oxidative regeneration is an effective means of restoring the activity of the catalyst when its granules are coating with coke scurf.

The mathematical model of this process is a nonlinear system of ordinary differential equations, which includes kinetic equations for reagents’ concentrations and equations for changes in the temperature of the catalyst granule and the reaction mixture as a result of isothermal reactions and heat transfer between the gas and the catalyst layer. Due to the heterogeneity of the oxidative regeneration process, some of the equations differ from the standard kinetic ones and are based on empirical data. The article discusses the scheme of chemical interaction in the regeneration process, which the material balance equations are compiled on the basis of. It reflects the direct interaction of coke and oxygen, taking into account the degree of coverage of the coke granule with carbon-hydrogen and carbon-oxygen complexes, the release of carbon monoxide and carbon dioxide during combustion, as well as the release of oxygen and hydrogen inside the catalyst granule. The change of the radius and, consequently, the surface area of coke pellets is taken into account. The adequacy of the developed averaged model is confirmed by an analysis of the dynamics of the concentrations of substances and temperature.

The article presents a numerical experiment for a mathematical model of oxidative regeneration of an aluminum-cobalt-molybdenum hydrocracking catalyst. The experiment was carried out using the Kutta–Merson method. This method belongs to the methods of the Runge–Kutta family, but is designed to solve stiff systems of ordinary differential equations. The results of a computational experiment are visualized.

The paper presents the dynamics of the concentrations of substances involved in the oxidative regeneration process. A conclusion on the adequacy of the constructed mathematical model is drawn on the basis of the correspondence of the obtained results to physicochemical laws. The heating of the catalyst granule and the release of carbon monoxide with a change in the radius of the granule for various degrees of initial coking are analyzed. There are a description of the results.

In conclusion, the main results and examples of problems which can be solved using the developed mathematical model are noted.

Лазерное повреждение прозрачных твердых тел является основным фактором, ограничивающим выходную мощность лазерных систем. Для лазерных дальномеров наиболее вероятной причиной разрушения элементов оптической системы (линз, зеркал), реально, как правило, несколько запыленных, является не оптический пробой в результате лавинной ионизации, а такое тепловое воздействие на пылинку, осевшую на элементе оптической системы (ЭОС), которое приводит к ее возгоранию. Именно возгорание пылинки инициирует процесс повреждения ЭОС.

Рассматриваемая модель этого процесса учитывает нелинейный закон теплового излучения Стефана – Больцмана и бесконечное тепловое воздействие периодического излучения на ЭОСи пылинку. Эта модель описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений для двух функций: температуры ЭОСи температуры пылинки. Доказывается, что в силу накапливающего воздействия периодического теплового воздействия процесс достиже- ния температуры возгорания пылинки происходит практически при любых априори возможных изменениях в этом процессе теплофизических параметров ЭОСи пылинки, а также коэффициентов теплообмена между ними и окружающим их воздухом. Усреднение этих параметров по переменным, относящимся как к объему, так и к поверхностям пылинки и ЭОС, корректно при указанных в работе естественных ограничениях. А благодаря рассмотрению задачи (включая численные результаты) в безразмерных единицах измерения, охвачен весь реально значимый спектр теплофизических параметров.

Проведенное тщательное математическое исследование соответствующей нелинейной системы дифференциальных уравнений впервые позволило для общего случая теплофизических параметров и характеристик теплового воздействия периодического лазерного излучения найти формулу для значения той допустимой интенсивности излучения, которая не приводит к разрушению ЭОСв результате возгорания пылинки, осевшей на ЭОС. Найденное в работе для общего случая теоретическое значение допустимой интенсивности в частном случае данных лазерного комплекса обсерватории в г. Грассе (на юге Франции) практически соответствует полученному там экспериментальному значению.

Наряду с решением основной задачи получена в качестве побочного результата формула для коэффициента поглощения мощности лазерного излучения элементом оптической системы, выраженная в терминах четырех безразмерных параметров: относительной интенсивности лазерного излучения, относительной освещенности ЭОС, относительного коэффициента теплоотдачи от ЭОСк окружающему его воздуху и относительной установившейся температуры ЭОС.

Laser damage to transparent solids is a major limiting factor output power of laser systems. For laser rangefinders, the most likely destruction cause of elements of the optical system (lenses, mirrors) actually, as a rule, somewhat dusty, is not an optical breakdown as a result of avalanche, but such a thermal effect on the dust speck deposited on an element of the optical system (EOS), which leads to its ignition. It is the ignition of a speck of dust that initiates the process of EOS damage.

The corresponding model of this process leading to the ignition of a speck of dust takes into account the nonlinear Stefan –Boltzmann law of thermal radiation and the infinite thermal effect of periodic radiation on the EOS and the speck of dust. This model is described by a nonlinear system of differential equations for two functions: the EOS temperature and the dust particle temperature. It is proved that due to the accumulating effect of periodic thermal action, the process of reaching the dust speck ignition temperature occurs almost at any a priori possible changes in this process of the thermophysical parameters of the EOS and the dust speck, as well as the heat exchange coefficients between them and the surrounding air. Averaging these parameters over the variables related to both the volume and the surfaces of the dust speck and the EOS is correct under the natural constraints specified in the paper. The entire really significant spectrum of thermophysical parameters is covered thanks to the use of dimensionless units in the problem (including numerical results).

A thorough mathematical study of the corresponding nonlinear system of differential equations made it possible for the first time for the general case of thermophysical parameters and characteristics of the thermal effect of periodic laser radiation to find a formula for the value of the permissible radiation intensity that does not lead to the destruction of the EOS as a result of the ignition of a speck of dust deposited on the EOS. The theoretical value of the permissible intensity found in the general case in the special case of the data from the Grasse laser ranging station (south of France) almost matches that experimentally observed in the observatory.

In parallel with the solution of the main problem, we derive a formula for the power absorption coefficient of laser radiation by an EOS expressed in terms of four dimensionless parameters: the relative intensity of laser radiation, the relative illumination of the EOS, the relative heat transfer coefficient from the EOS to the surrounding air, and the relative steady-state temperature of the EOS.

В статье рассмотрена задача построения равновесий Нэша и Штакельберга при исследовании динамической системы контроля качества речных вод. Учитывается влияние субъектов управления двух уровней: одного ведущего и нескольких ведомых. В качестве ведущего (супервайзера) выступает природоохранный орган, а в роли ведомых (агентов) — промышленные предприятия. Основной целью супервайзера является поддержание допустимой концентрации загрязняющих веществ в речной воде. Добиться этого он может не единственным образом, поэтому, кроме того, супервайзер стремится к оптимизации своего целевого функционала. Супервайзер воздействует на агентов, назначая величину платы за сброс загрязнений в водоток. Плата за загрязнение от агента поступает в федеральный и местные бюджеты, затем распределяется на общих основаниях. Таким образом, плата увеличивает бюджет супервайзера, что и отражено в его целевом функционале. Причем плата за сброс загрязнений начисляется за количество и/или качество сброшенных загрязнений. К сожалению, для большинства систем контроля качества речных вод такая практика неэффективна из-за малого размера платы за сброс загрязнений. В статье и решается задача определения оптимального размера платы за сброс загрязнений, который позволяет поддерживать качество речной воды в заданном диапазоне.

Агенты преследуют только свои эгоистические цели, выражаемые их целевыми функционалами, и не обращают внимания на состояние речной системы. Управление агента можно рассматривать как часть стока, которую агент очищает, а управление супервайзера — как назначаемый размер платы за сброс оставшихся загрязнений в водоток.

Для описания изменения концентраций загрязняющих веществ в речной системе используется обыкновенное дифференциальное уравнение. Проблема поддержания заданного качества речной воды в рамках предложенной модели исследуется как с точки зрения агентов, так и с точки зрения супервайзера. В первом случае возникает дифференциальная игра в нормальной форме, в которой строится равновесие Нэша, во втором — иерархическая дифференциальная игра, разыгрываемая в соответствии с информационным регламентом игры Штакельберга. Указаны алгоритмы численного построения равновесий Нэша и Штакельберга для широкого класса входных функций. При построении равновесия Нэша возникает необходимость решения задач оптимального управления. Решение этих задач проводится в соответствии с принципом максимума Понтрягина. Строится функция Гамильтона, полученная система дифференциальных уравнений решается численно методом стрельбы и методом конечных разностей. Проведенные численные расчеты показывают, что низкий размер платы за единицу сброшенных в водоток загрязнений приводит к росту концентрации загрязняющих веществ в водотоке, а высокий — к банкротству предприятий. Это приводит к задаче нахождения оптимальной величины платы за сброс загрязнений, то есть к рассмотрению проблемы с точки зрения супервайзера. В этом случае возникает иерархическая дифференциальная игра супервайзера и агентов, в которой ищется равновесие Штакельберга. Возникает задача максимизации целевого функционала супервайзера с учетом управлений агентов, образующих равновесие Нэша. При нахождении оптимальных управлений супервайзера используется метод качественно репрезентативных сценариев, а для агентов — принцип максимума Понтрягина. Проведены численные эксперименты, найден коэффициент системной согласованности. Полученные численные результаты позволяют сделать вывод, что система контроля качества речных вод плохо системно согласована и для достижения стабильного развития системы необходимо иерархическое управление.

In this paper we consider mathematical model to control water quality. We study a system with two-level hierarchy: one environmental organization (supervisor) at the top level and a few industrial enterprises (agents) at the lower level. The main goal of the supervisor is to keep water pollution level below certain value, while enterprises pollute water, as a side effect of the manufacturing process. Supervisor achieves its goal by charging a penalty for enterprises. On the other hand, enterprises choose how much to purify their wastewater to maximize their income.The fee increases the budget of the supervisor. Moreover, effulent fees are charged for the quantity and/or quality of the discharged pollution. Unfortunately, in practice, such charges are ineffective due to the insufficient tax size. The article solves the problem of determining the optimal size of the charge for pollution discharge, which allows maintaining the quality of river water in the rear range.

We describe system members goals with target functionals, and describe water pollution level and enterprises state as system of ordinary differential equations. We consider the problem from both supervisor and enterprises sides. From agents’ point a normal-form game arises, where we search for Nash equilibrium and for the supervisor, we search for Stackelberg equilibrium. We propose numerical algorithms for finding both Nash and Stackelberg equilibrium. When we construct Nash equilibrium, we solve optimal control problem using Pontryagin’s maximum principle. We construct Hamilton’s function and solve corresponding system of partial differential equations with shooting method and finite difference method. Numerical calculations show that the low penalty for enterprises results in increasing pollution level, when relatively high penalty can result in enterprises bankruptcy. This leads to the problem of choosing optimal penalty, which requires considering problem from the supervisor point. In that case we use the method of qualitatively representative scenarios for supervisor and Pontryagin’s maximum principle for agents to find optimal control for the system. At last, we compute system consistency ratio and test algorithms for different data. The results show that a hierarchical control is required to provide system stability.

Работа посвящена численному моделированию и исследованию кинетической модели пиролиза пропана. Изучение кинетики реакций является необходимой стадией моделирования динамики газового потока в реакторе.

Кинетическая модель представляет собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с параметрами, роль которых играют константы скоростей стадий. Математическое моделирование процесса основано на использовании закона сохранения масс. Для решения исходной (прямой) задачи используется неявный метод решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Модель содержит 60 входных кинетических параметров и 17 выходных параметров, соответствующих веществам реакции, из которых наблюдаемыми являются только 9. В процессе решения задачи по оценке параметров (обратная задача) возникает вопрос неединственности набора параметров, удовлетворяющего имеющимся экспериментальным данным. Поэтому перед решением обратной задачи проводится оценка возможности определения параметров модели — анализ идентифицируемости.

Для анализа идентифицируемости мы используем ортогональный метод, который хорошо себя зарекомендовал для анализа моделей с большим числом параметров. Основу алгоритма составляет анализ матрицы чувствительно- сти методами дифференциальной и линейной алгебры, показывающей степень зависимости неизвестных параметров моделей от заданных измерений. Анализ чувствительности и идентифицируемости показал, что параметры модели устойчиво определяются по заданному набору экспериментальных данных. В статье представлен список параметров модели от наиболее идентифицируемого до наименее идентифицируемого. Учитывая анализ идентифицируемости математической модели, были введены более жесткие ограничения на поиск слабоидентифицируемых параметров при решении обратной задачи.

Обратная задача по оценке параметров была решена с использованием генетического алгоритма. В статье представлены найденные оптимальные значения кинетических параметров. Представлено сравнение экспериментальных и расчетных зависимостей концентраций пропана, основных и побочных продуктов реакции от температуры для разных расходов смеси. На основании соответствия полученных результатов физико-химическим законам и экспериментальным данным сделан вывод об адекватности построенной математической модели.

The article presents the numerical modeling and study of the kinetic model of propane pyrolysis. The study of the reaction kinetics is a necessary stage in modeling the dynamics of the gas flow in the reactor.

The kinetic model of propane pyrolysis is a nonlinear system of ordinary differential equations of the first order with parameters, the role of which is played by the reaction rate constants. Math modeling of processes is based on the use of the mass conservation law. To solve an initial (forward) problem, implicit methods for solving stiff ordinary differential equation systems are used. The model contains 60 input kinetic parameters and 17 output parameters corresponding to the reaction substances, of which only 9 are observable. In the process of solving the problem of estimating parameters (inverse problem), there is a question of non-uniqueness of the set of parameters that satisfy the experimental data. Therefore, before solving the inverse problem, the possibility of determining the parameters of the model is analyzed (analysis of identifiability).

To analyze identifiability, we use the orthogonal method, which has proven itself well for analyzing models with a large number of parameters. The algorithm is based on the analysis of the sensitivity matrix by the methods of differential and linear algebra, which shows the degree of dependence of the unknown parameters of the models on the given measurements. The analysis of sensitivity and identifiability showed that the parameters of the model are stably determined from a given set of experimental data. The article presents a list of model parameters from most to least identifiable. Taking into account the analysis of the identifiability of the mathematical model, restrictions were introduced on the search for less identifiable parameters when solving the inverse problem.

The inverse problem of estimating the parameters was solved using a genetic algorithm. The article presents the found optimal values of the kinetic parameters. A comparison of the experimental and calculated dependences of the concentrations of propane, main and by-products of the reaction on temperature for different flow rates of the mixture is presented. The conclusion about the adequacy of the constructed mathematical model is made on the basis of the correspondence of the results obtained to physicochemical laws and experimental data.

В настоящее время основная исследовательская деятельность в области нанотехнологий направлена на создание, изучение и применение новых материалов и новых структур. Большое внимание в последнее время привлекает возможность управления магнитными свойствами с помощью сверхпроводящего тока, а также влияние магнитной динамики на вольт-амперные характеристики гибридных наноструктур типа «сверхпроводник/ферромагнетик» (S/F). В частности, к таким структурам относятся джозефсоновский S/F/S-переход или молекулярные наномагниты, связанные с джозефсоновскими переходами. Теоретические исследования динамики подобных структур неизменно приводят к моделям, расчет которых требует численного решения большого количества нелинейных уравнений. Численное моделирование гибридных наноструктур «сверхпроводник/магнетик» подразумевает расчет как магнитной динамики, так и динамики сверхпроводящей фазы, что многократно увеличивает их комплексность и масштабность, поэтому возникает задача решения сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений, что требует значительных временных и вычислительных ресурсов.

На сегодняшний день активно развиваются алгоритмы и фреймворки для моделирования динамики намагничивания в различных структурах. Однако функционал существующих пакетов не позволяет в полной мере реализовать нужную схему вычислений.

Целью настоящей работы является разработка единой вычислительной среды для моделирования гибридных наноструктур «сверхпроводник/магнетик», предоставляющей доступ к решателям и разработанным алгоритмам, позволяющей проводить исследования сверхпроводящих элементов в наноразмерных структурах с магнетиками и гибридных квантовых материалов. В работе представлены результаты использования разрабатываемой вычислительной среды по исследованию резонансных явлений в системе наномагнита, связанного с джозефсоновским переходом. Для исследования возможности переориентации намагниченности в зависимости от параметров модели численно решалась задача Коши для системы нелинейных уравнений. Непосредственно сама вычислительная среда разрабатывалась и развернута на базе гетерогенной вычислительной платформы HybriLIT. Проведенное в рамках вычислительной среды исследование показало эффективность применения развернутого стека технологий и перспективность его использования в дальнейшем для оценки физических параметров в гибридных наноструктурах «сверхпроводник/магнетик».

Now days the main research activity in the field of nanotechnology is aimed at the creation, study and application of new materials and new structures. Recently, much attention has been attracted by the possibility of controlling magnetic properties using a superconducting current, as well as the influence of magnetic dynamics on the current–voltage characteristics of hybrid superconductor/ferromagnet (S/F) nanostructures. In particular, such structures include the S/F/S Josephson junction or molecular nanomagnets coupled to the Josephson junctions. Theoretical studies of the dynamics of such structures need processes of a large number of coupled nonlinear equations. Numerical modeling of hybrid superconductor/magnet nanostructures implies the calculation of both magnetic dynamics and the dynamics of the superconducting phase, which strongly increases their complexity and scale, so it is advisable to use heterogeneous computing systems.

In the course of studying the physical properties of these objects, it becomes necessary to numerically solve complex systems of nonlinear differential equations, which requires significant time and computational resources.

The currently existing micromagnetic algorithms and frameworks are based on the finite difference or finite element method and are extremely useful for modeling the dynamics of magnetization on a wide time scale. However, the functionality of existing packages does not allow to fully implement the desired computation scheme.

The aim of the research is to develop a unified environment for modeling hybrid superconductor/magnet nanostructures, providing access to solvers and developed algorithms, and based on a heterogeneous computing paradigm that allows research of superconducting elements in nanoscale structures with magnets and hybrid quantum materials. In this paper, we investigate resonant phenomena in the nanomagnet system associated with the Josephson junction. Such a system has rich resonant physics. To study the possibility of magnetic reversal depending on the model parameters, it is necessary to solve numerically the Cauchy problem for a system of nonlinear equations. For numerical simulation of hybrid superconductor/magnet nanostructures, a computing environment based on the heterogeneous HybriLIT computing platform is implemented. During the calculations, all the calculation times obtained were averaged over three launches. The results obtained here are of great practical importance and provide the necessary information for evaluating the physical parameters in superconductor/magnet hybrid nanostructures.

В работе исследуется динамика конечномерной модели, описывающей взаимодействие трех популяций: жертвы $x(t)$, потребляющего ее хищника $y(t)$ и суперхищника $z(t)$, питающегося обоими видами. Математически задача записывается в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с правой частью $[x(1-x)-(y+z)g;\,\eta_1^{}yg-d_1^{}f-\mu_1^{}y;\,\eta_2^{}zg+d_2^{}f-\mu_2^{}z]$, где $\eta_j^{}$, $d_j^{}$, $\mu_j^{}$ ($j=1,\,2$) — положительные коэффициенты. Рассматриваемая модель относится к классу кoсимметричных динамических систем при функциональном отклике Лотки – Вольтерры $g=x$, $f=yz$ и дополнительных условиях на параметры: $\mu_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\mu_1^{}}{d_1^{}}\right)$, $\eta_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\eta_1^{}}{d_1^{}}\right)$. В этом случае формируется семейство равновесий в виде прямой в фазовом пространстве. Проанализирована устойчивость равновесий семейства и изолированных равновесий, построены карты существования стационарных решений и предельных циклов. Изучено разрушение семейства при нарушении условий косимметрии и использовании моделей Хoллинга $g(x)=\frac x{1+b_1^{}x}$ и Беддингтона–ДеАнгелиса $f(y,\,z)=\frac{yz}{1+b_2^{}y+b_3^{}z}$. Для этого применяется аппарат теории косимметрии В.И. Юдовича, включающий вычисление косимметрических дефектов и селективных функций. С использованием численного эксперимента проанализированы инвазивные сценарии: внедрение суперхищника в систему «хищник–жертва», выдавливание хищника или суперхищника.

The paper investigates the dynamics of a finite-dimensional model describing the interaction of three populations: prey $x(t)$, its consuming predator $y(t)$, and a superpredator $z(t)$ that feeds on both species. Mathematically, the problem is formulated as a system of nonlinear first-order differential equations with the following right-hand side: $[x(1-x)-(y+z)g;\,\eta_1^{}yg-d_1^{}f-\mu_1^{}y;\,\eta_2^{}zg+d_2^{}f-\mu_2^{}z]$, where $\eta_j^{}$, $d_j^{}$, $\mu_j^{}$ ($j=1,\,2$) are positive coefficients. The considered model belongs to the class of cosymmetric dynamical systems under the Lotka\,--\,Volterra functional response $g=x$, $f=yz$, and two parameter constraints: $\mu_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\mu_1^{}}{d_1^{}}\right)$, $\eta_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\eta_1^{}}{d_1^{}}\right)$. In this case, a family of equilibria is being of a straight line in phase space. We have analyzed the stability of the equilibria from the family and isolated equilibria. Maps of stationary solutions and limit cycles have been constructed. The breakdown of the family is studied by violating the cosymmetry conditions and using the Holling model $g(x)=\frac x{1+b_1^{}x}$ and the Beddington–DeAngelis model $f(y,\,z)=\frac{yz}{1+b_2^{}y+b_3^{}z}$. To achieve this, the apparatus of Yudovich's theory of cosymmetry is applied, including the computation of cosymmetric defects and selective functions. Through numerical experimentation, invasive scenarios have been analyzed, encompassing the introduction of a superpredator into the predator-prey system, the elimination of the predator, or the superpredator.

В статье моделируется развитие во времени многопартийной политической системы с учетом социальной напряженности. Предлагается система нелинейных дифференциальных уравнений относительно долей приверженцев партий и дополнительной скалярной переменной, характеризующей величину напряженности в обществе. Изменение доли каждой партии пропорционально текущему значению, умноженному на коэффициент, который состоит из притока беспартийных, перетоков членов из конкурирующих партий и убыли вследствие роста социальной напряженности. Напряженность прирастает пропорционально долям партий и снижается при их отсутствии. Число партий фиксировано, в модели отсутствуют механизмы объединения существующих или рождения новых партий.

Для исследования модели использован подход, основанный на выделении условий, при которых данная задача относится к классу косимметричных систем. Это позволяет проанализировать мультистабильность возможных динамических процессов и их разрушение при нарушении косимметрии. Существование косимметрии для системы дифференциальных уравнений обеспечивается наличием дополнительных связей на параметры, и при этом возможно возникновение непрерывных семейств стационарных и нестационарных решений. Для анализа сценариев нарушения косимметрии применяется подход на основе селективной функции. В случае с одной политической партией мультистабильности нет, каждому набору параметров соответствует только одно устойчивое решение. Для системы из двух партий показано, что возможны два семейства равновесий, а также семейство предельных циклов. Представлены результаты численных экспериментов, демонстрирующие разрушение семейств и реализацию различных сценариев, приводящих к стабилизации политической системы с сосуществованием обеих партий или к исчезновению одной из партий, когда часть населения перестает поддерживать одну из партий и становится безразличной.

Рассматриваемая модель может быть использована для прогнозирования межпартийной борьбы во время предвыборной кампании. В этом случае необходимо учитывать зависимость коэффициентов системы от времени.

We comsider a model of the dynamics a political system of several parties, accompanied and controlled by the growth of social tension. A system of nonlinear ordinary differential equations is proposed with respect to fractions and an additional scalar variable characterizing the magnitude of tension in society the change of each party is proportional to the current value multiplied by a coefficient that consists of an influx of novice, a flow from competing parties, and a loss due to the growth of social tension. The change in tension is made up of party contributions and own relaxation. The number of parties is fixed, there are no mechanisms in the model for combining existing or the birth of new parties.

To study of possible scenarios of the dynamic processes of the model we derive an approach based on the selection of conditions under which this problem belongs to the class of cosymmetric systems. For the case of two parties, it is shown that in the system under consideration may have two families of equilibria, as well as a family of limit cycles. The existence of cosymmetry for a system of differential equations is ensured by the presence of additional constraints on the parameters, and in this case, the emergence of continuous families of stationary and nonstationary solutions is possible. To analyze the scenarios of cosymmetry breaking, an approach based on the selective function is applied. In the case of one political party, there is no multistability, one stable solution corresponds to each set of parameters. For the case of two parties, it is shown that in the system under consideration may have two families of equilibria, as well as a family of limit cycles. The results of numerical experiments demonstrating the destruction of the families and the implementation of various scenarios leading to the stabilization of the political system with the coexistence of both parties or to the disappearance of one of the parties, when part of the population ceases to support one of the parties and becomes indifferent are presented.

This model can be used to predict the inter-party struggle during the election campaign. In this case necessary to take into account the dependence of the coefficients of the system on time.

Радиофармацевтические препараты, меченные радиоизотопами йода, в настоящее время широко применяются в визуализирующих и невизуализирующих методах ядерной медицины. При оценке результатов радионуклидных исследований структурно-функционального состояния органов и тканей существенную роль приобретает параллельное моделирование кинетики радиофармпрепарата в организме. Сложность такого моделирования заключается в двух противоположных аспектах. С одной стороны, в чрезмерном упрощении анатомо-физиологических особенностей организма при разбиении его на компартменты, что может приводить к потере или искажению значимой для клинической диагностики информации, с другой — в излишнем учете всех возможных взаимосвязей функционирования органов и систем, что, наоборот, приведет к появлению избыточного количества абсолютно бесполезных для клинической интерпретации математических данных, либо модель становится вообще неразрешимой. В нашей работе вырабатывается единый подход к построению математических моделей кинетики радиофармпрепаратов с изотопами йода в организме человека при диагностических и терапевтических процедурах ядерной медицины. На основе данного подхода разработаны трех- и четырехкамерные фармакокинетические модели и созданы соответствующие им расчетные программы на языке программирования C⁺⁺ для обработки и оценки результатов радионуклидной диагностики и терапии. Предложены различные способы идентификации модельных параметров на основе количественных данных радионуклидных исследований функционального состояния жизненно важных органов. Приведены и проанализированы результаты фармакокинетического моделирования при радионуклидной диагностике печени, почек и щитовидной железы с помощью йодсодержащих радиофармпрепаратов. С использованием клинико-диагностических данных определены индивидуальные фармакокинетические параметры транспорта разных радиофармпрепаратов в организме (транспортные константы, периоды полувыведения, максимальная активность в органе и время ее достижения). Показано, что фармакокинетические характеристики для каждого пациента являются сугубо индивидуальными и не могут быть описаны усредненными кинетическими параметрами. В рамках трех фармакокинетических моделей получены и проанализированы зависимости «активность – время» для разных органов и тканей, в том числе для тканей, в которых активность радиофармпрепарата невозможно или затруднительно измерить клиническими методами. Также обсуждаются особенности и результаты моделирования и дозиметрического планирования радиойодтерапии щитовидной железы. Показано, что значения поглощенных радиационных доз очень чувствительны к кинетическим параметрам камерной модели — транспортным константам. Поэтому при индивидуальном дозиметрическом планировании радиойодтерапии следует уделять особое внимание получению точных количественных данных ультразвукового исследования и радиометрии щитовидной железы и на их основе идентификации параметров моделирования. Работа основана на принципах и методах фармакокинетики. Для численного решения систем дифференциальных уравнений фармакокинетических моделей мы использовали методы Рунге–Кутты и метод Розенброка. Для нахождения минимума функции нескольких переменных при идентификации параметров моделирования использовался метод Хука–Дживса.

Radiopharmaceuticals with iodine radioisotopes are now widely used in imaging and non-imaging methods of nuclear medicine. When evaluating the results of radionuclide studies of the structural and functional state of organs and tissues, parallel modeling of the kinetics of radiopharmaceuticals in the body plays an important role. The complexity of such modeling lies in two opposite aspects. On the one hand, excessive simplification of the anatomical and physiological characteristics of the organism when splitting it to the compartments that may result in the loss or distortion of important clinical diagnosis information, on the other – excessive, taking into account all possible interdependencies of the functioning of the organs and systems that, on the contrary, will lead to excess amount of absolutely useless for clinical interpretation of the data or the mathematical model becomes even more intractable. Our work develops a unified approach to the construction of mathematical models of the kinetics of radiopharmaceuticals with iodine isotopes in the human body during diagnostic and therapeutic procedures of nuclear medicine. Based on this approach, three- and four-compartment pharmacokinetic models were developed and corresponding calculation programs were created in the C⁺⁺ programming language for processing and evaluating the results of radionuclide diagnostics and therapy. Various methods for identifying model parameters based on quantitative data from radionuclide studies of the functional state of vital organs are proposed. The results of pharmacokinetic modeling for radionuclide diagnostics of the liver, kidney, and thyroid using iodine-containing radiopharmaceuticals are presented and analyzed. Using clinical and diagnostic data, individual pharmacokinetic parameters of transport of different radiopharmaceuticals in the body (transport constants, half-life periods, maximum activity in the organ and the time of its achievement) were determined. It is shown that the pharmacokinetic characteristics for each patient are strictly individual and cannot be described by averaged kinetic parameters. Within the framework of three pharmacokinetic models, “Activity–time” relationships were obtained and analyzed for different organs and tissues, including for tissues in which the activity of a radiopharmaceutical is impossible or difficult to measure by clinical methods. Also discussed are the features and the results of simulation and dosimetric planning of radioiodine therapy of the thyroid gland. It is shown that the values of absorbed radiation doses are very sensitive to the kinetic parameters of the compartment model. Therefore, special attention should be paid to obtaining accurate quantitative data from ultrasound and thyroid radiometry and identifying simulation parameters based on them. The work is based on the principles and methods of pharmacokinetics. For the numerical solution of systems of differential equations of the pharmacokinetic models we used Runge–Kutta methods and Rosenbrock method. The Hooke–Jeeves method was used to find the minimum of a function of several variables when identifying modeling parameters.

Многие свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений определяются свойствами системы в вариациях. Продолженной системой будем называть систему ОДУ, включающую в себя одновременно исходную нелинейную систему и систему уравнений в вариациях. При исследовании свойств задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений переход к продолженным системам позволяет исследовать многие тонкие свойства решений. Например, переход к продолженной системе позволяет повысить порядок аппроксимации численных методов, дает подходы к построению функции чувствительности без использования процедур численного дифференцирования, позволяет применять для решения обратной задачи методы повышенного порядка сходимости. Использован метод Бройдена, относящийся к классу квазиньютоновских методов. Для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений применялся метод Розенброка с комплексными коэффициентами. В данном случае он эквивалентен методу второго порядка аппроксимации для продолженной системы.

В качестве примера использования подхода рассматривается несколько связанных между собой математических моделей свертывания крови. По результатам численных расчетов делается вывод о необходимости включения в систему уравнений описания петли положительных обратных связей по фактору свертывания XI. Приводятся оценки некоторых скоростей реакций на основе решения обратной задачи.

Рассматривается влияние освобождения фактора V при активации тромбоцитов. При модификации математической модели удалось достичь количественного соответствия по динамике производства тромбина с экспериментальными данными для искусственной системы. На основе анализа чувствительности проверена гипотеза об отсутствии влияния состава липидной мембраны (числа сайтов для тех или иных факторов системы свертывания, кроме сайтов для тромбина) на динамику процесса.

Many properties of ordinary differential equations systems solutions are determined by the properties of the equations in variations. An ODE system, which includes both the original nonlinear system and the equations in variations, will be called an extended system further. When studying the properties of the Cauchy problem for the systems of ordinary differential equations, the transition to extended systems allows one to study many subtle properties of solutions. For example, the transition to the extended system allows one to increase the order of approximation for numerical methods, gives the approaches to constructing a sensitivity function without using numerical differentiation procedures, allows to use methods of increased convergence order for the inverse problem solution. Authors used the Broyden method belonging to the class of quasi-Newtonian methods. The Rosenbroke method with complex coefficients was used to solve the stiff systems of the ordinary differential equations. In our case, it is equivalent to the second order approximation method for the extended system.

As an example of the proposed approach, several related mathematical models of the blood coagulation process were considered. Based on the analysis of the numerical calculations results, the conclusion was drawn that it is necessary to include a description of the factor XI positive feedback loop in the model equations system. Estimates of some reaction constants based on the numerical inverse problem solution were given.

Effect of factor V release on platelet activation was considered. The modification of the mathematical model allowed to achieve quantitative correspondence in the dynamics of the thrombin production with experimental data for an artificial system. Based on the sensitivity analysis, the hypothesis tested that there is no influence of the lipid membrane composition (the number of sites for various factors of the clotting system, except for thrombin sites) on the dynamics of the process.