All issues

В работе рассмотрена проблема повышения порядка аппроксимации прозрачных граничных условий для волнового уравнения при использовании разностных схем вплоть до шестого порядка точности по пространству. В качестве примера формулируется задача распространения волн в полубесконечном волноводе прямоугольного сечения. Предложен подход, позволивший вывести экономные и высокоточные формулы при дискретизации оператора прозрачных граничных условий. Приведены примеры численных расчетов, подтверждающие точность и устойчивость полученных разностных алгоритмов.

The paper considers the problem of increasing the approximation order of transparent boundary conditions for the wave equation while using finite difference schemes up to the sixth order of accuracy in space. As an example, the problem of wave propagation in a semi-infinite rectangular waveguide is formulated. Computationally efficient and highly accurate formulas for discretizing operator of transparent boundary conditions are proposed. Numerical results confirm the accuracy and stability of the obtained difference algorithms.

В работе рассматриваются развитие и применение метода учета заполненности прямоугольных ячеек материальной средой, в частности жидкостью для повышения гладкости и точности конечно-разностного решения задач гидродинамики со сложной формой граничной поверхности. Для исследования возможностей предлагаемых разностных схем рассмотрены две задачи вычислительной гидродинамики — пространственно-двумерного течения вязкой жидкости между двумя соосными полуцилиндрами и переноса веществ между соосными полуцилиндрами. Аппроксимация задач по времени выполнена на основе схем расщепления по физическим процессам. Дискретизация операторов диффузии и конвекции выполнена на основе интегроинтерполяционного метода с учетом заполненности ячеек и без ее учета. Для решения задачи диффузии – конвекции при больших сеточных числах Пекле предложено использовать разностную схему, учитывающую функцию заполненности ячеек, и схему, построенную на основе линейной комбинации разностных схем «кабаре» и «крест» с весовыми коэффициентами, полученными в результате минимизации погрешности аппроксимации при малых числах Куранта. Для оценки точности численного решения в качестве эталона используется аналитическое решение, описывающее течение Куэтта – Тейлора. В случае непосредственного использования прямоугольных сеток (ступенчатой аппроксимации границ) относительная погрешность расчетов достигает 70 %, при тех же условиях использование предлагаемого метода позволяет уменьшить погрешность до 6%. Показано, что дробление прямоугольной сетки в 2–8 раз по каждому из пространственных направлений не приводит к такому же повышению точности, которой обладают численные решения, полученные с учетом заполненности ячеек. Предложенные разностные схемы, построенные на основе линейной комбинации разностных схем «кабаре» и «крест» с весовыми коэффициентами 2/3 и 1/3 соответственно, полученные в результате минимизации порядка погрешности аппроксимации, для задачи диффузии – конвекции обладают меньшей сеточной вязкостью и, как следствие, точнее описывают поведение решения в случае больших сеточных чисел Пекле.

The paper discusses the development and application of the accounting rectangular cell fullness method with material substance, in particular, a liquid, to increase the smoothness and accuracy of a finite-difference solution of hydrodynamic problems with a complex shape of the boundary surface. Two problems of computational hydrodynamics are considered to study the possibilities of the proposed difference schemes: the spatial-twodimensional flow of a viscous fluid between two coaxial semi-cylinders and the transfer of substances between coaxial semi-cylinders. Discretization of diffusion and convection operators was performed on the basis of the integro-interpolation method, taking into account taking into account the fullness of cells and without it. It is proposed to use a difference scheme, for solving the problem of diffusion – convection at large grid Peclet numbers, that takes into account the cell population function, and a scheme on the basis of linear combination of the Upwind and Standard Leapfrog difference schemes with weight coefficients obtained by minimizing the approximation error at small Courant numbers. As a reference, an analytical solution describing the Couette – Taylor flow is used to estimate the accuracy of the numerical solution. The relative error of calculations reaches 70% in the case of the direct use of rectangular grids (stepwise approximation of the boundaries), under the same conditions using the proposed method allows to reduce the error to 6%. It is shown that the fragmentation of a rectangular grid by 2–8 times in each of the spatial directions does not lead to the same increase in the accuracy that numerical solutions have, obtained taking into account the fullness of the cells. The proposed difference schemes on the basis of linear combination of the Upwind and Standard Leapfrog difference schemes with weighting factors of 2/3 and 1/3, respectively, obtained by minimizing the order of approximation error, for the diffusion – convection problem have a lower grid viscosity and, as a corollary, more precisely, describe the behavior of the solution in the case of large grid Peclet numbers.

В работе изучается многомерное уравнение конвекции-диффузии с переменными коэффициентами и неклассическим граничным условием. Рассмотрены два случая: в первом случае первое граничное условие содержит интеграл от неизвестной функции по переменной интегрирования $x_\alpha^{}$, а во втором случае — интеграл от неизвестной функции по переменной интегрирования $\tau$, обозначающий эффект памяти. Подобные задачи возникают при изучении переноса примеси вдоль русла рек. Для приближенного решения поставленной задачи предложена эффективная в плане экономичности, устойчивости и сходимости разностная схема — локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского с порядком аппроксимации~$O(h^2+\tau)$. Ввиду того что уравнение содержит первую производную от неизвестной функции по пространственной переменной $x_\alpha^{}$, для повышения порядка точности локально-одномерной схемы используется известный метод, предложенный А.А. Самарским при построении монотонной схемы второго порядка точности по $h_\alpha^{}$ для уравнения параболического типа общего вида, содержащего односторонние производные, учитывающие знак $r_\alpha^{}(x,\,t)$. Для повышения до второго порядка точности по $h_\alpha^{}$ краевых условий третьего рода воспользовались уравнением в предположении, что оно справедливо и на границах. Исследование единственности и устойчивости решения проводилось с помощью метода энергетических неравенств. Получены априорные оценки решения разностной задачи в $L_2^{}$-норме, откуда следуют единственность решения, непрерывная и равномерная зависимость решения разностной задачи от входных данных, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи в $L_2^{}$-норме со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения, проведены численные расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные в работе теоретические результаты.

The paper studies a multidimensional convection-diffusion equation with variable coefficients and a nonclassical boundary condition. Two cases are considered: in the first case, the first boundary condition contains the integral of the unknown function with respect to the integration variable $x_\alpha^{}$, and in the second case, the integral of the unknown function with respect to the integration variable $\tau$, denoting the memory effect. Similar problems arise when studying the transport of impurities along the riverbed. For an approximate solution of the problem posed, a locally one-dimensional difference scheme by A.A. Samarskii with order of approximation $O(h^2+\tau)$. In view of the fact that the equation contains the first derivative of the unknown function with respect to the spatial variable $x_\alpha^{}$, the wellknown method proposed by A.A. Samarskii in constructing a monotonic scheme of the second order of accuracy in $h_\alpha^{}$ for a general parabolic type equation containing one-sided derivatives taking into account the sign of $r_\alpha^{}(x,t)$. To increase the boundary conditions of the third kind to the second order of accuracy in $h_\alpha^{}$, we used the equation, on the assumption that it is also valid at the boundaries. The study of the uniqueness and stability of the solution was carried out using the method of energy inequalities. A priori estimates are obtained for the solution of the difference problem in the $L_2^{}$-norm, which implies the uniqueness of the solution, the continuous and uniform dependence of the solution of the difference problem on the input data, and the convergence of the solution of the locally onedimensional difference scheme to the solution of the original differential problem in the $L_2^{}$-norm with speed equal to the order of approximation of the difference scheme. For a two-dimensional problem, a numerical solution algorithm is constructed.

Представлен вариант обратного метода характеристик (МОМХ), в алгоритм которого введен дополнительный дробный временной шаг, что позволяет повысить точность вычислений за счет более точной аппроксимации характеристик. Приведены расчетные формулы модифицированного метода для уравнений односкоростной модели газожидкостной смеси, с помощью которого рассчитаны одномерные, а также плоские тестовые задачи, имеющие автомодельные решения. При решении многомерных задач исходная система уравнений расщепляется на ряд одномерных подсистем, для расчета которых применяется обратный метод характеристик с дробным временным шагом. С использованием предложенного метода рассчитаны: одномерная задача распада произвольного разрыва в дисперсной среде; двумерная задача взаимодействия однородного газожидкостного потока с препятствием с присоединенным ударным скачком, а также течение с центрированной волной разрежения. Результаты численных расчетов этих задач сопоставлены с автомодельными решениями и отмечено их удовлетворительное совпадение. На примере задачи Римана с ударным скачком приведено сравнение с рядом консервативных, неконсервативных первого и повышенного порядков точности схем, из которого, в частности, следует, что представленный метод расчета вполне конкурентоспособен. Несмотря на то что применение МОМХ требует в разы больших временных затрат по сравнению с оригинальным обратным методом характеристик (ОМХ), вычисления можно проводить с увеличенным временным шагом и в ряде случаев получать более точные результаты. Отмечено, что метод с дробным временным шагом имеет преимущества в случаях, когда характеристики системы криволинейные. По этой причине для уравнений Эйлера целесообразно использовать ОМХ вместо МОМХ, поскольку в этом случае характеристики в пределах временного шага мало отличаются от прямых линий.

A variant of the inverse method of characteristics (IMH) is presented, in whose algorithm an additional fractional time step is introduced, which makes it possible to increase the accuracy of calculations due to a more accurate approximation of the characteristics. The calculation formulas of the modified method for the equations of the one-velocity model of a gas-liquid mixture are given, with the help of which one-dimensional and also flat test problems with self-similar solutions are calculated. When solving multidimensional problems, the original system of equations is split into a number of one-dimensional subsystems, for the calculation of which the inverse method of characteristics with a fractional time step is used. Using the proposed method, the following were calculated: the one-dimensional problem of the decay of an arbitrary discontinuity in a dispersed medium; a twodimensional problem of the interaction of a homogeneous gas-liquid flow with an obstacle with an attached shock wave, as well as a flow with a centered rarefaction wave. The results of numerical calculations of these problems are compared with self-similar solutions and their satisfactory agreement is noted. On the example of the Riemann problem with a shock wave, a comparison is made with a number of conservative, non-conservative, first and higher orders of accuracy schemes, from which, in particular, it follows that the presented calculation method, i. e. MIMC, quite competitive. Despite the fact that the application of MIMC requires many times more time than the original inverse method of characteristics (IMC), calculations can be carried out with an increased time step and, in some cases, more accurate results can be obtained. It is noted that the method with a fractional time step has advantages over the IMC in cases where the characteristics of the system are significantly curvilinear. For this reason, the use of MIMC, for example, for the Euler equations is inappropriate, since for the latter the characteristics within the time step differ little from straight lines.

Безградиентные методы оптимизации, или методы нулевого порядка, широко применяются в обучении нейронных сетей, обучении с подкреплением, а также в промышленных задачах, где доступны лишь значения функции в точке (работа с неаналитическими функциями). В частности, метод обратного распространения ошибки в PyTorch работает именно по этому принципу. Существует общеизвестный факт, что при компьютерных вычислениях используется эвристика чисел с плавающей точкой, и из-за этого возникает проблема конечности мантиссы.

В этой работе мы, во-первых, сделали обзор наиболее популярных методов аппроксимации градиента: конечная прямая/центральная разность (FFD/FCD), покомпонентная прямая/центральная разность (FWC/CWC), прямая/центральная рандомизация на $l_2$ сфере (FSSG2/CFFG2); во-вторых, мы описали текущие теоретические представления шума, вносимого неточностью вычисления функции в точке: враждебный шум, случайный шум; в-третьих, мы провели серию экспериментов на часто встречающихся классах задач, таких как квадратичная задача, логистическая регрессия, SVM, чтобы попытаться определить, соответствует ли реальная природа машинного шума существующей теории. Оказалось, что в реальности (по крайней мере на тех классах задач, которые были рассмотрены в данной работе) машинный шум оказался чем-то средним между враждебным шумом и случайным, в связи с чем текущая теория о влиянии конечности мантиссы на поиск оптимума в задачах безградиентной оптимизации требует некоторой корректировки.

Gradient-free optimization methods or zeroth-order methods are widely used in training neural networks, reinforcement learning, as well as in industrial tasks where only the values of a function at a point are available (working with non-analytical functions). In particular, the method of error back propagation in PyTorch works exactly on this principle. There is a well-known fact that computer calculations use heuristics of floating-point numbers, and because of this, the problem of finiteness of the mantissa arises.

In this paper, firstly, we reviewed the most popular methods of gradient approximation: Finite forward/central difference (FFD/FCD), Forward/Central wise component (FWC/CWC), Forward/Central randomization on $l_2$ sphere (FSSG2/CFFG2); secondly, we described current theoretical representations of the noise introduced by the inaccuracy of calculating the function at a point: adversarial noise, random noise; thirdly, we conducted a series of experiments on frequently encountered classes of problems, such as quadratic problem, logistic regression, SVM, to try to determine whether the real nature of machine noise corresponds to the existing theory. It turned out that in reality (at least for those classes of problems that were considered in this paper), machine noise turned out to be something between adversarial noise and random, and therefore the current theory about the influence of the mantissa limb on the search for the optimum in gradient-free optimization problems requires some adjustment.

В данной статье рассматривается метод построения прогнозной нейросетевой модели временного ряда, основанный на определении состава входных переменных, построения обучающей выборки и самого обучения с использованием метода обратного распространения ошибки. Традиционные методы построения прогнозных моделей временного ряда (авторегрессионной модели, модели скользящего среднего или модели авторегрессии – скользящего среднего) позволяют аппроксимировать временной ряд линейной зависимостью текущего значения выходной переменной от некоторого количества ее предыдущих значений. Такое ограничение, как линейность зависимости, приводит к значительным ошибкам при прогнозировании.

Технологии интеллектуального анализа с применением нейросетевого моделирования позволяют аппроксимировать временной ряд нелинейной зависимостью. Причем процесс построения нейросетевой модели (определение состава входных переменных, числа слоев и количества нейронов в слоях, выбор функций активации нейронов, определение оптимальных значений весов связей нейронов) позволяет получить прогнозную модель в виде аналитической нелинейной зависимости.

Одним из ключевых моментов при построении нейросетевых моделей в различных прикладных областях, влияющих на ее адекватность, является определение состава ее входных переменных. Состав входных переменных традиционно выбирается из некоторых физических соображений или методом подбора. Для задачи определения состава входных переменных прогнозной нейросетевой модели временного ряда предлагается использовать особенности поведения автокорреляционной и частной автокорреляционной функций.

В работе предлагается метод определения состава входных переменных нейросетевых моделей для стационарных и нестационарных временных рядов, базирующийся на построении и анализе автокорреляционных функций. На основе предложенного метода разработаны алгоритм и программа в среде программирования Python, определяющая состав входных переменных прогнозной нейросетевой модели — персептрона, а также строящая саму модель. Осуществлена экспериментальная апробация предложенного метода на примере построения прогнозной нейросетевой модели временного ряда, отражающего потребление электроэнергии в разных регионах США, открыто опубликованной компанией PJM Interconnection LLC (PJM) — региональной сетевой организацией в Соединенных Штатах. Данный временной ряд является нестационарным и характеризуется наличием как тренда, так и сезонности. Прогнозирование очередных значений временного ряда на ос- нове предыдущих значений и построенной нейросетевой модели показало высокую точность аппроксимации, что доказывает эффективность предлагаемого метода.

This article studies a method of constructing a predictive neural network model of a time series based on determining the composition of input variables, constructing a training sample and training itself using the back propagation method. Traditional methods of constructing predictive models of the time series are: the autoregressive model, the moving average model or the autoregressive model — the moving average allows us to approximate the time series by a linear dependence of the current value of the output variable on a number of its previous values. Such a limitation as linearity of dependence leads to significant errors in forecasting.

Mining Technologies using neural network modeling make it possible to approximate the time series by a nonlinear dependence. Moreover, the process of constructing of a neural network model (determining the composition of input variables, the number of layers and the number of neurons in the layers, choosing the activation functions of neurons, determining the optimal values of the neuron link weights) allows us to obtain a predictive model in the form of an analytical nonlinear dependence.

The determination of the composition of input variables of neural network models is one of the key points in the construction of neural network models in various application areas that affect its adequacy. The composition of the input variables is traditionally selected from some physical considerations or by the selection method. In this work it is proposed to use the behavior of the autocorrelation and private autocorrelation functions for the task of determining the composition of the input variables of the predictive neural network model of the time series.

In this work is proposed a method for determining the composition of input variables of neural network models for stationary and non-stationary time series, based on the construction and analysis of autocorrelation functions. Based on the proposed method in the Python programming environment are developed an algorithm and a program, determining the composition of the input variables of the predictive neural network model — the perceptron, as well as building the model itself. The proposed method was experimentally tested using the example of constructing a predictive neural network model of a time series that reflects energy consumption in different regions of the United States, openly published by PJM Interconnection LLC (PJM) — a regional network organization in the United States. This time series is non-stationary and is characterized by the presence of both a trend and seasonality. Prediction of the next values of the time series based on previous values and the constructed neural network model showed high approximation accuracy, which proves the effectiveness of the proposed method.

Разработан вычислительный алгоритм для изучения химических процессов во внутренних течениях многокомпонентного газа при воздействии лазерного излучения. Математическая модель представляет собой уравнения газовой динамики с химическими реакциями при малых числах Маха с учетом диссипативных членов, которые описывают динамику вязкой теплопроводной среды с диффузией, химическими реакциями и подводом энергии посредством лазерного излучения. Для данной математической модели характерно наличие нескольких сильно различающихся между собой временных и пространственных масштабов. Вычислительный алгоритм построен на основе схемы расщепления по физическим процессам. Каждый шаг интегрирования по времени разбивается на следующие блоки: решение уравнений химической кинетики, решение уравнения для интенсивности излучения, решение уравнений конвекции – диффузии, расчет динамической составляющей давления и расчет коррекции вектора скорости. Решение жесткой системы уравнений химической кинетики проводится с помощью специализированной явной схемы второго порядка точности или подключаемым модулем RADAU5. Для нахождения конвективных членов в уравнениях применяются численные потоки Русанова и WENO-схема повышенного порядка аппроксимации. На основе полученного алгоритма разработан код с использованием технологии параллельных вычислений MPI. Созданный код использован для расчетов пиролиза этана с радикальными реакциями. Детально изучается формирование сверхравновесных концентраций радикалов по объему реактора. Проведено численное моделирование течения реакционного газа в плоской трубе с подводом лазерного излучения, востребованное для интерпретации экспериментальных результатов. Показано, что лазерное излучение увеличивает в разы конверсию этана и выходы целевых продуктов на коротких длинах ближе к входу в реакционную зону. Сокращение эффективной длины реакционной зоны позволяет предложить новые решения при проектировании реакторов конверсии этана в ценные углеводороды. Разработанные алгоритм и программа найдут свое применение в создании новых технологий лазерной термохимии.

The article presented the computational algorithm developed to study chemical processes in the internal flows of a multicomponent gas under the influence of laser radiation. The mathematical model is the gas dynamics’ equations with chemical reactions at low Mach numbers. It takes into account dissipative terms that describe the dynamics of a viscous heat-conducting medium with diffusion, chemical reactions and energy supply by laser radiation. This mathematical model is characterized by the presence of several very different time and spatial scales. The computational algorithm is based on a splitting scheme by physical processes. Each time integration step is divided into the following blocks: solving the equations of chemical kinetics, solving the equation for the radiation intensity, solving the convection-diffusion equations, calculating the dynamic component of pressure and calculating the correction of the velocity vector. The solution of a stiff system of chemical kinetics equations is carried out using a specialized explicit second-order accuracy scheme or a plug-in RADAU5 module. Numerical Rusanov flows and a WENO scheme of an increased order of approximation are used to find convective terms in the equations. The code based on the obtained algorithm has been developed using MPI parallel computing technology. The developed code is used to calculate the pyrolysis of ethane with radical reactions. The superequilibrium concentrations’ formation of radicals in the reactor volume is studied in detail. Numerical simulation of the reaction gas flow in a flat tube with laser radiation supply is carried out, which is in demand for the interpretation of experimental results. It is shown that laser radiation significantly increases the conversion of ethane and yields of target products at short lengths closer to the entrance to the reaction zone. Reducing the effective length of the reaction zone allows us to offer new solutions in the design of ethane conversion reactors into valuable hydrocarbons. The developed algorithm and program will find their application in the creation of new technologies of laser thermochemistry.

На основе гидродинамического 3D-моделирования с использованием уравнения состояния газа твердых сфер Карнахана – Старлинга выполнено исследование развития периодических возмущений сходящейся сферической ударной волны, приводящих к ограничению кумуляции. Метод решения системы уравнений Эйлера на подвижных (сжимающихся) сетках позволяет с высокой точностью проследить эволюцию фронта сходящейся ударной волны в широком диапазоне изменения ее радиуса. Скорость сжатия расчетной сетки адаптируется к движению фронта ударной волны, при этом движение границ расчетной области выбирается из условия сверхзвуковой скорости ее движения относительно среды. Это приводит к тому, что решение на этапе сжатия определяется только начальными данными. Применена схема TVD второго порядка аппроксимации для реконструкции вектора консервативных переменных на границах расчетных ячеек в сочетании со схемой Русанова для расчета численного вектора потоков. Выбор обусловлен сильной тенденцией к проявлению в расчетах численной неустойчивости типа «карбункул», известной для других классов течений. Использование сжимающихся сеток позволило исследовать детальную картину течения на масштабе прекращения кумуляции, что невозможно в рамках метода геометрической динамики ударных волн Уизема (Whitham), применявшегося ранее другими авторами для расчета сходящихся ударных волн. Исследование показало, что ограничение кумуляции связанно с переходом от маховского взаимодействия сегментов сходящейся ударной волны к регулярному вследствие прогрессирующего роста отношения азимутальной скорости на фронте ударной волны к радиальной при уменьшении ее радиуса. Установлено, что это отношение представляется в виде произведения ограниченной осциллирующей функции радиуса и степенной функции радиуса с показателем степени, зависящим от начальной плотности упаковки в модели твердых сфер. Показано, что увеличение параметра плотности упаковки в модели твердых сфер приводит к значительному увеличению давлений, достигаемых в ударной волне с нарушенной симметрией. Впервые в расчете показано, что на масштабе прекращения кумуляции течение сопровождается формированием высокоэнергетичных вихрей, в которые вовлечено вещество, подвергшееся наибольшему ударно-волновому сжатию. Оказывая влияние на процессы тепло- и массопереноса в области наибольшего сжатия, это обстоятельство является важным для актуальных практических применений сходящихся ударных волн в целях инициирования реакций (детонации, фазовых переходов, управляемого термоядерного синтеза).

The study of the development of π-periodic perturbations of a converging spherical shock wave leading to cumulation limitation is performed. The study is based on 3D hydrodynamic calculations with the Carnahan – Starling equation of state for hard sphere fluid. The method of solving the Euler equations on moving (compressing) grids allows one to trace the evolution of the converging shock wave front with high accuracy in a wide range of its radius. The compression rate of the computational grid is adapted to the motion of the shock wave front, while the motion of the boundaries of the computational domain satisfy the condition of its supersonic velocity relative to the medium. This leads to the fact that the solution is determined only by the initial data at the grid compression stage. The second order TVD scheme is used to reconstruct the vector of conservative variables at the boundaries of the computational cells in combination with the Rusanov scheme for calculating the numerical vector of flows. The choice is due to a strong tendency for the manifestation of carbuncle-type numerical instability in the calculations, which is known for other classes of flows. In the three-dimensional case of the observed force, the carbuncle effect was obtained for the first time, which is explained by the specific nature of the flow: the concavity of the shock wave front in the direction of motion, the unlimited (in the symmetric case) growth of the Mach number, and the stationarity of the front on the computational grid. The applied numerical method made it possible to study the detailed flow pattern on the scale of cumulation termination, which is impossible within the framework of the Whitham method of geometric shock wave dynamics, which was previously used to calculate converging shock waves. The study showed that the limitation of cumulation is associated with the transition from the Mach interaction of converging shock wave segments to a regular one due to the progressive increase in the ratio of the azimuthal velocity at the shock wave front to the radial velocity with a decrease in its radius. It was found that this ratio is represented as a product of a limited oscillating function of the radius and a power function of the radius with an exponent depending on the initial packing density in the hard sphere model. It is shown that increasing the packing density parameter in the hard sphere model leads to a significant increase in the pressures achieved in a shock wave with broken symmetry. For the first time in the calculation, it is shown that at the scale of cumulation termination, the flow is accompanied by the formation of high-energy vortices, which involve the substance that has undergone the greatest shock-wave compression. Influencing heat and mass transfer in the region of greatest compression, this circumstance is important for current practical applications of converging shock waves for the purpose of initiating reactions (detonation, phase transitions, controlled thermonuclear fusion).

Для модельного неоднородного уравнения переноса с источником выполнен анализ устойчивости линейной гибридной схемы (комбинации противопоточной и центральной аппроксимаций). Получены условия устойчивости, зависящие от параметра гибридности, фактора интенсивности источника (произведения интенсивности на шаг по времени) и весового коэффициента линейной комбинации мощности источника на нижнем и верхнем временном слое. В нелинейном случае для уравнений движения неравновесной по скоростям и температурам газовзвеси расчетным путем подтвержден линейный анализ устойчивости. Установлено, что предельно допустимое число Куранта гибридного метода крупных частиц второго порядка точности по пространству и времени при неявном учете трения и теплообмена между газом и частицами не зависит от фактора интенсивности межфазных взаимодействий, шага расчетной сетки и времен релаксации фаз (K-устойчивость). В традиционном случае явного способа расчета источниковых членов для значений безразмерного фактора интенсивности больше 10 наблюдается катастрофическое (на несколько порядков) снижение предельно допустимого числа Куранта, при котором расчетный шаг по времени становится неприемлемо малым.

На основе базовых соотношений распада разрыва в равновесной гетерогенной среде получено асимптотически точное автомодельное решение задачи взаимодействия ударной волны со слоем газовзвеси, к которому сходится численное решение двухскоростной двухтемпературной динамики газовзвеси при уменьшении размеровди сперсных частиц.

Изучены динамика движения скачка уплотнения в газе и его взаимодействия с ограниченным слоем газовзвеси для различных размеров дисперсных частиц: 0.1, 2 и 20 мкм. Задача характеризуется двумя распадами разрывов: отраженной и преломленной ударными волнами на левой границе слоя, отраженной волной разрежения и прошедшим скачком уплотнения на правой контактной границе. Обсуждено влияние релаксационных процессов (безразмерных времен релаксации фаз) на характер течения газовзвеси. Для мелких частиц времена выравнивания скоростей и температур фаз малы, а зоны релаксации являются подсеточными. Численное решение в характерных точках с относительной точностью $O\, (10^{−4})$  сходится к автомодельным решениям.

For a non-homogeneous model transport equation with source terms, the stability analysis of a linear hybrid scheme (a combination of upwind and central approximations) is performed. Stability conditions are obtained that depend on the hybridity parameter, the source intensity factor (the product of intensity per time step), and the weight coefficient of the linear combination of source power on the lower- and upper-time layer. In a nonlinear case for the non-equilibrium by velocities and temperatures equations of gas suspension motion, the linear stability analysis was confirmed by calculation. It is established that the maximum permissible Courant number of the hybrid large-particle method of the second order of accuracy in space and time with an implicit account of friction and heat exchange between gas and particles does not depend on the intensity factor of interface interactions, the grid spacing and the relaxation times of phases (K-stability). In the traditional case of an explicit method for calculating the source terms, when a dimensionless intensity factor greater than 10, there is a catastrophic (by several orders of magnitude) decrease in the maximum permissible Courant number, in which the calculated time step becomes unacceptably small.

On the basic ratios of Riemann’s problem in the equilibrium heterogeneous medium, we obtained an asymptotically exact self-similar solution of the problem of interaction of a shock wave with a layer of gas-suspension to which converge the numerical solution of two-velocity two-temperature dynamics of gassuspension when reducing the size of dispersed particles.

The dynamics of the shock wave in gas and its interaction with a limited gas suspension layer for different sizes of dispersed particles: 0.1, 2, and 20 ìm were studied. The problem is characterized by two discontinuities decay: reflected and refracted shock waves at the left boundary of the layer, reflected rarefaction wave, and a past shock wave at the right contact edge. The influence of relaxation processes (dimensionless phase relaxation times) to the flow of a gas suspension is discussed. For small particles, the times of equalization of the velocities and temperatures of the phases are small, and the relaxation zones are sub-grid. The numerical solution at characteristic points converges with relative accuracy $O \, (10^{-4})$ to self-similar solutions.

Работа посвящена изучению волновых и релаксационных эффектов при импульсном истечении смеси газа с большим содержанием твердых частиц из цилиндрического канала при его начальном частичном заполнении. Задача сформулирована в двухскоростной двухтемпературной постановке и решалась численно гибридным методом крупных частиц второго порядка аппроксимации. Численный алгоритм реализован в виде параллельных вычислений с использованием базовых языковых средств Free Pascal. Применимость и точность метода для волновых потоков концентрированных газовзвесей подтверждены сопоставлением с тестовыми асимптотически точными решениями. Погрешность расчета на сетке невысокой детализации вх арактерных зонах течения двухфазной среды составила 10⁻⁶ . . . 10⁻⁵.

На основе волновой диаграммы выполнен анализ физической картины истечении газовзвеси, частично заполняющей цилиндрический канал. Установлено, что в зависимости от степени начального заполнения канала формируются различные режимы истечения. Первый режим реализуется при небольшой степени загрузки камеры высокого давления, при которой левая граница смеси газа и частиц пересекает выходное сечение до прихода отраженной от дна канала волны разрежения. При этом достигается максимальное значение массового расхода смеси. Другие режимы формируются в случаях большего начального заполнения канала, когда отраженные от дна канала волны разрежения взаимодействуют со слоем газовзвеси и уменьшают интенсивность ее истечения.

Изучено влияние релаксационных свойств при изменении размеров частиц на динамику ограниченного слоя газодисперсной среды. Сопоставление истечения ограниченного слоя газовзвеси с различными размерами частиц показывает, что для мелких частиц (число Стокса меньше 0,001) наблюдается аномальное явление одновременного существования ударно-волновых структур в сверх- и дозвуковом потоке газа и взвеси. С увеличением размеров дисперсных включений скачки уплотнения в области двухфазной смеси сглаживаются, а для частиц (число Стокса больше 0,1) — практически исчезают. При этом ударно-волновая конфигурация сверхзвукового газового потока на выходе из канала сохраняется, а положения и границы энергонесущих объемов газовзвеси при изменении размеров частиц близки.

The paper is devoted to the study of wave and relaxation effects during the pulsed outflow of a gas mixture with a high content of solid particles from a cylindrical channel during its initial partial filling. The problem is formulated in a two-speed two-temperature formulation and was solved numerically by the hybrid large-particle method of the second order of approximation. The numerical algorithm is implemented in the form of parallel computing using basic Free Pascal language tools. The applicability and accuracy of the method for wave flows of concentrated gas-particles mixtures is confirmed by comparison with test asymptotically accurate solutions. The calculation error on a grid of low detail in the characteristic flow zones of a two-phase medium was 10^-6 . . . 10^-5.

Based on the wave diagram, the analysis of the physical pattern of the outflow of a gas suspension partially filling a cylindrical channel is performed. It is established that, depending on the degree of initial filling of the channel, various outflow modes are formed. The first mode is implemented with a small degree of loading of the high-pressure chamber, at which the left boundary of the gas-particles mixture crosses the outlet section before the arrival of the rarefaction wave reflected from the bottom of the channel. At the same time, the maximum value of the mass flow rate of the mixture is achieved. Other modes are formed in cases of a larger initial filling of the channel, when the rarefaction waves reflected from the bottom of the channel interact with the gas suspension layer and reduce the intensity of its outflow.

The influence of relaxation properties with changing particle size on the dynamics of a limited layer of a gas-dispersed medium is studied. Comparison of the outflow of a limited gas suspension layer with different particle sizes shows that for small particles (the Stokes number is less than 0.001), an anomalous phenomenon of the simultaneous existence of shock wave structures in the supersonic and subsonic flow of gas and suspension is observed. With an increase in the size of dispersed inclusions, the compaction jumps in the region of the two-phase mixture are smoothed out, and for particles (the Stokes number is greater than 0.1), they practically disappear. At the same time, the shock-wave configuration of the supersonic gas flow at the outlet of the channel is preserved, and the positions and boundaries of the energy-carrying volumes of the gas suspension are close when the particle sizes change.