All issues

Целью работы является исследование конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая создана на основе Z-схемы. Это исследование состоит в численном решении нескольких двумерных дифференциальных уравнений, моделирующих перенос несжимаемой среды.

Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направлении предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы. По той же причине в продольном к магнитному полю направлении могут возникать достаточно высокие скорости тепло- и массопереноса.

Актуальной задачей при ионосферном моделировании является исследование плазменных неустойчивостей различных масштабов, которые возникают прежде всего в полярной и экваториальной областях. При этом среднемасштабные неоднородности, имеющие характерные размеры 1–50 км, создают условия для развития мелкомасштабных неустойчивостей. Последние приводят к явлению F-рассеяния, которое существенно влияет на точность работы спутниковых систем позиционирования, а также других космических и наземных радиоэлектронных систем.

Используемые для одновременного моделирования таких разномасштабных процессов разностные схемы должны иметь высокое разрешение. Кроме того, эти разностные схемы должны быть, с одной стороны, достаточно точными, а с другой стороны — монотонными. Причиной таких противоречивых требований является то, что неустойчивости усиливают погрешности разностных схем, особенно погрешности дисперсионного типа. Подобная раскачка погрешностей при численном решении обычно приводит к нефизическим результатам.

При численном решении трехмерных математических моделей ионосферной плазмы используется следующая схема расщепления по физическим процессам: первый шаг расщепления осуществляет продольный перенос, второй шаг расщепления осуществляет поперечный перенос. Исследуемая в работе конечно-разностная схема второго порядка точности приближенно решает уравнения поперечного пере- носа. Эта схема строится с помощью нелинейной процедуры монотонизации Z-схемы, которая является одной из схем второго порядка точности. При этой монотонизации используется нелинейная коррекция по так называемым «косым разностям». «Косые разности» содержат узлы расчетной сетки, относящиеся к разным слоям времени.

Исследования проводились для двух случаев. В первом случае компоненты вектора переноса были знакопостоянны, во втором — знакопеременны в области моделирования. Численно получены диссипативные и дисперсионные характеристики схемы для различных видов ограничивающих функций.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы.

1. Для разрывного начального профиля лучшие свойства показал ограничитель SuperBee.

2. Для непрерывного начального профиля при больших пространственных шагах лучше ограничитель SuperBee, а при малых шагах лучше ограничитель Koren.

3. Для гладкого начального профиля лучшие результаты показал ограничитель Koren.

4. Гладкий ограничитель F показал результаты, аналогичные Koren.

5. Ограничители разного типа оставляют дисперсионные ошибки, при этом зависимости дисперсионных ошибок от параметров схемы имеют большую вариабельность и сложным образом зависят от параметров этой схемы.

6. Во всех расчетах численно подтверждена монотонность рассматриваемой разностной схемы. Для одномерного уравнения численно подтверждено свойство неувеличения вариации для всех указанных функций-ограничителей.

7. Построенная разностная схема при шагах по времени, не превышающих шаг Куранта, является монотонной и показывает хорошие характеристики точности для решений разных типов. При превышении шага Куранта схема остается устойчивой, но становится непригодной для задач неустойчивости, поскольку условия монотонности перестают в этом случае выполняться.

The purpose of the paper is a research of a 2nd order finite difference scheme based on the Z-scheme. This research is the numerical solution of several two-dimensional differential equations simulated the incompressible medium convection.

One of real tasks for similar equations solution is the numerical simulating of strongly non-stationary midscale processes in the Earth ionosphere. Because convection processes in ionospheric plasma are controlled by magnetic field, the plasma incompressibility condition is supposed across the magnetic field. For the same reason, there can be rather high velocities of heat and mass convection along the magnetic field.

Ionospheric simulation relevant task is the research of plasma instability of various scales which started in polar and equatorial regions first of all. At the same time the mid-scale irregularities having characteristic sizes 1–50 km create conditions for development of the small-scale instabilities. The last lead to the F-spread phenomenon which significantly influences the accuracy of positioning satellite systems work and also other space and ground-based radio-electronic systems.

The difference schemes used for simultaneous simulating of such multi-scale processes must to have high resolution. Besides, these difference schemes must to be high resolution on the one hand and monotonic on the other hand. The fact that instabilities strengthen errors of difference schemes, especially they strengthen errors of dispersion type is the reason of such contradictory requirements. The similar swing of errors usually results to nonphysical results at the numerical solution.

At the numerical solution of three-dimensional mathematical models of ionospheric plasma are used the following scheme of splitting on physical processes: the first step of splitting carries out convection along, the second step of splitting carries out convection across. The 2nd order finite difference scheme investigated in the paper solves approximately convection across equations. This scheme is constructed by a monotonized nonlinear procedure on base of the Z-scheme which is one of 2nd order schemes. At this monotonized procedure a nonlinear correction with so-called “oblique differences” is used. “Oblique differences” contain the grid nodes relating to different layers of time.

The researches were conducted for two cases. In the simulating field components of the convection vector had: 1) the constant sign; 2) the variable sign. Dissipative and dispersive characteristics of the scheme for different types of the limiting functions are in number received.

The results of the numerical experiments allow to draw the following conclusions.

1. For the discontinuous initial profile the best properties were shown by the SuperBee limiter.

2. For the continuous initial profile with the big spatial steps the SuperBee limiter is better, and at the small steps the Koren limiter is better.

3. For the smooth initial profile the best results were shown by the Koren limiter.

4. The smooth F limiter showed the results similar to Koren limiter.

5. Limiters of different type leave dispersive errors, at the same time dependences of dispersive errors on the scheme parameters have big variability and depend on the scheme parameters difficulty.

6. The monotony of the considered differential scheme is in number confirmed in all calculations. The property of variation non-increase for all specified functions limiters is in number confirmed for the onedimensional equation.

7. The constructed differential scheme at the steps on time which are not exceeding the Courant's step is monotonous and shows good exactness characteristics for different types solutions. At excess of the Courant's step the scheme remains steady, but becomes unsuitable for instability problems as monotony conditions not satisfied in this case.

Предложен многомерный узловой метод характеристик, предназначенный для интегрирования гиперболических систем, базирующийся на расщеплении исходной системы уравнений на ряд одномерных подсистем, для расчета которых использован одномерный узловой метод характеристик. Приведены расчетные формулы, детально описана методика вычислений применительно к односкоростной модели гетерогенной среды при наличии сил гравитации. Представленный метод применим и к другим гиперболическим системам уравнений. С помощью этого явного, неконсервативного, первого порядка точности метода рассчитан ряд тестовых задач и показано, что в рамках предлагаемого подхода за счет привлечения дополнительных точек в шаблон схемы возможно проведение вычислений с числами Куранта, превышающими единицу. Так, в расчете обтекания трехмерной ступеньки потоком гетерогенной смеси число Куранта равнялось 1.2. В случае применения метода Годунова при решении этой же задачи макси- мальное число Куранта, при котором возможен устойчивый счет, имеет значение 0.13 × 10⁻². Еще одна особенность многомерного метода характеристик связана со слабой зависимостью временного шага от размерности задачи, что существенно расширяет возможности этого подхода. С использованием этого метода рассчитан ряд задач, которые ранее считались «тяжелыми» для таких численных методов, как методы Годунова, Куранта – Изаксона – Рис, что связано с тем, что в нем наиболее полно использованы преимущества характеристического представления интегрируемой системы уравнений.

Disclosed is a multidimensional nodal method of characteristics, designed to integrate hyperbolic systems, based on splitting the initial system of equations into a number of one-dimensional subsystems, for which a onedimensional nodal method of characteristics is used. Calculation formulas are given, the calculation method is described in detail in relation to a single-speed model of a heterogeneous medium in the presence of gravity forces. The presented method is applicable to other hyperbolic systems of equations. Using this explicit, nonconservative, first-order accuracy of the method, a number of test tasks are calculated and it is shown that in the framework of the proposed approach, by attracting additional points in the circuit template, it is possible to carry out calculations with Courant numbers exceeding one. So, in the calculation of the flow of the threedimensional step by the flow of a heterogeneous mixture, the Courant number was 1.2. If Godunov’s method is used to solve the same problem, the maximum number of Courant, at which a stable account is possible, is 0.13 × 10^-2. Another feature of the multidimensional method of characteristics is the weak dependence of the time step on the dimension of the problem, which significantly expands the possibilities of this approach. Using this method, a number of problems were calculated that were previously considered “heavy” for the numerical methods of Godunov, Courant – Isaacson – Rees, which is due to the fact that it most fully uses the advantages of the characteristic representation of the system of equations.

В работе под гравитационной системой понимается множество точечных тел, взаимодействующих согласно закону притяжения Ньютона и имеющих отрицательное значение полной энергии. Обсуждается вопрос об устойчивости (о неустойчивости) гравитационной системы общего положения путем прямого вычислительного эксперимента. Под гравитационной системой общего положения понимается система, у которой массы, начальные позиции и скорости тел выбираются случайными из заданных диапазонов. Для проведения вычислительного эксперимента разработан новый метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений на больших интервалах времени. Предложенный метод позволил, с одной стороны, обеспечить выполнение всех законов сохранения путем подходящей коррекции решений, с другой — использовать стандартные методы численного решения систем дифференциальных уравнений невысокого порядка аппроксимации. В рамках указанного метода траектория движения гравитационной системы в фазовом пространстве собирается из частей, длительность каждой из которых может быть макроскопической. Построенная траектория, вообще говоря, является разрывной, а точки стыковки отдельных кусков траектории выступают как точки ветвления. В связи с последним обстоятельством предложенный метод отчасти можно отнести к классу методов Монте-Карло. Общий вывод проведенной серии вычислительных экспериментов показал, что гравитационные системы общего положения с числом тел 3 и более, вообще говоря, неустойчивы. В рамках предложенного метода специально рассмотрены частные случаи равенства нулю момента импульса гравитационной системы с числом тел 3 и более, а также задача движения двух тел. Отдельно рассмотрен случай численного моделирования динамики во времени Солнечной системы. С позиций вычислительного эксперимента на базе аналитических методов, а также прямых численных методов высокого порядка аппроксимации (10 и выше) устойчивость Солнечной системы ранее продемонстрирована на интервале в пять и более миллиардов лет. В силу ограничений на имеющиеся вычислительные ресурсы устойчивость динамики планет Солнечной системы в рамках использования предлагаемого метода удалось подтвердить на срок десять миллионов лет. С помощью вычислительного эксперимента рассмотрен также один из возможных сценариев распада Солнечной системы.

In this paper, a gravitational system is understood as a set of point bodies that interact according to Newton's law of attraction and have a negative value of the total energy. The question of the stability (nonstability) of a gravitational system of general position is discussed by direct computational experiment. A gravitational system of general position is a system in which the masses, initial positions, and velocities of bodies are chosen randomly from given ranges. A new method for the numerical solution of ordinary differential equations at large time intervals has been developed for the computational experiment. The proposed method allowed, on the one hand, to ensure the fulfillment of all conservation laws by a suitable correction of solutions, on the other hand, to use standard methods for the numerical solution of systems of differential equations of low approximation order. Within the framework of this method, the trajectory of a gravitational system in phase space is assembled from parts, the duration of each of which can be macroscopic. The constructed trajectory, generally speaking, is discontinuous, and the points of joining of individual pieces of the trajectory act as branch points. In connection with the latter circumstance, the proposed method, in part, can be attributed to the class of Monte Carlo methods. The general conclusion of a series of computational experiments has shown that gravitational systems of general position with a number of bodies of 3 or more, generally speaking, are unstable. In the framework of the proposed method, special cases of zero-equal angular momentum of a gravitational system with a number of bodies of 3 or more, as well as the problem of motion of two bodies, are specially considered. The case of numerical modeling of the dynamics of the solar system in time is considered separately. From the standpoint of computational experiments based on analytical methods, as well as direct numerical methods of high-order approximation (10 and higher), the stability of the solar system was previously demonstrated at an interval of five billion years or more. Due to the limitations on the available computational resources, the stability of the dynamics of the planets of the solar system within the framework of the proposed method was confirmed for a period of ten million years. With the help of a computational experiment, one of the possible scenarios for the disintegration of the solar systems is also considered.

В работе изучается многомерное уравнение конвекции-диффузии с переменными коэффициентами и неклассическим граничным условием. Рассмотрены два случая: в первом случае первое граничное условие содержит интеграл от неизвестной функции по переменной интегрирования $x_\alpha^{}$, а во втором случае — интеграл от неизвестной функции по переменной интегрирования $\tau$, обозначающий эффект памяти. Подобные задачи возникают при изучении переноса примеси вдоль русла рек. Для приближенного решения поставленной задачи предложена эффективная в плане экономичности, устойчивости и сходимости разностная схема — локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского с порядком аппроксимации~$O(h^2+\tau)$. Ввиду того что уравнение содержит первую производную от неизвестной функции по пространственной переменной $x_\alpha^{}$, для повышения порядка точности локально-одномерной схемы используется известный метод, предложенный А.А. Самарским при построении монотонной схемы второго порядка точности по $h_\alpha^{}$ для уравнения параболического типа общего вида, содержащего односторонние производные, учитывающие знак $r_\alpha^{}(x,\,t)$. Для повышения до второго порядка точности по $h_\alpha^{}$ краевых условий третьего рода воспользовались уравнением в предположении, что оно справедливо и на границах. Исследование единственности и устойчивости решения проводилось с помощью метода энергетических неравенств. Получены априорные оценки решения разностной задачи в $L_2^{}$-норме, откуда следуют единственность решения, непрерывная и равномерная зависимость решения разностной задачи от входных данных, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи в $L_2^{}$-норме со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения, проведены численные расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные в работе теоретические результаты.

The paper studies a multidimensional convection-diffusion equation with variable coefficients and a nonclassical boundary condition. Two cases are considered: in the first case, the first boundary condition contains the integral of the unknown function with respect to the integration variable $x_\alpha^{}$, and in the second case, the integral of the unknown function with respect to the integration variable $\tau$, denoting the memory effect. Similar problems arise when studying the transport of impurities along the riverbed. For an approximate solution of the problem posed, a locally one-dimensional difference scheme by A.A. Samarskii with order of approximation $O(h^2+\tau)$. In view of the fact that the equation contains the first derivative of the unknown function with respect to the spatial variable $x_\alpha^{}$, the wellknown method proposed by A.A. Samarskii in constructing a monotonic scheme of the second order of accuracy in $h_\alpha^{}$ for a general parabolic type equation containing one-sided derivatives taking into account the sign of $r_\alpha^{}(x,t)$. To increase the boundary conditions of the third kind to the second order of accuracy in $h_\alpha^{}$, we used the equation, on the assumption that it is also valid at the boundaries. The study of the uniqueness and stability of the solution was carried out using the method of energy inequalities. A priori estimates are obtained for the solution of the difference problem in the $L_2^{}$-norm, which implies the uniqueness of the solution, the continuous and uniform dependence of the solution of the difference problem on the input data, and the convergence of the solution of the locally onedimensional difference scheme to the solution of the original differential problem in the $L_2^{}$-norm with speed equal to the order of approximation of the difference scheme. For a two-dimensional problem, a numerical solution algorithm is constructed.

Традиционные методы решения задачи коммивояжера не являются эффективными для задач высокой размерности из-за их высокой вычислительной сложности. Одним из эффективных способов решения этой проблемы является декомпозиционный подход, который включает в себя три основных этапа: кластеризацию вершин, решение подзадач внутри каждого кластера и последующее объединение полученных решений в итоговое. В данной статье основное внимание уделяется третьему этапу — объединению циклов решений подзадач, поскольку этому этапу не всегда уделяется должное внимание, что приводит к менее точному итоговому решению. В статье предлагается новый модифицированный алгоритм Сигала для объединения циклов. Для оценки его эффективности проводится сравнение с двумя алгоритмами объединения циклов: метод соединения средних точек ребер и алгоритм на основе близости центроидов кластеров. Исследуется зависимость качества решения подзадач на алгоритмы объединения циклов. Модифицированный алгоритм Сигала выполняет попарное объединение кластеров, минимизируя количество пересечений и общее расстояние. Метод центроидов ориентирован на соединение кластеров на основе близости центроидов, а алгоритм с использованием средних точек оценивает расстояние между средними точками ребер. Также были рассмотрены два типа кластеризации: алгоритмы k-means и affinity propagation. Для проверки эффективности предложенного алгоритма были проведены численные эксперименты на наборе данных TSPLIB с различным количеством городов. В исследовании анализируются ошибки, вызванные порядком объединения кластеров, качеством решения подзадач и количеством кластеров. Эксперименты показали, что модифицированный алгоритм Сигала демонстрирует наименьшую медиану итогового расстояния и наиболее устойчивые результаты по сравнению с другими методами. Результаты указывают на большую устойчивость качества конечного решения, полученным модифицированным алгоритмом Сигала, от последовательности объединения кластеров. Повышение качества решения подзадачи обычно приводит к линейному улучшению конечного решения, но используемый алгоритм объединения редко влияет на степень этого улучшения.

Traditional methods for solving the traveling salesman problem are not effective for high-dimensional problems due to their high computational complexity. One of the most effective ways to solve this problem is the decomposition approach, which includes three main stages: clustering vertices, solving subproblems within each cluster and then merging the obtained solutions into a final solution. This article focuses on the third stage — merging cycles of solving subproblems — since this stage is not always given sufficient attention, which leads to less accurate final solutions of the problem. The paper proposes a new modified Sigal algorithm for merging cycles. To evaluate its effectiveness, it is compared with two algorithms for merging cycles — the method of connecting midpoints of edges and an algorithm based on closeness of cluster centroids. The dependence of quality of solving subproblems on algorithms used for merging cycles is investigated. Sigal’s modified algorithm performs pairwise clustering and minimizes total distance. The centroid method focuses on connecting clusters based on closeness of centroids, and an algorithm using mid-points estimates the distance between mid-points of edges. Two types of clustering — k-means and affinity propagation — were also considered. Numerical experiments were performed using the TSPLIB dataset with different numbers of cities and topologies to test effectiveness of proposed algorithm. The study analyzes errors caused by the order in which clusters were merged, the quality of solving subtasks and number of clusters. Experiments show that the modified Sigal algorithm has the smallest median final distance and the most stable results compared to other methods. Results indicate that the quality of the final solution obtained using the modified Sigal algorithm is more stable depending on the sequence of merging clusters. Improving the quality of solving subproblems usually results in linear improvement of the final solution, but the pooling algorithm rarely affects the degree of this improvement.

Возросший потенциал средств подавления сигналов систем спутниковой навигации, обеспечивающих наибольшую точность позиционирования подвижных объектов, делает чрезвычайно актуальной разработку альтернативных навигационных систем, сравнимых с ними по точности, но при этом автономных. Одним из наиболее эффективных таких подходов является интеграция инерциальных и оптических навигационных систем (НС) как наиболее устойчивых к помехам искусственного происхождения. В классе данных НС можно выделить системы, использующие при обработке оптического потока метод вычисления поля скоростей, позволяющий определять векторы линейной и угловой скоростей объекта при отсутствии карт местности и опорных точек. Но серьезным недостатком этого метода является большой объем вычислительных затрат при определении поля скоростей (параметров оптического потока), трудно реализуемый на борту объекта. В связи с этим в статье рассмотрен подход, позволяющий для объектов, движущихся по известным (программным) траекториям, построить сильносвязанную схему автономной инерциально-оптической навигации, использующую навигационный алгоритм, легко реализуемый в бортовых вычислителях за счет найденной возможности оценки навигационного вектора без предварительного вычисления параметров оптического потока, а также за счет использования функциональных зависимостей навигационных переменных, возникающих на аналитических (ортодромических) траекториях. Для иллюстрации общности решения исследованы случаи жесткого крепления видеокамеры на объекте и ее двухстепенной стабилизации. Навигационный алгоритм, обеспечивающий стохастическую оценку полного вектора параметров линейного и углового движения по измерениям интегрированной сильносвязанной инерциально-оптической НС, построен на основе расширенного фильтра Калмана для коррелированных шумов объекта и наблюдателя. Проведен численный эксперимент, иллюстрирующий эффективность предложенного подхода.

The increased potential for jamming satellite navigation signals, which provide the highest positioning accuracy for moving objects, makes the development of alternative navigation systems comparable in accuracy but autonomous extremely important. One of the most effective such approaches is the integration of inertial and optical navigation systems (NS), as they are more resistant to artificial interference. Among NS data, one can distinguish systems that use a velocity field calculation method when processing optical flow, allowing the determination of the linear and angular velocity vectors of an object in the absence of terrain maps and reference points. However, a serious drawback of this method is the high computational cost of determining the velocity field (optical flow parameters), which is difficult to implement onboard an object. In this regard, the article considers an approach that allows for constructing a tightly coupled autonomous inertial-optical navigation scheme for objects moving along known (programmed) trajectories. This scheme utilizes a navigation algorithm that is easily implemented in onboard computers due to the discovered possibility of estimating the navigation vector without preliminary calculation of optical flow parameters, as well as by utilizing functional dependencies of navigation variables arising on analytical (orthodromic) trajectories. To illustrate the generality of the solution, cases of a rigidly mounted video camera on the object and its two-degree stabilization are studied. The navigation algorithm, providing a stochastic estimate of the full vector of linear and angular motion parameters based on measurements of an integrated tightly coupled inertial-optical NS, is built on the basis of an extended Kalman filter for correlated noise of the object and the observer. A numerical experiment illustrating the effectiveness of the proposed approach is conducted.

В работе исследуется устойчивость разностных схем, применяемых в методе решеточных уравнений Больцмана для моделирования диффузии в одномерном случае для решеток D1Q2 и D1Q3. Разностные схемы строятся для системы линейных кинетических уравнений Бхатнагара–Гросса–Крука (БГК) относительно одночастичных функций распределения. Проведен краткий обзор работ других авторов. С использованием мультискейлингового разложения методом Чепмена–Энскога показано, что система уравнений БГК при малых числах Кнудсена сводится к линейному уравнению диффузии. Решение уравнения диффузии находится как сумма функций распределения. С использованием метода бегущих волн показана асимптотическая устойчивость решения задачи Коши для системы кинетических уравнений типа БГК во всем диапазоне времени релаксации. С помощью метода дифференциального приближения показана устойчивость разностной схемы для случая решетки D1Q2. Условие устойчивости получено в виде неравенства на значения времени релаксации. Исследуется возможность сведения анализа устойчивости разностных схем для системы уравнений БГК к анализу схем специального вида для уравнения диффузии в случае решетки D1Q3. Численное исследование устойчивости проводилось с помощью метода фон Неймана. В ходе анализа исследовались величины модулей собственных значений матрицы перехода в пространстве параметров разностной схемы. Показано, что в широком диапазоне изменения параметров модули собственных значений не превосходят единицы, что говорит об устойчивости схемы по начальным условиям.

Stability of finite difference schemes of lattice Boltzmann method for modelling of 1D diffusion for cases of D1Q2 and D1Q3 lattices is investigated. Finite difference schemes are constructed for the system of linear Bhatnagar–Gross–Krook (BGK) kinetic equations on single particle distribution functions. Brief review of articles of other authors is realized. With application of multiscale expansion by Chapman–Enskog method it is demonstrated that system of BGK kinetic equations at small Knudsen number is transformated to scalar linear diffusion equation. The solution of linear diffusion equation is obtained as a sum of single particle distribution functions. The method of linear travelling wave propagation is used to show the unconditional asymptotic stability of the solution of Cauchy problem for the system of BGK equations at all values of relaxation time. Stability of the scheme for D1Q2 lattice is demonstrated by the method of differential approximation. Stability condition is written in form of the inequality on values of relaxation time. The possibility of the reduction of stability analysis of the schemes for BGK equations to the analysis of special schemes for diffusion equation for the case of D1Q3 lattice is investigated. Numerical stability investigation is realized by von Neumann method. Absolute values of the eigenvalues of the transition matrix are investigated in parameter space of the schemes. It is demonstrated that in wide range of the parameters changing the values of modulas of eigenvalues are lower than unity, so the scheme is stable with respect to initial conditions.

Работа посвящена проблеме анализа близости популяционной системы к опасным границам, при пересечении которых в системе разрушается устойчивое сосуществование взаимодействующих популяций. В качестве причины такого разрушения рассматриваются случайные возмущения, неизбежно присутствующие в любой живой системе. Это исследование проводится на примере известной модели взаимодействия популяций хищника и жертвы, учитывающей как стабилизирующий фактор конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы, так и дестабилизирующий фактор насыщения хищника. Для описания насыщения хищника используется трофическая функция Холлинга второго типа. Динамика системы исследуется в зависимости от коэффициента, характеризующего насыщение хищника, и коэффициента конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы. В работе дается параметрическое описание возможных режимов динамики детерминированной модели, исследуются локальные и глобальные бифуркации и выделяются зоны устойчивого сосуществования популяций в равновесном и осцилляционном режимах. Интересной математической особенностью данной модели, впервые рассмотренной Базыкиным, является глобальная бифуркация рождения цикла из петли сепаратрисы. В работе исследуется воздействие шума на равновесный и осцилляционный режимы сосуществования популяций хищника и жертвы. Показано, что увеличение интенсивности случайных возмущений может привести к значительным деформациям этих режимов вплоть до их разрушения. Целью данной работы является разработка конструктивного вероятностного критерия близости этой стохастической системы к опасным границам. Основой предлагаемого математического подхода является техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных областей — доверительных эллипсов, окружающих устойчивое равновесие, и доверительных полос вокруг устойчивого цикла. Размеры доверительных областей пропорциональны интенсивности шума и стохастической чувствительности исходных детерминированных аттракторов. Геометрическим критерием выхода популяционной системы из режима устойчивого сосуществования является пересечение доверительных областей и соответствующих сепаратрис детерминированной модели. Эффективность данного аналитического подхода подтверждается хорошим соответствием теоретических оценок и результатов прямого численного моделирования.

The paper is devoted to the analysis of the proximity of the population system to dangerous boundaries. An intersection of these boundaries results in the collapse of the stable coexistence of interacting populations. As a reason of such destruction one can consider random perturbations inevitably presented in any living system. This study is carried out on the example of the well-known model of interaction between predator and prey populations, taking into account both a stabilizing factor of the competition of predators for another than prey resources, and also a destabilizing saturation factor for predators. To describe the saturation of predators, we use the second type Holling trophic function. The dynamics of the system is studied as a function of the predator saturation, and the coefficient of predator competition for resources other than prey. The paper presents a parametric description of the possible dynamic regimes of the deterministic model. Here, local and global bifurcations are studied, and areas of sustainable coexistence of populations in equilibrium and the oscillation modes are described. An interesting feature of this mathematical model, firstly considered by Bazykin, is a global bifurcation of the birth of limit cycle from the separatrix loop. We study the effects of noise on the equilibrium and oscillatory regimes of coexistence of predator and prey populations. It is shown that an increase of the intensity of random disturbances can lead to significant deformations of these regimes right up to their destruction. The aim of this work is to develop a constructive probabilistic criterion for the proximity of the population stochastic system to the dangerous boundaries. The proposed approach is based on the mathematical technique of stochastic sensitivity functions, and the method of confidence domains. In the case of a stable equilibrium, this confidence domain is an ellipse. For the stable cycle, this domain is a confidence band. The size of the confidence domain is proportional to the intensity of the noise and stochastic sensitivity of the initial deterministic attractor. A geometric criterion of the exit of the population system from sustainable coexistence mode is the intersection of the confidence domain and the corresponding separatrix of the unforced deterministic model. An effectiveness of this analytical approach is confirmed by the good agreement of theoretical estimates and results of direct numerical simulations.

Схемы WENO (взвешенные, существенно не осциллирующие схемы) в настоящее время имеют достаточно обширную область применения для аппроксимации разрывных решений в уравнениях в частных производных. Данные схемы применялись для прямого численного моделирования и моделирования динамики больших вихрей в задачах газовой динамики, задачах МГД и даже для задач нейтронной кинетики. Данная работа посвящена уточнению некоторых характеристик схем WENO и численному моделированию характерных задач, которые позволяют сделать выводы обоб ласти применимости данных схем. Первая часть работы содержала результаты по доказательству свойств аппроксимации, устойчивости и сходимости схем WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 и WENO13. Во второй части работы проводится модифицированный волновой анализ, позволяющий сделать вывод о дисперсионных и диссипативных свойствах схем. Далее, проводится численное моделирование ряда характерных задач для уравнений гиперболического типа: уравнений переноса (одномерное и двухмерное), уравнения Хопфа, уравнения Бюргерса (с малой диссипацией) и уравнения динамики невязкого газа (одномерное и двухмерное). Для каждой из задач, подразумевающих гладкое решение, приведено практическое вычисление порядка аппроксимации с помощью метода Рунге. Во всех задачах проверяются выводы, сделанные в первой части работы по влиянию шага по времени на нелинейные свойства схем. В частности, для уравнений переноса разрывной функции и уравнений Хопфа показано, что невыполнение указанных рекомендаций ведет вначале к росту вариации решения, а затем включается диссипативный нелинейный механизм схемы и аппроксимация падает. Практически подтверждены выводы первой части по условиям устойчивости. Для одномерного уравнения Бюргерса проведено моделирование затухания случайно распределенных начальных условий в периодической области и выполнено сопоставление со спектральным методом. Делается вывод о применимости схем WENO7–WENO13 для прямого численного моделирования турбулентности. В конце демонстрируются возможности схем на начально-краевых задачах для уравнений динамики невязкого газа: неустойчивость Рэлея–Тейлора и отражение ударной волны от клина с образованием сложной конфигурации ударных волн и разрывов.

WENO schemes (weighted, essentially non oscillating) are currently having a wide range of applications as approximate high order schemes for discontinuous solutions of partial differential equations. These schemes are used for direct numerical simulation (DNS) and large eddy simmulation in the gas dynamic problems, problems for DNS in MHD and even neutron kinetics. This work is dedicated to clarify some characteristics of WENO schemes and numerical simulation of specific tasks. Results of the simulations can be used to clarify the field of application of these schemes. The first part of the work contained proofs of the approximation properties, stability and convergence of WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 and WENO13 schemes. In the second part of the work the modified wave number analysis is conducted that allows to conclude the dispersion and dissipative properties of schemes. Further, a numerical simulation of a number of specific problems for hyperbolic equations is conducted, namely for advection equations (one-dimensional and two-dimensional), Hopf equation, Burgers equation (with low dissipation) and equations of non viscous gas dynamics (onedimensional and two-dimensional). For each problem that is implying a smooth solution, the practical calculation of the order of approximation via Runge method is performed. The influence of a time step on nonlinear properties of the schemes is analyzed experimentally in all problems and cross checked with the first part of the paper. In particular, the advection equations of a discontinuous function and Hopf equations show that the failure of the recommendations from the first part of the paper leads first to an increase in total variation of the solution and then the approximation is decreased by the non-linear dissipative mechanics of the schemes. Dissipation of randomly distributed initial conditions in a periodic domain for one-dimensional Burgers equation is conducted and a comparison with the spectral method is performed. It is concluded that the WENO7–WENO13 schemes are suitable for direct numerical simulation of turbulence. At the end we demonstrate the possibility of the schemes to be used in solution of initial-boundary value problems for equations of non viscous gas dynamics: Rayleigh–Taylor instability and the reflection of the shock wave from a wedge with the formation a complex configuration of shock waves and discontinuities.

В работе рассмотрена система линейных кинетических уравнений с релаксационным членом типа Бхатнагара–Гросса–Крука для моделирования линейных диффузионных процессов с помощью метода решеточных уравнений Больцмана. Коэффициенты системы зависят от дискретных скоростей, определяемых точками шаблона, построенного в пространстве скоростей частиц. Система может рассматриваться как альтернативная математическая модель для описания диффузионного процесса. Рассматривается несколько случаев базовых шаблонов в пространстве скоростей частиц. Рассмотрены случаи зависящих от параметра коэффициентов. С использованием асимптотического метода Чепмена–Энскога показано, что система может быть сведена к линейному уравнению диффузии, а также получено выражение для коэффициента диффузии. Как результат анализа полученного выражения показано, что решения, получаемые по решеточным уравнениям Больцмана, обладают численной диффузией. Анализ устойчивости проводится посредством исследования волновых мод, допускаемых решениями гиперболической системы уравнений. Для случаев других шаблонов предложен алгоритм численного исследования устойчивости. В результате расчетов показано, что решения системы являются устойчивыми в широком диапазоне входных параметров. Показан достаточный характер физически допустимого условия положительности времени релаксации как условия устойчивости. Посредством аналитических, а также численных исследований показано, что решения в виде волновых мод обладают дисперсией, не типичной для решений линейного уравнения диффузии. Но при этом свойственные дисперсии искажения волнового пакета будут демпфироваться из-за наличия асимптотической устойчивости и в целом поведение решения близко к решению уравнения диффузии. Разностные схемы для построенной системы, помимо моделирования диффузии, могут быть использованы при решении стационарных задач методом установления и в методе расщепления для расчетов течений вязкой жидкости. Полученные результаты могут оказаться полезными при сравнении друг с другом теоретических свойств различных разностных схем метода решеточных уравнений Больцмана для численного моделирования диффузии.

The system of linear hyperbolic kinetic equations with the relaxation term of Bhatnagar–Gross–Krook type for modelling of linear diffusion processes by the lattice Boltzmann method is considered. The coefficients of the equations depend on the discrete velocities from the pattern in velocity space. The system may be considered as an alternative mathematical model of the linear diffusion process. The cases of widely-used patterns on speed variables are considered. The case of parametric coefficients takes into account. By application of the method of Chapman–Enskog asymptotic expansion it is obtained, that the system may be reduced to the linear diffusion equation. The expression of the diffusion coefficient is obtained. As a result of the analysis of this expression, the existence of numerical diffusion in solutions obtained by application of lattice Boltzmann equations is demonstrated. Stability analysis is based on the investigation of wave modes defined by the solutions of hyperbolic system. In the cases of some one-dimensional patterns stability analysis may be realized analytically. In other cases the algorithm of numerical stability investigation is proposed. As a result of the numerical investigation stability of the solutions is shown for a wide range of input parameters. The sufficiency of the positivity of the relaxation parameter for the stability of solutions is demonstrated. The dispersion of the solutions, which is not realized for a linear diffusion equation, is demonstrated analytically and numerically for a wide range of the parameters. But the dispersive wave modes can be damped as an asymptotically stable solutions and the behavior of the solution is similar to the solution of linear diffusion equation. Numerical schemes, obtained from the proposed systems by various discretization techniques may be considered as a tool for computer modelling of diffusion processes, or as a solver for stationary problems and in applications of the splitting lattice Boltzmann method. Obtained results may be used for the comparison of the theoretical properties of the difference schemes of the lattice Boltzmann method for modelling of linear diffusion.