All issues

В работе предложена методика упрощения математической модели химической реакции за счет сокращения числа стадий схемы реакции, основанная на анализе чувствительности целевой функции к изменению параметров модели. Функционал характеризует меру близости расчетных значений по исходной кинетической схеме реакции и схеме, полученной возмущением ее параметров. Преимуществом данной методики является возможность анализа сложных кинетических схем и редуцирования кинетических моделей до размеров, приемлемых с точки зрения точности описания и простоты практического использования. В функционал можно включить результаты вычислительных экспериментов при различных условиях проведения реакции и таким образом получить компактную схему, согласующуюся с детальной схемой для требуемого диапазона условий. Анализ чувствительности функционала модели позволяет выявить те параметры, которые обеспечивают наибольший (или наименьший) вклад на результат моделирования процесса. Математическая модель может содержать параметры, изменение значений которых не влияет на качественное и количественное описание процесса. Вклад таких параметров в значение функционала не будет иметь большого значения. Поэтому стадии, которые не служат для моделирования кинетических кривых веществ, можно исключить из рассмотрения. С применением данной методики была исследована кинетическая схема реакции окисления формальдегида, детальный механизм которой включает в себя 25 стадий и 15 веществ. На основании локального и глобального анализа чувствительности определены наиболее значимые стадии процесса, влияющие на общую динамику изменения концентраций целевых веществ реакции. Получена редуцированная схема модельной реакции окисления формальдегида, которая так же описывает поведение основных веществ реакции, как и детальная схема, но имеет значительно меньшее число стадий реакций. Приведены результаты сравнительного анализа моделирования реакции окисления формальдегида по детальной и редуцированной схемам. В статье приведены вычислительные аспекты решения задач химической кинетики глобальным методом Соболя И.М. на примере данной реакции. Приведены результаты сравнения локальных, глобальных и полных глобальных коэффициентов чувствительности.

The technique of simplification of mathematical model of a chemical reaction by reducing the number of steps of the reaction scheme, based on an analysis of sensitivity to changes in the objective function of the model parameters, is proposed. The reduced scheme of model reaction of formaldehyde oxidation is received. Functional characterizes the measure of proximity to the calculated values for the initial kinetic reaction scheme and the scheme resulting disturbance of its parameters. The advantage of this technique is the ability to analyze complex kinetic schemes and reduction of kinetic models to a size suitable for practical use. The results of computational experiments under different reaction conditions can be included in the functional and thus to receive the reduce scheme, which is consistent the detailed scheme for the desired range of conditions. Sensitivity analysis of the functional model allows to identify those parameters, which provide the largest (or smallest) the contribution to the result of the process simulation. The mathematical model can contain parameters, which change of values do not affect the qualitative and quantitative description of the process. The contribution of these parameters in the functional value won’t be of great importance. Thus it can be eliminated from consideration, which do not serve for modeling kinetic curves substances. The kinetic scheme of formaldehyde oxidation, the detailed mechanism which includes 25 stages and 15 substances, were investigated using this method. On the basis of the local and global sensitivity analysis, the most important stage of the process that affect the overall dynamics of the target concentrations of the reaction. The reduced scheme of model reaction of formaldehyde oxidation is received. This scheme also describes the behavior of the main substances, as detailed scheme, but has a much smaller number of reaction stages. The results of the comparative analysis of modeling of formaldehyde oxidation on detailed and reduced schemes are given. Computational aspects of the problems of chemical kinetics by Sobol’ global method an example of this reaction are specified. The comparison results are local, global and total sensitivity indices are given.

Рассматривается классическая для нелинейной динамики модель «брюсселятор», дополненная третьей переменной, играющей роль быстро диффундирующего ингибитора. Модель исследуется в одномерном случае в области параметров, где проявляются два типа диффузионной неустойчивости однородного стационарного состояния системы: волновая неустойчивость, приводящая к самопроизвольному формированию автоволн, и неустойчивость Тьюринга, приводящая к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур, или структур Тьюринга. Показано, что благодаря субкритическому характеру бифуркации Тьюринга взаимодействие двух неустойчивостей в данной системе приводит к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур еще до прохождения бифуркации Тьюринга. В ответ на различные случайные шумовые возмущения пространственно-однородного стационарного состояния в исследуемой параметрической области в окрестности точки двойной бифуркации в системе могут устанавливаться различные режимы: как чистые, состоящие только из стационарных или только автоволновых диссипативных структур, так и смешанные, при которых разные режимы проявляются в разных участках расчетного пространства. В рассматриваемой параметрической области система является мультистабильной и проявляет высокую чувствительность к начальным шумовым условиям, что приводит к размытию границ между качественно разными режимами. При этом даже в зоне доминирования смешанных режимов с преобладанием структур Тьюринга значительную вероятность имеет установление чистого автоволнового режима. В случае установившихся смешанных режимов достаточно сильное локальное возмущение в участке расчетного пространства, где проявляется автоволновой режим, может инициировать локальное формирование новых стационарных диссипативных структур. Локальное возмущение стационарного однородного состояния в исследуемой области параметрического пространства приводит к качественно схожей карте устоявшихся режимов, при этом зона доминирования чистых автоволновых режимов расширяется с увеличением амплитуды локального возмущения. В двумерном случае в системе не устанавливаются смешанные режимы. При эволюции системы в случае появления локальных структур Тьюринга под воздействием автоволнового режима со временем они заполняют все расчетное пространство.

A classical for nonlinear dynamics model, Brusselator, is considered, being augmented by addition of a third variable, which plays the role of a fast-diffusing inhibitor. The model is investigated in one-dimensional case in the parametric domain, where two types of diffusive instabilities of system’s homogeneous stationary state are manifested: wave instability, which leads to spontaneous formation of autowaves, and Turing instability, which leads to spontaneous formation of stationary dissipative structures, or Turing structures. It is shown that, due to the subcritical nature of Turing bifurcation, the interaction of two instabilities in this system results in spontaneous formation of stationary dissipative structures already before the passage of Turing bifurcation. In response to different perturbations of spatially uniform stationary state, different stable regimes are manifested in the vicinity of the double bifurcation point in the parametric region under study: both pure regimes, which consist of either stationary or autowave dissipative structures; and mixed regimes, in which different modes dominate in different areas of the computational space. In the considered region of the parametric space, the system is multistable and exhibits high sensitivity to initial noise conditions, which leads to blurring of the boundaries between qualitatively different regimes in the parametric region. At that, even in the area of dominance of mixed modes with prevalence of Turing structures, the establishment of a pure autowave regime has significant probability. In the case of stable mixed regimes, a sufficiently strong local perturbation in the area of the computational space, where autowave mode is manifested, can initiate local formation of new stationary dissipative structures. Local perturbation of the stationary homogeneous state in the parametric region under investidation leads to a qualitatively similar map of established modes, the zone of dominance of pure autowave regimes being expanded with the increase of local perturbation amplitude. In two-dimensional case, mixed regimes turn out to be only transient — upon the appearance of localized Turing structures under the influence of wave regime, they eventually occupy all available space.

В работе исследуется поиск неэффективных ребер в модели стабильной динамики Нестрова–де Пальмы (2003). Для этой цели мы доказываем несколько общих теорем о свойствах равновесия, в том числе о том, что условие равенства стоимостей для всех используемых маршрутов может быть распространено на все пути, задействующие ребра из равновесных маршрутов. В работе показывается, что стандартная постановка задачи о поиске ребер, удаление которых приводит к уменьшению стоимости проезда для всех участников, не имеет практического смысла, так как одно и то же ребро может быть как эффективным, так и неэффективным (в зависимости от загрузки сети). В работе мы вводим понятие неэффективного ребра, опираясь на чувствительность суммарных издержек водителей к издержкам на ребре. В работе приводятся алгоритм поиска неэффективных ребер и результаты численных экспериментов для транспортной сети города Анахайм.

The work investigates the search for inefficient edges in the model of stable dynamics by Nestrov – de Palma (2003). For this purpose, we prove several general theorems about equilibrium properties, including the condition of equal costs for all used routes that can be extended to all paths involving edges from equilibrium routes. The study demonstrates that the standard problem formulation of finding edges whose removal reduces the cost of travel for all participants has no practical significance because the same edge can be both efficient and inefficient depending on the network’s load. In the work, we introduce the concept of an inefficient edge based on the sensitivity of total driver costs to the costs on the edge. The paper provides an algorithm for finding inefficient edges and presents the results of numerical experiments for the transportation network of the city of Anaheim.

Работа посвящена проблеме анализа близости популяционной системы к опасным границам, при пересечении которых в системе разрушается устойчивое сосуществование взаимодействующих популяций. В качестве причины такого разрушения рассматриваются случайные возмущения, неизбежно присутствующие в любой живой системе. Это исследование проводится на примере известной модели взаимодействия популяций хищника и жертвы, учитывающей как стабилизирующий фактор конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы, так и дестабилизирующий фактор насыщения хищника. Для описания насыщения хищника используется трофическая функция Холлинга второго типа. Динамика системы исследуется в зависимости от коэффициента, характеризующего насыщение хищника, и коэффициента конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы. В работе дается параметрическое описание возможных режимов динамики детерминированной модели, исследуются локальные и глобальные бифуркации и выделяются зоны устойчивого сосуществования популяций в равновесном и осцилляционном режимах. Интересной математической особенностью данной модели, впервые рассмотренной Базыкиным, является глобальная бифуркация рождения цикла из петли сепаратрисы. В работе исследуется воздействие шума на равновесный и осцилляционный режимы сосуществования популяций хищника и жертвы. Показано, что увеличение интенсивности случайных возмущений может привести к значительным деформациям этих режимов вплоть до их разрушения. Целью данной работы является разработка конструктивного вероятностного критерия близости этой стохастической системы к опасным границам. Основой предлагаемого математического подхода является техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных областей — доверительных эллипсов, окружающих устойчивое равновесие, и доверительных полос вокруг устойчивого цикла. Размеры доверительных областей пропорциональны интенсивности шума и стохастической чувствительности исходных детерминированных аттракторов. Геометрическим критерием выхода популяционной системы из режима устойчивого сосуществования является пересечение доверительных областей и соответствующих сепаратрис детерминированной модели. Эффективность данного аналитического подхода подтверждается хорошим соответствием теоретических оценок и результатов прямого численного моделирования.

The paper is devoted to the analysis of the proximity of the population system to dangerous boundaries. An intersection of these boundaries results in the collapse of the stable coexistence of interacting populations. As a reason of such destruction one can consider random perturbations inevitably presented in any living system. This study is carried out on the example of the well-known model of interaction between predator and prey populations, taking into account both a stabilizing factor of the competition of predators for another than prey resources, and also a destabilizing saturation factor for predators. To describe the saturation of predators, we use the second type Holling trophic function. The dynamics of the system is studied as a function of the predator saturation, and the coefficient of predator competition for resources other than prey. The paper presents a parametric description of the possible dynamic regimes of the deterministic model. Here, local and global bifurcations are studied, and areas of sustainable coexistence of populations in equilibrium and the oscillation modes are described. An interesting feature of this mathematical model, firstly considered by Bazykin, is a global bifurcation of the birth of limit cycle from the separatrix loop. We study the effects of noise on the equilibrium and oscillatory regimes of coexistence of predator and prey populations. It is shown that an increase of the intensity of random disturbances can lead to significant deformations of these regimes right up to their destruction. The aim of this work is to develop a constructive probabilistic criterion for the proximity of the population stochastic system to the dangerous boundaries. The proposed approach is based on the mathematical technique of stochastic sensitivity functions, and the method of confidence domains. In the case of a stable equilibrium, this confidence domain is an ellipse. For the stable cycle, this domain is a confidence band. The size of the confidence domain is proportional to the intensity of the noise and stochastic sensitivity of the initial deterministic attractor. A geometric criterion of the exit of the population system from sustainable coexistence mode is the intersection of the confidence domain and the corresponding separatrix of the unforced deterministic model. An effectiveness of this analytical approach is confirmed by the good agreement of theoretical estimates and results of direct numerical simulations.

Функциональное моделирование процессов свертывания крови, в частности возникновения фибрин–полимерных сгустков, имеет большое значение для прикладных вопросов медицинской биофизики. Несмотря на некоторые неточности в математических моделях, качественные результаты представляют огромный интерес для экспериментаторов как средство анализа возможных вариантов развития их работ. При достижении хорошего количественного совпадения с экспериментальными результатами такие модели могут быть использованы для технологических применений. Целью данной работы является моделирование процесса многоступенчатой полимеризации фибрина и сопряженного с ними золь-гель-перехода — возникновения фибрин-полимерной сетки в точечной системе. Для программной реализации и численных экспериментов используется неявный метод Розенброка второго порядка с комплексными коэффициентами (CROS). В работе представлены результаты моделирования и проведен анализ чувствительности численных решений к коэффициентам математической модели методами вариации. Показано, что в физиологическом диапазоне параметров констант модели существует лаг-период 20 секунд между началом реакции и возникновением зародышей фибрин-полимерной сетки, что хорошо соответствует экспериментальным наблюдениям подобных систем. Показана возможность появления нескольких $(n = 1–3)$ последовательных золь-гель-переходов. Такое необычное поведение системы является прямым следствием наличия нескольких фаз в процессе полимеризации фибрина. На последнем этапе раствор олигомеров фибрина длины 10 может достичь полуразбавленного состояния. Это, в свою очередь, приведет к исключительно быстрой кинетике формирования фибрин-полимерной сетки, управляемой вращательной диффузией олигомеров. Если же состояние полуразбавленного раствора не достигается, то образование фибрин-полимерной сетки контролируется трансляционной диффузией, которая является существенно более медленным процессом. Такой дуализм в процессе золь-гель-перехода привел к необходимости введения функции переключения в уравнения для кинетики образования фибрин-полимера. Ситуация с последовательными золь-гель-переходами соответствует экспериментальным системам, где вследствие физических процессов, таких как пресипитация, фибрин-полимерная сетка может быть быстро удалена из объема.

Functional modeling of blood clotting and fibrin-polymer mesh formation is of a significant value for medical and biophysics applications. Despite the fact of some discrepancies present in simplified functional models their results are of the great interest for the experimental science as a handy tool of the analysis for research planning, data processing and verification. Under conditions of the good correspondence to the experiment functional models can be used as an element of the medical treatment methods and biophysical technologies. The aim of the paper in hand is a modeling of a point system of the fibrin-polymer formation as a multistage polymerization process with a sol-gel transition at the final stage. Complex-value Rosenbroke method of second order (CROS) used for computational experiments. The results of computational experiments are presented and discussed. It was shown that in the physiological range of the model coefficients there is a lag period of approximately 20 seconds between initiation of the reaction and fibrin gel appearance which fits well experimental observations of fibrin polymerization dynamics. The possibility of a number of the consequent $(n = 1–3)$ sol-gel transitions demonstrated as well. Such a specific behavior is a consequence of multistage nature of fibrin polymerization process. At the final stage the solution of fibrin oligomers of length 10 can reach a semidilute state, leading to an extremely fast gel formation controlled by oligomers’ rotational diffusion. Otherwise, if the semidilute state is not reached the gel formation is controlled by significantly slower process of translational diffusion. Such a duality in the sol-gel transition led authors to necessity of introduction of a switch-function in an equation for fibrin-polymer formation kinetics. Consequent polymerization events can correspond to experimental systems where fibrin mesh formed gets withdrawn from the volume by some physical process like precipitation. The sensitivity analysis of presented system shows that dependence on the first stage polymerization reaction constant is non-trivial.

Эффективность подвижных робототехнических комплексов (ПРТК), осуществляющих мониторинг дорожной обстановки, городской инфраструктуры, последствий чрезвычайных ситуаций и пр., напрямую зависит от качества функционирования систем технического зрения, являющихся важнейшей частью ПРТК. В свою очередь, точность обработки изображений в системах технического зрения в существенной степени зависит от точности пространственной ориентации видеокамеры, размещаемой на ПРТК. Но при размещении видеокамер на ПРТК резко возрастает уровень погрешностей их пространственной ориентации, вызванных ветровыми и сейсмическими колебаниями мачты, движением ПРТК по пересеченной местности и пр. В связи с этим в статье рассмотрено общее решение задачи стохастической оценки параметров пространственной ориентации видеокамер в условиях как случайных колебаний мачты, так и произвольного характера движения ПРТК. Так как методы решения данной задачи на основе спутниковых измерений при высокой интенсивности естественных и искусственных радиопомех (способы формирования которых постоянно совершенствуются) не в состоянии обеспечить требуемую точность решения, то в основу предложенного подхода положено использование автономных средств измерения — инерциальных и неинерциальных. Но при их использовании возникает проблема построенияи стохастической оценки общей модели движения видеокамеры, сложность которой определяется произвольным движением ПРТК, случайными колебаниями мачты, помехами измеренияи др. В связи с нерешенностью данной проблемы на сегодняшний день в статье рассмотрен синтез как модели движения видеокамеры в самом общем случае, так и стохастической оценки ее параметров состояния. При этом разработанный алгоритм совместной оценки параметров пространственной ориентации видеокамеры, размещенной на мачте ПРТК, является инвариантным и к характеру движения мачты, и видеокамеры, и самого ПРТК, обеспечивая при этом устойчивость и требуемую точность оценивания при самых общих предположениях о характере помех чувствительных элементов используемого автономного измерительного комплекса. Результаты численного эксперимента позволяют сделать вывод о возможности практического применения предложенного подхода для решения задачи текущей пространственной ориентации ПРТК и размещенных на них видеокамер, причем с использованием недорогих автономных средств измерения.

The efficiency of mobile robotic systems (MRS) that monitor the traffic situation, urban infrastructure, consequences of emergency situations, etc., directly depends on the quality of vision systems, which are the most important part of MRS. In turn, the accuracy of image processing in vision systems depends to a great extent on the accuracy of spatial orientation of the video camera placed on the MRS. However, when video cameras are placed on the MRS, the level of errors of their spatial orientation increases sharply, caused by wind and seismic vibrations, movement of the MRS over rough terrain, etc. In this connection, the paper considers a general solution to the problem of stochastic estimation of spatial orientation parameters of video cameras in conditions of both random mast vibrations and arbitrary character of MRS movement. Since the methods of solving this problem on the basis of satellite measurements at high intensity of natural and artificial radio interference (the methods of formation of which are constantly being improved) are not able to provide the required accuracy of the solution, the proposed approach is based on the use of autonomous means of measurement — inertial and non-inertial. But when using them, the problem of building and stochastic estimation of the general model of video camera motion arises, the complexity of which is determined by arbitrary motion of the video camera, random mast oscillations, measurement disturbances, etc. The problem of stochastic estimation of the general model of video camera motion arises. Due to the unsolved nature of this problem, the paper considers the synthesis of both the video camera motion model in the most general case and the stochastic estimation of its state parameters. The developed algorithm for joint estimation of the spatial orientation parameters of the video camera placed on the mast of the MRS is invariant to the nature of motion of the mast, the video camera, and the MRS itself, providing stability and the required accuracy of estimation under the most general assumptions about the nature of interference of the sensitive elements of the autonomous measuring complex used. The results of the numerical experiment allow us to conclude that the proposed approach can be practically applied to solve the problem of the current spatial orientation of MRS and video cameras placed on them using inexpensive autonomous measuring devices.

В работе рассматривается модель экономической динамики Гудвина, находящаяся под воздействием случайных возмущений. Проведен полный параметрический анализ равновесий и циклов детерминированной системы. Исследованы вероятностные свойства аттракторов стохастической системы с использованием техники функций стохастической чувствительности и метода прямого численного моделирования. Обсуждается явление генерации стохастических бизнес-циклов в зоне, где исходная детерминированная модель имеет лишь устойчивые равновесия.

The Goodwin dynamical model under the random external disturbances is considered. A full parametrical analysis for equlibria and cycles of deterministic model is developed. We study probabilistic properties of stochastic attractors using stochastic sensitivity functions technique and numerical methods. A phenomenon of the generation of stochastic business cycles in the zones of stable equilibria is discussed.

Работа посвящена проблеме анализа эффектов, связанных с воздействием аддитивного и параметрического шума на процессы, происходящие в нервной клетке. Это исследование проводится на примере известной модели Моррис–Лекара, которая описывается двумерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из основных свойств нейрона является возбудимость — способность отвечать на внешнее воздействие резким изменением электрического потенциала на мембране клетки. В данной статье рассматривается набор параметров, при котором модель демонстрирует возбудимость класса 2. Динамика системы исследуется при изменении параметра внешнего тока. Рассматриваются две параметрические зоны: зона моностабильности, в которой единственным аттрактором детерминированной системы является устойчивое равновесие, и зона бистабильности, характеризующаяся сосуществованием устойчивого равновесия и предельного цикла. Показывается, что в обоих случаях под действием шума в системе генерируются колебания смешанных мод (т. е. чередование колебаний малых и больших амплитуд). В зоне моностабильности данный феномен связан с высокой возбудимостью системы, а в зоне бистабильности он объясняется индуцированными шумом переходами между аттракторами. Это явление подтверждается изменениями плотности распределения случайных траекторий, спектральной плотности и статистиками межспайковых интервалов. Проводится сравнение действия аддитивного и параметрического шума. Показывается, что при добавлении параметрического шума стохастическая генерация колебаний смешанных мод наблюдается при меньших интенсивностях, чем при воздействии аддитивного шума. Для количественного анализа этих стохастических феноменов предлагается и применяется подход, основанный на технике функций стохастической чувствительности и методе доверительных областей. В случае устойчивого равновесия это эллипс, а для устойчивого предельного цикла такой областью является доверительная полоса. Исследование взаимного расположения доверительных областей и границы, разделяющей бассейны притяжения аттракторов, при изменении параметров шума позволяет предсказать возникновение индуцированных шумом переходов. Эффективность данного аналитического подхода подтверждается хорошим соответствием теоретических оценок с результатами прямого численного моделирования.

This paper is devoted to the analysis of the effect of additive and parametric noise on the processes occurring in the nerve cell. This study is carried out on the example of the well-known Morris – Lecar model described by the two-dimensional system of ordinary differential equations. One of the main properties of the neuron is the excitability, i.e., the ability to respond to external stimuli with an abrupt change of the electric potential on the cell membrane. This article considers a set of parameters, wherein the model exhibits the class 2 excitability. The dynamics of the system is studied under variation of the external current parameter. We consider two parametric zones: the monostability zone, where a stable equilibrium is the only attractor of the deterministic system, and the bistability zone, characterized by the coexistence of a stable equilibrium and a limit cycle. We show that in both cases random disturbances result in the phenomenon of the stochastic generation of mixed-mode oscillations (i. e., alternating oscillations of small and large amplitudes). In the monostability zone this phenomenon is associated with a high excitability of the system, while in the bistability zone, it occurs due to noise-induced transitions between attractors. This phenomenon is confirmed by changes of probability density functions for distribution of random trajectories, power spectral densities and interspike intervals statistics. The action of additive and parametric noise is compared. We show that under the parametric noise, the stochastic generation of mixed-mode oscillations is observed at lower intensities than under the additive noise. For the quantitative analysis of these stochastic phenomena we propose and apply an approach based on the stochastic sensitivity function technique and the method of confidence domains. In the case of a stable equilibrium, this confidence domain is an ellipse. For the stable limit cycle, this domain is a confidence band. The study of the mutual location of confidence bands and the boundary separating the basins of attraction for different noise intensities allows us to predict the emergence of noise-induced transitions. The effectiveness of this analytical approach is confirmed by the good agreement of theoretical estimations with results of direct numerical simulations.

В последние десятилетия активно развивается теория аномальной диффузии, объединяющая различные транспортные процессы, в которых характерное среднеквадратичное рассеяние растет со временем по степенному закону, а не линейно, как для нормальной диффузии. Так, к примеру, диффузия жидкостей в пористых телах, перенос зарядов в аморфных полупроводниках и молекулярный транспорт в вязких средах демонстрируют аномальное «замедление» по сравнению со стандартной моделью.

Удобным инструментом исследования таких процессов является прямое стохастическое моделирование. В работе описана одна из возможных схем такого рода, в основе которой лежит процесс восстановления с временами ожидания, имеющими степенную асимптотику. Аналитические построения показывают тесную связь между рассмотренным классом случайных процессов и уравнениями с производными нецелого порядка. Этот подход легко можно распространить ( соответствующий алгоритм представлен в тексте) на системы, в которых, помимо транспорта, возможны химические реакции. Актуальность исследований в этой области продиктована тем, что точный вид интегро-дифференциальных уравнений, описывающих химическую кинетику в системах с аномальной диффузией, остается пока предметом дискуссии.

Поскольку рассматриваемый класс случайных процессов не обладает марковским свойством, здесь возникают принципиально новые проблемы по сравнению с моделированием химических реакций при нормальной диффузии. Главная из них заключается в способе, которым определяется, какие молекулы должны «погибнуть» в ходе реакции. Поскольку точная схема, отслеживающая каждую возможную комбинацию реактантов, неприемлема с вычислительной точки зрения из-за слишком большого числа таких комбинаций, было предложено несколько простых эвристических процедур. Серия вычислительных экспериментов показала, что результаты весьма чувствительны к выбору одной из этих эвристик.

Theory of anomalous diffusion, which describe a vast number of transport processes with power law mean squared displacement, is actively advancing in recent years. Diffusion of liquids in porous media, carrier transport in amorphous semiconductors and molecular transport in viscous environments are widely known examples of anomalous deceleration of transport processes compared to the standard model.

Direct Monte Carlo simulation is a convenient tool for studying such processes. An efficient stochastic simulation algorithm is developed in the present paper. It is based on simple renewal process with interarrival times that have power law asymptotics. Analytical derivations show a deep connection between this class of random process and equations with fractional derivatives. The algorithm is further generalized by coupling it with chemical reaction simulation. It makes stochastic approach especially useful, because the exact form of integrodifferential evolution equations for reaction — subdiffusion systems is still a matter of debates.

Proposed algorithm relies on non-markovian random processes, hence one should carefully account for qualitatively new effects. The main question is how molecules leave the system during chemical reactions. An exact scheme which tracks all possible molecule combinations for every reaction channel is computationally infeasible because of the huge number of such combinations. It necessitates application of some simple heuristic procedures. Choosing one of these heuristics greatly affects obtained results, as illustrated by a series of numerical experiments.

Данная работа посвящена исследованию проблемы моделирования и анализа сложных колебательных режимов, как регулярных, так и хаотических, в системах взаимодействующих популяций в присутствии случайных возмущений. В качестве исходной концептуальной детерминированной модели рассматривается вольтерровская система трех дифференциальных уравнений, описывающая динамику популяций жертв двух конкурирующих видов и хищника. Данная модель учитывает следующие ключевые биологические факторы: естественный прирост жертв, их внутривидовую и межвидовую конкуренцию, вымирание хищников в отсутствие жертв, скорость выедания жертв хищником, прирост популяции хищника вследствие выедания жертв, интенсивность внутривидовой конкуренции в популяции хищника. В качестве бифуркационного параметра используется скорость роста второй популяции жертв. На некотором интервале изменения этого параметра система демонстрирует большое разнообразие динамических режимов: равновесных, колебательных и хаотических. Важной особенностью этой модели является мультистабильность. В данной работе мы фокусируемся на изучении параметрической зоны тристабильности, когда в системе сосуществуют устойчивое равновесие и два предельных цикла. Такая биритмичность в присутствии случайных возмущений порождает новые динамические режимы, не имеющие аналогов в детерминированном случае. Целью статьи является детальное изучение стохастических явлений, вызванных случайными флуктуациями скорости роста второй популяции жертв. В качестве математической модели таких флуктуаций мы рассматриваем белый гауссовский шум. Методами прямого численного моделирования решений соответствующей системы стохастических дифференциальных уравнений выявлены и описаны следующие феномены: однонаправленные стохастические переходы с одного цикла на другой; триггерный режим, вызванный переходами между циклами; индуцированный шумом переход с циклов на равновесие, отвечающее вымиранию популяции хищника и второй жертвы. В статье представлены результаты анализа этих явлений с помощью показателей Ляпунова, выявлены параметрические условия переходов от порядка к хаосу и от хаоса к порядку. Для аналитического исследования таких вызванных шумом многоэтапных переходов были применены техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных областей. В статье показано, как этот математический аппарат позволяет спрогнозировать интенсивность шума, приводящего к качественным трансформациям режимов стохастической популяционной динамики.

This work is devoted to the study of the problem of modeling and analyzing complex oscillatory modes, both regular and chaotic, in systems of interacting populations in the presence of random perturbations. As an initial conceptual deterministic model, a Volterra system of three differential equations is considered, which describes the dynamics of prey populations of two competing species and a predator. This model takes into account the following key biological factors: the natural increase in prey, their intraspecific and interspecific competition, the extinction of predators in the absence of prey, the rate of predation by predators, the growth of the predator population due to predation, and the intensity of intraspecific competition in the predator population. The growth rate of the second prey population is used as a bifurcation parameter. At a certain interval of variation of this parameter, the system demonstrates a wide variety of dynamic modes: equilibrium, oscillatory, and chaotic. An important feature of this model is multistability. In this paper, we focus on the study of the parametric zone of tristability, when a stable equilibrium and two limit cycles coexist in the system. Such birhythmicity in the presence of random perturbations generates new dynamic modes that have no analogues in the deterministic case. The aim of the paper is a detailed study of stochastic phenomena caused by random fluctuations in the growth rate of the second population of prey. As a mathematical model of such fluctuations, we consider white Gaussian noise. Using methods of direct numerical modeling of solutions of the corresponding system of stochastic differential equations, the following phenomena have been identified and described: unidirectional stochastic transitions from one cycle to another, trigger mode caused by transitions between cycles, noise-induced transitions from cycles to the equilibrium, corresponding to the extinction of the predator and the second prey population. The paper presents the results of the analysis of these phenomena using the Lyapunov exponents, and identifies the parametric conditions for transitions from order to chaos and from chaos to order. For the analytical study of such noise-induced multi-stage transitions, the technique of stochastic sensitivity functions and the method of confidence regions were applied. The paper shows how this mathematical apparatus allows predicting the intensity of noise, leading to qualitative transformations of the modes of stochastic population dynamics.