All issues

В статье предлагается новая модель динамической ловушки типа «стимул – реакция», которая имитирует человеческий контроль динамических систем, где ограниченная рациональность человеческого сознания играет существенную роль. Детально рассматривается сценарий, в котором субъект модулирует контролируемую переменную в ответ на определенный стимул. В этом контексте ограниченная рациональность человеческого сознания проявляется в неопределенности восприятия стимула и последующих действий субъекта. Модель предполагает, что когда интенсивность стимула падает ниже (размытого) порога восприятия стимула, субъект приостанавливает управление и поддерживает контролируемую переменную вблизи нуля с точностью, определяемую неопределенностью ее управления. Когда интенсивность стимула превышает неопределенность восприятия и становится доступной человеческому сознания, испытуемый активирует контроль. Тем самым, динамику системы можно представить как чередующуюся последовательность пассивного и активного режимов управления с вероятностными переходами между ними. Более того, ожидается, что эти переходы проявляют гистерезис из-за инерции принятия решений.

В общем случае пассивный и активный режимы базируются на различных механизмах, что является проблемой для создания эффективных алгоритмов их численного моделирования. Предлагаемая модель преодолевает эту проблему за счет введения динамической ловушки типа «стимул – реакция», имеющей сложную структуру. Область динамической ловушки включает две подобласти: область стагнации динамики системы и область гистерезиса. Модель основывается на формализме стохастических дифференциальных уравнений и описывает как вероятностные переходы между пассивным и активным режимами управления, так и внутреннюю динамику этих режимов в рамках единого представления. Предложенная модель воспроизводит ожидаемые свойства этих режимов управления, вероятностные переходы между ними и гистерезис вблизи порога восприятия. Кроме того, в предельном случае модель оказывается способной имитировать человеческий контроль, когда (1) активный режим представляет собой реализацию «разомкнутого» типа для локально запланированных действий и (2) активация контроля возникает только тогда, когда интенсивность стимула существенно возрастает и риск потери контроля системы становится существенным.

We present a novel model for the dynamical trap of the stimulus – response type that mimics human control over dynamic systems when the bounded capacity of human cognition is a crucial factor. Our focus lies on scenarios where the subject modulates a control variable in response to a certain stimulus. In this context, the bounded capacity of human cognition manifests in the uncertainty of stimulus perception and the subsequent actions of the subject. The model suggests that when the stimulus intensity falls below the (blurred) threshold of stimulus perception, the subject suspends the control and maintains the control variable near zero with accuracy determined by the control uncertainty. As the stimulus intensity grows above the perception uncertainty and becomes accessible to human cognition, the subject activates control. Consequently, the system dynamics can be conceptualized as an alternating sequence of passive and active modes of control with probabilistic transitions between them. Moreover, these transitions are expected to display hysteresis due to decision-making inertia.

Generally, the passive and active modes of human control are governed by different mechanisms, posing challenges in developing efficient algorithms for their description and numerical simulation. The proposed model overcomes this problem by introducing the dynamical trap of the stimulus-response type, which has a complex structure. The dynamical trap region includes two subregions: the stagnation region and the hysteresis region. The model is based on the formalism of stochastic differential equations, capturing both probabilistic transitions between control suspension and activation as well as the internal dynamics of these modes within a unified framework. It reproduces the expected properties in control suspension and activation, probabilistic transitions between them, and hysteresis near the perception threshold. Additionally, in a limiting case, the model demonstrates the capability of mimicking a similar subject’s behavior when (1) the active mode represents an open-loop implementation of locally planned actions and (2) the control activation occurs only when the stimulus intensity grows substantially and the risk of the subject losing the control over the system dynamics becomes essential.

В работе рассматривается модель экономической динамики Гудвина, находящаяся под воздействием случайных возмущений. Проведен полный параметрический анализ равновесий и циклов детерминированной системы. Исследованы вероятностные свойства аттракторов стохастической системы с использованием техники функций стохастической чувствительности и метода прямого численного моделирования. Обсуждается явление генерации стохастических бизнес-циклов в зоне, где исходная детерминированная модель имеет лишь устойчивые равновесия.

The Goodwin dynamical model under the random external disturbances is considered. A full parametrical analysis for equlibria and cycles of deterministic model is developed. We study probabilistic properties of stochastic attractors using stochastic sensitivity functions technique and numerical methods. A phenomenon of the generation of stochastic business cycles in the zones of stable equilibria is discussed.

Данная работа посвящена решению практической задачи восстановления данных по распространению языков на региональном уровне на примере Китайской Народной Республики. Необходимость получения таких данных связана с задачей вычисления индексов лингвистического разнообразия, которые, в свою очередь, активно используются при эмпирическом анализе и прогнозе факторов социально-экономического развития, а также могут служить индикаторами потенциальных конфликтов на рассматриваемых территориях. В качестве исходной информации мы используем сведения из базы данных «Этнолог» (Ethnologue), дополняя их общедоступными данными переписей населения. Рассматриваемые нами данные содержат по каждому языку (а) оценку количества жителей страны, считающих этот язык родным, и (б) индикаторы наличия таких жителей в каждой из провинций КНР. Наша задача — для всех пар «язык–провинция» оценить количество жителей провинции, считающих этот язык родным. Она сводится к решению недоопределенной системы алгебраических уравнений. Специфика данных Ethnologue заключается в том, что, в силу большой трудоемкости и стоимости сбора таких данных, а также неполноты сведений по соответствующему разделу в переписях населения, имеющаяся информация по отдельным языкам в различных провинциях представлена за различные периоды времени. Одновременное использование таких данных приводит к тому, что возникающая система уравнений имеет неточно определенную правую часть, поэтому мы строим приближенное решение, характеризуемое минимальной невязкой. Учитывая неоднородность исходных данных (некоторые из языков оказываются на порядки менее распространенными), мы переходим к использованию взвешенной невязки, определяя в каждом уравнении весовые коэффициенты как величины, обратно пропорциональные правой части. Такой способ формирования невязки позволяет восстановить искомые переменные. Более 92% переменных оказываются устойчивыми к изменениям правой части при вероятностном моделировании ошибок записей в исходных данных.

This paper formulates and solves a practical problem of data recovery regarding the distribution of languages on regional level in context of China. The necessity of this recovery is related to the problem of the determination of the linguistic diversity indices, which, in turn, are used to analyze empirically and to predict sources of social and economic development as well as to indicate potential conflicts at regional level. We use Ethnologue database and China census as the initial data sources. For every language spoken in China, the data contains (a) an estimate of China residents who claim this language to be their mother tongue, and (b) indicators of the presence of such residents in China provinces. For each pair language/province, we aim to estimate the number of the province inhabitants that claim the language to be their mother tongue. This base problem is reduced to solving an undetermined system of algebraic equations. Given additional restriction that Ethnologue database introduces data collected at different time moments because of gaps in Ethnologue language surveys and accompanying data collection expenses, we relate those data to a single time moment, that turns the initial task to an ’ill-posed’ system of algebraic equations with imprecisely determined right hand side. Therefore, we are looking for an approximate solution characterized by a minimal discrepancy of the system. Since some languages are much less distributed than the others, we minimize the weighted discrepancy, introducing weights that are inverse to the right hand side elements of the equations. This definition of discrepancy allows to recover the required variables. More than 92% of the recovered variables are robust to probabilistic modelling procedure for potential errors in initial data.

Коррозионные повреждения металлов и сплавов — одна из основных проблем прочности и долговечности металлических конструкций и изделий, эксплуатируемых в условиях контакта с химически агрессивными средами. В последнее время возрастает интерес к компьютерному моделированию эволюции коррозионных повреждений, особенно питтинговой коррозии, для более глубокого понимания коррозионного процесса, его влияния на морфологию, физико-химические свойства поверхности и механическую прочность и долговечность материала. Это обусловлено в основном сложностью аналитических и высокой стоимостью экспериментальных in situ исследований реальных коррозионных процессов. Вместе с тем вычислительные мощности современных компьютеров позволяют с высокой точностью рассчитывать коррозию лишь на относительно небольших участках поверхности. Поэтому разработка новых математических моделей, позволяющих рассчитывать большие области для прогнозирования эволюции коррозионных повреждений металлов, является в настоящее время актуальной проблемой.

В настоящей работе с помощью разработанной компьютерной модели на основе клеточного автомата исследовали эволюцию коррозионного фронта при взаимодействии поверхности поликристаллического металла с жидкой агрессивной средой. Зеренная структура металла задавалась с помощью многоугольников Вороного, используемых для моделирования поликристаллических сплавов. Коррозионное разрушение осуществлялось при помощи задания вероятностной функции перехода между ячейками клеточного автомата. Принималось во внимание, что коррозионная прочность зерен неодинакова вследствие кристаллографической анизотропии. Показано, что это приводит к формированию шероховатой фазовой границы в ходе коррозионного процесса. Снижение концентрации активных частиц в растворе агрессивной среды в ходе протекающей химической реакции приводит к затуханию коррозии за конечное число итераций расчета. Установлено, что конечная фазовая граница имеет фрактальную структуру с размерностью 1.323 ± 0.002, близкой к размерности фронта градиентной перколяции, что хорошо согласуется с фрактальной размерностью фронта травления поликристаллического алюминий-магниевого сплава АМг6 концентрированным раствором соляной кислоты. Показано, что коррозия поликристаллического металла в жидкой агрессивной среде представляет новый пример топохимического процесса, кинетика которого описывается теорией Колмогорова–Джонсона–Мейла–Аврами.

Corrosion damage to metals and alloys is one of the main problems of strength and durability of metal structures and products operated in contact with chemically aggressive environments. Recently, there has been a growing interest in computer modeling of the evolution of corrosion damage, especially pitting corrosion, for a deeper understanding of the corrosion process, its impact on the morphology, physical and chemical properties of the surface and mechanical strength of the material. This is mainly due to the complexity of analytical and high cost of experimental in situ studies of real corrosion processes. However, the computing power of modern computers allows you to calculate corrosion with high accuracy only on relatively small areas of the surface. Therefore, the development of new mathematical models that allow calculating large areas for predicting the evolution of corrosion damage to metals is currently an urgent problem.

In this paper, the evolution of the corrosion front in the interaction of a polycrystalline metal surface with a liquid aggressive medium was studied using a computer model based on a cellular automat. A distinctive feature of the model is the specification of the solid body structure in the form of Voronoi polygons used for modeling polycrystalline alloys. Corrosion destruction was performed by setting the probability function of the transition between cells of the cellular automaton. It was taken into account that the corrosion strength of the grains varies due to crystallographic anisotropy. It is shown that this leads to the formation of a rough phase boundary during the corrosion process. Reducing the concentration of active particles in a solution of an aggressive medium during a chemical reaction leads to corrosion attenuation in a finite number of calculation iterations. It is established that the final morphology of the phase boundary has a fractal structure with a dimension of 1.323 ± 0.002 close to the dimension of the gradient percolation front, which is in good agreement with the fractal dimension of the etching front of a polycrystalline aluminum-magnesium alloy AlMg6 with a concentrated solution of hydrochloric acid. It is shown that corrosion of a polycrystalline metal in a liquid aggressive medium is a new example of a topochemical process, the kinetics of which is described by the Kolmogorov–Johnson– Meil–Avrami theory.

Миграция оказывает существенное влияние на формирование демографической структуры населения территорий, состояние региональных и локальных рынков труда. Быстрое изменение численности трудоспособного населения той или иной территории из-за миграционных процессов приводит к дисбалансу спроса и предложения на рынках труда, изменению демографической структуры населения. Миграция во многом является отражением социально-экономических процессов, происходящих в обществе. Поэтому становятся актуальными вопросы, связанные с изучением факторов миграции, направления, интенсивности и структуры миграционных потоков, прогнозированием их величины.

Для анализа, прогнозирования миграционных процессов и оценки их последствий часто используется математический инструментарий, позволяющий с нужной точностью моделировать миграционные процессы для различных территорий на основе имеющихся статистических данных. В последние годы как в России, так и в зарубежных странах появилось много научных работ, посвященных моделированию внутренних и внешних миграционных потоков с использованием математических методов. Следовательно, для формирования целостной картины основных тенденций и направлений исследований в этой области возникла необходимость в систематизации наиболее часто используемых методов и инструментов моделирования.

В представленном обзоре на основе анализа современных отечественных и зарубежных публикаций представлены основные подходы к моделированию миграции, основные составляющие методологии моделирования миграционных процессов — этапы, методы, модели и классификация моделей. Обзор содержит два раздела: методы моделирования миграционных процессов и модели миграции. В первом разделе приведено описание основных методов, используемых в процессе разработки моделей — эконометрических, клеточных автоматов, системно-динамических, вероятностных, балансовых, оптимизации и кластерного анализа. Во втором — выделены и описаны наиболее часто встречающиеся классы моделей — регрессионные, агент-ориентированные, имитационные, оптимизационные, веро- ятностные, балансовые, динамические и комбинированные. Рассмотрены особенности, преимущества и недостатки различных типов моделей миграционных процессов, проведен их сравнительный анализ и разработаны общие рекомендации по выбору математического инструментария для моделирования.

Migration has a significant impact on the shaping of the demographic structure of the territories population, the state of regional and local labour markets. As a rule, rapid change in the working-age population of any territory due to migration processes results in an imbalance in supply and demand on labour markets and a change in the demographic structure of the population. Migration is also to a large extent a reflection of socio-economic processes taking place in the society. Hence, the issues related to the study of migration factors, the direction, intensity and structure of migration flows, and the prediction of their magnitude are becoming topical issues these days.

Mathematical tools are often used to analyze, predict migration processes and assess their consequences, allowing for essentially accurate modelling of migration processes for different territories on the basis of the available statistical data. In recent years, quite a number of scientific papers on modelling internal and external migration flows using mathematical methods have appeared both in Russia and in foreign countries in recent years. Consequently, there has been a need to systematize the currently most commonly used methods and tools applied in migration modelling to form a coherent picture of the main trends and research directions in this field.

The presented review considers the main approaches to migration modelling and the main components of migration modelling methodology, i. e. stages, methods, models and model classification. Their comparative analysis was also conducted and general recommendations on the choice of mathematical tools for modelling were developed. The review contains two sections: migration modelling methods and migration models. The first section describes the main methods used in the model development process — econometric, cellular automata, system-dynamic, probabilistic, balance, optimization and cluster analysis. Based on the analysis of modern domestic and foreign publications on migration, the most common classes of models — regression, agent-based, simulation, optimization, probabilistic, balance, dynamic and combined — were identified and described. The features, advantages and disadvantages of different types of migration process models were considered.

В работе рассматривается квадратичная дискретная модель популяционной динамики с запаздыванием под воздействием случайных возмущений. Анализ стохастических аттракторов модели проводится с помощью методов прямого численного моделирования и техники функций стохастической чувствительности. Показана деформация вероятностных распределений случайных состояний вокруг устойчивых равновесий и циклов при изменении параметров. Продемонстрировано явление индуцированных шумом переходов в зоне дискретных циклов.

We consider a time-delayed quadratic discrete model of population dynamics under the influence of random perturbations. Analysis of stochastic attractors of the model is performed using the methods of direct numerical simulation and the stochastic sensitivity function technique. A deformation of the probability distribution of random states around the stable equilibria and cycles is studied parametrically. The phenomenon of noise-induced transitions in the zone of discrete cycles is demonstrated.

Моделирование боевых и военных действий является важнейшей научной и практической задачей, направленной на предоставление командованию количественных оснований для принятия решений. Первые модели боя были разработаны в годы первой мировой войны (М. Осипов, F. Lanchester), а в настоящее время они получили широкое распространение в связи с массовым внедрением средств автоматизации. Вместе с тем в моделях боя и войны не в полной мере учитывается моральный потенциал участников конфликта, что побуждает и мотивирует дальнейшее развитие моделей боя и войны. Рассмотрена вероятностная модель боя, в которой параметр боевого превосходства определен через параметр морального (отношение процентов выдерживаемых потерь сторон) и параметр технологического превосходства. Для оценки последнего учитываются: опыт командования (способность организовать согласованные действия), разведывательные, огневые и маневренные возможности сторон и возможности оперативного (боевого) обеспечения. Разработана теоретико-игровая модель «наступление–оборона», учитывающая действия первых и вторых эшелонов (резервов) сторон. Целевой функцией наступающих в модели является произведение вероятности прорыва первым эшелоном одного из пунктов обороны на вероятность отражения вторым эшелоном контратаки резерва обороняющихся. Решена частная задача управления прорывом пунктов обороны и найдено оптимальное распределение боевых единиц между эшелонами. Доля войск, выделяемая сторонами во второй эшелон (резерв), растет с увеличением значения агрегированного параметра боевого превосходства наступающих и уменьшается с увеличением значения параметра боевого превосходства при отражении контратаки. При планировании боя (сражения, операции) и распределении своих войск между эшелонами важно знать не точное количество войск противника, а свои и его возможности, а также степень подготовленности обороны, что не противоречит опыту ведения боевых действий. В зависимости от условий обстановки целью наступления может являться разгром противника, скорейший захват важного района в глубине обороны противника, минимизация своих потерь и т. д. Для масштабирования модели «наступление–оборона» по целям найдены зависимости потерь и темпа наступления от начального соотношения боевых потенциалов сторон. Выполнен учет влияния общественных издержек на ход и исход войн. Дано теоретическое объяснение проигрыша в военной кампании со слабым в технологическом отношении противником и при неясной для общества цели войны. Для учета влияния психологических операций и информационных войн на моральный потенциал индивидов использована модель социально-информационного влияния.

Simulation of combat and military operations is the most important scientific and practical task aimed at providing the command of quantitative bases for decision-making. The first models of combat were developed during the First World War (M. Osipov, F. Lanchester), and now they are widely used in connection with the massive introduction of automation tools. At the same time, the models of combat and war do not fully take into account the moral potentials of the parties to the conflict, which motivates and motivates the further development of models of battle and war. A probabilistic model of combat is considered, in which the parameter of combat superiority is determined through the parameter of moral (the ratio of the percentages of the losses sustained by the parties) and the parameter of technological superiority. To assess the latter, the following is taken into account: command experience (ability to organize coordinated actions), reconnaissance, fire and maneuverability capabilities of the parties and operational (combat) support capabilities. A game-based offensive-defense model has been developed, taking into account the actions of the first and second echelons (reserves) of the parties. The target function of the attackers in the model is the product of the probability of a breakthrough by the first echelon of one of the defense points by the probability of the second echelon of the counterattack repelling the reserve of the defenders. Solved the private task of managing the breakthrough of defense points and found the optimal distribution of combat units between the trains. The share of troops allocated by the parties to the second echelon (reserve) increases with an increase in the value of the aggregate combat superiority parameter of those advancing and decreases with an increase in the value of the combat superiority parameter when repelling a counterattack. When planning a battle (battles, operations) and the distribution of its troops between echelons, it is important to know not the exact number of enemy troops, but their capabilities and capabilities, as well as the degree of preparedness of the defense, which does not contradict the experience of warfare. Depending on the conditions of the situation, the goal of an offensive may be to defeat the enemy, quickly capture an important area in the depth of the enemy’s defense, minimize their losses, etc. For scaling the offensive-defense model for targets, the dependencies of the losses and the onset rate on the initial ratio of the combat potentials of the parties were found. The influence of social costs on the course and outcome of wars is taken into account. A theoretical explanation is given of a loss in a military company with a technologically weak adversary and with a goal of war that is unclear to society. To account for the influence of psychological operations and information wars on the moral potential of individuals, a model of social and information influence was used.

Моделирование борьбы с террористическими, пиратскими и разбойными актами на море является актуальной научной задачей в силу распространенности силовых актов и недостаточного количества работ по данной проблематике. Действия пиратов и террористов разнообразны. С использованием судна-базы они могут нападать на суда на удалении до 450–500 миль от побережья. Выбрав цель, они ее преследуют и с применением оружия идут на абордаж. Действия по освобождению судна, захваченного пиратами или террористами, включают: блокирование судна, прогноз мест возможного нахождения пи- ратов на судне, проникновение (с борта на борт, по воздуху или из-под воды) и зачистка помещений судна. Анализ специальной литературы по действиям пиратов и террористов показал, что силовой акт (и действия по его нейтрализации) состоит из двух этапов: во-первых, это блокирование судна, заключающееся в принуждении к его остановке, и, во-вторых, нейтрализация команды (группы террористов, пиратов), включая проникновение на судно (корабль) и его зачистку. Этапам цикла поставлены в соответствие показатели — вероятность блокирования и вероятность нейтрализации. Переменными модели силового акта являются количество судов (кораблей, катеров) у нападающих и обороняющихся, а также численность группы захвата нападающих и экипажа судна — жертвы атаки. Параметры модели (показатели корабельного и боевого превосходства) оценены методом максимального правдоподобия с использованием международной базы по инцидентам на море. Значения названных параметров равны 7.6–8.5. Столь высокие значения параметров превосходства отражают возможности сторон по действиям в силовых актах. Предложен и статистически обоснован аналитический метод расчета параметров превосходства. В модели учитываются следующие показатели: возможности сторон по обнаружению противника, скоростные и маневренные характеристики судов, высота судна и характеристики средств абордажа, характеристики оружия и средств защиты и др. С использованием модели Г. Беккера и теории дискретного выбора оценена вероятность отказа от силового акта. Значимость полученных моделей для борьбы с силовыми актами в морском пространстве заключается в возможности количественного обоснования мер по защите судна от пиратских и террористических атак и мер сдерживания, направленных на предотвращение атак (наличие на борту судна вооруженной охраны, помощь военных кораблей и вертолетов).

Modeling the fight against terrorist, pirate and robbery acts at sea is an urgent scientific task due to the prevalence of force acts and the insufficient number of works on this issue. The actions of pirates and terrorists are diverse. Using a base ship, they can attack ships up to 450–500 miles from the coast. Having chosen the target, they pursue it and use the weapons to board the ship. Actions to free a ship captured by pirates or terrorists include: blocking the ship, predicting where pirates might be on the ship, penetrating (from board to board, by air or from under water) and cleaning up the ship’s premises. An analysis of the special literature on the actions of pirates and terrorists showed that the act of force (and actions to neutralize it) consists of two stages: firstly, blocking the vessel, which consists in forcing it to stop, and secondly, neutralizing the team (terrorist groups, pirates), including penetration of a ship (ship) and its cleaning. The stages of the cycle are matched by indicators — the probability of blocking and the probability of neutralization. The variables of the act of force model are the number of ships (ships, boats) of the attackers and defenders, as well as the strength of the capture group of the attackers and the crew of the ship - the victim of the attack. Model parameters (indicators of naval and combat superiority) were estimated using the maximum likelihood method using an international database of incidents at sea. The values of these parameters are 7.6–8.5. Such high values of superiority parameters reflect the parties' ability to act in force acts. An analytical method for calculating excellence parameters is proposed and statistically substantiated. The following indicators are taken into account in the model: the ability of the parties to detect the enemy, the speed and maneuverability characteristics of the vessels, the height of the vessel and the characteristics of the boarding equipment, the characteristics of weapons and protective equipment, etc. Using the Becker model and the theory of discrete choice, the probability of failure of the force act is estimated. The significance of the obtained models for combating acts of force in the sea space lies in the possibility of quantitative substantiation of measures to protect the ship from pirate and terrorist attacks and deterrence measures aimed at preventing attacks (the presence of armed guards on board the ship, assistance from warships and helicopters).

Задача вероятностного тематического моделирования заключается в том, чтобы по заданной коллекции текстовых документов найти две матрицы: матрицу условных вероятностей тем в документах и матрицу условных вероятностей слов в темах. Каждый документ представляется в виде мультимножества слов, то есть предполагается, что для выявления тематики документа не важен порядок слов в нем, а важна только их частота. При таком предположении задача сводится к вычислению низкорангового неотрицательного матричного разложения, наилучшего по критерию максимума правдоподобия. Данная задача имеет в общем случае бесконечное множество решений, то есть является некорректно поставленной. Для регуляризации ее решения к логарифму правдоподобия добавляется взвешенная сумма оптимизационных критериев, с помощью которых формализуются дополнительные требования к модели. При моделировании больших текстовых коллекций хранение первой матрицы представляется нецелесообразным, поскольку ее размер пропорционален числу документов в коллекции. В то же время тематические векторные представления документов необходимы для решения многих задач текстовой аналитики — информационного поиска, кластеризации, классификации, суммаризации текстов. На практике тематический вектор вычисляется для каждого документа по необходимости, что может потребовать десятков итераций по всем словам документа. В данной работе предлагается способ быстрого вычисления тематического вектора для произвольного текста, требующий лишь одной итерации, то есть однократного прохода по всем словам документа. Для этого в модель вводится дополнительное ограничение в виде уравнения, позволяющего вычислять первую матрицу через вторую за линейное время. Хотя формально данное ограничение не является оптимизационным критерием, фактически оно выполняет роль регуляризатора и может применяться в сочетании с другими критериями в рамках теории аддитивной регуляризации тематических моделей ARTM. Эксперименты на трех свободно доступных текстовых коллекциях показали, что предложенный метод улучшает качество модели по пяти оценкам качества, характеризующим разреженность, различность, информативность и когерентность тем. Для проведения экспериментов использовались библиотеки с открытымк одомB igARTM и TopicNet.

The probabilistic topic model of a text document collection finds two matrices: a matrix of conditional probabilities of topics in documents and a matrix of conditional probabilities of words in topics. Each document is represented by a multiset of words also called the “bag of words”, thus assuming that the order of words is not important for revealing the latent topics of the document. Under this assumption, the problem is reduced to a low-rank non-negative matrix factorization governed by likelihood maximization. In general, this problem is ill-posed having an infinite set of solutions. In order to regularize the solution, a weighted sum of optimization criteria is added to the log-likelihood. When modeling large text collections, storing the first matrix seems to be impractical, since its size is proportional to the number of documents in the collection. At the same time, the topical vector representation (embedding) of documents is necessary for solving many text analysis tasks, such as information retrieval, clustering, classification, and summarization of texts. In practice, the topical embedding is calculated for a document “on-the-fly”, which may require dozens of iterations over all the words of the document. In this paper, we propose a way to calculate a topical embedding quickly, by one pass over document words. For this, an additional constraint is introduced into the model in the form of an equation, which calculates the first matrix from the second one in linear time. Although formally this constraint is not an optimization criterion, in fact it plays the role of a regularizer and can be used in combination with other regularizers within the additive regularization framework ARTM. Experiments on three text collections have shown that the proposed method improves the model in terms of sparseness, difference, logLift and coherence measures of topic quality. The open source libraries BigARTM and TopicNet were used for the experiments.

Работа посвящена исследованию связей между дискретными и непрерывными моделями финансовых процессов и их вероятностных характеристик. Во-первых, установлена связь между процессами цен акций, хеджирующего портфеля и опционов в моделях, обусловленных биномиальными возмущениями и предельными для них возмущениями типа броуновского движения. Во-вторых, указаны аналоги в коэффициентах стохастических уравнений с различными случайными процессами, непрерывными и скачкообразными, и в коэффициентах соответствующих детерминированных уравнений для их вероятностных характеристик.

Изложение результатов исследования связей и нахождения аналогий, полученных в настоящей работе, привело к необходимости адекватного изложения предварительных сведений и результатов из финансовой математики, а также описания связанных с ней объектов стохастического анализа.

В работе частично новые и известные результаты изложены в доступной форме для тех, кто не является специалистом по финансовой математике и стохастическому анализу и кому эти результаты важны с точки зрения приложений. Конкретно, представлены следующие разделы.

• В одно- и $n$-периодных биномиальных моделях предложен единый подход к определению на вероятностном пространстве риск-нейтральной меры, с которой дисконтированная цена опциона становится мартингалом. Полученная мартингальная формула для цены опциона пригодна для численного моделирования. В следующих разделах подход на основе риск-нейтральных мер применяется для исследования финансовых процессов в моделях непрерывного времени.

• В непрерывном времени рассмотрены модели цены акций, хеджирующего портфеля и опциона в форме стохастических уравнений с интегралом Ито по броуновскому движению и по компенсированному процессу Пуассона. Изучение свойств процессов, являющихся решениями стохастических уравнений, в этом разделе опирается на один из центральных объектов стохастического анализа — формулу Ито, методике применения которой уделено особое внимание.

• Представлена знаменитая формула Блэка –Шоулза, дающая решение уравнения в частных производных для функции $v(t, x)$, которая при подстановке $x = S (t)$, где $S(t)$ — цена акций в момент времени $t$, дает цену опциона в модели с непрерывным возмущением броуновским движением.

• Предложен аналог формулы Блэка – Шоулза для случая модели со скачкообразным возмущением процессом Пуассона. Вывод этой формулы опирается на технику риск-нейтральных мер и лемму независимости.

The paper is devoted to the study of relationships between discrete and continuous models financial processes and their probabilistic characteristics. First, a connection is established between the price processes of stocks, hedging portfolio and options in the models conditioned by binomial perturbations and their limit perturbations of the Brownian motion type. Secondly, analogues in the coefficients of stochastic equations with various random processes, continuous and jumpwise, and in the coefficients corresponding deterministic equations for their probabilistic characteristics. Statement of the results on the connections and finding analogies, obtained in this paper, led to the need for an adequate presentation of preliminary information and results from financial mathematics, as well as descriptions of related objects of stochastic analysis. In this paper, partially new and known results are presented in an accessible form for those who are not specialists in financial mathematics and stochastic analysis, and for whom these results are important from the point of view of applications. Specifically, the following sections are presented.

• In one- and n-period binomial models, it is proposed a unified approach to determining on the probability space a risk-neutral measure with which the discounted option price becomes a martingale. The resulting martingale formula for the option price is suitable for numerical simulation. In the following sections, the risk-neutral measures approach is applied to study financial processes in continuous-time models.

• In continuous time, models of the price of shares, hedging portfolios and options are considered in the form of stochastic equations with the Ito integral over Brownian motion and over a compensated Poisson process. The study of the properties of these processes in this section is based on one of the central objects of stochastic analysis — the Ito formula. Special attention is given to the methods of its application.

• The famous Black – Scholes formula is presented, which gives a solution to the partial differential equation for the function $v(t, x)$, which, when $x = S (t)$ is substituted, where $S(t)$ is the stock price at the moment time $t$, gives the price of the option in the model with continuous perturbation by Brownian motion.

• The analogue of the Black – Scholes formula for the case of the model with a jump-like perturbation by the Poisson process is suggested. The derivation of this formula is based on the technique of risk-neutral measures and the independence lemma.