All issues

Рассматривается математическая модель, описывающая конкуренцию за неоднородный ресурс двух близкородственных видов на одномерном ареале. Распространение популяций определяется диффузией и направленной миграцией, а рост подчиняется логистическому закону. Исследуются решения соответствующей начально-краевой задачи для нелинейных уравнений параболического типа с переменными коэффициентами (функция ресурса, параметры роста, диффузии и миграции). Для анализа формирования популяционных структур применяется подход на основе теории косимметричных динамических систем В. И. Юдовича. Аналитически получены условия на параметры системы, при выполнении которых у системы имеется нетривиальная косимметрия. В численном эксперименте подтверждено возникновение непрерывного семейства стационарных решений при выполнении условий существования косимметрии. Расчетная схема основана на конечно-разностной дискретизации по пространственной переменной с использованием интегро-интерполяционного метода и интегрировании по времени методом Рунге–Кутты. Далее численно исследовано влияние параметров диффузии и миграции на пространственно-временные сценарии развития популяций. В окрестности многообразия, соответствующего косимметрии задачи, рассчитаны нейтральные кривые диффузионных параметров, отвечающих границам устойчивости решений с одной популяцией. Для ряда значений параметров миграции и функций ресурса с одним и двумя максимумами построены карты областей параметров, которые соответствуют различным сценариям сосуществования и вытеснения видов. В частности, найдены области параметров, при которых выживание того или иного вида определяется условиями начального размещения. Отмечено, что реализуемая при этом динамика может быть нетривиальна: после начального снижения плотностей обоих видов наблюдается последующий рост одной популяции и убывание другой. Проведенный анализ показал, что области диффузионных параметров, отвечающих различным сценариям формирования популяционных структур, группируются вблизи линий, соответствующих косимметрии рассматриваемой математической модели. Полученные карты позволяют объяснить медленную динамику системы близостью к косимметричному случаю и дать трактовку эффекта выживания популяции за счет изменения диффузионной мобильности при исчерпании ресурса.

We consider a mathematical model describing the competition for a heterogeneous resource of two populations on a one-dimensional area. Distribution of populations is governed by diffusion and directed migration, species growth obeys to the logistic law. We study the corresponding problem of nonlinear parabolic equations with variable coefficients (function of a resource, parameters of growth, diffusion and migration). Approach on the theory the cosymmetric dynamic systems of V. Yudovich is applied to the analysis of population patterns. Conditions on parameters for which the problem under investigation has nontrivial cosymmetry are analytically derived. Numerical experiment is used to find an emergence of continuous family of steady states when cosymmetry takes place. The numerical scheme is based on the finite-difference discretization in space using the balance method and integration on time by Runge-Kutta method. Impact of diffusive and migration parameters on scenarios of distribution of populations is studied. In the vicinity of the line, corresponding to cosymmetry, neutral curves for diffusive parameters are calculated. We present the mappings with areas of diffusive parameters which correspond to scenarios of coexistence and extinction of species. For a number of migration parameters and resource functions with one and two maxima the analysis of possible scenarios is carried out. Particularly, we found the areas of parameters for which the survival of each specie is determined by initial conditions. It should be noted that dynamics may be nontrivial: after starting decrease in densities of both species the growth of only one population takes place whenever another specie decreases. The analysis has shown that areas of the diffusive parameters corresponding to various scenarios of population patterns are grouped near the cosymmetry lines. The derived mappings allow to explain, in particular, effect of a survival of population due to increasing of diffusive mobility in case of starvation.

В предположении анизотропии свойств жидкости и среды моделируется возникновение гравитационной конвекции в пористом прямоугольнике, насыщенном теплопроводной жидкостью с примесью и подогреваемом снизу. Рассматривается плоская задача на основе уравнений Дарси – Буссинеска для бинарной жидкости с учетом эффекта Соре. Устанавливаются условия, при которых система уравнений относительно функции тока, отклонений температуры и концентрации от равновесного состояния является косимметричной и возможно ответвление от механического равновесия непрерывного семейства стационарных движений.

Показано, что в условиях существования косимметрии имеются подобласти параметров, для которых критические значения температурного и концентрационного чисел Рэлея находятся по явным формулам. Для случая монотонной неустойчивости механического равновесия выведены формулы критических чисел Рэлея и приведены результаты подтверждающих вычислений.

Развита конечно-разностная дискретизация задачи второго порядка точности по пространственным переменным, сохраняющая косимметричность исследуемой системы. С помощью разработанной численной схемы проведен анализ устойчивости механического равновесия при различных комбинациях управляющих параметров.

На плоскости температурного и концентрационного чисел Рэлея представлены нейтральные кривые устойчивости механического равновесия и рассчитаны участки колебательной неустойчивости. Установлена зависимость от параметров термодиффузии концентрационного числа Рэлея, при котором колебательная неустойчивость предшествует монотонной. В общей ситуации, когда не выполняются условия косимметрии, выведенные формулы критических чисел Рэлея могут быть использованы для оценки порогов возникновения конвекции.

We study an appearance of gravitational convection in a porous medium saturated by the double-diffusive fluid. The rectangle heated from below is considered with anisotropy of media properties. We analyze Darcy – Boussinesq equations for a binary fluid with Soret effect.

Resulting system for the stream function, the deviation of temperature and concentration is cosymmetric under some additional conditions for the parameters of the problem. It means that the quiescent state (mechanical equilibrium) loses its stability and a continuous family of stationary regimes branches off. We derive explicit formulas for the critical values of the Rayleigh numbers both for temperature and concentration under these conditions of the cosymmetry. It allows to analyze monotonic instability of mechanical equilibrium, the results of corresponding computations are presented.

A finite-difference discretization of a second-order accuracy is developed with preserving of the cosymmetry of the underlying system. The derived numerical scheme is applied to analyze the stability of mechanical equilibrium.

The appearance of stationary and nonstationary convective regimes is studied. The neutral stability curves for the mechanical equilibrium are presented. The map for the plane of the Rayleigh numbers (temperature and concentration) are displayed. The impact of the parameters of thermal diffusion on the Rayleigh concentration number is established, at which the oscillating instability precedes the monotonic instability. In the general situation, when the conditions of cosymmetry are not satisfied, the derived formulas of the critical Rayleigh numbers can be used to estimate the thresholds for the convection onset.

Проведено численное исследование нестационарных режимов смешанной конвекции в открытом частично пористом горизонтальном канале при наличии тепловыделяющего элемента. Наружные поверхности горизонтальных стенок конечной толщины являлись адиабатическими. В канале находилась ньютоновская теплопроводная жидкость, вязкость которой зависит от температуры по экспоненцильному закону. Дискретный тепловыделяющий теплопроводный элемент расположен внутри нижней стенки канала. Температура жидкости равна температуре твердого скелета внутри пористой вставки, и расчеты ведутся в рамках модели теплового равновесия. Пористая вставка изотропна, однородна и проницаема для жидкости. Для моделирования пористой среды использована модель Дарси–Бринкмана. Математическая модель, сформулированная в безразмерных преобразованных переменных «функция тока – завихренность скорости – температура» на основе приближения Буссинеска, реализована численно с помощью метода конечных разностей. Уравнения дисперсии завихренности и энергии решались на основе локально-одномерной схемы А.А. Самарского. Диффузионные слагаемые аппроксимировались центральными разностями, конвективные — с использованием монотонной аппроксимации А.А. Самарского. Разностные уравнения решались методом прогонки. Разностное уравнение Пуассона для функции тока решалось отдельно, с применением метода последовательной верхней релаксации. Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов. Разработанная вычислительная модель была протестирована на множестве равномерных сеток, а также верифицирована путем сравнения полученных результатов при решении модельной задачи с данными других авторов.

Численные исследования нестационарных режимов смешанной конвекции жидкости с переменной вязкостью в горизонтальном канале с тепловыделяющим источником были проведены при следующих значениях безразмерных параметров: $\mathrm{Pr} = 7.0$, $\varepsilon = 0.8$, $\mathrm{Gr} = 10^5$, $C = 0-1$, $10^{-5} < \mathrm{Da} < 10^{-1}$, $50 < \mathrm{Re} < 500$, $\delta = l/H = 0.6-3$. Все распределения изолиний функции тока и температуры, а также зависимости среднего числа Нуссельта и средней температуры были получены в стационарном режиме, когда наблюдается установление картины течения и теплопереноса. В результате анализа установлено, что введение пористой вставки позволяет интенсифицировать теплосъем с поверхности источника энергии. Увеличение размеров пористой ставки, а также использование рабочих сред с разными теплофизическими характеристиками приводят к снижению температуры в источнике энергии.

Numerical study of unsteady mixed convection in an open partially porous horizontal channel with a heatgenerating source was performed. The outer surfaces of horizontal walls of finite thickness were adiabatic. In the channel there was a Newtonian heat-conducting fluid with a temperature-dependent viscosity. The discrete heatconducting and heat-generating source is located inside the bottom wall. The temperature of the fluid phase was equal to the temperature of the porous medium, and calculations were performed using the local thermal equilibrium model. The porous insertion is isotropic, homogeneous and permeable to fluid. The Darcy–Brinkman model was used to simulate the transport process within the porous medium. Governing equations formulated in dimensionless variables “stream function – vorticity – temperature” using the Boussinesq approximation were solved numerically by the finite difference method. The vorticity dispersion equation and energy equation were solved using locally one-dimensional Samarskii scheme. The diffusive terms were approximated by central differences, while the convective terms were approximated using monotonic Samarskii scheme. The difference equations were solved by the Thomas algorithm. The approximated Poisson equation for the stream function was solved separately by successive over-relaxation method. Optimal value of the relaxation parameter was found on the basis of computational experiments. The developed computational code was tested using a set of uniform grids and verified by comparing the results obtained of other authors.

Numerical analysis of unsteady mixed convection of variable viscosity fluid in the horizontal channel with a heat-generating source was performed for the following parameters: $\mathrm{Pr} = 7.0$, $\varepsilon = 0.8$, $\mathrm{Gr} = 10^5$, $C = 0-1$, $10^{-5} < \mathrm{Da} < 10^{-1}$, $50 < \mathrm{Re} < 500$, $\delta = l/H = 0.6-3$. Distributions of the isolines of the stream function, temperature and the dependences of the average Nusselt number and the average temperature inside the heater were obtained in a steady-state regime, when the stationary picture of the flow and heat transfer is observed. As a result we showed that an addition of a porous insertion leads to an intensification of heat removal from the surface of the energy source. The increase in the porous insertion sizes and the use of working fluid with different thermal characteristics, lead to a decrease in temperature inside the source.

Врабо те представлена физико-математическая постановка задач внутренней баллистики артиллерийского выстрела для заряда, состоящего из совокупности пороховых трубок, и их напряженно-деформированного состояния. Горение и движение пучка пороховых трубок по каналу ствола моделируются эквивалентным трубчатым зарядом всестороннего горения. Предполагается, что эквивалентная трубка движется по оси канала ствола. Скорость движения эквивалентного трубчатого заряда и его текущее положение определяются из второго закона Ньютона. При расчете параметров течения использованы двумерные осесимметричные уравнения газовой динамики, для решения которых строится осесимметричная ортогонализированная разностная сетка, адаптирующаяся к условиям течения. Для численного решения системы газодинамических уравнений применяется метод контрольного объема. Параметры газа на границах контрольных объемов определяются с использованием автомодельного решения задачи о распаде произвольного разрыва С. К. Годунова. Напряженно-деформированное состояние моделируется для отдельной горящей пороховой трубки, находящейся в поле нестационарных газодинамических параметров. Расчет газодинамических параметров выстрела осуществляется без учета деформированного состояния пороховых элементов. При данных условиях рассмотрено поведение пороховых элементов при выстреле. Для решения нестационарной задачи упругости используется метод конечных элементов с разбиением области расчета на треугольные элементы. В процессе выгорания пороховой трубки расчетная сетка на каждом временном слое динамической задачи полностью обновляется в связи с изменением границ порохового элемента за счет горения. Представлены временные зависимости параметров внутрибаллистического процесса и напряженно-деформированного состояния пороховых элементов, а также распределения основных параметров течения продуктов горения в различные моменты времени. Установлено, что трубчатые пороховые элементы в процессе выстрела испытывают существенные деформации, которые необходимо учитывать при решении основной задачи внутренней баллистики. Полученные данные дают представления об уровне эквивалентных напряжений, действующих в различных точках порохового элемента. Представленные результаты говорят об актуальности сопряженной постановки задачи газовой динамики и напряженно-деформированного состояния для зарядов, состоящих из трубчатых порохов, поскольку это позволяет по-новому подойти к проектированию трубчатых зарядов и открывает возможность определения параметров, от которых существенно зависят физика процесса горения пороха и, следовательно, динамика процесса выстрела.

The paper presents the physical and mathematical formulation of the problems of internal ballistics of an artillery shot for a charge consisting of a set of powder tubes and their stress-strain state. Combustion and movement of a bundle of powder tubes along the barrel channel is modeled by an equivalent tubular charge of all-round combustion. It is assumed that the equivalent tube moves along the axis of the bore. The speed of movement of an equivalent tubular charge and its current position are determined from Newton’s second law. When calculating the flow parameters, two-dimensional axisymmetric equations of gas dynamics were used, for the solution of which an axisymmetric orthogonalized difference grid is constructed, which adapts to the flow conditions. The control volume method is used to numerically solve the system of gas-dynamic equations. The gas parameters at the boundaries of the control volumes are determined using a self-similar solution to the Godunov’s problem of the decay of an arbitrary discontinuity. The stress-strain state is modeled for a separate burning powder tube located in the field of gas-dynamic parameters. The calculation of the gas-dynamic parameters of the shot is carried out without taking into account the deformed state of the powder elements. The behavior of powder elements during firing is considered under these conditions. The finite element method with the division of the calculation area into triangular elements is used to solve the problem of elasticity. In the process of powder tube burnout, the computational grid on each time layer of the dynamic problem is completely updated due to a change in the boundaries of the powder element due to combustion. The paper shows the time dependences of the parameters of the internal ballistics process and the stress-strain state of powder elements, as well as the distribution of the main parameters of the flow of combustion products at different points in time. It has been established that the tubular powder elements during the shot experience significant deformations, which must be taken into account when solving the basic problem of internal ballistics. The data obtained give an idea of the level of equivalent stresses acting at various points of the powder element. The results obtained indicate the relevance of the conjugate formulation of the problem of gas dynamics and the stress-strain state for charges consisting of tubular powders, since this allows a new approach to the design of tubular charges and opens up the possibility of determining the parameters on which the physics of the combustion process of gunpowder significantly depends, therefore, and the dynamics of the shot process.

Представлена программа NINE (Newtonian Iteration for Nonlinear Equation) численного решения граничных задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на основе непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН) с использованием нумеровской конечно-разностной аппроксимации четвертого порядка относительно шага дискретизации по пространственной переменной. Обсуждаются алгоритмы вычисления ньютоновского итерационного параметра. Выполнены методические расчеты, демонстрирующие влияние выбора итерационного параметра на сходимость итерационного процесса. Представлены результаты проведенного с помощью программы NINE численного исследования положительных частицеподобных решений уравнения скалярного поля.

The computer code NINE (Newtonian Iteration for Nonlinear Equation) for numerical solution of the boundary problems for nonlinear differential equations on the basis of continuous analogue of the Newton method (CANM) is presented. Numerov’s finite-difference appproximation is applied to provide the fourth accuracy order with respect to the discretization stepsize. Algorithms of calculating the Newtonian iterative parameter are discussed. A convergence of iteration process in dependence on choice of the iteration parameter has been studied. Results of numerical investigation of the particle-like solutions of the scalar field equation are given.

В химической технологии для получения очищенного конечного продукта часто используется процесс десублимации. Для этого используются охлаждаемые жидким азотом или холодным воздухом емкости. Смесь газов протекает внутри емкости и охлаждается до температуры конденсации или десублимации некоторых компонентов газовой смеси. Конденсированные компоненты оседают на стенках емкости. В статье представлена математическая модель для расчета охлаждения емкостей для десублимации паров охлажденным воздухом. Математическая модель основана на уравнениях газовой динамики и описывает течение охлажденного воздуха в трубопроводе и воздушном теплообменнике с учетом теплообмена и трения. Теплота фазового перехода учитывается в граничном условии для уравнения теплопроводности путем задания потока тепла. Перенос тепла в теплоизолированных стенках трубопровода и в стенках емкости описывается нестационарными уравнениями теплопроводности. Решение системы уравнений проводится численно. Уравнения газовой динамики решаются методом С. К. Годунова. Уравнения теплопроводности решаются по неявной разностной схеме. В статье приведены результаты расчетов охлаждения двух последовательно установленных емкостей. Начальная температура емкостей равна 298 К. Холодный воздух течет по трубопроводу, через теплообменник первой емкости, затем по трубопроводу в теплообменник второй емкости. За 20 минут емкости остывают до рабочей температуры. Температура стенок емкостей отличается от температуры воздуха на величину не более чем 1 градус. Поток охлажденного воздуха позволяет поддерживать изотермичность стенок емкости в процессе десублимации компонентов из газовой смеси. Приведены результаты аналитической оценки времени охлаждения емкости и разности температуры между стенками емкости и воздухом в режиме десублимации паров. Аналитическая оценка основана на определении времени термической релаксации температуры стенок емкости. Результаты аналитических оценок удовлетворительно совпадают с результатами расчетов по представленной модели. Предложенный подход позволяет проводить расчет охлаждения емкостей потоком холодного воздуха, подаваемого по трубопроводной системе.

For the production of purified final product in chemical engineering used the process of desublimation. For this purpose, the tank is cooled by liquid nitrogen or cold air. The mixture of gases flows inside the tank and is cooled to the condensation or desublimation temperature some components of the gas mixture. The condensed components are deposited on the walls of the tank. The article presents a mathematical model to calculate the cooling air tanks for desublimation of vapours. A mathematical model based on equations of gas dynamics and describes the movement of cooled air in the duct and the heat exchanger with heat exchange and friction. The heat of the phase transition is taken into account in the boundary condition for the heat equation by setting the heat flux. Heat transfer in the walls of the pipe and in the tank wall is described by the nonstationary heat conduction equations. The solution of the system of equations is carried out numerically. The equations of gas dynamics are solved by the method of S. K. Godunov. The heat equation are solved by an implicit finite difference scheme. The article presents the results of calculations of the cooling of two successively installed tanks. The initial temperature of the tanks is equal to 298 K. Cold air flows through the tubing, through the heat exchanger of the first tank, then through conduit to the heat exchanger second tank. During the 20 minutes of tank cool down to operating temperature. The temperature of the walls of the tanks differs from the air temperature not more than 1 degree. The flow of cooling air allows to maintain constant temperature of the walls of the tank in the process of desublimation components from a gas mixture. The results of analytical evaluation of the time of cooling tank and temperature difference between the tank walls and air with the vapor desublimation. Analytical assessment is based on determining the time of heat relaxation temperature of the tank walls. The results of evaluations are satisfactorily coincide with the results of calculations by the present model. The proposed approach allows calculating the cooling tanks with a flow of cold air supplied via the pipeline system.

Исследуются динамические теоретико-игровые модели инновационного развития корпорации. Предлагаемые модели основаны на согласовании частных и общественных интересов агентов. Предполагается, что структура интересов каждого агента включает как частную (личные интересы), так и общественную (интересы компании в целом, в первую очередь отражающие необходимость ее инновационного развития) составляющие. Агенты могут делить персональные ресурсы между этими направлениями. Динамика системы описывается не дифференциальным, а разностным уравнением. При исследовании предложенной модели инновационного развития используются имитация и метод перебора областей допустимых управлений субъектов с некоторым шагом. Основной вклад работы — сравнительный анализ эффективности методов иерархического управления для информационных регламентов Штакельберга/Гермейера при принуждении/побуждении (четыре регламента) с помощью индексов системной согласованности. Предлагаемая модель носит универсальный характер и может быть использована для научно обоснованной поддержки ПИР компаний всех отраслей экономики. Специфика конкретной компании учитывается в ходе идентификации модели (определения конкретных классов ис- пользуемых в модели функций и числовых значений параметров), которая представляет собой отдельную сложную задачу и предполагает анализ системы официальной отчетности компании и применение экспертных оценок ее специалистов. Приняты следующие предположения относительно информационного регламента иерархической игры: все игроки используют программные стратегии; ведущий выбирает и сообщает ведомым экономические управления либо административные управления, которые могут быть только функциями времени (игры Штакельберга) либо зависеть также от управлений ведомых (игры Гермейера); при известных стратегиях ведущего ведомые одновременно и независимо выбирают свои стратегии, что приводит к равновесию Нэша в игре ведомых. За конечное число итераций предложенный алгоритм имитационного моделирования позволяет построить приближенное решение модели или сделать вывод, что равновесия не существует. Достоверность и эффективность предложенного алгоритма следуют из свойств методов сценариев и прямого упорядоченного перебора с постоянным шагом. Получен ряд содержательных выводов относительно сравнительной эффективности методов иерархического управления инновациями.

Dynamic game theoretic models of the corporative innovative development are investigated. The proposed models are based on concordance of private and public interests of agents. It is supposed that the structure of interests of each agent includes both private (personal interests) and public (interests of the whole company connected with its innovative development first) components. The agents allocate their personal resources between these two directions. The system dynamics is described by a difference (not differential) equation. The proposed model of innovative development is studied by simulation and the method of enumeration of the domains of feasible controls with a constant step. The main contribution of the paper consists in comparative analysis of efficiency of the methods of hierarchical control (compulsion or impulsion) for information structures of Stackelberg or Germeier (four structures) by means of the indices of system compatibility. The proposed model is a universal one and can be used for a scientifically grounded support of the programs of innovative development of any economic firm. The features of a specific company are considered in the process of model identification (a determination of the specific classes of model functions and numerical values of its parameters) which forms a separate complex problem and requires an analysis of the statistical data and expert estimations. The following assumptions about information rules of the hierarchical game are accepted: all players use open-loop strategies; the leader chooses and reports to the followers some values of administrative (compulsion) or economic (impulsion) control variables which can be only functions of time (Stackelberg games) or depend also on the followers’ controls (Germeier games); given the leader’s strategies all followers simultaneously and independently choose their strategies that gives a Nash equilibrium in the followers’ game. For a finite number of iterations the proposed algorithm of simulation modeling allows to build an approximate solution of the model or to conclude that it doesn’t exist. A reliability and efficiency of the proposed algorithm follow from the properties of the scenario method and the method of a direct ordered enumeration with a constant step. Some comprehensive conclusions about the comparative efficiency of methods of hierarchical control of innovations are received.

Для математического моделирования несвязного речного дна широко используется уравнение Экснера совместно с феноменологическими моделями транспорта наносов. В случае моделирования эволюции дна простой геометрической формы такой подход позволяет получить точное решение без каких-либо затруднений. Однако в случае моделирования неустойчивого дна сложной геометрической формы в ряде случаев возникает численная неустойчивость, которую сложно отделить от естественной физической неустойчивости.

В настоящей работе выполнен анализпр ичин возникновения численной неустойчивости при моделировании эволюции дна сложной геометрической формы с помощью уравнения Экснера и феноменологических моделей расхода наносов. Показано, что при численном решении уравнения Экснера, замкнутого феноменологической моделью транспорта наносов, могут реализовываться два вида неопределенности. Первая неопределенность возникает при условии транзита наносов над областью дна, где деформаций не происходит. Вторая неопределенность возникает в точках экстремума донного профиля, когда расход наносов меняется, а дно остается неизменным. Авторами выполнено замыкание уравнения Экснера с помощью аналитической модели транспорта наносов, которое позволило преобразовать уравнение Экснера к уравнению параболического типа. Анализполу ченного уравнения показал, что его численное решение не приводит к возникновению вышеуказанных неопределенностей. Параболический вид преобразованного уравнения Экснера позволяет применить для его решения эффективную и устойчивую неявную центрально-разностную схему.

Выполнено решение модельной задачи об эволюции дна при периодическом распределении придонного касательного напряжения. Для численного решения задачи использовалась явная центрально-разностная схема с применением и без применения метода фильтрации и неявная центрально-разностная схема. Показано, что явная центрально-разностная схема теряет устойчивость в области экстремума донного профиля. Использование метода фильтрации привело к повышенной диссипативности решения. Решение с помощью неявной центрально-разностной схемы соответствует закону распределения придонного касательного напряжения и является устойчивым во всей расчетной области.

The Exner equation in conjunction phenomenological sediment transport models is widely used for mathematical modeling non-cohesive river bed. This approach allows to obtain an accurate solution without any difficulty if one models evolution of simple shape bed. However if one models evolution of complex shape bed with unstable soil the numerical instability occurs in some cases. It is difficult to detach this numerical instability from the natural physical instability of bed.

This paper analyses the causes of numerical instability occurring while modeling evolution of complex shape bed by using the Exner equation and phenomenological sediment rate models. The paper shows that two kinds of indeterminateness may occur while solving numerically the Exner equation closed by phenomenological model of sediment transport. The first indeterminateness occurs in the bed area where sediment transport is transit and bed is not changed. The second indeterminateness occurs at the extreme point of bed profile when the sediment rate varies and the bed remains the same. Authors performed the closure of the Exner equation by the analytical sediment transport model, which allowed to transform the Exner equation to parabolic type equation. Analysis of the obtained equation showed that it’s numerical solving does not lead to occurring of the indeterminateness mentioned above. Parabolic form of the transformed Exner equation allows to apply the effective and stable implicit central difference scheme for this equation solving.

The model problem of bed evolution in presence of periodic distribution of the bed shear stress is carried out. The authors used the explicit central difference scheme with and without filtration method application and implicit central difference scheme for numerical solution of the problem. It is shown that the explicit central difference scheme is unstable in the area of the bed profile extremum. Using the filtration method resulted to increased dissipation of the solution. The solution obtained by using the implicit central difference scheme corresponds to the distribution law of bed shear stress and is stable throughout the calculation area.

В работе рассматривается задача стационарной смешанной конвекции и теплообмена вязкой теплопроводной жидкости в плоской квадратной каверне с подвижной верхней крышкой. Нагретая верхняя стенка каверны имеет температуру $T_{\mathrm{H}}$, холодная нижняя — $T_\mathrm{0}$ $(T_\mathrm{H} > T_\mathrm{0})$, а боковые стенки каверны теплоизолированы. Особенностью задачи является тот факт, что плотность жидкости может принимать произвольные значения в зависимости от величины перегрева крышки каверны. Математическая постановка включает в себя уравнения Навье–Стокса в переменных «скорость–давление» и баланса тепла, сформулированные с учетом несжимаемости течения жидкости и воздействия объемной силы плавучести. Разностная аппроксимация исходных дифференциальных уравнений выполнена методом контрольного объема. Численные решения задачи получены на сетке $501 \times 501$ для следующих значений параметров подобия: число Прандтля Pr = 0.70; число Рейнольдса Re = 100, 1000; число Ричардсона Ri = 0.1, 1, 10 и относительный перегрев верхней стенки $(T_\mathrm{H} − T_\mathrm{0})/T_\mathrm{0} = 0, 1, 2, 3$. Достоверность полученных результатов подтверждена их сравнением с литературными данными. Представлены подробные картины течения в виде линий тока и изотерм перегрева потока. Показано, что увеличение значения числа Ричардсона (рост влияния силы плавучести) приводит к принципиальному изменению структуры течения жидкости. Также установлено, что учет переменности плотности жидкости приводит к ослаблению влияния роста Ri на трансформацию структуры течения. Это связано с тем, что изменение плотности в замкнутом объеме всегда приводит к возникновению зон с отрицательной плавучестью. Как следствие, конкуренция положительных и отрицательных объемных сил приводит в целом к ослаблению эффекта плавучести. Также проанализировано поведение коэффициентов теплоотдачи (числа Нуссельта) и трения вдоль нижней стенки каверны в зависимости от параметров задачи. Выявлено, что влияние переменности плотности на эти коэффициенты тем больше, чем большие значения при прочих равных условиях принимает число Ричардсона.

The paper considers the problem of stationary mixed convection and heat transfer of a viscous heatconducting fluid in a plane square lid-driven cavity. The hot top cover of the cavity has any temperature $T_\mathrm{H}$ and cold bottom wall has temperature $T_\mathrm{0} (T_\mathrm{H} > T_\mathrm{0})$, whereas in contrast the side walls are insulated. The fact that the fluid density can take arbitrary values depending on the amount of overheating of the cavity cover is a feature of the problem. The mathematical formulation includes the Navier–Stokes equations in the ’velocity–pressure’ variables and the heat balance equation which take into account the incompressibility of the fluid flow and the influence of volumetric buoyancy force. The difference approximation of the original differential equations has been performed by the control volume method. Numerical solutions of the problem have been obtained on the $501 \times 501$ grid for the following values of similarity parameters: Prandtl number Pr = 0.70; Reynolds number Re = 100 and 1000; Richardson number Ri = 0.1, 1, and 10; and the relative cover overheating $(T_\mathrm{H}-T_\mathrm{0})/T_\mathrm{0} = 0, 1, 2, 3$. Detailed flow patterns in the form of streamlines and isotherms of relative overheating of the fluid flow are given in the work. It is shown that the increase in the value of the Richardson number (the increase in the influence of buoyancy force) leads to a fundamental change in the structure of the liquid stream. It is also found out that taking into account the variability of the liquid density leads to weakening of the influence of Ri growth on the transformation of the flow structure. The change in density in a closed volume is the cause of this weakening, since it always leads to the existence of zones with negative buoyancy in the presence of a volumetric force. As a consequence, the competition of positive and negative volumetric forces leads in general to weakening of the buoyancy effect. The behaviors of heat exchange coefficient (Nusselt number) and coefficient of friction along the bottom wall of the cavity depending on the parameters of the problem are also analyzed. It is revealed that the greater the values of the Richardson number are, the greater, ceteris paribus, the influence of density variation on these coefficients is.

Математические модели газовой динамики и ее вычислительная индустрия, на наш взгляд, далеки от совершенства. Мы посмотрим на эту проблематику с точки зрения ясной вероятностной микромодели газа из твердых сфер, опираясь как на теорию случайных процессов, так и на классическую кинетическую теорию в терминах плотностей функций распределения в фазовом пространстве; а именно, построим сначала систему нелинейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), а затем обобщенное случайное и неслучайное интегро-дифференциальное уравнение Больцмана с учетом корреляций и флуктуаций. Ключевыми особенностями исходной модели являются случайный характер интенсивности скачкообразной меры и ее зависимость от самого процесса.

Кратко напомним переход ко все более грубым мезо-макроприближениям в соответствии с уменьшением параметра обезразмеривания, числа Кнудсена. Получим стохастические и неслучайные уравнения, сначала в фазовом пространстве (мезомодель в терминах СДУ по винеров- ским мерам и уравнения Колмогорова – Фоккера – Планка), а затем в координатном пространстве (макроуравнения, отличающиеся от системы уравнений Навье – Стокса и систем квазигазодинамики). Главным отличием этого вывода является более точное осреднение по скорости благодаря аналитическому решению стохастических дифференциальных уравнений по винеровской мере, в виде которых представлена промежуточная мезомодель в фазовом пространстве. Такой подход существенно отличается от традиционного, использующего не сам случайный процесс, а его функцию распределения. Акцент ставится на прозрачности допущений при переходе от одного уровня детализации к другому, а не на численных экспериментах, в которых содержатся дополнительные погрешности аппроксимации.

Теоретическая мощь микроскопического представления макроскопических явлений важна и как идейная опора методов частиц, альтернативных разностным и конечно-элементным.

Mathematical models of gas dynamics and its computational industry, in our opinion, are far from perfect. We will look at this problem from the point of view of a clear probabilistic micro-model of a gas from hard spheres, relying on both the theory of random processes and the classical kinetic theory in terms of densities of distribution functions in phase space, namely, we will first construct a system of nonlinear stochastic differential equations (SDE), and then a generalized random and nonrandom integro-differential Boltzmann equation taking into account correlations and fluctuations. The key feature of the initial model is the random nature of the intensity of the jump measure and its dependence on the process itself.

Briefly recall the transition to increasingly coarse meso-macro approximations in accordance with a decrease in the dimensionalization parameter, the Knudsen number. We obtain stochastic and non-random equations, first in phase space (meso-model in terms of the Wiener — measure SDE and the Kolmogorov – Fokker – Planck equations), and then — in coordinate space (macro-equations that differ from the Navier – Stokes system of equations and quasi-gas dynamics systems). The main difference of this derivation is a more accurate averaging by velocity due to the analytical solution of stochastic differential equations with respect to the Wiener measure, in the form of which an intermediate meso-model in phase space is presented. This approach differs significantly from the traditional one, which uses not the random process itself, but its distribution function. The emphasis is placed on the transparency of assumptions during the transition from one level of detail to another, and not on numerical experiments, which contain additional approximation errors.

The theoretical power of the microscopic representation of macroscopic phenomena is also important as an ideological support for particle methods alternative to difference and finite element methods.