All issues

В приближении однородной намагниченности построена математическая модель ячейки памяти MRAM c осью анизотропии, расположенной в плоскости запоминающего ферромагнитного слоя ячейки и ориентированной параллельно ее краю (продольная анизотропия). Модель базируется на уравнении Ландау–Лифшица–Гильберта с токовым членом в форме Слончевского–Берже. Выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальном виде, описывающая динамику намагниченности в трехслойной вентильной структуре Co/Cu/Co в зависимости от величины тока инжекции и внешнего магнитного поля, параллельного оси анизотропии магнитных слоев. Показано, что при любых токах и полях система имеет два основных состояния равновесия, расположенных на оси, совпадающей с осью анизотропии. Проведен анализ устойчивости этих состояний равновесия. Выписаны уравнения для определения дополнительных состояний равновесия. Показано, что в зависимости от величины внешнего магнитного поля и тока инжекции система может иметь всего два, четыре и шесть симметричных относительно оси анизотропии положений равновесия. Построены бифуркационные диаграммы, характеризующие основные типы динамики вектора намагниченности свободного слоя. Проведена классификация фазовых портретов на единичной сфере в зависимости от управляющих параметров (тока и поля). Изучены особенности динамики вектора намагниченности в каждой из характерных областей бифуркационной диаграммы и численно построены траектории переключения. Для построения траекторий использовался метод Рунге–Кутты. Найдены параметры, при которых существуют неустойчивые и устойчивые предельные циклы. Установлено, что неустойчивые предельные циклы существуют вокруг основного устойчивого равновесия на оси, совпадающей с осью анизотропии, а устойчивые циклы — вокруг неустойчивых дополнительных равновесий. Граница области существования устойчивых предельных циклов рассчитана численно. Обнаружены новые типы динамики под влиянием внешнего магнитного поля и спин-поляризованного тока инжекции: случайное и неполное переключение намагниченности. Аналитически определены значения пороговых токов переключения в зависимости от внешнего магнитного поля. Численно выполнены оценки времени переключения в зависимости от величин управляющих параметров.

The mathematical model of the magnetic memory cell MRAM with the in-plane anisotropy axis parallel to the edge of a free ferromagnetic layer (longitudinal anisotropy) has been constructed using approximation of uniform magnetization. The model is based on the Landau–Lifshits–Gilbert equation with the injection-current term in the Sloncžewski–Berger form. The set of ordinary differential equations for magnetization dynamics in a three-layered Co/Cu/Cu valve under the control of external magnetic field and spin-polarized current has been derived in the normal coordinate form. It was shown that the set of equations has two main stationary points on the anisotropy axis at any values of field and current. The stationary analysis of them has been performed. The algebraic equations for determination of additional stationary points have been derived. It has been shown that, depending on the field and current magnitude, the set of equations can have altogether two, four, or six stationary points symmetric in pairs relatively the anisotropy axis. The bifurcation diagrams for all the points have been constructed. The classification of the corresponding phase portraits has been performed. The typical trajectories were calculated numerically using Runge–Kutta method. The regions, where stable and unstable limit cycles exist, have been determined. It was found that the unstable limit cycles exist around the main stable equilibrium point on the axis that coincides with the anisotropy one, whereas the stable cycles surround the unstable additional points of equilibrium. The area of their existence was determined numerically. The new types of dynamics, such as accidental switching and non-complete switching, have been found. The threshold values of switching current and field have been obtained analytically. The estimations of switching times have been performed numerically.

В настоящее время для численного моделирования начально-краевых задач для систем гиперболических уравнений в частных производных (например, уравнения газовой динамики, МГД, деформируемого твердого тела и т. д.) применяются различные нелинейные численные схемы пространственной аппроксимации. Это связано с необходимостью повышения порядка аппроксимации и расчета разрывных решений, часто возникающих в таких системах. Необходимость в нелинейных схемах связана с ограничением, следующим из теоремы С. К. Годунова о невозможности построения линейной схемы порядка больше первого для монотонной аппроксимации уравнений такого типа. Одними из наиболее точных нелинейных схем являются схемы типа ENO (существенно не осциллирующие схемы и их модификации), в том числе схемы WENO (взвешенные, существенно не осциллирующие схемы). Последние получили наибольшее распространение, поскольку при одинаковой ширине шаблона имеют более высокий порядок аппроксимации чем ENO-схемы. Плюсом ENO- и WENO-схем является сохранение высокого порядка аппроксимации на немонотонных участках решения. Исследование данных схем затруднительно в связи с тем, что сами схемы нелинейны и применяются для аппроксимации нелинейных уравнений. В частности, условие линейной устойчивости ранее было получено только для схемы WENO5 (пятого порядка аппроксимации на гладких решениях) и является приближенным. В настоящей работе рассматриваются вопросы построения и устойчивости схем WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 и WENO13 для конечно-объемной схемы для уравнения Хопфа. В первой части статьи рассмотрены методы WENO в общем случае и приведены явные выражения для коэффициентов полиномов и весов линейных комбинаций, необходимых для построения схем. Доказывается ряд утверждений, позволяющих сделать выводы о порядках аппроксимации в зависимости от локального вида решения. Проводится анализ устойчивости на основе принципа замороженных коэффициентов. Рассматриваются случаи гладкого и разрывного поведения решения в области линеаризации при замороженных коэффициентах на гранях конечного объема и анализируется спектр схем для этих случаев. Доказываются условия линейной устойчивости для различных методов Рунге–Кутты при применении со схемами WENO. В результате приводятся рекомендации по выбору максимально возможного параметра устойчивости, которое наименьшим образом влияет на нелинейные свойства схем. Следуя полученным ограничениям, делается вывод о сходимости схем.

Currently, different nonlinear numerical schemes of the spatial approximation are used in numerical simulation of boundary value problems for hyperbolic systems of partial differential equations (e. g. gas dynamics equations, MHD, deformable rigid body, etc.). This is due to the need to improve the order of accuracy and perform simulation of discontinuous solutions that are often occurring in such systems. The need for non-linear schemes is followed from the barrier theorem of S. K. Godunov that states the impossibility of constructing a linear scheme for monotone approximation of such equations with approximation order two or greater. One of the most accurate non-linear type schemes are ENO (essentially non oscillating) and their modifications, including WENO (weighted, essentially non oscillating) scemes. The last received the most widespread, since the same stencil width has a higher order of approximation than the ENO scheme. The benefit of ENO and WENO schemes is the ability to maintain a high-order approximation to the areas of non-monotonic solutions. The main difficulty of the analysis of such schemes comes from the fact that they themselves are nonlinear and are used to approximate the nonlinear equations. In particular, the linear stability condition was obtained earlier only for WENO5 scheme (fifth-order approximation on smooth solutions) and it is a numerical one. In this paper we consider the problem of construction and stability for WENO5, WENO7, WENO9, WENO11, and WENO13 finite volume schemes for the Hopf equation. In the first part of this article we discuss WENO methods in general, and give the explicit expressions for the coefficients of the polynomial weights and linear combinations required to build these schemes. We prove a series of assertions that can make conclusions about the order of approximation depending on the type of local solutions. Stability analysis is carried out on the basis of the principle of frozen coefficients. The cases of a smooth and discontinuous behavior of solutions in the field of linearization with frozen coefficients on the faces of the final volume and spectra of the schemes are analyzed for these cases. We prove the linear stability conditions for a variety of Runge-Kutta methods applied to WENO schemes. As a result, our research provides guidance on choosing the best possible stability parameter, which has the smallest effect on the nonlinear properties of the schemes. The convergence of the schemes is followed from the analysis.

Работа посвящена теоретическому обоснованию неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных уравнений, которые возникают при аппроксимации двумерных эллиптических дифференциальных уравнений на регулярной сетке. Высокая эффективность этого метода практически подтверждена при решении сложных тестовых задач, а также задач течения и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости. Однако теоретические положения, объясняющие высокую скорость сходимости и устойчивость метода, до сих пор оставались за кадром внимания, что и послужило причиной проведения настоящего исследования. В работе подробно излагается процедура эквивалентных и приближенных преобразований исходной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) как в матрично-векторной форме, так и виде расчетных формул метода. При этом для наглядности изложения материала ключевые моменты преобразований иллюстрируются схемами изменения разностных шаблонов, отвечающих преобразованным уравнениям. Конечная цель процедуры преобразований — получение канонической формы записи метода, из которого следует его корректность в случае сходимости решения. На основе анализа структур и элементных составов матричных операторов проводится оценка их норм и, соответственно, доказывается сходимость метода для произвольных начальных векторов.

В специальном случае слабых ограничений на искомое решение производится оценка нормы оператора перехода. Показывается, что с ростом размерности матрицы этого оператора величина его нормы уменьшается пропорционально квадрату (или кубу, в зависимости от версии метода) шага сеточного разбиения области решения задачи. С помощью простых оценок получено необходимое условие устойчивости метода. Также даются рекомендации относительно выбора по порядку величины оптимального итерационного параметра компенсации. Теоретические выводы проиллюстрированы результатами решения тестовых задач. Показано, что при увеличении размерности сеточного разбиения области решения количество итераций, необходимых для достижения заданной точности решения, при прочих равных условиях уменьшается. Также продемонстрировано, что если слабые ограничения на решение нарушены при выборе его начального приближения, то в полном соответствии с полученными теоретическими результатами скорость сходимости метода существенно уменьшается.

In the article a theory of the implicit iterative line-by-line recurrence method for solving the systems of finite-difference equations which arise as a result of approximation of the two-dimensional elliptic differential equations on a regular grid is stated. On the one hand, the high effectiveness of the method has confirmed in practice. Some complex test problems, as well as several problems of fluid flow and heat transfer of a viscous incompressible liquid, have solved with its use. On the other hand, the theoretical provisions that explain the high convergence rate of the method and its stability are not yet presented in the literature. This fact is the reason for the present investigation. In the paper, the procedure of equivalent and approximate transformations of the initial system of linear algebraic equations (SLAE) is described in detail. The transformations are presented in a matrix-vector form, as well as in the form of the computational formulas of the method. The key points of the transformations are illustrated by schemes of changing of the difference stencils that correspond to the transformed equations. The canonical form of the method is the goal of the transformation procedure. The correctness of the method follows from the canonical form in the case of the solution convergence. The estimation of norms of the matrix operators is carried out on the basis of analysis of structures and element sets of the corresponding matrices. As a result, the convergence of the method is proved for arbitrary initial vectors of the solution of the problem.

The norm of the transition matrix operator is estimated in the special case of weak restrictions on a desired solution. It is shown, that the value of this norm decreases proportionally to the second power (or third degree, it depends on the version of the method) of the grid step of the problem solution area in the case of transition matrix order increases. The necessary condition of the method stability is obtained by means of simple estimates of the vector of an approximate solution. Also, the estimate in order of magnitude of the optimum iterative compensation parameter is given. Theoretical conclusions are illustrated by using the solutions of the test problems. It is shown, that the number of the iterations required to achieve a given accuracy of the solution decreases if a grid size of the solution area increases. It is also demonstrated that if the weak restrictions on solution are violated in the choice of the initial approximation of the solution, then the rate of convergence of the method decreases essentially in full accordance with the deduced theoretical results.

В работе рассматриваются особенности статистического распределения Райса, обусловливающие возможность его эффективного применения при решении задач высокоточных фазовых измерений в оптике. Дается строгое математическое доказательство свойства устойчивости статистического распределения Райса на примере рассмотрения разностного сигнала, а именно: доказано, что сумма или разность двух райсовских сигналов также подчиняются распределению Райса. Кроме того, получены формулы для параметров райсовского распределения результирующего суммарного или разностного сигнала. На основании доказанного свойства устойчивости распределения Райса в работе разработан новый оригинальный метод высокоточного измерения разности фаз двух квазигармонических сигналов. Этот метод базируется на статистическом анализе измеренных выборочных данных для обоих амплитуд сигналов и амплитуды третьего сигнала, представляющего собой разность сопоставляемых по фазе сигналов. Искомый фазовый сдвиг двух квазигармонических сигналов определяется исходя из геометрических соображений как угол треугольника, сформированного восстановленными на фоне шума значениями амплитуд трех упомянутых сигналов. Тем самым предлагаемый метод измерения фазового сдвига с использованием разностного сигнала основан исключительно на амплитудных измерениях, что существенно снижает требования к оборудованию и облегчает реализацию метода на практике. В работе представлены как строгое математическое обоснование нового метода измерения разности фаз сигналов, так и результаты его численного тестирования. Разработанный метод высокоточных фазовых измерений может эффективно применяться для решения широкого круга задач в различных областях науки и техники, в частности в дальнометрии, в системах коммуникации, навигации и т. п.

The paper concerns the study of the Rice statistical distribution’s peculiarities which cause the possibility of its efficient application in solving the tasks of high precision phase measuring in optics. The strict mathematical proof of the Rician distribution’s stable character is provided in the example of the differential signal consideration, namely: it has been proved that the sum or the difference of two Rician signals also obey the Rice distribution. Besides, the formulas have been obtained for the parameters of the resulting summand or differential signal’s Rice distribution. Based upon the proved stable character of the Rice distribution a new original technique of the high precision measuring of the two quasi-harmonic signals’ phase shift has been elaborated in the paper. This technique is grounded in the statistical analysis of the measured sampled data for the amplitudes of the both signals and for the amplitude of the third signal which is equal to the difference of the two signals to be compared in phase. The sought-for phase shift of two quasi-harmonic signals is being calculated from the geometrical considerations as an angle of a triangle which sides are equal to the three indicated signals’ amplitude values having been reconstructed against the noise background. Thereby, the proposed technique of measuring the phase shift using the differential signal analysis, is based upon the amplitude measurements only, what significantly decreases the demands to the equipment and simplifies the technique implementation in practice. The paper provides both the strict mathematical substantiation of a new phase shift measuring technique and the results of its numerical testing. The elaborated method of high precision phase measurements may be efficiently applied for solving a wide circle of tasks in various areas of science and technology, in particular — at distance measuring, in communication systems, in navigation, etc.

Последние годы получило широкое распространение применение нейросетевых моделей для решения задач аэродинамики. В основном такие модели, обученные по некоторому набору ранее полученных решений, позволяют предсказывать решения новых задач и являются в некотором смысле алгоритмами интерполяции. Альтернативным подходом может служить построение нейросетевого оператора, представляющего собой нейросетевую модель, которая воспроизводит поведение численного метода решения задачи. Такая модель позволяет находить решение задачи итерациями. В работе рассматривается вариант построения такого оператора с применением нейронной сети типа UNet с пространственным механизмом внимания для решения задач обтекания на прямоугольной равномерной сетке, общей для обтекаемого тела и поля течения. Для уточнения полученного решения предлагается и исследуется механизм коррекции решения. Анализируется вопрос устойчивости такого алгоритма решения стационарной задачи, проводится сравнение с некоторыми другими вариантами его построения: прием с продвижением вперед (pushforward trick), позиционное встраивание. Рассматривается вопрос выбора набора итераций для формирования обучающей выборки. Оценивается поведение решения при многократном применении нейросетевого оператора.

Демонстрация метода приводится для случая обтекания скругленной пластины турбулентным потоком воздуха с различными вариантами скругления при фиксированных параметрах набегающего потока с числом Рейнольдса $\text{Re} = 10^5$ и числом Маха $M = 0,15$. Поскольку течения с такими параметрами набегающего потока можно считать несжимаемыми, исследуются непосредственно только компоненты скорости. При этом нейросетевая модель, используемая для построения оператора, имеет общий декодер для обеих компонент скорости. Проводится сравнение полей течения и профилей скорости по нормали и по обводу тела, полученных нейросетевым оператором и численно. Анализ проводится как на пластине, так и на скруглении. Результаты моделирования подтверждают, что нейросетевой оператор позволяет находить решение с высокой точностью устойчивым образом.

In recent years, the use of neural network models for solving aerodynamics problems has become widespread. These models, trained on a set of previously obtained solutions, predict solutions to new problems. They are, in essence, interpolation algorithms. An alternative approach is to construct a neural network operator. This is a neural network that reproduces a numerical method used to solve a problem. It allows to find the solution in iterations. The paper considers the construction of such an operator using the UNet neural network with a spatial attention mechanism. It solves flow problems on a rectangular uniform grid that is common to a streamlined body and flow field. A correction mechanism is proposed to clarify the obtained solution. The problem of the stability of such an algorithm for solving a stationary problem is analyzed, and a comparison is made with other variants of its construction, including pushforward trick and positional encoding. The issue of selecting a set of iterations for forming a train dataset is considered, and the behavior of the solution is assessed using repeated use of a neural network operator.

A demonstration of the method is provided for the case of flow around a rounded plate with a turbulent flow, with various options for rounding, for fixed parameters of the incoming flow, with Reynolds number $\text{Re} = 10^5$ and Mach number $M = 0.15$. Since flows with these parameters of the incoming flow can be considered incompressible, only velocity components are directly studied. At the same time, the neural network model used to construct the operator has a common decoder for both velocity components. Comparison of flow fields and velocity profiles along the normal and outline of the body, obtained using a neural network operator and numerical methods, is carried out. Analysis is performed both on the plate and rounding. Simulation results confirm that the neural network operator allows finding a solution with high accuracy and stability.

Настоящая работа посвящена периодическим и непериодическим полулокальным сглаживающим сплайнам или S-сплайнам класса C^p, состоящим из полиномов степени n.
Первые p + 1 коэффициентов каждого полинома задаются значениями предыдущего полинома и его p первых производных в точке склейки, остальные n − p коэффициентов при старших производных полинома определяются методом наименьших квадратов. Эти условия дополняются или начальными условиями (непериодический случай), или условием периодичности сплайн-функции на отрезке определения. В работе выписана система линейных уравнений, определяющих коэффициенты полиномов, составляющих сплайн. Матрица системы имеет блочный вид. Доказаны теоремы существования и единственности. Показано, что сходимость сплайнов к исходной функции зависит от величин собственных значений матрицы устойчивости. Приведены примеры устойчивых S-сплайнов.

Semilocal smoothing splines or S-splines from class C ^p are considered. These splines consist of polynomials of a degree n, first p + 1 coefficients of each polynomial are determined by values of the previous polynomial and p its derivatives at the point of splice, coefficients at higher terms of the polynomial are determined by the least squares method. These conditions are supplemented by the periodicity condition for the spline function on the whole segment of definition or by initial conditions. Uniqueness and existence theorems are proved. Stability and convergence conditions for these splines are established.

Представлены результаты расчетов стационарной скорости распространения пламени с использованием соотношения, полученного на основе термодинамического вариационного принципа. Показано, что предложенный вычислительный алгоритм обеспечивает устойчивую сходимость итерационного процесса при любом начальном приближении значительно отличающемся от искомого решения.

The stationary flame spread rate has been calculated using the relationship based on the thermodynamic variational principle. It has been shown that proposed numerical algorithm provides the stable convergence under any initial approximation, which could be noticeably far from the searched solution.

В приближении однородной намагниченности построена математическая модель трехслойной ячейки памяти MRAM c осью анизотропии, расположенной перпендикулярно запоминающему ферромагнитному слою ячейки (перпендикулярная анизотропия). Предполагается, что первоначально намагниченность свободного слоя ячейки ориентирована вдоль оси анизотропии и соответствует состоянию «нуль». Одновременное мгновенное включение спин-поляризованного тока и магнитного поля воздействует на намагниченность свободного слоя и может перевести ее в противоположное положение, соответствующее состоянию «единица». Математическое описание эффекта основано на классическом векторном уравнении Ландау–Лифшица с диссипативным членом в форме Гильберта. В нашей модели учтены взаимодействия намагниченности с внешним магнитным полем и эффективными полями анизотропии и размагничивания, а также с током инжекции в форме Слончевского–Берже. Выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику намагниченности в трехслойной вентильной структуре Co/Cu/Co в зависимости от управляющих параметров: величины тока инжекции и внешнего магнитного поля, параллельного оси анизотропии магнитных слоев. Показано, что при любых токах и полях система имеет два основных состояния равновесия, расположенных на оси, совпадающей с осью анизотропии. Установлено, что в данной системе, в отличие от системы с продольной анизотропией, дополнительные состояния равновесия отсутствуют. Проведен анализ устойчивости основных состояний равновесия по первому приближению. Построены бифуркационные диаграммы, характеризующие типы динамики вектора намагниченности свободного слоя. Проведена классификация фазовых портретов на единичной сфере в зависимости от управляющих параметров (тока и поля). Изучены особенности динамики вектора намагниченности в каждой из характерных областей бифуркационной диаграммы и численно, методом Рунге–Кутты, построены траектории переключения. Найдены комбинации управляющих параметров, при которых переключение невозможно. Найдены области существования устойчивых и неустойчивых предельных циклов системы. Аналитически определены значения пороговых токов переключения в зависимости от внешнего магнитного поля. Проведено сравнение значений порогового тока в моделях с продольной и перпендикулярной анизотропией при нулевом магнитном поле и показано, что в модели с перпендикулярной анизотропией ток переключения почти на порядок ниже, чем в модели с продольной анизотропией.

The mathematical model of a three-layered Co/Cu/Co nanopillar for MRAM cell with one fixed and one free layer was investigated in the approximation of uniformly distributed magnetization. The anisotropy axis is perpendicular to the layers (so-called perpendicular anisotropy). Initially the magnetization of the free layer is oriented along the anisotropy axis in the position accepted to be “zero”. Simultaneous magnetic field and spinpolarized current engaging can reorient the magnetization to another position which in this context can be accepted as “one”. The mathematical description of the effect is based on the classical vector Landau–Lifshits equation with the dissipative term in the Gilbert form. In our model we took into account the interactions of the magnetization with an external magnetic field and such effective magnetic fields as an anisotropy and demagnetization ones. The influence of the spin-polarized injection current is taken into account in the form of Sloczewski–Berger term. The model was reduced to the set of three ordinary differential equations with the first integral. It was shown that at any current and field the dynamical system has two main equilibrium states on the axis coincident with anisotropy axis. It was ascertained that in contrast with the longitudinal-anisotropy model, in the model with perpendicular anisotropy there are no other equilibrium states. The stability analysis of the main equilibrium states was performed. The bifurcation diagrams characterizing the magnetization dynamics at different values of the control parameters were built. The classification of the phase portraits on the unit sphere was performed. The features of the dynamics at different values of the parameters were studied and the conditions of the magnetization reorientation were determined. The trajectories of magnetization switching were calculated numerically using the Runge–Kutta method. The parameter values at which limit cycles exist were determined. The threshold values for the switching current were found analytically. The threshold values for the structures with longitudinal and perpendicular anisotropy were compared. It was established that in the structure with the perpendicular anisotropy at zero field the switching current is an order lower than in the structure with the longitudinal one.

Рассматривается известное эволюционное уравнение математической физики, которое в современной математической литературе принято называть уравнением Курамото–Сивашинского. В данной работе это уравнение изучается в первоначальной редакции авторов работ, где оно было предложено, вместе с однородными краевыми условиями Неймана. Изучен вопрос о существовании и устойчивости локальных аттракторов, сформированных пространственно-неоднородными решениями изучаемой краевой задачи. Данный вопрос стал особенно актуален в последнее время в связи с моделированием процесса формирования наноструктур на поверхности полупроводников под воздействием потока ионов или лазерного излучения.

Изучен вопрос о существовании и устойчивости состояний равновесия второго рода двумя различными способами. В первом из них использован метод Галёркина. Второй подход основан на использовании строго обоснованных методов теории динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством: метод интегральных многообразий, теория нормальных форм, асимптотические методы.

В работе в целом повторен подход из известной работы Д. Армбрустера, Д. Гукенхеймера, Ф.Холмса, где использован подход, основанный на применении метода Галёркина. Результаты такого анализа расширены и развиты. Использование возможностей современных компьютеров помогло существенно дополнить анализ этой задачи. В частности, найти все решения в четырех- и пятичленных аппроксимациях Галёркина, которые для изучаемой краевой задачи следует интерпретировать как состояния равновесия второго рода. Также дан анализ их устойчивости в смысле определения А. М. Ляпунова.

В данной работе проведено сравнение результатов, полученных с использованием метода Галёркина с результатами бифуркационного анализа краевой задачи на базе применения методов качественного анализа бесконечномерных динамических систем. Сравнение двух вариантов результатов показало некоторую ограниченность возможностей использования метода Галёркина.

The well-known evolutionary equation of mathematical physics, which in modern mathematical literature is called the Kuramoto – Sivashinsky equation, is considered. In this paper, this equation is studied in the original edition of the authors, where it was proposed, together with the homogeneous Neumann boundary conditions.

The question of the existence and stability of local attractors formed by spatially inhomogeneous solutions of the boundary value problem under study has been studied. This issue has become particularly relevant recently in connection with the simulation of the formation of nanostructures on the surface of semiconductors under the influence of an ion flux or laser radiation. The question of the existence and stability of second-order equilibrium states has been studied in two different ways. In the first of these, the Galerkin method was used. The second approach is based on using strictly grounded methods of the theory of dynamic systems with infinite-dimensional phase space: the method of integral manifolds, the theory of normal forms, asymptotic methods.

In the work, in general, the approach from the well-known work of D.Armbruster, D.Guckenheimer, F.Holmes is repeated, where the approach based on the application of the Galerkin method is used. The results of this analysis are substantially supplemented and developed. Using the capabilities of modern computers has helped significantly complement the analysis of this task. In particular, to find all the solutions in the fourand five-term Galerkin approximations, which for the studied boundary-value problem should be interpreted as equilibrium states of the second kind. An analysis of their stability in the sense of A. M. Lyapunov’s definition is also given.

In this paper, we compare the results obtained using the Galerkin method with the results of a bifurcation analysis of a boundary value problem based on the use of qualitative analysis methods for infinite-dimensional dynamic systems. Comparison of two variants of results showed some limited possibilities of using the Galerkin method.

В статье предлагается метод исследования задач оптимального управления с использованием нейронных сетей. Рассмотрение проводится на примере задачи контроля качества поверхностных вод. При моделировании системы контроля качества поверхностных вод используются теоретико-игровой и иерархический подходы. Исследуется случай динамической двухуровневой системы управления качеством поверхностных вод, включающий ведущего и нескольких ведомых. Рассмотрение ведется с точки зрения ведомых. В этом случае между ними возникает неантагонистическая игра, в которой строится равновесие Нэша. С математической точки зрения при этом решается задача оптимального управления при наличии фазовых ограничений. Для ее аналитического исследования в работе используется принцип максимума Понтрягина, на основе которого формулируются условия оптимальности. Для решения возникающих при этом систем дифференциальных уравнений используется обучаемая нейронная сеть прямого распространения (feedforward). Приводится обзор существующих методов решения подобных задач с помощью нейронных сетей и методов обучения нейронных сетей. Для оценки ошибки решения, получаемого с помощью нейронной сети, предлагается использовать метод анализа дефекта решения, адаптированный для нейронных сетей. Это позволяет получить количественную оценку ошибки численного решения. Приведены примеры использования нейросетевого подхода для решения модельной задачи оптимального управления и задачи контроля качества поверхностных вод. Полученные в этих примерах результаты сравниваются с точным решением и с результатами, полученными методом стрельбы. Во всех случаях величина ошибки оценивается методом анализа дефекта решения. Нейросетевым методом проводится также исследование системы контроля качества поверхностных вод для случаев, когда решение задачи другими методами получить не удалось (большой временной промежуток моделирования и случай нескольких агентов). В статье иллюстрируются возможность использования нейросетевого подхода для решения различных задач оптимального управления и дифференциальных игр, а также возможность количественной оценки точности решения. Полученные результаты численных экспериментов позволяют говорить о необходимости введения регулирующего органа для достижения устойчивого развития системы.

In this study we discuss methods to solve optimal control problems based on neural network techniques. We study hierarchical dynamical two-level system for surface water quality control. The system consists of a supervisor (government) and a few agents (enterprises). We consider this problem from the point of agents. In this case we solve optimal control problem with constraints. To solve this problem, we use Pontryagin’s maximum principle, with which we obtain optimality conditions. To solve emerging ODEs, we use feedforward neural network. We provide a review of existing techniques to study such problems and a review of neural network’s training methods. To estimate the error of numerical solution, we propose to use defect analysis method, adapted for neural networks. This allows one to get quantitative error estimations of numerical solution. We provide examples of our method’s usage for solving synthetic problem and a surface water quality control model. We compare the results of this examples with known solution (when provided) and the results of shooting method. In all cases the errors, estimated by our method are of the same order as the errors compared with known solution. Moreover, we study surface water quality control problem when no solutions is provided by other methods. This happens because of relatively large time interval and/or the case of several agents. In the latter case we seek Nash equilibrium between agents. Thus, in this study we show the ability of neural networks to solve various problems including optimal control problems and differential games and we show the ability of quantitative estimation of an error. From the numerical results we conclude that the presence of the supervisor is necessary for achieving the sustainable development.