All issues

Целью работы является исследование конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая создана на основе Z-схемы. Это исследование состоит в численном решении нескольких двумерных дифференциальных уравнений, моделирующих перенос несжимаемой среды.

Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направлении предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы. По той же причине в продольном к магнитному полю направлении могут возникать достаточно высокие скорости тепло- и массопереноса.

Актуальной задачей при ионосферном моделировании является исследование плазменных неустойчивостей различных масштабов, которые возникают прежде всего в полярной и экваториальной областях. При этом среднемасштабные неоднородности, имеющие характерные размеры 1–50 км, создают условия для развития мелкомасштабных неустойчивостей. Последние приводят к явлению F-рассеяния, которое существенно влияет на точность работы спутниковых систем позиционирования, а также других космических и наземных радиоэлектронных систем.

Используемые для одновременного моделирования таких разномасштабных процессов разностные схемы должны иметь высокое разрешение. Кроме того, эти разностные схемы должны быть, с одной стороны, достаточно точными, а с другой стороны — монотонными. Причиной таких противоречивых требований является то, что неустойчивости усиливают погрешности разностных схем, особенно погрешности дисперсионного типа. Подобная раскачка погрешностей при численном решении обычно приводит к нефизическим результатам.

При численном решении трехмерных математических моделей ионосферной плазмы используется следующая схема расщепления по физическим процессам: первый шаг расщепления осуществляет продольный перенос, второй шаг расщепления осуществляет поперечный перенос. Исследуемая в работе конечно-разностная схема второго порядка точности приближенно решает уравнения поперечного пере- носа. Эта схема строится с помощью нелинейной процедуры монотонизации Z-схемы, которая является одной из схем второго порядка точности. При этой монотонизации используется нелинейная коррекция по так называемым «косым разностям». «Косые разности» содержат узлы расчетной сетки, относящиеся к разным слоям времени.

Исследования проводились для двух случаев. В первом случае компоненты вектора переноса были знакопостоянны, во втором — знакопеременны в области моделирования. Численно получены диссипативные и дисперсионные характеристики схемы для различных видов ограничивающих функций.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы.

1. Для разрывного начального профиля лучшие свойства показал ограничитель SuperBee.

2. Для непрерывного начального профиля при больших пространственных шагах лучше ограничитель SuperBee, а при малых шагах лучше ограничитель Koren.

3. Для гладкого начального профиля лучшие результаты показал ограничитель Koren.

4. Гладкий ограничитель F показал результаты, аналогичные Koren.

5. Ограничители разного типа оставляют дисперсионные ошибки, при этом зависимости дисперсионных ошибок от параметров схемы имеют большую вариабельность и сложным образом зависят от параметров этой схемы.

6. Во всех расчетах численно подтверждена монотонность рассматриваемой разностной схемы. Для одномерного уравнения численно подтверждено свойство неувеличения вариации для всех указанных функций-ограничителей.

7. Построенная разностная схема при шагах по времени, не превышающих шаг Куранта, является монотонной и показывает хорошие характеристики точности для решений разных типов. При превышении шага Куранта схема остается устойчивой, но становится непригодной для задач неустойчивости, поскольку условия монотонности перестают в этом случае выполняться.

The purpose of the paper is a research of a 2nd order finite difference scheme based on the Z-scheme. This research is the numerical solution of several two-dimensional differential equations simulated the incompressible medium convection.

One of real tasks for similar equations solution is the numerical simulating of strongly non-stationary midscale processes in the Earth ionosphere. Because convection processes in ionospheric plasma are controlled by magnetic field, the plasma incompressibility condition is supposed across the magnetic field. For the same reason, there can be rather high velocities of heat and mass convection along the magnetic field.

Ionospheric simulation relevant task is the research of plasma instability of various scales which started in polar and equatorial regions first of all. At the same time the mid-scale irregularities having characteristic sizes 1–50 km create conditions for development of the small-scale instabilities. The last lead to the F-spread phenomenon which significantly influences the accuracy of positioning satellite systems work and also other space and ground-based radio-electronic systems.

The difference schemes used for simultaneous simulating of such multi-scale processes must to have high resolution. Besides, these difference schemes must to be high resolution on the one hand and monotonic on the other hand. The fact that instabilities strengthen errors of difference schemes, especially they strengthen errors of dispersion type is the reason of such contradictory requirements. The similar swing of errors usually results to nonphysical results at the numerical solution.

At the numerical solution of three-dimensional mathematical models of ionospheric plasma are used the following scheme of splitting on physical processes: the first step of splitting carries out convection along, the second step of splitting carries out convection across. The 2nd order finite difference scheme investigated in the paper solves approximately convection across equations. This scheme is constructed by a monotonized nonlinear procedure on base of the Z-scheme which is one of 2nd order schemes. At this monotonized procedure a nonlinear correction with so-called “oblique differences” is used. “Oblique differences” contain the grid nodes relating to different layers of time.

The researches were conducted for two cases. In the simulating field components of the convection vector had: 1) the constant sign; 2) the variable sign. Dissipative and dispersive characteristics of the scheme for different types of the limiting functions are in number received.

The results of the numerical experiments allow to draw the following conclusions.

1. For the discontinuous initial profile the best properties were shown by the SuperBee limiter.

2. For the continuous initial profile with the big spatial steps the SuperBee limiter is better, and at the small steps the Koren limiter is better.

3. For the smooth initial profile the best results were shown by the Koren limiter.

4. The smooth F limiter showed the results similar to Koren limiter.

5. Limiters of different type leave dispersive errors, at the same time dependences of dispersive errors on the scheme parameters have big variability and depend on the scheme parameters difficulty.

6. The monotony of the considered differential scheme is in number confirmed in all calculations. The property of variation non-increase for all specified functions limiters is in number confirmed for the onedimensional equation.

7. The constructed differential scheme at the steps on time which are not exceeding the Courant's step is monotonous and shows good exactness characteristics for different types solutions. At excess of the Courant's step the scheme remains steady, but becomes unsuitable for instability problems as monotony conditions not satisfied in this case.

Проведена верификация физико-статистического подхода теории надежности для простейших случаев, показавшая его правомочность. Представлено аналитическое решение одномерного основного уравнения физико-статистического подхода в предположении стационарной скорости деградации. С математической точки зрения это уравнение является известным уравнением непрерывности, где роль плотности вещества играет плотность функции распределения изделий в фазовом пространстве его характеристик, а роль скорости жидкости играет интенсивность (скорость) деградационных процессов. Последняя связывает общий формализм с конкретикой механизмов деградации. С помощью метода характеристик аналитически рассмотрены случаи постоянной по координате, линейной и квадратичной скоростей деградации. В первых двух случаях результаты соответствуют физической интуиции. При постоянной скорости деградации форма начального распределения сохраняется, а само оно равномерно сдвигается от центра. При линейной скорости деградации распределение либо сужается вплоть до узкого пика (в пределе сингулярного), либо расширяется, при этом максимум сдвигается на периферию с экспоненциально растущей скоростью. Форма распределения также сохраняется с точностью до параметров. Для начального нормального распределения аналитически получены координаты наибольшего значения максимума распределения при его возвратном движении.

В квадратичном случае формальное решение демонстрирует контринтуитивное поведение. Оно заключается в том, что решение однозначно определено лишь на части бесконечной полуплоскости, обращается в нуль вместе со всеми производными на границе и неоднозначно при переходе за границу. Если продолжить его на другую область в соответствии с аналитическим решением, то оно имеет двухгорбый вид, сохраняет количество вещества и, что лишено физического смысла, периодично во времени. Если продолжить его нулем, то нарушается свойство консервативности. Аномальности квадратичного случая дается объяснение, хотя и нестрогое, через аналогию движения материальной точки с ускорением, пропорциональным квадрату скорости. Здесь мы имеем дело с математическим курьезом. Для всех случаев приведены численные расчеты. Дополнительно рассчитываются энтропия вероятностного распределения и функция надежности, а также прослеживается их корреляционная связь.

Verification of the physical-statistical approach within reliability theory for the simplest cases was carried out, which showed its validity. An analytical solution of the one-dimensional basic equation of the physicalstatistical approach is presented under the assumption of a stationary degradation rate. From a mathematical point of view this equation is the well-known continuity equation, where the role of density is played by the density distribution function of goods in its characteristics phase space, and the role of fluid velocity is played by intensity (rate) degradation processes. The latter connects the general formalism with the specifics of degradation mechanisms. The cases of coordinate constant, linear and quadratic degradation rates are analyzed using the characteristics method. In the first two cases, the results correspond to physical intuition. At a constant rate of degradation, the shape of the initial distribution is preserved, and the distribution itself moves equably from the zero. At a linear rate of degradation, the distribution either narrows down to a narrow peak (in the singular limit), or expands, with the maximum shifting to the periphery at an exponentially increasing rate. The distribution form is also saved up to the parameters. For the initial normal distribution, the coordinates of the largest value of the distribution maximum for its return motion are obtained analytically.

In the quadratic case, the formal solution demonstrates counterintuitive behavior. It consists in the fact that the solution is uniquely defined only on a part of an infinite half-plane, vanishes along with all derivatives on the boundary, and is ambiguous when crossing the boundary. If you continue it to another area in accordance with the analytical solution, it has a two-humped appearance, retains the amount of substance and, which is devoid of physical meaning, periodically over time. If you continue it with zero, then the conservativeness property is violated. The anomaly of the quadratic case is explained, though not strictly, by the analogy of the motion of a material point with an acceleration proportional to the square of velocity. Here we are dealing with a mathematical curiosity. Numerical calculations are given for all cases. Additionally, the entropy of the probability distribution and the reliability function are calculated, and their correlation is traced.

Предложен многомерный узловой метод характеристик, предназначенный для интегрирования гиперболических систем, базирующийся на расщеплении исходной системы уравнений на ряд одномерных подсистем, для расчета которых использован одномерный узловой метод характеристик. Приведены расчетные формулы, детально описана методика вычислений применительно к односкоростной модели гетерогенной среды при наличии сил гравитации. Представленный метод применим и к другим гиперболическим системам уравнений. С помощью этого явного, неконсервативного, первого порядка точности метода рассчитан ряд тестовых задач и показано, что в рамках предлагаемого подхода за счет привлечения дополнительных точек в шаблон схемы возможно проведение вычислений с числами Куранта, превышающими единицу. Так, в расчете обтекания трехмерной ступеньки потоком гетерогенной смеси число Куранта равнялось 1.2. В случае применения метода Годунова при решении этой же задачи макси- мальное число Куранта, при котором возможен устойчивый счет, имеет значение 0.13 × 10⁻². Еще одна особенность многомерного метода характеристик связана со слабой зависимостью временного шага от размерности задачи, что существенно расширяет возможности этого подхода. С использованием этого метода рассчитан ряд задач, которые ранее считались «тяжелыми» для таких численных методов, как методы Годунова, Куранта – Изаксона – Рис, что связано с тем, что в нем наиболее полно использованы преимущества характеристического представления интегрируемой системы уравнений.

Disclosed is a multidimensional nodal method of characteristics, designed to integrate hyperbolic systems, based on splitting the initial system of equations into a number of one-dimensional subsystems, for which a onedimensional nodal method of characteristics is used. Calculation formulas are given, the calculation method is described in detail in relation to a single-speed model of a heterogeneous medium in the presence of gravity forces. The presented method is applicable to other hyperbolic systems of equations. Using this explicit, nonconservative, first-order accuracy of the method, a number of test tasks are calculated and it is shown that in the framework of the proposed approach, by attracting additional points in the circuit template, it is possible to carry out calculations with Courant numbers exceeding one. So, in the calculation of the flow of the threedimensional step by the flow of a heterogeneous mixture, the Courant number was 1.2. If Godunov’s method is used to solve the same problem, the maximum number of Courant, at which a stable account is possible, is 0.13 × 10^-2. Another feature of the multidimensional method of characteristics is the weak dependence of the time step on the dimension of the problem, which significantly expands the possibilities of this approach. Using this method, a number of problems were calculated that were previously considered “heavy” for the numerical methods of Godunov, Courant – Isaacson – Rees, which is due to the fact that it most fully uses the advantages of the characteristic representation of the system of equations.

Представлен вариант обратного метода характеристик (МОМХ), в алгоритм которого введен дополнительный дробный временной шаг, что позволяет повысить точность вычислений за счет более точной аппроксимации характеристик. Приведены расчетные формулы модифицированного метода для уравнений односкоростной модели газожидкостной смеси, с помощью которого рассчитаны одномерные, а также плоские тестовые задачи, имеющие автомодельные решения. При решении многомерных задач исходная система уравнений расщепляется на ряд одномерных подсистем, для расчета которых применяется обратный метод характеристик с дробным временным шагом. С использованием предложенного метода рассчитаны: одномерная задача распада произвольного разрыва в дисперсной среде; двумерная задача взаимодействия однородного газожидкостного потока с препятствием с присоединенным ударным скачком, а также течение с центрированной волной разрежения. Результаты численных расчетов этих задач сопоставлены с автомодельными решениями и отмечено их удовлетворительное совпадение. На примере задачи Римана с ударным скачком приведено сравнение с рядом консервативных, неконсервативных первого и повышенного порядков точности схем, из которого, в частности, следует, что представленный метод расчета вполне конкурентоспособен. Несмотря на то что применение МОМХ требует в разы больших временных затрат по сравнению с оригинальным обратным методом характеристик (ОМХ), вычисления можно проводить с увеличенным временным шагом и в ряде случаев получать более точные результаты. Отмечено, что метод с дробным временным шагом имеет преимущества в случаях, когда характеристики системы криволинейные. По этой причине для уравнений Эйлера целесообразно использовать ОМХ вместо МОМХ, поскольку в этом случае характеристики в пределах временного шага мало отличаются от прямых линий.

A variant of the inverse method of characteristics (IMH) is presented, in whose algorithm an additional fractional time step is introduced, which makes it possible to increase the accuracy of calculations due to a more accurate approximation of the characteristics. The calculation formulas of the modified method for the equations of the one-velocity model of a gas-liquid mixture are given, with the help of which one-dimensional and also flat test problems with self-similar solutions are calculated. When solving multidimensional problems, the original system of equations is split into a number of one-dimensional subsystems, for the calculation of which the inverse method of characteristics with a fractional time step is used. Using the proposed method, the following were calculated: the one-dimensional problem of the decay of an arbitrary discontinuity in a dispersed medium; a twodimensional problem of the interaction of a homogeneous gas-liquid flow with an obstacle with an attached shock wave, as well as a flow with a centered rarefaction wave. The results of numerical calculations of these problems are compared with self-similar solutions and their satisfactory agreement is noted. On the example of the Riemann problem with a shock wave, a comparison is made with a number of conservative, non-conservative, first and higher orders of accuracy schemes, from which, in particular, it follows that the presented calculation method, i. e. MIMC, quite competitive. Despite the fact that the application of MIMC requires many times more time than the original inverse method of characteristics (IMC), calculations can be carried out with an increased time step and, in some cases, more accurate results can be obtained. It is noted that the method with a fractional time step has advantages over the IMC in cases where the characteristics of the system are significantly curvilinear. For this reason, the use of MIMC, for example, for the Euler equations is inappropriate, since for the latter the characteristics within the time step differ little from straight lines.

При взаимодействии сверхзвукового потока воздуха с поперечной вторичной струей, инжектируемой в этот поток через отверстие на плоской стенке, формируется особая структура течения. Это течение имеет место при инжекции топлива в прямоточные камеры сгорания сверхзвуковых авиационных двигателей, поэтому в последние годы в России и за рубежом предлагаются и исследуются разнообразные подходы к интенсификации смешения газов в этом течении. Предлагаемый в данной работе подход состоит в использовании искровых разрядов для импульсного нагрева газа и генерации неустойчивостей в сдвиговом слое на границе вторичной струи. С помощью моделирования в российском программном комплексе FlowVision 3.13 были получены характеристики этого течения при отсутствии и наличии импульсно-периодического локального тепловыделения на стенке с наветренной стороны от отверстия инжектора. Проведено сравнение локальных характеристик при различной периодичности импульсного нагрева (соответствующей значениям числа Струхаля 0,25 и 0,31). Показано, что импульсный нагрев может приводить к стимуляции формирования возмущений в сдвиговом слое на границе струи. Для случая отсутствия нагрева и для двух режимов импульсного нагрева было рассчитано значение интегрального критерия эффективности смешения. Показано, что импульсный нагрев может приводить как к уменьшению среднего значения эффективности смешения, так и к его увеличению (до 9% в рассмотренном режиме нагрева). Также проведена валидация использованного метода расчета (нестационарные уравнения Навье – Стокса, осредненные по Рейнольдсу, с модифицированной моделью турбулентности $k-\varepsilon$) на примере типового случая взаимодействия сверхзвукового потока с вторичной поперечной струей, изученного несколькими независимыми группами исследователей и хорошо документированного в литературе. Была показана сеточная сходимость расчета этого типового случая во FlowVision. Было проведено количественное сравнение результатов расчетов FlowVision с экспериментальными данными и другими расчетами. Результаты данного исследования могут быть полезны для специалистов, занимающихся проблемами смешения газов и горения в сверхзвуковом потоке, а также разработкой двигателей для сверхзвуковой авиации.

When a supersonic air flow interacts with a transverse secondary jet injected into this flow through an orifice on a flat wall, a special flow structure is formed. This flow takes place during fuel injection into combustion chambers of supersonic aircraft engines; therefore, in recent years, various approaches to intensifying gas mixing in this type of flow have been proposed and studied in several countries. The approach proposed in this work implies using spark discharges for pulsed heating of the gas and generating the instabilities in the shear layer at the boundary of the secondary jet. Using simulation in the software package FlowVision 3.13, the characteristics of this flow were obtained in the absence and presence of pulsed-periodic local heat release on the wall on the windward side of the injector opening. A comparison was made of local characteristics at different periodicities of pulsed heating (corresponding to the values of the Strouhal number 0.25 and 0.31). It is shown that pulsed heating can stimulate the formation of perturbations in the shear layer at the jet boundary. For the case of the absence of heating and for two modes of pulsed heating, the values of an integral criterion for mixing efficiency were calculated. It is shown that pulsed heating can lead both to a decrease in the average mixing efficiency and to its increase (up to 9% in the considered heating mode). The calculation method used (unsteady Reynolds-averaged Navier – Stokes equations with a modified $k-\varepsilon$ turbulence model) was validated by considering a typical case of the secondary transverse jet interaction with a supersonic flow, which was studied by several independent research groups and well documented in the literature. The grid convergence was shown for the simulation of this typical case in FlowVision. A quantitative comparison was made of the results obtained from FlowVision calculations with experimental data and calculations in other programs. The results of this study can be useful for specialists dealing with the problems of gas mixing and combustion in a supersonic flow, as well as the development of engines for supersonic aviation.

Предложен численный метод, аппроксимирующий уравнения динамики слабосжимаемого вязкого течения при наличии полимерной составляющей потока. Исследуется поведение течения под воздействием статической внешней периодической силы в периодической квадратной ячейке. Методика основывается на гибридном подходе. Гидродинамика течения описывается системой уравнений Навье – Стокса и численно аппроксимируется линеаризованным методом Годунова. Полимерное поле описывается системой уравнений для вектора растяжений полимерных молекул $\bf R$, которая численно аппроксимируются методом Курганова – Тедмора. Выбор модельных соотношений при разработке численной методики и подбор параметров моделирования позволили на качественном уровне смоделировать и исследовать режим эластической турбулентности при низких числах Рейнольдса $Re \sim 10^{-1}$. Уравнения динамики течения полимерного раствора отличаются от уравнений динамики ньютоновской жидкости наличием в правой части членов, описывающих силы, действующие со стороны полимерной компоненты. Коэффициент пропорциональности $A$ при данных членах характеризует степень обратного влияния количества полимеров на поток. В статье подробно исследуется влияние этого коэффициента на структуру и характеристики потока. Показано, что с его ростом течение становится более хаотическим. Построены энергетические спектры полученных течений и спектры полей растяжения полимеров для различных величин коэффициента $A$. В спектрах прослеживается инерциальный поддиапа- зон энергетического каскада для скорости течения с показателем $k \sim −4$, для каскада растяжений полимерных молекул с показателем $−1,6$.

A numerical method is proposed that approximates the equations of the dynamics of a weakly compressible viscous flow in the presence of a polymer component of the flow. The behavior of the flow under the influence of a static external periodic force in a periodic square cell is investigated. The methodology is based on a hybrid approach. The hydrodynamics of the flow is described by a system of Navier – Stokes equations and is numerically approximated by the linearized Godunov method. The polymer field is described by a system of equations for the vector of stretching of polymer molecules $\bf R$, which is numerically approximated by the Kurganov – Tedmor method. The choice of model relationships in the development of a numerical methodology and the selection of modeling parameters made it possible to qualitatively model and study the regime of elastic turbulence at low Reynolds $Re \sim 10^{-1}$. The polymer solution flow dynamics equations differ from the Newtonian fluid dynamics equations by the presence on the right side of the terms describing the forces acting on the polymer component part. The proportionality coefficient $A$ for these terms characterizes the backward influence degree of the polymers number on the flow. The article examines in detail how the flow and its characteristics change depending on the given coefficient. It is shown that with its growth, the flow becomes more chaotic. The flow energy spectra and the spectra of the polymers stretching field are constructed for different values of $A$. In the spectra, an inertial sub-range of the energy cascade is traced for the flow velocity with an indicator $k \sim −4$, for the cascade of polymer molecules stretches with an indicator $−1.6$.

Улично-дорожная сеть является основой инфраструктуры любой урбанистической территории. В данной статье сравниваются структурные характеристики (коэффициент сетчатости, коэффициент кластеризации) дорожных сетей центра Москвы (старая Москва), сформированных в результате самоорганизации, и сети дорог вблизи Ленинского проспекта (послевоенная Москва), которая формировалась в процессе централизованного планирования. Данные для построения дорожных сетей в виде первичных графов взяты из интернет-ресурса OpenStreetMap, позволяющего точно идентифицировать координаты перекрестков. По вычисленным характеристикам в зарубежных публикациях найдены города, дорожные сети которых имеют сходные с этими двумя районами Москвы структуры. С учетом двойственного представления дорожных сетей центров Москвы и Петербурга, изучались информационно-когнитивные свойства навигации по этим туристическим районам двух столиц. При построении двойственного графа исследуемых районов не принимались во внимание различия в типах дорог (одностороннее или двусторонне движение и т. п.). То есть построенные двойственные графы являются неориентированным. Поскольку дорожные сети в двойственном представлении описываются степенным законом распределения вершин по числу ребер (являются безмасштабными сетями), вычислены показатели степеней этих распределений. Показано, что информационная сложность двойственного графа центра Москвы превышает когнитивный порог в 8.1 бит, а этот же показатель для центра Петербурга ниже этого порога. Это объясняется тем, что дорожная сеть центра Петербурга создавалась на основе планирования и потому более проста для навигации. В заключение, с использованием методов статистической механики (метод расчета статистических сумм) для дорожных сетей некоторых российских городов, вычислялась энтропия Гиббса. Обнаружено, что с ростом размеров дорожных сетей их энтропия уменьшается. Обсуждаются задачи изучения эволюции сетей городской инфраструктуры различной природы (сети общественного транспорта, снабжения, коммуникации и т. д.), что позволит более глубоко исследовать и понять фундаментальные закономерности процесса урбанизации.

Road network infrastructure is the basis of any urban area. This article compares the structural characteristics (meshedness coefficient, clustering coefficient) road networks of Moscow center (Old Moscow), formed as a result of self-organization and roads near Leninsky Prospekt (postwar Moscow), which was result of cetralized planning. Data for the construction of road networks in the form of graphs taken from the Internet resource OpenStreetMap, allowing to accurately identify the coordinates of the intersections. According to the characteristics of the calculated Moscow road networks areas the cities with road network which have a similar structure to the two Moscow areas was found in foreign publications. Using the dual representation of road networks of centers of Moscow and St. Petersburg, studied the information and cognitive features of navigation in these tourist areas of the two capitals. In the construction of the dual graph of the studied areas were not taken into account the different types of roads (unidirectional or bi-directional traffic, etc), that is built dual graphs are undirected. Since the road network in the dual representation are described by a power law distribution of vertices on the number of edges (scale-free networks), exponents of these distributions were calculated. It is shown that the information complexity of the dual graph of the center of Moscow exceeds the cognitive threshold 8.1 bits, and the same feature for the center of St. Petersburg below this threshold, because the center of St. Petersburg road network was created on the basis of planning and therefore more easy to navigate. In conclusion, using the methods of statistical mechanics (the method of calculating the partition functions) for the road network of some Russian cities the Gibbs entropy were calculated. It was found that with the road network size increasing their entropy decreases. We discuss the problem of studying the evolution of urban infrastructure networks of different nature (public transport, supply , communication networks, etc.), which allow us to more deeply explore and understand the fundamental laws of urbanization.

Схемы WENO (взвешенные, существенно не осциллирующие схемы) в настоящее время имеют достаточно обширную область применения для аппроксимации разрывных решений в уравнениях в частных производных. Данные схемы применялись для прямого численного моделирования и моделирования динамики больших вихрей в задачах газовой динамики, задачах МГД и даже для задач нейтронной кинетики. Данная работа посвящена уточнению некоторых характеристик схем WENO и численному моделированию характерных задач, которые позволяют сделать выводы обоб ласти применимости данных схем. Первая часть работы содержала результаты по доказательству свойств аппроксимации, устойчивости и сходимости схем WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 и WENO13. Во второй части работы проводится модифицированный волновой анализ, позволяющий сделать вывод о дисперсионных и диссипативных свойствах схем. Далее, проводится численное моделирование ряда характерных задач для уравнений гиперболического типа: уравнений переноса (одномерное и двухмерное), уравнения Хопфа, уравнения Бюргерса (с малой диссипацией) и уравнения динамики невязкого газа (одномерное и двухмерное). Для каждой из задач, подразумевающих гладкое решение, приведено практическое вычисление порядка аппроксимации с помощью метода Рунге. Во всех задачах проверяются выводы, сделанные в первой части работы по влиянию шага по времени на нелинейные свойства схем. В частности, для уравнений переноса разрывной функции и уравнений Хопфа показано, что невыполнение указанных рекомендаций ведет вначале к росту вариации решения, а затем включается диссипативный нелинейный механизм схемы и аппроксимация падает. Практически подтверждены выводы первой части по условиям устойчивости. Для одномерного уравнения Бюргерса проведено моделирование затухания случайно распределенных начальных условий в периодической области и выполнено сопоставление со спектральным методом. Делается вывод о применимости схем WENO7–WENO13 для прямого численного моделирования турбулентности. В конце демонстрируются возможности схем на начально-краевых задачах для уравнений динамики невязкого газа: неустойчивость Рэлея–Тейлора и отражение ударной волны от клина с образованием сложной конфигурации ударных волн и разрывов.

WENO schemes (weighted, essentially non oscillating) are currently having a wide range of applications as approximate high order schemes for discontinuous solutions of partial differential equations. These schemes are used for direct numerical simulation (DNS) and large eddy simmulation in the gas dynamic problems, problems for DNS in MHD and even neutron kinetics. This work is dedicated to clarify some characteristics of WENO schemes and numerical simulation of specific tasks. Results of the simulations can be used to clarify the field of application of these schemes. The first part of the work contained proofs of the approximation properties, stability and convergence of WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 and WENO13 schemes. In the second part of the work the modified wave number analysis is conducted that allows to conclude the dispersion and dissipative properties of schemes. Further, a numerical simulation of a number of specific problems for hyperbolic equations is conducted, namely for advection equations (one-dimensional and two-dimensional), Hopf equation, Burgers equation (with low dissipation) and equations of non viscous gas dynamics (onedimensional and two-dimensional). For each problem that is implying a smooth solution, the practical calculation of the order of approximation via Runge method is performed. The influence of a time step on nonlinear properties of the schemes is analyzed experimentally in all problems and cross checked with the first part of the paper. In particular, the advection equations of a discontinuous function and Hopf equations show that the failure of the recommendations from the first part of the paper leads first to an increase in total variation of the solution and then the approximation is decreased by the non-linear dissipative mechanics of the schemes. Dissipation of randomly distributed initial conditions in a periodic domain for one-dimensional Burgers equation is conducted and a comparison with the spectral method is performed. It is concluded that the WENO7–WENO13 schemes are suitable for direct numerical simulation of turbulence. At the end we demonstrate the possibility of the schemes to be used in solution of initial-boundary value problems for equations of non viscous gas dynamics: Rayleigh–Taylor instability and the reflection of the shock wave from a wedge with the formation a complex configuration of shock waves and discontinuities.

Рассматривается применение консервативного численного метода потоков для изучения вихревых структур в массивных, быстровращающихся компактных астрофизических объектах, находящихся в условиях самогравитации. Моделирование осуществляется для объектов с различной массой и скоростью вращения. Визуализируются картины вихревой структуры объектов. В расчетах используется газодинамическая модель, в которой газ принимается совершенным и невязким. Численная методика основана на конечно-разностной аппроксимации законов сохранения аддитивных характеристик среды для конечного объема. При этом используются upwind-аппроксимации плотностей распределения массы, компонент импульса и полной энергии. Для моделирования объектов, обладающих быстрым вращением, при эволюционном расчете осуществляется контроль сохранения компонент момента импульса, законы сохранения для которых не входят в систему основных уравнений. Эволюционный расчет осуществляется на основе параллельных алгоритмов, реализованных на вычислительном комплексе кластерной архитектуры. Алгоритмы основаны на стандартизованной системе передачи сообщений Message Passing Interface (MPI). При этом используются как блокирующие, так и неблокирующие процедуры обмена с контролем завершения операций. Осуществляется распараллеливание по пространству по двум или трем направле- ниям в зависимости от размера области интегрирования и параметров вычислительной сетки. Одновременно с распараллеливанием по пространству для каждой подобласти осуществляется распараллеливание по физическим факторам: расчет конвективного переноса и гравитационных сил реализуется параллельно на разных процессорах, что позволяет повысить эффективность алгоритмов. Показывается реальная возможность прямого вычисления гравитационных сил посредством суммирования взаимодействия между всеми конечными объемами в области интегрирования. Для методов конечного объема такой подход кажется более последовательным, чем решение уравнения Пуассона для гравитационного потенциала. Численные расчеты осуществлялись на вычислительном комплексе кластерной архитектуры с пиковой производительностью 523 TFlops. В расчетах использовалось до тысячи процессоров.

The application of a conservative numerical method of fluxes is examined for studying the vortex structures in the massive, fast-turned compact astrophysical objects, which are in self-gravity conditions. The simulation is accomplished for the objects with different mass and rotational speed. The pictures of the vortex structure of objects are visualized. In the calculations the gas-dynamic model is used, in which gas is accepted perfected and nonviscous. Numerical procedure is based on the finite-difference approximation of the conservation laws of the additive characteristics of medium for the finite volume. The “upwind” approximations of the densities of distribution of mass, components of momentum and total energy are applied. For the simulation of the objects, which possess fast-spin motion, the control of conservation for the component of moment of momentun is carried out during calculation. Evolutionary calculation is carried out on the basis of the parallel algorithms, realized on the computer complex of cluster architecture. Algorithms are based on the standardized system of message transfer Message Passing Interface (MPI). The blocking procedures of exchange and non-blocking procedures of exchange with control of the completion of operation are used. The parallelization on the space in two or three directions is carried out depending on the size of integration area and parameters of computational grid. For each subarea the parallelization based on the physical factors is carried out also: the calculations of gas dynamics part and gravitational forces are realized on the different processors, that allows to raise the efficiency of algorithms. The real possibility of the direct calculation of gravitational forces by means of the summation of interaction between all finite volumes in the integration area is shown. For the finite volume methods this approach seems to more consecutive than the solution of Poisson’s equation for the gravitational potential. Numerical calculations were carried out on the computer complex of cluster architecture with the peak productivity 523 TFlops. In the calculations up to thousand processors was used.

В настоящее время в ОИЯИ (Дубна) осуществляется строительство ускорительного комплекса NICA для проведения экспериментов по изучению взаимодействий релятивистских ядер и поляризованных частиц (протонов и дейтронов). Одна из создаваемых экспериментальных установок MPD (MultiPurpose Detector) рассчитана на изучение ядро-ядерных, протон-ядерных и протон-протонных взаимодействий. В связи с планами развития установки MPD рассматривается возможность создания внутреннего трекера с использованием кремниевых пиксельных детекторов нового поколения. Предполагается, что такой детектор позволит значительно повысить исследовательский потенциал эксперимента как для ядро-ядерных (за счет высокого пространственного разрешения вблизи области пересечения пучков), так и для протон-протонных (за счет высокого быстродействия) взаимодействий.

В представленной работе изучаются основные характеристики такого трекера с использованием данных по протон-протонным взаимодействиям, полученных с помощью моделирования методом Монте-Карло. В частности, оцениваются возможности детектора по восстановлению вершин распада короткоживущих частиц и по выделению редких событий таких распадов среди продуктов гораздо более вероятных «обычных» взаимодействий. Также затрагивается проблема разделения вершин взаимодействий для восстановления наложенных событий при высокой светимости ускорителя и способность детектора проводить быструю селекцию редких событий (триггер). Полученные результаты могут быть использованы для обоснования необходимости создания данного детектора и развития системы триггера высокого уровня, основанного в том числе на методах машинного обучения.

At present, the accelerator complex NICA is being built at JINR (Dubna). It is intended for performing experiments to study interactions of relativistic nuclei and polarized particles (protons and deuterons). One of the experimental facilitues MPD (MultiPurpose Detector) was designed to investigate nucleus-nucleus, protonnucleus and proton-proton interactions. The existing plans of future MPD upgrade consider a possibility to install an inner tracker made of the new generation silicon pixel sensors. It is expected that such a detector will considerably enhance the research capability of the experiment both for nucleus-nucleus interactions (due to a high spatial resolution near the collision region) and proton-proton ones (due to a fast detector response).

This paper presents main characteristics of such a tracker, obtained using a Monte-Carlo simulation of the detector for proton-proton collisions. In particular, the detector ability to reconstruct decay vertices of short-lived particles and perform a selection of rare events of such decays from much more frequent “common” interactions are evaluated. Also, the problem of a separation of multiple collisions during the high luminosity accelerator running and the task of detector triggering on rare events are addressed. The results obtained can be used to justify the necessity to build such a detector and to develop a high-level trigger system, possibly based on machine learning techniques.