All issues

Эффективность производственного процесса непосредственно зависит от качества управления технологией, которая, в свою очередь, опирается на точность и оперативность обработки контрольно- измерительной информации. Разработка математических методов исследования системных связей и закономерностей функционирования и построение математических моделей с учетом структурных особенностей объекта исследований, а также написание программных продуктов для реализации данных методов являются актуальными задачами. Практика показала, что список параметров, имеющих место при исследовании сложного объекта современного производства, варьируется от нескольких десятков до нескольких сот наименований, причем степень воздействия каждого из факторов в начальный момент не ясна. Приступать к работе по непосредственному определению модели в этих условиях нельзя — объем требуемой информации может оказаться слишком велик, причем бóльшая часть работы по сбору этой информации будет проделана впустую из-за того, что степень влияния на параметры оптимизации большинства факторов из первоначального списка окажется пренебрежимо малой. Поэтому необходимым этапом при определении модели сложного объекта является работа по сокращению размерности факторного пространства. Большинство промышленных производств являются групповыми иерархическими процессами массового и крупносерийного производства, характеризующимися сотнями факторов. (Для примера реализации математических методов и апробации построенных моделей в основу были взяты данные Молдавского металлургического завода.) С целью исследования системных связей и закономерностей функционирования таких сложных объектов обычно выбираются несколько информативных параметров и осуществляется их выборочный контроль. В данной статье описывается последовательность приведения исходных показателей технологического процесса выплавки стали к виду, пригодному для построения математической модели с целью прогнозирования, внедрения новых видов стали и создание основы для разработки системы автоматизированного управления качеством продукции. В процессе преобразования выделяются следующие этапы: сбор и анализ исходных данных, построение таблицы слабокоррелированных параметров, сокращение факторного пространства с помощью корреляционных плеяд и метода весовых коэффициентов. Полученные результаты позволяют оптимизировать процесс построения модели многофакторного процесса.

Efficiency of production directly depends on quality of the management of technology which, in turn, relies on the accuracy and efficiency of the processing of control and measuring information. Development of the mathematical methods of research of the system communications and regularities of functioning and creation of the mathematical models taking into account structural features of object of researches, and also writing of the software products for realization of these methods are an actual task. Practice has shown that the list of parameters that take place in the study of complex object of modern production, ranging from a few dozen to several hundred names, and the degree of influence of each factor in the initial time is not clear. Before working for the direct determination of the model in these circumstances, it is impossible — the amount of the required information may be too great, and most of the work on the collection of this information will be done in vain due to the fact that the degree of influence on the optimization of most factors of the original list would be negligible. Therefore, a necessary step in determining a model of a complex object is to work to reduce the dimension of the factor space. Most industrial plants are hierarchical group processes and mass volume production, characterized by hundreds of factors. (For an example of realization of the mathematical methods and the approbation of the constructed models data of the Moldavian steel works were taken in a basis.) To investigate the systemic linkages and patterns of functioning of such complex objects are usually chosen several informative parameters, and carried out their sampling. In this article the sequence of coercion of the initial indices of the technological process of the smelting of steel to the look suitable for creation of a mathematical model for the purpose of prediction is described. The implementations of new types became also creation of a basis for development of the system of automated management of quality of the production. In the course of weak correlation the following stages are selected: collection and the analysis of the basic data, creation of the table the correlated of the parameters, abbreviation of factor space by means of the correlative pleiads and a method of weight factors. The received results allow to optimize process of creation of the model of multiple-factor process.

Случайный поиск в настоящее время стал распространенным и эффективным средством решения сложных задач оптимизации и адаптации. В работе рассматривается задача о средней длительности случайного поиска одним объектом другого в зависимости от различных факторов на квадратной решетке. Решение поставленной задачи было реализовано при помощи проведения полного эксперимента с 4 факторами и ортогональным планом в 54 строки. В рамках каждой строки моделировались случайные блуждания двух точек с заданными начальными условиями и правила перехода, затем замерялась продолжительность поиска одного объекта другим. В результате построена регрессионная модель, отражающая среднюю длительность случайного поиска объекта в зависимости от четырех рассматриваемых факторов, задающих начальные положения двух объектов, условия их передвижения и обнаружения. Среди рассмотренных факторов, влияющих на среднее время поиска, определены наиболее значимые. По построенной модели проведена интерпретация в задаче случайного поиска объекта. Важным результатом работы стало то, что с помощью модели выявлено качественное и количественное влияние первоначальных позиций объектов, размера решетки и правил перемещения на среднее время продолжительности поиска. Показано, что начальное соседство объектов на решетке не гарантирует быстрый поиск, если каждый из них передвигается. Помимо этого, количественно оценено, во сколько раз может затянуться или сократиться среднее время поиска объекта при увеличении скорости ищущего объекта на 1 ед., а также при увеличении размера поля на 1 ед., при различных начальных положениях двух объектов. Выявлен экспоненциальный характер роста числа шагов поиска объекта при увеличении размера решетки при остальных фиксированных факторах. Найдены условия наиболее большого увеличения средней продолжительности поиска: максимальная удаленность объектов в сочетании с неподвижностью одного из них при изменении размеров поля на 1 ед. (т. е., к примеру, с $4 \times 4$ на $5 \times 5$) может увеличить в среднем продолжительность поиска в $e^{1.69} \approx 5.42$. Поставленная в работе задача может быть актуальна с точки зрения применения как в погранометрике для обеспечения безопасности государства, так и, к примеру, в теории массового обслуживания.

Nowadays the random search became a widespread and effective tool for solving different complex optimization and adaptation problems. In this work, the problem of an average duration of a random search for one object by another is regarded, depending on various factors on a square field. The problem solution was carried out by holding total experiment with 4 factors and orthogonal plan with 54 lines. Within each line, the initial conditions and the cellular automaton transition rules were simulated and the duration of the search for one object by another was measured. As a result, the regression model of average duration of a random search for an object depending on the four factors considered, specifying the initial positions of two objects, the conditions of their movement and detection is constructed. The most significant factors among the factors considered in the work that determine the average search time are determined. An interpretation is carried out in the problem of random search for an object from the constructed model. The important result of the work is that the qualitative and quantitative influence of initial positions of objects, the size of the lattice and the transition rules on the average duration of search is revealed by means of model obtained. It is shown that the initial neighborhood of objects on the lattice does not guarantee a quick search, if each of them moves. In addition, it is quantitatively estimated how many times the average time of searching for an object can increase or decrease with increasing the speed of the searching object by 1 unit, and also with increasing the field size by 1 unit, with different initial positions of the two objects. The exponential nature of the growth in the number of steps for searching for an object with an increase in the lattice size for other fixed factors is revealed. The conditions for the greatest increase in the average search duration are found: the maximum distance of objects in combination with the immobility of one of them when the field size is changed by 1 unit. (that is, for example, with $4 \times 4$ at $5 \times 5$) can increase the average search duration in $e^{1.69} \approx 5.42$. The task presented in the work may be relevant from the point of view of application both in the landmark for ensuring the security of the state, and, for example, in the theory of mass service.

Работа посвящена использованию программного пакета Turbulence Problem Solver (TPS) для численного моделирования широкого спектра лазерных задач. Возможности пакета продемонстрированы на примере численного моделирования взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов с металлическими пленками. Разработанный авторами программный пакет TPS предназначен для численного решения гиперболических систем дифференциальных уравнений на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью. Пакет представляет собой современный и расширяемый программный продукт. Архитектура пакета дает исследователю возможность моделировать различные физические процессы единообразно, с помощью различных численных методик и программных блоков, содержащих специфические для каждой задачи начальные условия, граничные условия и источниковые компоненты. Пакет предоставляет пользователю возможность самостоятельно расширять функциональность пакета, добавляя новые классы задач, вычислительных методов, начальных и граничных условий, а также уравнений состояния вещества. Реализованные в программном пакете численные методики тестировались на тестовых задачах в одномерной, двумерной и трехмерной геометрии, в состав которых вошли задачи Римана о распаде произвольного разрыва с различными конфигурациями точного решения.

Тонкие пленки на подложках — важный класс мишеней для наномодификации поверхностей в плазмонике или сенсорных приложениях. Этой тематике посвящено множество статей. Большинство из них, однако, концентрируются на динамике самой пленки, уделяя мало внимания подложке и рассматри- вая ее просто как объект, поглощающий первую волну сжатия и не влияющий на возникающие вследствие облучения поверхностные структуры. В работе подробно описан вычислительный эксперимент по численному моделированию взаимодействия единичного ультракороткого лазерного импульса с золотой пленкой, напыленной на толстую стеклянную подложку. Использовалась равномерная прямоугольная сетка и численный метод Годунова первого порядка точности. Представленные результаты расчетов позволили подтвердить теорию об ударно-волновом механизме образования отверстий в металле при фемтосекундной лазерной абляции для случая тонкой золотой пленки толщиной около 50 нм на толстой стеклянной подложке.

The work is dedicated to the use of the software package Turbulence Problem Solver (TPS) for numerical simulation of a wide range of laser problems. The capabilities of the package are demonstrated by the example of numerical simulation of the interaction of femtosecond laser pulses with thin metal bonds. The software package TPS developed by the authors is intended for numerical solution of hyperbolic systems of differential equations on multiprocessor computing systems with distributed memory. The package is a modern and expandable software product. The architecture of the package gives the researcher the opportunity to model different physical processes in a uniform way, using different numerical methods and program blocks containing specific initial conditions, boundary conditions and source terms for each problem. The package provides the the opportunity to expand the functionality of the package by adding new classes of problems, computational methods, initial and boundary conditions, as well as equations of state of matter. The numerical methods implemented in the software package were tested on test problems in one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional geometry, which included Riemann's problems on the decay of an arbitrary discontinuity with different configurations of the exact solution.

Thin films on substrates are an important class of targets for nanomodification of surfaces in plasmonics or sensor applications. Many articles are devoted to this subject. Most of them, however, focus on the dynamics of the film itself, paying little attention to the substrate, considering it simply as an object that absorbs the first compression wave and does not affect the surface structures that arise as a result of irradiation. The paper describes in detail a computational experiment on the numerical simulation of the interaction of a single ultrashort laser pulse with a gold film deposited on a thick glass substrate. The uniform rectangular grid and the first-order Godunov numerical method were used. The presented results of calculations allowed to confirm the theory of the shock-wave mechanism of holes formation in the metal under femtosecond laser action for the case of a thin gold film with a thickness of about 50 nm on a thick glass substrate.

Целью работы является исследование конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая создана на основе Z-схемы. Это исследование состоит в численном решении нескольких двумерных дифференциальных уравнений, моделирующих перенос несжимаемой среды.

Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направлении предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы. По той же причине в продольном к магнитному полю направлении могут возникать достаточно высокие скорости тепло- и массопереноса.

Актуальной задачей при ионосферном моделировании является исследование плазменных неустойчивостей различных масштабов, которые возникают прежде всего в полярной и экваториальной областях. При этом среднемасштабные неоднородности, имеющие характерные размеры 1–50 км, создают условия для развития мелкомасштабных неустойчивостей. Последние приводят к явлению F-рассеяния, которое существенно влияет на точность работы спутниковых систем позиционирования, а также других космических и наземных радиоэлектронных систем.

Используемые для одновременного моделирования таких разномасштабных процессов разностные схемы должны иметь высокое разрешение. Кроме того, эти разностные схемы должны быть, с одной стороны, достаточно точными, а с другой стороны — монотонными. Причиной таких противоречивых требований является то, что неустойчивости усиливают погрешности разностных схем, особенно погрешности дисперсионного типа. Подобная раскачка погрешностей при численном решении обычно приводит к нефизическим результатам.

При численном решении трехмерных математических моделей ионосферной плазмы используется следующая схема расщепления по физическим процессам: первый шаг расщепления осуществляет продольный перенос, второй шаг расщепления осуществляет поперечный перенос. Исследуемая в работе конечно-разностная схема второго порядка точности приближенно решает уравнения поперечного пере- носа. Эта схема строится с помощью нелинейной процедуры монотонизации Z-схемы, которая является одной из схем второго порядка точности. При этой монотонизации используется нелинейная коррекция по так называемым «косым разностям». «Косые разности» содержат узлы расчетной сетки, относящиеся к разным слоям времени.

Исследования проводились для двух случаев. В первом случае компоненты вектора переноса были знакопостоянны, во втором — знакопеременны в области моделирования. Численно получены диссипативные и дисперсионные характеристики схемы для различных видов ограничивающих функций.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы.

1. Для разрывного начального профиля лучшие свойства показал ограничитель SuperBee.

2. Для непрерывного начального профиля при больших пространственных шагах лучше ограничитель SuperBee, а при малых шагах лучше ограничитель Koren.

3. Для гладкого начального профиля лучшие результаты показал ограничитель Koren.

4. Гладкий ограничитель F показал результаты, аналогичные Koren.

5. Ограничители разного типа оставляют дисперсионные ошибки, при этом зависимости дисперсионных ошибок от параметров схемы имеют большую вариабельность и сложным образом зависят от параметров этой схемы.

6. Во всех расчетах численно подтверждена монотонность рассматриваемой разностной схемы. Для одномерного уравнения численно подтверждено свойство неувеличения вариации для всех указанных функций-ограничителей.

7. Построенная разностная схема при шагах по времени, не превышающих шаг Куранта, является монотонной и показывает хорошие характеристики точности для решений разных типов. При превышении шага Куранта схема остается устойчивой, но становится непригодной для задач неустойчивости, поскольку условия монотонности перестают в этом случае выполняться.

The purpose of the paper is a research of a 2nd order finite difference scheme based on the Z-scheme. This research is the numerical solution of several two-dimensional differential equations simulated the incompressible medium convection.

One of real tasks for similar equations solution is the numerical simulating of strongly non-stationary midscale processes in the Earth ionosphere. Because convection processes in ionospheric plasma are controlled by magnetic field, the plasma incompressibility condition is supposed across the magnetic field. For the same reason, there can be rather high velocities of heat and mass convection along the magnetic field.

Ionospheric simulation relevant task is the research of plasma instability of various scales which started in polar and equatorial regions first of all. At the same time the mid-scale irregularities having characteristic sizes 1–50 km create conditions for development of the small-scale instabilities. The last lead to the F-spread phenomenon which significantly influences the accuracy of positioning satellite systems work and also other space and ground-based radio-electronic systems.

The difference schemes used for simultaneous simulating of such multi-scale processes must to have high resolution. Besides, these difference schemes must to be high resolution on the one hand and monotonic on the other hand. The fact that instabilities strengthen errors of difference schemes, especially they strengthen errors of dispersion type is the reason of such contradictory requirements. The similar swing of errors usually results to nonphysical results at the numerical solution.

At the numerical solution of three-dimensional mathematical models of ionospheric plasma are used the following scheme of splitting on physical processes: the first step of splitting carries out convection along, the second step of splitting carries out convection across. The 2nd order finite difference scheme investigated in the paper solves approximately convection across equations. This scheme is constructed by a monotonized nonlinear procedure on base of the Z-scheme which is one of 2nd order schemes. At this monotonized procedure a nonlinear correction with so-called “oblique differences” is used. “Oblique differences” contain the grid nodes relating to different layers of time.

The researches were conducted for two cases. In the simulating field components of the convection vector had: 1) the constant sign; 2) the variable sign. Dissipative and dispersive characteristics of the scheme for different types of the limiting functions are in number received.

The results of the numerical experiments allow to draw the following conclusions.

1. For the discontinuous initial profile the best properties were shown by the SuperBee limiter.

2. For the continuous initial profile with the big spatial steps the SuperBee limiter is better, and at the small steps the Koren limiter is better.

3. For the smooth initial profile the best results were shown by the Koren limiter.

4. The smooth F limiter showed the results similar to Koren limiter.

5. Limiters of different type leave dispersive errors, at the same time dependences of dispersive errors on the scheme parameters have big variability and depend on the scheme parameters difficulty.

6. The monotony of the considered differential scheme is in number confirmed in all calculations. The property of variation non-increase for all specified functions limiters is in number confirmed for the onedimensional equation.

7. The constructed differential scheme at the steps on time which are not exceeding the Courant's step is monotonous and shows good exactness characteristics for different types solutions. At excess of the Courant's step the scheme remains steady, but becomes unsuitable for instability problems as monotony conditions not satisfied in this case.

В работе под гравитационной системой понимается множество точечных тел, взаимодействующих согласно закону притяжения Ньютона и имеющих отрицательное значение полной энергии. Обсуждается вопрос об устойчивости (о неустойчивости) гравитационной системы общего положения путем прямого вычислительного эксперимента. Под гравитационной системой общего положения понимается система, у которой массы, начальные позиции и скорости тел выбираются случайными из заданных диапазонов. Для проведения вычислительного эксперимента разработан новый метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений на больших интервалах времени. Предложенный метод позволил, с одной стороны, обеспечить выполнение всех законов сохранения путем подходящей коррекции решений, с другой — использовать стандартные методы численного решения систем дифференциальных уравнений невысокого порядка аппроксимации. В рамках указанного метода траектория движения гравитационной системы в фазовом пространстве собирается из частей, длительность каждой из которых может быть макроскопической. Построенная траектория, вообще говоря, является разрывной, а точки стыковки отдельных кусков траектории выступают как точки ветвления. В связи с последним обстоятельством предложенный метод отчасти можно отнести к классу методов Монте-Карло. Общий вывод проведенной серии вычислительных экспериментов показал, что гравитационные системы общего положения с числом тел 3 и более, вообще говоря, неустойчивы. В рамках предложенного метода специально рассмотрены частные случаи равенства нулю момента импульса гравитационной системы с числом тел 3 и более, а также задача движения двух тел. Отдельно рассмотрен случай численного моделирования динамики во времени Солнечной системы. С позиций вычислительного эксперимента на базе аналитических методов, а также прямых численных методов высокого порядка аппроксимации (10 и выше) устойчивость Солнечной системы ранее продемонстрирована на интервале в пять и более миллиардов лет. В силу ограничений на имеющиеся вычислительные ресурсы устойчивость динамики планет Солнечной системы в рамках использования предлагаемого метода удалось подтвердить на срок десять миллионов лет. С помощью вычислительного эксперимента рассмотрен также один из возможных сценариев распада Солнечной системы.

In this paper, a gravitational system is understood as a set of point bodies that interact according to Newton's law of attraction and have a negative value of the total energy. The question of the stability (nonstability) of a gravitational system of general position is discussed by direct computational experiment. A gravitational system of general position is a system in which the masses, initial positions, and velocities of bodies are chosen randomly from given ranges. A new method for the numerical solution of ordinary differential equations at large time intervals has been developed for the computational experiment. The proposed method allowed, on the one hand, to ensure the fulfillment of all conservation laws by a suitable correction of solutions, on the other hand, to use standard methods for the numerical solution of systems of differential equations of low approximation order. Within the framework of this method, the trajectory of a gravitational system in phase space is assembled from parts, the duration of each of which can be macroscopic. The constructed trajectory, generally speaking, is discontinuous, and the points of joining of individual pieces of the trajectory act as branch points. In connection with the latter circumstance, the proposed method, in part, can be attributed to the class of Monte Carlo methods. The general conclusion of a series of computational experiments has shown that gravitational systems of general position with a number of bodies of 3 or more, generally speaking, are unstable. In the framework of the proposed method, special cases of zero-equal angular momentum of a gravitational system with a number of bodies of 3 or more, as well as the problem of motion of two bodies, are specially considered. The case of numerical modeling of the dynamics of the solar system in time is considered separately. From the standpoint of computational experiments based on analytical methods, as well as direct numerical methods of high-order approximation (10 and higher), the stability of the solar system was previously demonstrated at an interval of five billion years or more. Due to the limitations on the available computational resources, the stability of the dynamics of the planets of the solar system within the framework of the proposed method was confirmed for a period of ten million years. With the help of a computational experiment, one of the possible scenarios for the disintegration of the solar systems is also considered.

Мы рассматриваем модель спонтанного формирования вычислительной структуры в мозге человека для решения заданного класса задач в процессе выполнения серии однотипных заданий. Модель основана на специальном определении числовой меры сложности алгоритма решения. Эта мера обладает информационным свойством: сложность вычислительной структуры, состоящей из двух независимых структур, равна сумме сложностей этих структур. Тогда вероятность спонтанного возникновения структуры экспоненциально зависит от сложности структуры. Коэффициент при экспоненте требует экспериментального определения для каждого типа задач. Он может зависеть от формы предъявления исходных данных и от процедуры выдачи результата. Этот метод оценки применен к результатам серии экспериментов, в которых определялась стратегия решения человеком серии однотипных задач с растущим числом исходных данных. Эти эксперименты были описаны в ранее изданных работах. Рассматривались две основные стратегии: последовательное выполнение вычислительного алгоритма или использование параллельных вычислений в тех задачах, где это эффективно. Эти стратегии различаются схемами проведения вычислений. Используя оценку сложности схем, можно по эмпирической вероятности одной из стратегий рассчитать вероятность другой. Проведенные вычисления показали хорошее совпадение расчетной и эмпирической вероятности. Это подтверждает гипотезу о спонтанном формировании структур, решающих задачу, в процессе начальной тренировки человека. Работа содержит краткое описание экспериментов, подробные вычислительные схемы и строгое определение меры сложности вычислительных структур и вывод зависимости вероятности формирования структуры от ее сложности.

We consider a model of spontaneous formation of a computational structure in the human brain for solving a given class of tasks in the process of performing a series of similar tasks. The model is based on a special definition of a numerical measure of the complexity of the solution algorithm. This measure has an informational property: the complexity of a computational structure consisting of two independent structures is equal to the sum of the complexities of these structures. Then the probability of spontaneous occurrence of the structure depends exponentially on the complexity of the structure. The exponential coefficient requires experimental determination for each type of problem. It may depend on the form of presentation of the source data and the procedure for issuing the result. This estimation method was applied to the results of a series of experiments that determined the strategy for solving a series of similar problems with a growing number of initial data. These experiments were described in previously published papers. Two main strategies were considered: sequential execution of the computational algorithm, or the use of parallel computing in those tasks where it is effective. These strategies differ in how calculations are performed. Using an estimate of the complexity of schemes, you can use the empirical probability of one of the strategies to calculate the probability of the other. The calculations performed showed a good match between the calculated and empirical probabilities. This confirms the hypothesis about the spontaneous formation of structures that solve the problem during the initial training of a person. The paper contains a brief description of experiments, detailed computational schemes and a strict definition of the complexity measure of computational structures and the conclusion of the dependence of the probability of structure formation on its complexity.

Рассматривается нелинейная колебательная система, описываемая обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, в которой в явном виде выделяются члены, линейно зависящие от координат, скоростей и ускорений; нелинейные члены записываются в виде неявных функций от этих переменных. Для численного решения начальной задачи, описываемой такой системой дифференциальных уравнений, используется одношаговый метод Галёркина. На шаге интегрирования неизвестные функции представляются в виде суммы линейных функций, удовлетворяющих начальным условиям, и нескольких заданных корректирующих функций в виде полиномов второй и выше степеней с неизвестными коэффициентами. Дифференциальные уравнения на шаге удовлетворяются приближенно по методу Галёркина на системе корректирующих функций. Получаются алгебраические уравнения с нелинейными членами, которые на каждом шаге решаются методом итераций. Из решения в конце каждого шага определяются начальные условия на следующем шаге.

Корректирующие функции берутся одинаковыми для всех шагов. В общем случае для расчетов на больших интервалах времени используются 4 или 5 корректирующих функций: в первом наборе — базовые степенные функции от 2-й до 4-й или 5-й степеней; во втором наборе — образованные из базовых функций ортогональные степенные полиномы; в третьем наборе — образованные из базовых функций специальные линейно независимые многочлены с конечными условиями, упрощающими «стыковку» решений на следующих шагах.

На двух примерах расчета нелинейных колебаний систем с одной и с двумя степенями свободы выполнены численные исследования точности численного решения начальных задач на различных интервалах времени по методу Галёркина с использованием указанных наборов степенных корректирующих функций. Выполнены сравнения результатов, полученных по методу Галёркина и по методам Адамса и Рунге – Кутты четвертого порядка. Показано, что методом Галёркина можно получить достоверные результатына значительно больших интервалах времени, чем по методам Адамса и Рунге – Кутты.

A nonlinear oscillatory system described by ordinary differential equations with variable coefficients is considered, in which terms that are linearly dependent on coordinates, velocities and accelerations are explicitly distinguished; nonlinear terms are written as implicit functions of these variables. For the numerical solution of the initial problem described by such a system of differential equations, the one-step Galerkin method is used. At the integration step, unknown functions are represented as a sum of linear functions satisfying the initial conditions and several given correction functions in the form of polynomials of the second and higher degrees with unknown coefficients. The differential equations at the step are satisfied approximately by the Galerkin method on a system of corrective functions. Algebraic equations with nonlinear terms are obtained, which are solved by iteration at each step. From the solution at the end of each step, the initial conditions for the next step are determined.

The corrective functions are taken the same for all steps. In general, 4 or 5 correction functions are used for calculations over long time intervals: in the first set — basic power functions from the 2nd to the 4th or 5th degrees; in the second set — orthogonal power polynomials formed from basic functions; in the third set — special linear-independent polynomials with finite conditions that simplify the “docking” of solutions in the following steps.

Using two examples of calculating nonlinear oscillations of systems with one and two degrees of freedom, numerical studies of the accuracy of the numerical solution of initial problems at various time intervals using the Galerkin method using the specified sets of power-law correction functions are performed. The results obtained by the Galerkin method and the Adams and Runge –Kutta methods of the fourth order are compared. It is shown that the Galerkin method can obtain reliable results at significantly longer time intervals than the Adams and Runge – Kutta methods.

В работе с помощью аналитических и численных методов рассматривается задача о структуре и динамике связанных локализованных нелинейных волн в модели синус-Гордона с тремя одинаковыми притягивающими протяженными примесями, которые моделируются пространственной неоднородностью периодического потенциала. Найдены два возможных типа связанных нелинейных локализованных волн — бризерного и солитонного. Проведен анализ влияния параметров системы и начальных условий на структуру локализованных волн, их амплитуду и частоту. Связанные колебания локализованных волн бризерного типа, как и для случая точечных примесей, представляет собой сумму трех гармонических колебаний: синфазного, синфазно-антифазного и антифазного типа. Частотный анализ локализованных на примесях волн, которые были получены в ходе численного эксперимента, выполнялся с помощью дискретного преобразования Фурье. Для анализа локализованных волн бризерного типа применялся численный метод конечных разностей. Для проведения качественно анализа полученных численных результатов задача решалась аналитически для случая малых амплитуд локализованных на примесях колебаний. Показано, что при определенных параметрах примеси (глубина, ширина) можно получить локализованные волны солитонного типа. Найдены области значений параметров системы, в которых существуют локализованные волны определенного типа, а также область перехода от бризерных к солитонным типам колебаний. Были определены значения глубины и ширины примеси, при которых наблюдается переход от бризерного к солитонному типу локализованных колебаний. Были получены и рассмотрены различные сценарии колебаний солитонного типа с отрицательными и положительными значениями амплитуд на всех трех примесях, а также и смешанные случаи. Показано, что в случае расстояния между примесями много меньше единицы отсутствует переходная область, в которой зарождающийся бризер после потери энергии на излучение переходит в солитон. Показано, что рассмотренная модель может быть использована, например, для описания динамики волн намагниченности в мультислойных магнетиках.

In this work, we use analytical and numerical methods to consider the problem of the structure and dynamics of coupled localized nonlinear waves in the sine-Gordon model with three identical attractive extended “impurities”, which are modeled by spatial inhomogeneity of the periodic potential. Two possible types of coupled nonlinear localized waves are found: breather and soliton. The influence of system parameters and initial conditions on the structure, amplitude, and frequency of localized waves was analyzed. Associated oscillations of localized waves of the breather type as in the case of point impurities, are the sum of three harmonic oscillations: in-phase, in-phase-antiphase and antiphase type. Frequency analysis of impurity-localized waves that were obtained during a numerical experiment was performed using discrete Fourier transform. To analyze localized breather-type waves, the numerical finite difference method was used. To carry out a qualitative analysis of the obtained numerical results, the problem was solved analytically for the case of small amplitudes of oscillations localized on impurities. It is shown that, for certain impurity parameters (depth and width), it is possible to obtain localized solitontype waves. The ranges of values of the system parameters in which localized waves of a certain type exist, as well as the region of transition from breather to soliton types of oscillations, have been found. The values of the depth and width of the impurity at which a transition from the breather to the soliton type of localized oscillations is observed were determined. Various scenarios of soliton-type oscillations with negative and positive amplitude values for all three impurities, as well as mixed cases, were obtained and considered. It is shown that in the case when the distance between impurities much less than one, there is no transition region where which the nascent breather, after losing energy through radiation, transforms into a soliton. It is shown that the considered model can be used, for example, to describe the dynamics of magnetization waves in multilayer magnets.

В работе исследуется устойчивость разностных схем, применяемых в методе решеточных уравнений Больцмана для моделирования диффузии в одномерном случае для решеток D1Q2 и D1Q3. Разностные схемы строятся для системы линейных кинетических уравнений Бхатнагара–Гросса–Крука (БГК) относительно одночастичных функций распределения. Проведен краткий обзор работ других авторов. С использованием мультискейлингового разложения методом Чепмена–Энскога показано, что система уравнений БГК при малых числах Кнудсена сводится к линейному уравнению диффузии. Решение уравнения диффузии находится как сумма функций распределения. С использованием метода бегущих волн показана асимптотическая устойчивость решения задачи Коши для системы кинетических уравнений типа БГК во всем диапазоне времени релаксации. С помощью метода дифференциального приближения показана устойчивость разностной схемы для случая решетки D1Q2. Условие устойчивости получено в виде неравенства на значения времени релаксации. Исследуется возможность сведения анализа устойчивости разностных схем для системы уравнений БГК к анализу схем специального вида для уравнения диффузии в случае решетки D1Q3. Численное исследование устойчивости проводилось с помощью метода фон Неймана. В ходе анализа исследовались величины модулей собственных значений матрицы перехода в пространстве параметров разностной схемы. Показано, что в широком диапазоне изменения параметров модули собственных значений не превосходят единицы, что говорит об устойчивости схемы по начальным условиям.

Stability of finite difference schemes of lattice Boltzmann method for modelling of 1D diffusion for cases of D1Q2 and D1Q3 lattices is investigated. Finite difference schemes are constructed for the system of linear Bhatnagar–Gross–Krook (BGK) kinetic equations on single particle distribution functions. Brief review of articles of other authors is realized. With application of multiscale expansion by Chapman–Enskog method it is demonstrated that system of BGK kinetic equations at small Knudsen number is transformated to scalar linear diffusion equation. The solution of linear diffusion equation is obtained as a sum of single particle distribution functions. The method of linear travelling wave propagation is used to show the unconditional asymptotic stability of the solution of Cauchy problem for the system of BGK equations at all values of relaxation time. Stability of the scheme for D1Q2 lattice is demonstrated by the method of differential approximation. Stability condition is written in form of the inequality on values of relaxation time. The possibility of the reduction of stability analysis of the schemes for BGK equations to the analysis of special schemes for diffusion equation for the case of D1Q3 lattice is investigated. Numerical stability investigation is realized by von Neumann method. Absolute values of the eigenvalues of the transition matrix are investigated in parameter space of the schemes. It is demonstrated that in wide range of the parameters changing the values of modulas of eigenvalues are lower than unity, so the scheme is stable with respect to initial conditions.

Схемы WENO (взвешенные, существенно не осциллирующие схемы) в настоящее время имеют достаточно обширную область применения для аппроксимации разрывных решений в уравнениях в частных производных. Данные схемы применялись для прямого численного моделирования и моделирования динамики больших вихрей в задачах газовой динамики, задачах МГД и даже для задач нейтронной кинетики. Данная работа посвящена уточнению некоторых характеристик схем WENO и численному моделированию характерных задач, которые позволяют сделать выводы обоб ласти применимости данных схем. Первая часть работы содержала результаты по доказательству свойств аппроксимации, устойчивости и сходимости схем WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 и WENO13. Во второй части работы проводится модифицированный волновой анализ, позволяющий сделать вывод о дисперсионных и диссипативных свойствах схем. Далее, проводится численное моделирование ряда характерных задач для уравнений гиперболического типа: уравнений переноса (одномерное и двухмерное), уравнения Хопфа, уравнения Бюргерса (с малой диссипацией) и уравнения динамики невязкого газа (одномерное и двухмерное). Для каждой из задач, подразумевающих гладкое решение, приведено практическое вычисление порядка аппроксимации с помощью метода Рунге. Во всех задачах проверяются выводы, сделанные в первой части работы по влиянию шага по времени на нелинейные свойства схем. В частности, для уравнений переноса разрывной функции и уравнений Хопфа показано, что невыполнение указанных рекомендаций ведет вначале к росту вариации решения, а затем включается диссипативный нелинейный механизм схемы и аппроксимация падает. Практически подтверждены выводы первой части по условиям устойчивости. Для одномерного уравнения Бюргерса проведено моделирование затухания случайно распределенных начальных условий в периодической области и выполнено сопоставление со спектральным методом. Делается вывод о применимости схем WENO7–WENO13 для прямого численного моделирования турбулентности. В конце демонстрируются возможности схем на начально-краевых задачах для уравнений динамики невязкого газа: неустойчивость Рэлея–Тейлора и отражение ударной волны от клина с образованием сложной конфигурации ударных волн и разрывов.

WENO schemes (weighted, essentially non oscillating) are currently having a wide range of applications as approximate high order schemes for discontinuous solutions of partial differential equations. These schemes are used for direct numerical simulation (DNS) and large eddy simmulation in the gas dynamic problems, problems for DNS in MHD and even neutron kinetics. This work is dedicated to clarify some characteristics of WENO schemes and numerical simulation of specific tasks. Results of the simulations can be used to clarify the field of application of these schemes. The first part of the work contained proofs of the approximation properties, stability and convergence of WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 and WENO13 schemes. In the second part of the work the modified wave number analysis is conducted that allows to conclude the dispersion and dissipative properties of schemes. Further, a numerical simulation of a number of specific problems for hyperbolic equations is conducted, namely for advection equations (one-dimensional and two-dimensional), Hopf equation, Burgers equation (with low dissipation) and equations of non viscous gas dynamics (onedimensional and two-dimensional). For each problem that is implying a smooth solution, the practical calculation of the order of approximation via Runge method is performed. The influence of a time step on nonlinear properties of the schemes is analyzed experimentally in all problems and cross checked with the first part of the paper. In particular, the advection equations of a discontinuous function and Hopf equations show that the failure of the recommendations from the first part of the paper leads first to an increase in total variation of the solution and then the approximation is decreased by the non-linear dissipative mechanics of the schemes. Dissipation of randomly distributed initial conditions in a periodic domain for one-dimensional Burgers equation is conducted and a comparison with the spectral method is performed. It is concluded that the WENO7–WENO13 schemes are suitable for direct numerical simulation of turbulence. At the end we demonstrate the possibility of the schemes to be used in solution of initial-boundary value problems for equations of non viscous gas dynamics: Rayleigh–Taylor instability and the reflection of the shock wave from a wedge with the formation a complex configuration of shock waves and discontinuities.