All issues

Рассмотрены одномерная и двумерная гидродинамические модели турбулентного переноса внутри приземного слоя атмосферы в условиях нейтральной атмосферной стратификации. Обе модели основаны на решении системы усредненных уравнений Навье – Стокса и неразрывности с использованием 1.5-го порядка замыкания, а также уравнений для турбулентной кинетической энергии и скорости ее диссипации. С помощью одномерной модели, применимой в случае однородной подстилающей поверхности, проведено исследование по оценке влияния граничных условий на верхней и нижней границах модельной области на результаты расчетов вертикальных профилей скорости ветра и параметров турбулентности. В предложенной модели граничные условия ставились таким образом, чтобы она была согласована с широко используемой классической одномерной моделью, основанной на логарифмическом распределении скорости ветра по высоте, линейной зависимости коэффициента турбулентного обмена от высоты и постоянстве турбулентной кинетической энергии в приземном слое атмосферы в условиях нейтральной атмосферной стратификации. На основе классической модели можно получить ряд соотношений, связывающих градиент скорости ветра, турбулентную кинетическую энергию и скорость ее диссипации, каждое из которых может быть использовано в качестве граничного условия в гидродинамической модели. Из нескольких возможных вариантов постановки граничных условий для скорости ветра и скорости диссипации турбулентной кинетической энергии выбраны те, при которых достигается наименьшее отклонение смоделированных с помощью гидродинамической модели вертикальных профилей искомых величин от классических распределений. Соответствующие граничные условия на верхней и нижней границах использованы при постановке начально-краевой задачи в двумерной гидродинамической модели, позволяющей учитывать сложную структуру рельефа и горизонтальную неоднородность растительности. На основе предложенной двумерной модели с выбранными оптимальными граничными условиями исследована динамика установления турбулентного потока в зависимости от расстояния при обтекании воздушным потоком опушки леса. Для всех рассмотренных начально-краевых задач разработаны и реализованы безусловно устойчивые неявные разностные схемы их численного решения.

One- and two-dimensional hydrodynamic models of turbulent transfer within the atmospheric surface layer under neutral thermal stratification are considered. Both models are based on the solution of system of the timeaveraged equations of Navier – Stokes and continuity using a 1.5-order closure scheme as well as equations for turbulent kinetic energy and the rate of its dissipation. The influence of the upper and lower boundary conditions on vertical profiles of wind speed and turbulence parameters within the atmospheric surface layer was derived using an one-dimensional model usually applied in case of an uniform ground surface. The boundary conditions in the model were prescribed in such way that the vertical wind and turbulence patterns were well agreed with widely used logarithmic vertical profile of wind speed, linear dependence of turbulent exchange coefficient on height above ground surface level and constancy of turbulent kinetic energy within the atmospheric surface layer under neutral atmospheric conditions. On the basis of the classical one-dimensional model it is possible to obtain a number of relationships which link the vertical wind speed gradient, turbulent kinetic energy and the rate of its dissipation. Each of these relationships can be used as a boundary condition in our hydrodynamic model. The boundary conditions for the wind speed and the rate of dissipation of turbulent kinetic energy were selected as parameters to provide the smallest deviations of model calculations from classical distributions of wind and turbulence parameters. The corresponding upper and lower boundary conditions were used to define the initial and boundary value problem in the two-dimensional hydrodynamic model allowing to consider complex topography and horizontal vegetation heterogeneity. The two-dimensional model with selected optimal boundary conditions was used to describe the spatial pattern of turbulent air flow when it interacted with the forest edge. The dynamics of the air flow establishment depending on the distance from the forest edge was analyzed. For all considered initial and boundary value problems the unconditionally stable implicit finite-difference schemes of their numerical solution were developed and implemented.

Представлена гиперболическая модель вязкого теплопроводного газа, в которой для гиперболизации уравнений использован подход Максвелла–Каттанео, обеспечивающий распространение волн с конечными скоростями. В модифицированной модели вместо оригинальных законов Стокса и Фурье использовались их релаксационные аналоги и показано, что при стремлении времен релаксации $\tau_\sigma^{}$ и $\tau_w^{}$ к нулю гиперболизированные уравнения приводятся к классической системе Навье–Стокса негиперболического типа с бесконечными скоростями перемещения вязких и тепловых волн. Отмечено, что рассматриваемая в работе гиперболизированная система уравнений движения вязкого теплопроводного газа инвариантна не только по отношению к преобразованиям Галилея, но и к повороту, поскольку при дифференцировании по времени компонентов тензора вязких напряжений использована производная Яуманна. Для интегрирования уравнений модели применены гибридный метод Годунова (ГМГ) и многомерный узловой метод характеристик. ГМГ предназначен для интегрирования гиперболических систем, в которых имеются как уравнения, записанные в дивергентном виде, так и уравнения, не приводящиеся к таковому (оригинальный метод Годунова применяется только для систем уравнений, представленных в дивергентной форме). При вычислении потоковых переменных на гранях смежных ячеек использован линеаризованный римановский решатель. Для дивергентных уравнений применена конечно-объемная, а для недивергентных — конечноразностная аппроксимация. Для расчета ряда задач в работе также использовался неконсервативный многомерный узловой метод характеристик, который базируется на расщеплении исходной системы уравнений на ряд одномерных подсистем, для решения которых использован одномерный узловой метод характеристик. С помощью описанных численных методов решен ряд модельных одномерных задач о распаде произвольного разрыва, а также рассчитано двумерное течение вязкого газа при взаимодействии ударного скачка с прямоугольной ступенькой, непроницаемой для газа.

A hyperbolic model of a viscous heat-conducting gas is presented, in which the Maxwell – Cattaneo approach is used to hyperbolize the equations, which provides finite wave propagation velocities. In the modified model, instead of the original Stokes and Fourier laws, their relaxation analogues were used and it is shown that when the relaxation times $\tau_\sigma^{}$ и $\tau_w^{}$ tend to The hyperbolized equations are reduced to zero to the classical Navier – Stokes system of non-hyperbolic type with infinite velocities of viscous and heat waves. It is noted that the hyperbolized system of equations of motion of a viscous heat-conducting gas considered in this paper is invariant not only with respect to the Galilean transformations, but also with respect to rotation, since the Yaumann derivative is used when differentiating the components of the viscous stress tensor in time. To integrate the equations of the model, the hybrid Godunov method (HGM) and the multidimensional nodal method of characteristics were used. The HGM is intended for the integration of hyperbolic systems in which there are equations written both in divergent form and not resulting in such (the original Godunov method is used only for systems of equations presented in divergent form). A linearized solver’s Riemann is used to calculate flow variables on the faces of adjacent cells. For divergent equations, a finitevolume approximation is applied, and for non-divergent equations, a finite-difference approximation is applied. To calculate a number of problems, we also used a non-conservative multidimensional nodal method of characteristics, which is based on splitting the original system of equations into a number of one-dimensional subsystems, for solving which a one-dimensional nodal method of characteristics was used. Using the described numerical methods, a number of one-dimensional problems on the decay of an arbitrary rupture are solved, and a two-dimensional flow of a viscous gas is calculated when a shock jump interacts with a rectangular step that is impermeable to gas.

Необходимость моделирования высокоскоростных течений сжимаемых сред с ударными волнами при наличии плотных завес или слоев частиц со значительным объемным содержанием дисперсной фазы возникает при изучении различных процессов. В качестве примера можно привести диспергирование частиц из слоя за проходящей ударной волной или распространение волн горения в компактных зарядах гетерогенных взрывчатых веществ. Хотя данные направления успешно развиваются в течение последних нескольких десятков лет, соответствующие математические модели и вычислительные алгоритмы активно совершенствуются вплоть до настоящего времени, поскольку механизмы волновых процессов в двухфазной среде, реализующиеся в различных моделях, отличаются друг от друга.

Статья посвящена численному исследованию распространения возмущений внутри плотной засыпки песка, вызванных последовательным воздействием ударной волны, падающей по нормали к поверхности засыпки из воздуха. Постановка задачи следует натурным опытам А.Т. Ахметова с соавторами. Целью работы является объяснение возможных причин усиления сигнала на датчике давления внутри засыпки, которое наблюдается в опытах при некоторых условиях. Математическая модель основана на одномерной системе уравнений Баера – Нунциато для описания плотных течений двухфазных сред с учетом межгранулярных напряжений в фазе частиц. Вычислительный алгоритм основан на методе Годунова для уравнений Баера – Нунциато.

В статье описана волновая динамика вне засыпки частици внутри нее после воздействия на засыпку первого и второго импульсов давления из газа. Основными элементами течения внутри засыпки являются фильтрационная волна в газовой фазе и волна компактирования в фазе частиц. В результате интерференции волны компактирования, вызванной первым падающим импульсом давления и отраженной от стенки ударной трубы, и фильтрационной волны, вызванной вторым падающим импульсом, происходит усиление сигнала на датчике давления внутри засыпки. Таким образом, дано возможное объяснение данного нового эффекта, наблюдаемого в натурных экспериментах.

The need to model high-speed flows of compressible media with shock waves in the presence of dense curtains or layers of particles arises when studying various processes, such as the dispersion of particles from a layer behind a shock wave or propagation of combustion waves in heterogeneous explosives. These directions have been successfully developed over the past few decades, but the corresponding mathematical models and computational algorithms continue to be actively improved. The mechanisms of wave processes in two-phase media differ in different models, so it is important to continue researching and improving these models.

The paper is devoted to the numerical study of the propagation of disturbances inside a sand bed under the action of successive impacts of a normally incident air shock wave. The setting of the problem follows the experiments of A. T.Akhmetov with co-authors. The aim of this study is to investigate the possible reasons for signal amplification on the pressure sensor within the bed, as observed under some conditions in experiments. The mathematical model is based on a one-dimensional system of Baer –Nunziato equations for describing dense flows of two-phase media taking into account intergranular stresses in the particle phase. The computational algorithm is based on the Godunov method for the Baer – Nunziato equations.

The paper describes the dynamics of waves inside and outside a particle bed after applying first and second pressure pulses to it. The main components of the flow within the bed are filtration waves in the gas phase and compaction waves in the solid phase. The compaction wave, generated by the first pulse and reflected from the walls of the shock tube, interacts with the filtration wave caused by the second pulse. As a result, the signal measured by the pressure sensor inside the bed has a sharp peak, explaining the new effect observed in experiments.

Исследуется модель распространения волн горения с двухступенчатым цепным механизмом реакции в адиабатическом одномерном случае. Показано, что пульсирующие неустойчивости возникают при числах Льюиса для топлива больше единицы в результате бифуркации Хопфа, приводящей к мягкому возбуждению осциллирующих решений. Установлено, что увеличение параметра закритичности приводит к появлению каскада Фейгенбаума бифуркаций удвоения периода и хаотическому режиму распространения волн горения. Дальнейшее увеличение параметра закритичности приводит к затуханию решения.

In this paper we investigate propagation of planar combustion waves in an adiabatic model with two-step chain branching reaction mechanism. Pulsating instabilities are found to emerge for fuel Lewis number greater than one due to a Hopf bifurcation. The Hopf bifurcation is demonstrated to be of a supercritical nature and it gives rise to periodic pulsating combustion waves as the neutral stability boundary is crossed. Further in-crease of the bifurcation parameter initiates period doubling bifurcation cascade and leads to chaotic regime of combustion wave propagation. The chaotic wave extinguishes when the bifurcation parameter becomes sufficiently large.

В работе построены сопряженные задачи для явной и неявной параболической квазилинейной сеточной пространственно-одномерной краевой задачи: коэффициенты задачи зависят от решения в текущий и предыдущие моменты времени. Зависимость от предыстории осуществляется через вектор состояния, эволюция которого описывается дифференциальным уравнением. К подобным задачам сводятся многие модели диффузионного массопереноса. Решения исходной и сопряженной краевых задач дают возможность получить точное значение градиента некоторого функционала в пространстве параметров, от которых также зависят коэффициенты задачи. Предложены алгоритмы решения задач, в том числе с использованием высокопроизводительных вычислительных систем.

In the paper we construct the adjoint problem for the explicit and implicit parabolic quazi-linear grid boundary-value problems with one spatial variable; the coefficients of the problems depend on the solution at the same time and earlier times. Dependence on the history of the solution is via the state vector; its evolution is described by the differential equation. Many models of diffusion mass transport are reduced to such boundary-value problems. Having solutions to the direct and adjoint problems, one can obtain the exact value of the gradient of a functional in the space of parameters the problem also depends on. We present solving algorithms, including the parallel one.

Проведено математическое моделирование нестационарных режимов естественной конвекции и поверхностного излучения в замкнутой вращающейся квадратной полости. Рассматриваемая область решения имела две противоположные изотермические стенки, поддерживаемые при постоянных низкой и высокой температурах, остальные стенки являлись адиабатическими. Стенки считались диффузно-серыми. Анализируемая полость вращалась с постоянной угловой скоростью относительно оси, проходящей через центр полости и ориентированной ортогонально области решения. Математическая модель, сформулированная в безразмерных преобразованных переменных «функция тока – завихренность скорости» на основе приближений Буссинеска и диатермичности рабочей среды, была реализована численно методом конечных разностей. Уравнения дисперсии завихренности и энергии решались на основе локально-одномерной схемы А. А. Самарского. Диффузионные слагаемые аппроксимировались центральными разностями, конвективные — с использованием монотонной аппроксимации А. А. Самарского. Разностные уравнения решались методом прогонки. Разностное уравнение Пуассона для функции тока решалось отдельно с применением метода последовательной верхней релаксации. Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов. Анализ радиационного теплообмена проведен с использованием метода сальдо в варианте Поляка. Разработанный вычислительный код был протестирован на множестве сеток, а также верифицирован путем сопоставления полученных результатов при решении модельной задачи с экспериментальными и численными данными других авторов.

Численные исследования нестационарных режимов естественной конвекции и поверхностного теплового излучения в замкнутой вращающейся полости проведены при следующих значениях безразмерных параметров: Ra = 10³–10⁶, Ta = 0–10⁵, Pr = 0.7, ε = 0–0.9. Все распределения были получены для двадцатого полного оборота полости, когда наблюдается установление периодической картины течения и теплопереноса. В результате анализа установлено, что при малой угловой скорости вращения полости возможна интенсификация течения, а дальнейший рост скорости вращения приводит к ослаблению конвективного течения. Радиационное число Нуссельта незначительно изменяется при варьировании числа Тейлора.

Mathematical simulation of unsteady natural convection and thermal surface radiation within a rotating square enclosure was performed. The considered domain of interest had two isothermal opposite walls subjected to constant low and high temperatures, while other walls are adiabatic. The walls were diffuse and gray. The considered cavity rotated with constant angular velocity relative to the axis that was perpendicular to the cavity and crossed the cavity in the center. Mathematical model, formulated in dimensionless transformed variables “stream function – vorticity” using the Boussinesq approximation and diathermic approach for the medium, was performed numerically using the finite difference method. The vorticity dispersion equation and energy equation were solved using locally one-dimensional Samarskii scheme. The diffusive terms were approximated by central differences, while the convective terms were approximated using monotonic Samarskii scheme. The difference equations were solved by the Thomas algorithm. The approximated Poisson equation for the stream function was solved by successive over-relaxation method. Optimal value of the relaxation parameter was found on the basis of computational experiments. Radiative heat transfer was analyzed using the net-radiation method in Poljak approach. The developed computational code was tested using the grid independence analysis and experimental and numerical results for the model problem.

Numerical analysis of unsteady natural convection and thermal surface radiation within the rotating enclosure was performed for the following parameters: Ra = 10³–10⁶, Ta = 0–10⁵, Pr = 0.7, ε = 0–0.9. All distributions were obtained for the twentieth complete revolution when one can find the periodic behavior of flow and heat transfer. As a result we revealed that at low angular velocity the convective flow can intensify but the following growth of angular velocity leads to suppression of the convective flow. The radiative Nusselt number changes weakly with the Taylor number.

Рассматривается классическая для нелинейной динамики модель «брюсселятор», дополненная третьей переменной, играющей роль быстро диффундирующего ингибитора. Модель исследуется в одномерном случае в области параметров, где проявляются два типа диффузионной неустойчивости однородного стационарного состояния системы: волновая неустойчивость, приводящая к самопроизвольному формированию автоволн, и неустойчивость Тьюринга, приводящая к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур, или структур Тьюринга. Показано, что благодаря субкритическому характеру бифуркации Тьюринга взаимодействие двух неустойчивостей в данной системе приводит к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур еще до прохождения бифуркации Тьюринга. В ответ на различные случайные шумовые возмущения пространственно-однородного стационарного состояния в исследуемой параметрической области в окрестности точки двойной бифуркации в системе могут устанавливаться различные режимы: как чистые, состоящие только из стационарных или только автоволновых диссипативных структур, так и смешанные, при которых разные режимы проявляются в разных участках расчетного пространства. В рассматриваемой параметрической области система является мультистабильной и проявляет высокую чувствительность к начальным шумовым условиям, что приводит к размытию границ между качественно разными режимами. При этом даже в зоне доминирования смешанных режимов с преобладанием структур Тьюринга значительную вероятность имеет установление чистого автоволнового режима. В случае установившихся смешанных режимов достаточно сильное локальное возмущение в участке расчетного пространства, где проявляется автоволновой режим, может инициировать локальное формирование новых стационарных диссипативных структур. Локальное возмущение стационарного однородного состояния в исследуемой области параметрического пространства приводит к качественно схожей карте устоявшихся режимов, при этом зона доминирования чистых автоволновых режимов расширяется с увеличением амплитуды локального возмущения. В двумерном случае в системе не устанавливаются смешанные режимы. При эволюции системы в случае появления локальных структур Тьюринга под воздействием автоволнового режима со временем они заполняют все расчетное пространство.

A classical for nonlinear dynamics model, Brusselator, is considered, being augmented by addition of a third variable, which plays the role of a fast-diffusing inhibitor. The model is investigated in one-dimensional case in the parametric domain, where two types of diffusive instabilities of system’s homogeneous stationary state are manifested: wave instability, which leads to spontaneous formation of autowaves, and Turing instability, which leads to spontaneous formation of stationary dissipative structures, or Turing structures. It is shown that, due to the subcritical nature of Turing bifurcation, the interaction of two instabilities in this system results in spontaneous formation of stationary dissipative structures already before the passage of Turing bifurcation. In response to different perturbations of spatially uniform stationary state, different stable regimes are manifested in the vicinity of the double bifurcation point in the parametric region under study: both pure regimes, which consist of either stationary or autowave dissipative structures; and mixed regimes, in which different modes dominate in different areas of the computational space. In the considered region of the parametric space, the system is multistable and exhibits high sensitivity to initial noise conditions, which leads to blurring of the boundaries between qualitatively different regimes in the parametric region. At that, even in the area of dominance of mixed modes with prevalence of Turing structures, the establishment of a pure autowave regime has significant probability. In the case of stable mixed regimes, a sufficiently strong local perturbation in the area of the computational space, where autowave mode is manifested, can initiate local formation of new stationary dissipative structures. Local perturbation of the stationary homogeneous state in the parametric region under investidation leads to a qualitatively similar map of established modes, the zone of dominance of pure autowave regimes being expanded with the increase of local perturbation amplitude. In two-dimensional case, mixed regimes turn out to be only transient — upon the appearance of localized Turing structures under the influence of wave regime, they eventually occupy all available space.

Целью работы является исследование конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая создана на основе Z-схемы. Это исследование состоит в численном решении нескольких двумерных дифференциальных уравнений, моделирующих перенос несжимаемой среды.

Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направлении предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы. По той же причине в продольном к магнитному полю направлении могут возникать достаточно высокие скорости тепло- и массопереноса.

Актуальной задачей при ионосферном моделировании является исследование плазменных неустойчивостей различных масштабов, которые возникают прежде всего в полярной и экваториальной областях. При этом среднемасштабные неоднородности, имеющие характерные размеры 1–50 км, создают условия для развития мелкомасштабных неустойчивостей. Последние приводят к явлению F-рассеяния, которое существенно влияет на точность работы спутниковых систем позиционирования, а также других космических и наземных радиоэлектронных систем.

Используемые для одновременного моделирования таких разномасштабных процессов разностные схемы должны иметь высокое разрешение. Кроме того, эти разностные схемы должны быть, с одной стороны, достаточно точными, а с другой стороны — монотонными. Причиной таких противоречивых требований является то, что неустойчивости усиливают погрешности разностных схем, особенно погрешности дисперсионного типа. Подобная раскачка погрешностей при численном решении обычно приводит к нефизическим результатам.

При численном решении трехмерных математических моделей ионосферной плазмы используется следующая схема расщепления по физическим процессам: первый шаг расщепления осуществляет продольный перенос, второй шаг расщепления осуществляет поперечный перенос. Исследуемая в работе конечно-разностная схема второго порядка точности приближенно решает уравнения поперечного пере- носа. Эта схема строится с помощью нелинейной процедуры монотонизации Z-схемы, которая является одной из схем второго порядка точности. При этой монотонизации используется нелинейная коррекция по так называемым «косым разностям». «Косые разности» содержат узлы расчетной сетки, относящиеся к разным слоям времени.

Исследования проводились для двух случаев. В первом случае компоненты вектора переноса были знакопостоянны, во втором — знакопеременны в области моделирования. Численно получены диссипативные и дисперсионные характеристики схемы для различных видов ограничивающих функций.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы.

1. Для разрывного начального профиля лучшие свойства показал ограничитель SuperBee.

2. Для непрерывного начального профиля при больших пространственных шагах лучше ограничитель SuperBee, а при малых шагах лучше ограничитель Koren.

3. Для гладкого начального профиля лучшие результаты показал ограничитель Koren.

4. Гладкий ограничитель F показал результаты, аналогичные Koren.

5. Ограничители разного типа оставляют дисперсионные ошибки, при этом зависимости дисперсионных ошибок от параметров схемы имеют большую вариабельность и сложным образом зависят от параметров этой схемы.

6. Во всех расчетах численно подтверждена монотонность рассматриваемой разностной схемы. Для одномерного уравнения численно подтверждено свойство неувеличения вариации для всех указанных функций-ограничителей.

7. Построенная разностная схема при шагах по времени, не превышающих шаг Куранта, является монотонной и показывает хорошие характеристики точности для решений разных типов. При превышении шага Куранта схема остается устойчивой, но становится непригодной для задач неустойчивости, поскольку условия монотонности перестают в этом случае выполняться.

The purpose of the paper is a research of a 2nd order finite difference scheme based on the Z-scheme. This research is the numerical solution of several two-dimensional differential equations simulated the incompressible medium convection.

One of real tasks for similar equations solution is the numerical simulating of strongly non-stationary midscale processes in the Earth ionosphere. Because convection processes in ionospheric plasma are controlled by magnetic field, the plasma incompressibility condition is supposed across the magnetic field. For the same reason, there can be rather high velocities of heat and mass convection along the magnetic field.

Ionospheric simulation relevant task is the research of plasma instability of various scales which started in polar and equatorial regions first of all. At the same time the mid-scale irregularities having characteristic sizes 1–50 km create conditions for development of the small-scale instabilities. The last lead to the F-spread phenomenon which significantly influences the accuracy of positioning satellite systems work and also other space and ground-based radio-electronic systems.

The difference schemes used for simultaneous simulating of such multi-scale processes must to have high resolution. Besides, these difference schemes must to be high resolution on the one hand and monotonic on the other hand. The fact that instabilities strengthen errors of difference schemes, especially they strengthen errors of dispersion type is the reason of such contradictory requirements. The similar swing of errors usually results to nonphysical results at the numerical solution.

At the numerical solution of three-dimensional mathematical models of ionospheric plasma are used the following scheme of splitting on physical processes: the first step of splitting carries out convection along, the second step of splitting carries out convection across. The 2nd order finite difference scheme investigated in the paper solves approximately convection across equations. This scheme is constructed by a monotonized nonlinear procedure on base of the Z-scheme which is one of 2nd order schemes. At this monotonized procedure a nonlinear correction with so-called “oblique differences” is used. “Oblique differences” contain the grid nodes relating to different layers of time.

The researches were conducted for two cases. In the simulating field components of the convection vector had: 1) the constant sign; 2) the variable sign. Dissipative and dispersive characteristics of the scheme for different types of the limiting functions are in number received.

The results of the numerical experiments allow to draw the following conclusions.

1. For the discontinuous initial profile the best properties were shown by the SuperBee limiter.

2. For the continuous initial profile with the big spatial steps the SuperBee limiter is better, and at the small steps the Koren limiter is better.

3. For the smooth initial profile the best results were shown by the Koren limiter.

4. The smooth F limiter showed the results similar to Koren limiter.

5. Limiters of different type leave dispersive errors, at the same time dependences of dispersive errors on the scheme parameters have big variability and depend on the scheme parameters difficulty.

6. The monotony of the considered differential scheme is in number confirmed in all calculations. The property of variation non-increase for all specified functions limiters is in number confirmed for the onedimensional equation.

7. The constructed differential scheme at the steps on time which are not exceeding the Courant's step is monotonous and shows good exactness characteristics for different types solutions. At excess of the Courant's step the scheme remains steady, but becomes unsuitable for instability problems as monotony conditions not satisfied in this case.

Предложен многомерный узловой метод характеристик, предназначенный для интегрирования гиперболических систем, базирующийся на расщеплении исходной системы уравнений на ряд одномерных подсистем, для расчета которых использован одномерный узловой метод характеристик. Приведены расчетные формулы, детально описана методика вычислений применительно к односкоростной модели гетерогенной среды при наличии сил гравитации. Представленный метод применим и к другим гиперболическим системам уравнений. С помощью этого явного, неконсервативного, первого порядка точности метода рассчитан ряд тестовых задач и показано, что в рамках предлагаемого подхода за счет привлечения дополнительных точек в шаблон схемы возможно проведение вычислений с числами Куранта, превышающими единицу. Так, в расчете обтекания трехмерной ступеньки потоком гетерогенной смеси число Куранта равнялось 1.2. В случае применения метода Годунова при решении этой же задачи макси- мальное число Куранта, при котором возможен устойчивый счет, имеет значение 0.13 × 10⁻². Еще одна особенность многомерного метода характеристик связана со слабой зависимостью временного шага от размерности задачи, что существенно расширяет возможности этого подхода. С использованием этого метода рассчитан ряд задач, которые ранее считались «тяжелыми» для таких численных методов, как методы Годунова, Куранта – Изаксона – Рис, что связано с тем, что в нем наиболее полно использованы преимущества характеристического представления интегрируемой системы уравнений.

Disclosed is a multidimensional nodal method of characteristics, designed to integrate hyperbolic systems, based on splitting the initial system of equations into a number of one-dimensional subsystems, for which a onedimensional nodal method of characteristics is used. Calculation formulas are given, the calculation method is described in detail in relation to a single-speed model of a heterogeneous medium in the presence of gravity forces. The presented method is applicable to other hyperbolic systems of equations. Using this explicit, nonconservative, first-order accuracy of the method, a number of test tasks are calculated and it is shown that in the framework of the proposed approach, by attracting additional points in the circuit template, it is possible to carry out calculations with Courant numbers exceeding one. So, in the calculation of the flow of the threedimensional step by the flow of a heterogeneous mixture, the Courant number was 1.2. If Godunov’s method is used to solve the same problem, the maximum number of Courant, at which a stable account is possible, is 0.13 × 10^-2. Another feature of the multidimensional method of characteristics is the weak dependence of the time step on the dimension of the problem, which significantly expands the possibilities of this approach. Using this method, a number of problems were calculated that were previously considered “heavy” for the numerical methods of Godunov, Courant – Isaacson – Rees, which is due to the fact that it most fully uses the advantages of the characteristic representation of the system of equations.

Работа содержит описание результатов моделирования процесса поддержания готовности участка дорожной сети в условиях воздействия с заданными параметрами. Рассматривается одномерный участок дороги длиной до 40 км с общим количеством ударов до 100 в течение рабочей смены бригады.

Разработана имитационная модель проведения работ по его поддержанию в рабочем состоянии несколькими группами (инженерными бригадами), входящими в состав инженерно-дорожного подразделения. Для поиска точек появления заграждений используется беспилотный летательный аппарат мультикоптерного типа.

Разработаны схемы жизненных циклов основных участников тактической сцены и построена событийно управляемая модель тактической сцены. Предложен формат журнала событий, формируемого в результате имитационного моделирования процесса поддержания участка дороги.

Для визуализации процесса поддержания готовности участка дороги предложено использовать визуализацию в формате циклограммы. Разработан стиль для построения циклограммы на основе журнала событий.

В качестве алгоритма принятия решения по назначению заграждений бригадам принят простейший алгоритм, предписывающий выбирать ближайшее заграждение.

Предложен критерий, описывающий эффективность работ по поддержанию участка на основе оценки средней скорости движения транспортов по участку дороги.

Построены графики зависимости значения критерия и среднеквадратичной ошибки в зависимости от длины поддерживаемого участка и получена оценка для максимальной протяженности дорожного участка, поддерживаемого в состоянии готовности с заданными значениями для выбранного показателя качества при заданных характеристика нанесения ударов и производительности ремонтных бригад. Показана целесообразность проведения работ по поддержанию готовности несколькими бригадами, входящими в состав инженерно-дорожного подразделения, действующими автономно.

Проанализировано влияние скорости беспилотного летательного аппарата на возможности по поддержанию готовности участка. Рассмотрен диапазон скоростей от 10 до 70 км/ч, что соответствует техническим возможностям разведывательных беспилотных летательных аппаратов мультикоптерного типа.

Результаты моделирования могут быть использованы в составе комплексной имитационной модели армейской наступательной или оборонительной операции и при решении задачи оптимизации назначения задач по поддержанию готовности участков дорог инженерно-дорожными бригадами. Предложенный подход может представлять интерес при разработке игр-стратегий военной направленности.

This work contains a description of the results of modeling the process of maintaining the readiness of a section of the road network under strikes of with specified parameters. A one-dimensional section of road up to 40 km long with a total number of strikes up to 100 during the work of the brigade is considered. A simulation model has been developed for carrying out work to maintain it in working condition by several groups (engineering teams) that are part of the engineering and road division. A multicopter-type unmanned aerial vehicle is used to search for the points of appearance of obstacles. Life cycle schemes of the main participants of the tactical scene have been developed and an event-driven model of the tactical scene has been built. The format of the event log generated as a result of simulation modeling of the process of maintaining a road section is proposed. To visualize the process of maintaining the readiness of a road section, it is proposed to use visualization in the cyclogram format.

An XSL style has been developed for building a cyclogram based on an event log. As an algorithm for making a decision on the assignment of barriers to brigades, the simplest algorithm has been adopted, prescribing choosing the nearest barrier. A criterion describing the effectiveness of maintenance work on the site based on the assessment of the average speed of vehicles on the road section is proposed. Graphs of the dependence of the criterion value and the root-meansquare error depending on the length of the maintained section are plotted and an estimate is obtained for the maximum length of the road section maintained in a state of readiness with specified values for the selected quality indicator with specified characteristics of striking and performance of repair crews. The expediency of carrying out work to maintain readiness by several brigades that are part of the engineering and road division operating autonomously is shown.

The influence of the speed of the unmanned aerial vehicle on the ability to maintain the readiness of the road section is analyzed. The speed range for from 10 to 70 km/h is considered, which corresponds to the technical capabilities of multicoptertype reconnaissance unmanned aerial vehicles. The simulation results can be used as part of a complex simulation model of an army offensive or defensive operation and for solving the problem of optimizing the assignment of tasks to maintain the readiness of road sections to engineering and road brigades. The proposed approach may be of interest for the development of military-oriented strategy games.