All issues

В работе рассмотрена краевая задача о движении тепловой волны для вырождающегося уравнения второго порядка параболического типа со степенной нелинейностью. Краевое условие задает уравнение движения на плоскости нулевого фронта тепловой волны, имеющего форму окружности. Предложен новый численно-аналитический алгоритм, в соответствии с которым решение строится по шагам по времени при разностной схеме дискретизации времени. На каждом шаге рассматривается краевая задача для уравнения Пуассона, к которому сводится исходное уравнение. Фактически она является обратной задачей Коши, в которой исходная граница области решения свободна от граничных условий, а на текущей границе (фронте волны) заданы два условия (Неймана и Дирихле). Решение этой задачи ищется в виде суммы частного решения уравнения Пуассона и решения соответствующего уравнения Лапласа, удовлетворяющего граничным условиям. Поскольку неоднородность зависит от искомой функции и ее производных, решение строится итерационно. Частное решение ищется методом коллокаций с помощью разложения неоднородности по радиальным базисным функциям. Обратная задача Коши для уравнения Лапласа решается методом нулевого поля применительно к круговым областям с круговыми отверстиями. Для таких задач этот метод применяется впервые. Вычислительный алгоритм оптимизирован за счет распараллеливания вычислений. Распараллеливание вычислений позволило эффективно реализовать алгоритм на высокопроизводительных вычислительных системах. На базе алгоритма была создана компьютерная программа. В качестве средства распараллеливания был выбран стандарт параллельного программирования OpenMP для языка программирования C++ как наиболее подходящий для вычислительных программ с параллельными циклами. Эффективность алгоритма и работоспособность программы были проверены сравнением результатов расчетов с известным точным решением, а также с численным решением, полученным авторами ранее с помощью метода граничных элементов. Проведенный вычислительный эксперимент показал хорошую сходимость итерационных процессов и более высокую точность нового алгоритма по сравнению с разработанным ранее. Анализ решений позволил определить наиболее подходящую систему радиальных базисных функций.

The paper deals with a heat wave motion problem for a degenerate second-order nonlinear parabolic equation with power nonlinearity. The considered boundary condition specifies in a plane the motion equation of the circular zero front of the heat wave. A new numerical-analytical algorithm for solving the problem is proposed. A solution is constructed stepby- step in time using difference time discretization. At each time step, a boundary value problem for the Poisson equation corresponding to the original equation at a fixed time is considered. This problem is, in fact, an inverse Cauchy problem in the domain whose initial boundary is free of boundary conditions and two boundary conditions (Neumann and Dirichlet) are specified on a current boundary (heat wave). A solution of this problem is constructed as the sum of a particular solution to the nonhomogeneous Poisson equation and a solution to the corresponding Laplace equation satisfying the boundary conditions. Since the inhomogeneity depends on the desired function and its derivatives, an iterative solution procedure is used. The particular solution is sought by the collocation method using inhomogeneity expansion in radial basis functions. The inverse Cauchy problem for the Laplace equation is solved by the null field method as applied to a circular domain with a circular hole. This method is used for the first time to solve such problem. The calculation algorithm is optimized by parallelizing the computations. The parallelization of the computations allows us to realize effectively the algorithm on high performance computing servers. The algorithm is implemented as a program, which is parallelized by using the OpenMP standard for the C++ language, suitable for calculations with parallel cycles. The effectiveness of the algorithm and the robustness of the program are tested by the comparison of the calculation results with the known exact solution as well as with the numerical solution obtained earlier by the authors with the use of the boundary element method. The implemented computational experiment shows good convergence of the iteration processes and higher calculation accuracy of the proposed new algorithm than of the previously developed one. The solution analysis allows us to select the radial basis functions which are most suitable for the proposed algorithm.

Разработана численная 2D-модель погружения холодной океанической плиты в толщу верхней мантии Земли, где этапу начального погружения плиты предшествует установление режима термогравитационной конвекции мантийного вещества. Модельным приближением мантии выступает двумерный образ несжимаемой ньютоновской квазижидкости в декартовой системе координат, где вследствие высокой вязкости среды уравнения мантийной конвекции принимаются в стоксовском приближении. Полагается, что вместе с плитой в верхние слои мантии поступает просочившаяся сюда морская вода. С глубиной рост давления и температуры приводит к определенным потерям ее легких фракций и флюидов, потерям воды и газов водосодержащих минералов плиты, перестройке их кристаллической решетки и, как следствие, фазовым превращениям. Эти потери обусловливают рост плотности плиты и неравномерность распределения вдоль плиты напряжений (начальные участки плиты оказываются менее плотными), что в последствии вместе с воздействием на плиту мантийных течений вызывает ее фрагментацию. Рассматривается состояние мантийной конвекции, когда плита и ее отдельные фрагменты опустились на подошву верхней мантии. Разработаны вычислительные схемы решения уравнений модели. Расчеты мантийной конвекции выполнены в терминах приближения Стокса для завихренности и функции тока, а для расчетов состояния и погружения плиты использован SPH. Выполнен ряд вычислительных экспериментов. Показано, что вследствие воздействия на плиту мантийной конвекции и с развитием вдоль плиты неоднородного поля напряжений происходит ее фрагментация. Следуя уравнениям модели, оценивается время финальной стадии субдукции, т. е. времени выхода всей океанической плиты на дно верхней мантии. В геодинамике этот процесс определяется коллизией плит, следует непосредственно за субдукцией и рассматривается обычно в качестве конечного этапа цикла Уилсона (т. е. цикла развития складчатых поясов).

A 2D numerical model of the immersion of a cold oceanic plate into the thickness of the Earth’s upper mantle has been developed, where the stage of the initial immersion of the plate is preceded by the establishment of a regime of thermogravitational convection of the mantle substance. The model approximation of the mantle is a two-dimensional image of an incompressible Newtonian quasi-liquid in a Cartesian coordinate system, where, due to the high viscosity of the medium, the equations of mantle convection are accepted in the Stokes approximation. It is assumed that seawater that has leaked here enters the first horizons of the mantle together with the plate. With depth, the increase in pressure and temperature leads to certain losses of its light fractions and fluids, losses of water and gases of water-containing minerals of the plate, restructuring of their crystal lattice and, as a consequence, phase transformations. These losses cause an increase in the plate density and an uneven distribution of stresses along the plate (the initial sections of the plate are denser), which subsequently, together with the effect of mantle currents on the plate, causes its fragmentation. The state of mantle convection is considered when the plate and its individual fragments have descended to the bottom of the upper mantle. Computational schemes for solving the model equations have been developed. Mantle convection calculations are performed in terms of the Stokes approximation for vorticity and the stream function, and SPH is used to calculate the state and subsidence of the plate. A number of computational experiments have been performed. It is shown that fragmentation of the plate occurs due to the effect of mantle convection on the plate and the development of inhomogeneous stress fields along the plate. Following the equations of the model, the time of the final stage of subduction is estimated, i.e. the time of the entire oceanic plate reaching the bottom of the upper mantle. In geodynamics, this process is determined by the collision of plates that immediately follows subduction and is usually considered as the final stage of the Wilson cycle (i. e., the cycle of development of folded belts).

В статье проводится систематическое исследование возможностей метода решеточных уравнений Больцмана (lattice Boltzmann method, LBM или РУБ) для описания распространения акустических волн. Рассмотрена задача о распространении возмущений от точечного гармонического источника акустических возмущений в неограниченном пространстве как в неподвижной среде (число Маха $M=0$), так и при наличии набегающего потока (число Маха $M=0{,}2$). Обе рассмотренные задачи имеют аналитическое решение в приближении линейной акустики, что позволяет количественно оценить точность численного метода.

Численная реализация осуществлена с использованием двумерной модели скоростей D2Q9 и оператора столкновений Бхатнагара – Гросса – Крука (BGK). Источник колебаний задавался согласно схеме Gou, а возникающий от источника паразитный шум в моментах старших порядков убирался за счет использования процедуры регуляризации функций распределения. Для минимизации отражений от границ расчетной области использовался гибридный подход, основанный на совместном использовании характеристических граничных условий на основе инвариантов Римана и поглощающих PML-слоев (perfectly matched layer) с параболическим профилем затухания.

В ходе работы проведен детальный анализ влияния вычислительных параметров метода на точность расчета. Исследована зависимость погрешности от толщины PML-слоя ($L_{\text{PML}}^{}$) и максимального коэффициента демпфирования ($\sigma_{\max}^{}$), безразмерной амплитуды источника ($Q'_0$) и шага расчетной сетки. Показано, что метод РУБ применим для моделирования распространения акустических волн и обладает вторым порядком точности. Установлено, что для достижения высокой точности расчета (относительная погрешность давления — не более $1\,\%$) достаточно пространственного разрешения в $20$ точек на длину волны ($\lambda$). Определены минимальные эффективные параметры PML-слоя: $\sigma_{\max}^{}\geqslant 0{,}02$ и $L_{\text{PML}}^{} \geqslant 2\lambda$, обеспечивающие отсутствие отражения от границ расчетной области. Также продемонстрировано, что при амплитудах источника $Q_0' \geqslant 0{,}1$ влияние нелинейных эффектов становится существенным по сравнению с другими источниками погрешности.

The article presents a systematic investigation of the capabilities of the lattice Boltzmann method (LBM) for modeling the propagation of acoustic waves. The study considers the problem of wave propagation from a point harmonic source in an unbounded domain, both in a quiescent medium (Mach number $M=0$) and in the presence of a uniform mean flow ($M=0.2$). Both scenarios admit analytical solutions within the framework of linear acoustics, allowing for a quantitative assessment of the accuracy of the numerical method.

The numerical implementation employs the two-dimensional D2Q9 velocity model and the Bhatnagar – Gross – Krook (BGK) collision operator. The oscillatory source is modeled using Gou’s scheme, while spurious high-order moment noise generated by the source is suppressed via a regularization procedure applied to the distribution functions. To minimize wave reflections from the boundaries of the computational domain, a hybrid approach is used, combining characteristic boundary conditions based on Riemann invariants with perfectly matched layers (PML) featuring a parabolic damping profile.

A detailed analysis is conducted to assess the influence of computational parameters on the accuracy of the method. The dependence of the error on the PML thickness ($L_{\text{PML}}^{}$) and the maximum damping coefficient ($\sigma_{\max}^{}$), the dimensionless source amplitude ($Q'_0$), and the grid resolution is thoroughly examined. The results demonstrate that the LBM is suitable for simulating acoustic wave propagation and exhibits second-order accuracy. It is shown that achieving high accuracy (relative pressure error below $1\,\%$) requires a spatial resolution of at least $20$ grid points per wavelength ($\lambda$). The minimal effective PML parameters ensuring negligible boundary reflections are identified as $\sigma_{\max}^{}\geqslant 0.02$ and $L_{\text{PML}}^{} \geqslant 2\lambda$. Additionally, it is shown that for source amplitudes $Q_0' \geqslant 0.1$, nonlinear effects become significant compared to other sources of error.

Представлена математическая модель для расчета охлаждения емкостей для десублимации паров охлажденным воздухом, подаваемым к ним по сети трубопроводов. Приведены результаты расчетов процесса охлаждения двух приемных емкостей в блоке из четырех. Представлена картина течения охлаждающего воздуха в сети трубопроводов.

The paper presents a mathematical model to be used for design of cooling tanks for vapor desublimation. Results of calculations for the process of cooling of two tanks in a block of four are presented. Chart of the cooling air flow in the piping network is presented.

Предложен модифицированный метод решеточных уравнений Больцмана для расчета течений вязкой ньютоновской жидкости. Модифицированный метод основан на использовании расщепления дифференциального оператора в уравнении Навье–Стокса и идее мгновенной максвеллизации функции распределения. При переходе от одного временного слоя к другому последовательно численно решаются задачи для системы решеточных кинетических уравнений и системы линейных уравнений диффузии. Эффективность предложенного метода по сравнению с обычным методом решеточных уравнений Больцмана показана при решении задачи о плоском течении в каверне в случае различных значений числа Рейнольдса и при различных разбиениях сетки.

Modification of the lattice Boltzmann method for computation of viscous Newtonian fluid flows is considered. Modified method is based on the splitting of differential operator in Navier–Stokes equation and on the idea of instantaneous Maxwellisation of distribution function. The problems for the system of lattice kinetic equations and for the system of linear diffusion equations are solved while one time step is realized. The efficiency of the method proposed in comparison with the ordinary lattice Boltzmann method is demonstrated on the solution of the problem of planar flow in cavern in wide range of Reynolds number and various grid resolution.

Представлена математическая модель для численного исследования теплового разрушения метеорита «Челябинск» при входе в атмосферу Земли. Исследование проводилось в рамках комплексного подхода, включающего расчет траектории движения с учетом сопутствующих движению метеорита физических процессов. Вместе с траекторией определялось поле течения и лучисто-конвективный теплообмен, определялся прогрев и разрушение метеорита под действием рассчитанных тепловых нагрузок. Комплексный подход позволяет точнее определять траекторию движения космических объектов, предсказывать зоны их падения и разрушения.

A mathematical model for the numerical study of thermal destruction of the "Chelyabinsk" meteorite when entering the Earth’s atmosphere is presented in the article. The study was conducted in the framework of an integrated approach, including the calculation of the meteorite trajectory associated with the physical processes connected with the meteorite motion. Together with the trajectory the flow field and radiation-convective heat
transfer were determined as well as warming and destruction of the meteorite under the influence of the calculated heat load. An integrated approach allows to determine the trajectories of space objects more precisely, predict the area of their fall and destruction.

В работе рассматривается вопрос об улучшении качества изображений, получаемых в задаче томографии. Задача заключается в нахождении границ неоднородностей (включений) в сплошной среде по результатам просвечивания этой среды потоком излучения. Предложено нелинейное интегральное преобразование специального вида, которое позволяет улучшить качество изображений по сравнению с тем, которое получали авторы ряда работ ранее. Метод реализован численно с помощью компьютерного моделирования. Проведено несколько расчетов с использованием данных для конкретных материалов. Полученные при этом результаты представлены рисунками и графическими изображениями.

The question on improvement of quality of images obtained in a tomography problem is considered. The problem consists in finding of boundaries of inhomogeneities (inclusions) in a continuous medium by results of X-ray radiography of this medium. A nonlinear integral transformation of a special kind is proposed which allows to improve quality of images obtained earlier at a set of papers. The method is realized numerically by the use of computer modelling. Some calculations are carried out with use of data for concrete materials. The results obtained are presented by drawings and graphic images.

Целью данной работы является обобщение макроскопических гидродинамических моделей второго порядка, описывающих автомобильное движение, с помощью алгоритма построения адекватного реальным измерениям уравнения состояния — зависимости давления от плотности транспортного потока, получаемого эмпирическим образом для каждого отдельного участка транспортной сети с использованием данных транспортных детекторов. Доказано, что именно вид уравнения состояния, замыкающего систему модельных уравнений и полученного из экспериментально наблюдаемого вида фундаментальной диаграммы — зависимости интенсивности транспортного потока от его плотности, полностью определяет все свойства любой феноменологической модели. Проверка работоспособности предложенного подхода проводилась с использованием численных расчетов, путем проведения вычисленных экспериментов на типичных данных, предоставляемых системой PeMS (http://pems.dot.ca.gov/), таких как моделирование движения трафика на заданном участке транспортной сети автострады I-580 в Калифорнии.

The goal of this work is to generalize second order mathematical models for automotive flow using algorithm for building state equation — the dependency of pressure on traffic density — which is adequate with regard to real world data. The form of state equation, which closes the system of model equations, is obtained from experimental form of fundamental diagram — the dependency of traffic flow intensity on its density, and completely defines all properties of any phenomenological model. The proposed approach was verified using numerical experiments on typical traffic data, obtained from PeMS system (http://pems.dot.ca.gov/), using segment of I-507 highway in California, USA as model system.

В статье рассматривается модель антропоморфного механизма типа экзоскелета со звеньями переменной длины. Комплексно рассмотрены четыре модели звеньев переменной длины: модель звена экзоскелета переменной длины с упругим элементом и абсолютно твердым весомым стержнем, модель телескопического звена; модель звена с массами в шарнирах-суставах и между ними, модель звена с произвольным количеством масс. Составлены дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода. На основе проведенного анализа дифференциальных уравнений движения для многозвенных стержневых механических систем типа экзосклета выявлена их структура, позволившая представить их в векторно-матричном виде. Впервые установлены общие закономерности построения матриц и получены обобщения выражений для элементов матриц в двухмерном случае. Приводятся новые рекуррентный и матричный методы составления дифференциальных уравнений движения. Предлагается единый подход к построению дифференциальных уравнений движения экзоскелета на основе разработанных рекуррентного и матричного методов записи дифференциальных уравнений движения экзоскелета. Проведено сопоставление времени составления дифференциальных уравнений движения предложенными методами, в сравнении с уравнениями Лагранжа второго рода, в системе компьютерной математики Mathematica. Осуществлено аналитическое исследование модели экзоскелета. Установлено, что для механизмов с $n$ подвижными звеньями решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений движения при любых начальных условиях существует, единственно и неограниченно продолжаемо. Управление экзоскелетом осуществляется с помощью крутящих моментов, расположенных в шарнирах-суставах в местах соединения звеньев и моделирующих управляющие воздействия. Выполнено численное исследование модели экзоскелета, проведено сопоставление результатов расчетов для экзоскелетов с различными моделями звеньев. Для численного исследования использованы эмпирические данные о человеке и его движениях. Установлено, что при выборе конструкции экзоскелета модель с сосредоточенными массами является предпочтительной, нежели модель с абсолютно твердым весомым стержнем, так как экзоскелет, обеспечивающий комфортабельные передвижения человека в нем, должен повторять свойства опорно-двигательного аппарата.

The article discusses the model of the anthropomorphic type of mechanism of the exoskeleton with links of variable length. Four models of parts of variable length are considered comprehensively: the model link of the exoskeleton of variable length with a resilient member and a rigid strong core; the model of the telescopic link; the model link with the masses in the hinge-joint between them; the link model with an arbitrary number of masses. The differential equations of motion in the form of Lagrange equations of the second kind are made. On the basis of analysis of differential equations of motion for multi-link rod of a mechanical system type, exoskeleton revealed their structure, which allowed us to represent them in vector-matrix form. The General pattern of building matrices are established for the first time and the generalization of the expressions for elements of matrices in two-dimensional case are obtained. New recursive and matrix methods of composing of differential equations of motion are given. A unified approach to constructing differential equations of motion of the exoskeleton based on the developed recursive and matrix methods write differential equations of motion of the proposed exoskeleton. Comparison of the time of writing the differential equations of motion proposed methods, in comparison with the Lagrange equations of the second kind, in the system of computer mathematics Mathematica conducted. An analytical study of the model of the exoskeleton carried out. It was found that for mechanisms with n movable links of the Cauchy problem for systems of differential equations of motion for any initial conditions there is no single and unlimited continue. Control of the exoskeleton is accomplished using the torques which are located in the hinge-joints in the joints of the links and simulating control actions. Numerical investigation of a model of the exoskeleton is made, a comparison of results of calculations for exoskeletons with various models of units is held. A numerical study of the empirical evidence about the man and his movements is used. It is established that the choice structure of the exoskeleton model with lumped masses is more preferable to a model with perfectly rigid strong core. As an exoskeleton, providing comfortable movement of people, and you should repeat the properties of the musculoskeletal system.

В работе развивается новый математический метод решения задачи совместного расчета параметров сигнала и шума в условиях статистического распределения Райса посредством метода моментов, основанного на анализе данных для начальных моментов 1-го и 3-го порядков случайной райсовской величины. Получена в явном виде система уравнений для искомых параметров сигнала и шума. В предельном случае малой величины отношения сигнала к шуму получены аналитические формулы, позволяющие рассчитать искомые параметры задачи без необходимости численного решения уравнений. Развитый в работе метод обеспечивает эффективное разделение информативной и шумовой компонент анализируемых данных в отсутствие каких-либо априорных предположений, лишь на основе обработки результатов выборочных измерений сигнала. Задача является значимой для целей обработки райсовских данных, в частности, в системах магнитно-резонансной визуализации, в системах ультразвуковой визуализации, при анализе оптических сигналов в системах дальнометрии, в радиолокации и т. д. Как показали результаты исследований, решение двухпараметрической задачи разработанным методом не приводит к увеличению объема требуемых вычислительных ресурсов по сравнению с решением однопараметрической задачи, решаемой в предположении априорной известности второго параметра. В работе приведены результаты компьютерного моделирования разработанного метода. Результаты численного расчета параметров сигнала и шума разработанным методом подтверждают его эффективность. Проведено сопоставление точности определения искомых параметров развитым в работе методом и ранее разработанным вариантом метода моментов, основанным на обработке измеренных данных для низших четных моментов анализируемого сигнала.

The paper develops a new mathematical method of the joint signal and noise parameters determination at the Rice statistical distribution by method of moments based upon the analysis of data for the 1-st and the 3-rd raw moments of the random rician value. The explicit equations’ system have been obtained for required parameters of the signal and noise. In the limiting case of the small value of the signal-to-noise ratio the analytical formulas have been derived that allow calculating the required parameters without the necessity of solving the equations numerically. The technique having been elaborated in the paper ensures an efficient separation of the informative and noise components of the data to be analyzed without any a-priori restrictions, just based upon the processing of the results of the signal’s sampled measurements. The task is meaningful for the purposes of the rician data processing, in particular in the systems of magnetic-resonance visualization, in ultrasound visualization systems, at the optical signals’ analysis in range measuring systems, in radio location, etc. The results of the investigation have shown that the two parameter task solution of the proposed technique does not lead to the increase in demanded volume of computing resources compared with the one parameter task being solved in approximation that the second parameter of the task is known a-priori There are provided the results of the elaborated technique’s computer simulation. The results of the signal and noise parameters’ numerical calculation have confirmed the efficiency of the elaborated technique. There has been conducted the comparison of the accuracy of the sought-for parameters estimation by the technique having been developed in this paper and by the previously elaborated method of moments based upon processing the measured data for lower even moments of the signal to be analyzed.